机械工程测试技术基础课后习题答案1

信号及其描述习题

1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|C n |—ω ；φn —ω 图并与表1-1对比。

解：傅立叶级数的复指数形式表达式：⋅⋅⋅±±±==

∑+∞

-∞

=,3,2,1,0;)(0n e

C t x n t

jn n

ω

式中：

所以：

幅值频谱：

相位频谱：

傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x (t )=x 0sin ωt 的绝对均值μ|x |和均方根值x rms

解：

1.3求指数函数 的频谱。 解：

1.4求符号函数（题图1-1a ）和单位阶跃函数（题图1-1b ）的频谱.

[]

()⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅±±±=⋅

⋅⋅±±±=-=--=+⨯+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦

⎤+⎢⎣⎡-==---------⎰

⎰⎰,6,4,2;

0,5,3,1;2cos 12111)(1)(12

0000

2

00200202200

0000

000000n n n A j n n A j e e n jA n jA e jn A T e jn A T dt Ae dt e A T dt e t x T C jn jn T t jn T t jn T t jn T t jn T T t jn n πππ

ππωωπ

πωωωωω⋅⋅⋅±±±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=∑

+∞

-∞=,7,5,3,1;2)(0n e

n A j t x t jn n ωπ⋅⋅⋅±±±==+=,5,3,1;22

2n n A C C C nI nR n π

⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅---=⋅⋅⋅=-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-==,5,3,1;2,5,3,1;202n n n A arctg C C arctg nR nI n ππ

πϕω

π

πωμ2;2sin 1)(lim 0000000=

===⎰⎰

∞→T x tdt x T dt t x T T T x 式中：()2

sin 1)(1002

0002000x dt dt x T dt t x T x T T rms ===⎰

⎰ω)0;0(;)(≥>=-t Ae t x t ααf j A dt e Ae dt e t x f X ft j t ft j παπαπ2)()(022+=⋅==⎰

⎰∞+--∞+∞--

解:1) 符号函数的频谱:

令:

2)单位阶跃函数的频谱:

1.5求被截断的余弦函数cos ω0t （题图1-2）的傅立叶变换。

解：

1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b ）： 的频谱 解：

1.7设有一时间函数f (t )及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cos ω0t ，(ω0>ωm )。

在这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦型振荡cos ω0t 叫做载波。试求调幅信号f (t )cos ω0t 的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm 时将会出现

f

j dt e e dt e e dt e t x f X t x e t x ft j t

ft j t ft j t ππαπααπαα1)1(lim )()(;)(lim )(022002110

1=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-===⎰

⎰⎰

∞+---∞--→--→f j dt e e dt e t x f X t x e t x ft

j t ft j t

ππααπαα21lim )()(;)(lim )(0202220

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎰

⎰∞+--→--→⎩⎨

⎧≥<=T t T t t t x ;

0;cos )(0ω(

)

[]210000222202sin sin 2)(2)(sin 2)(2)(sin 2

12cos )()(00θθππππππππππ⋅+⋅=⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡--+++=+===--+-+--+∞∞--⎰⎰

⎰c c T T f f T f f T f f T f f T dt e e e dt te f dt e t x f X ft

j t f j t f j T T T

T

ft j ft

j )0,0(;sin )(0≥>=-t t e t x t

αωα()

()

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-++=-⋅===-∞

+---+∞-+∞∞--⎰⎰

⎰)(21

)(2122

2sin )()(00202220

0200f f j f f j j dt

e e e j

e dt

e

t f e

dt e t x f X ft j t f j t f j t ft j t

ft j παπαππππαπαπ

什么情况？ 解： 当ω0<ωm 时，将会出现频率混叠现象

1.8求正弦信号x (t )=x 0sin （ω0t +φ）的均值μx 和均方值φx 2和概率密度函数p (x ) 解：将x (t )=x 0sin （ω0t +φ）写成（ω0t +φ）=arcsin(x (t )/ x 0)

等式两边对x 求导数：

2.2用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s ，2s ，5s 的正弦信号，问幅值

误差将是多少？

解：()()()ωωωτωωX Y j j H =+=

+=

135.011

1 ()()

2

2

77.01135.011

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+=

+=

πωωA

当T=1s 时，()41.01=ωA ，即x Y A A 41.0=，误差为59% 当T=2s 时，()67.02=ωA ，误差为33% 当T=5s 时，()90.03=ωA ，误差为8%

2.3求周期信号()()

45100cos 2.010cos 5.0-+=t t t x ，通过传递函数为()1

05.01

+=

s s H 的装置后所得到的稳态响应。

解： 利用叠加原理及频率保持性解题

[]()

)22(2

1

)22(2121

)(2cos )()()(0022220

200f f F f f F dt e e e t f dt

e

t f t f dt e t x f X ft j t f j t f j ft

j ft j ππππππππππ-++=⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+=⋅==-∞

+∞

---+∞

∞

-+∞

∞

--⎰⎰⎰

)(1

)(11122

002000t x x x t x x dx dt -=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωω)(1221lim lim 1lim )(22000t x x dx dt T T t x T T x x p x x T x -=⋅=∆⋅∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=→∆∞→→∆π