高等数学课件 同济大学版 D9_2偏导数.
《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(1)
例如, f ( x, y )
4
x2 y 2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y 2 0
2 2 4
x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
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r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y Байду номын сангаас ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
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高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
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函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
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函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
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函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
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函数与极限
26
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
同济大学第七版高等数学上册第九章—隐函数求导
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u 1 (F,G) x J ( x, v )
u 1 (F,G) y J ( y, v )
① Fx ex y, Fy
② F(0, 0) 0,
x y 1, cos y x 连续
③ Fy (0, 0) 1 0
由定理1可知, 在 x = 0 的某邻域内方程确定单值可
导的隐函数
且
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dy dx x 0
Fx Fy x 0
ex y cos y x x 0, y 0
d 2y
z
Fx
x
Fz
x
x
z2 2z
2z
x
x2
() x2 z
(2 z)2 x2 (2 z)3
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解法3 利用全微分 x2 y2 z2 4z =0 2xdx 2 ydy 2zdz 4dz =0
dz x dx y dy 2z 2z
zx x 2z
2z
x
x2
() x2 z
(2 z)2 x2 (2 z)3
Fx x Fy Fy x Fx Fy2
Fx y Fy Fy Fy2
y Fx
(
Fx ) Fy
Fx x Fy2
2Fx y Fx Fy Fy3
Fy y Fx2
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例1.验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy dx x,Biblioteka 0d 2y d x2
同济版高等数学教材目录
同济版高等数学教材目录一、微积分基础1. 实数及数列1.1 实数1.1.1 不等式与绝对值1.1.2 数列与极限1.2 数列极限的计算1.2.1 无穷序列与无穷数列1.2.2 数列极限存在的判定2. 函数与连续性2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义与表示法2.1.2 基本初等函数2.1.3 一次函数与二次函数2.2 函数的极限与连续性2.2.1 函数极限的定义与性质2.2.2 函数的连续性与间断点2.2.3 闭区间连续函数的性质3. 导数与微分3.1 导数的概念与性质3.1.1 导数的定义与表示法3.1.2 导函数的求法3.1.3 连续与可导的关系3.2 导数的计算与应用3.2.1 基本初等函数的导数3.2.2 导数的四则运算3.2.3 函数的单调性与极值4. 微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理4.1.1 罗尔定理4.1.2 拉格朗日中值定理4.2 函数的单调性与凹凸性4.2.1 函数单调性的判定与应用 4.2.2 函数凹凸性的判定与应用4.3 泰勒公式与高阶导数4.3.1 泰勒公式与拉格朗日余项4.3.2 函数的高阶导数及其应用二、数列与级数1. 数列极限的概念与性质1.1 数列极限的定义1.2 数列极限存在的判定1.2.1 单调有界准则1.2.2 夹逼准则1.3 数列极限的运算与性质2. 函数的极限与连续性2.1 函数极限的定义与性质2.2 函数连续性的定义与性质2.3 连续函数的性质与运算3. 无穷级数3.1 数项级数的概念与性质3.2 收敛级数的判定方法3.2.1 正项级数的判别法3.2.2 任意项级数的判别法3.3 幂级数与函数展开3.3.1 幂级数的概念与性质3.3.2 幂级数的收敛半径3.3.3 幂级数的函数展开4. 函数的泰勒展开4.1 函数的泰勒展开与麦克劳林展开 4.2 一些常用函数的泰勒展开4.3 泰勒展开与函数的逼近三、多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续性1.1 多元函数的概念与性质1.2 多元函数的极限定义与性质1.3 多元函数的连续性定义与性质2. 偏导数与全微分2.1 多元函数的偏导数定义2.2 偏导数的计算与性质2.3 全微分的概念与计算3. 多元函数的微分法及其应用3.1 隐函数的求导法3.2 多元复合函数的求导法3.3 一阶全微分的应用3.3.1 方向导数与梯度3.3.2 最小值与最大值问题4. 二重积分的计算与应用4.1 二重积分的概念与性质4.2 二重积分的计算方法4.2.1 二重积分的累次积分法4.2.2 坐标变换法与极坐标法4.3 二重积分的应用4.3.1 质心与形心的计算4.3.2 二重积分在物理问题中的应用四、无穷级数及多元函数积分学1. 无穷级数的收敛1.1 无穷级数的概念与性质1.2 收敛级数的判定方法1.3 幂级数的性质与运算2. 曲线与曲面积分2.1 第一型曲线积分2.2 第二型曲线积分2.3 曲线积分的应用2.3.1 质量与质心的计算2.3.2 曲线积分在环线积分中的应用3. 曲面积分3.1 曲面积分的概念与性质3.2 双重积分的计算方法3.3 曲面积分的应用3.3.1 质量与质心的计算3.3.2 曲面积分在流量计算中的应用4. 三重积分的计算4.1 三重积分的概念与性质4.2 三重积分的计算方法4.2.1 三重积分的累次积分法4.2.2 坐标变换法与球坐标法4.3 三重积分的应用4.3.1 质量与质心的计算4.3.2 三重积分在物理问题中的应用以上是同济版高等数学教材的目录，涵盖了微积分基础、数列与级数、多元函数微分学、无穷级数及多元函数积分学等内容。
同济版高等数学教材详解
同济版高等数学教材详解同济大学出版社出版的《高等数学》教材是大学教学中常用的一本教材。
本篇文章将对该教材进行详解，帮助读者更好地理解和学习高等数学知识。
一、教材结构《高等数学》教材由全书目录、前言、正文和附录四部分组成。
其中，正文部分包括基础篇、提高篇和拓展篇，共分为十二章。
每一章都由若干节组成，每一节又包含了重要的概念、原理和解题方法等。
二、基础篇详解基础篇包括了数列与级数、函数与极限、微分学、积分学等内容，这些内容是高等数学学习的基础，对于理解后续章节的内容至关重要。
1. 数列与级数数列与级数是数学中重要的内容之一，本书对其进行了详细的讲解。
其中包括等差数列与等比数列的概念、性质及求和公式；级数的概念、性质及常见的级数判别法等。
通过学习这一章的内容，读者可以深入理解数列与级数的概念，掌握求和公式和级数求和的方法。
2. 函数与极限函数与极限是微积分的基础。
本章主要介绍了函数的极限及其性质，包括无穷小量、无穷大量和函数极限的运算法则等。
此外，还介绍了常见的极限计算方法，如洛必达法则等。
通过学习这一章的内容，读者可以建立对函数极限的概念和运算法则的理解，并能熟练地应用到实际问题中。
3. 微分学微分学是函数学的一部分，主要研究函数的变化率和变化规律。
本章主要介绍了函数的导数及其应用，包括导数的定义、性质、导数的运算法则以及相关的微分中值定理等。
此外，还介绍了常见的函数的极值判断方法，如一阶导数、二阶导数的判别法等。
通过学习这一章的内容，读者可以掌握函数的导数及其应用，并能灵活运用到实际问题中。
4. 积分学积分学是微积分的另一部分，主要研究函数的积分与求面积、求体积等问题。
本章主要介绍了不定积分和定积分的定义与性质，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
此外，还介绍了常见的定积分应用，如求曲线的弧长、平面图形的面积等。
通过学习这一章的内容，读者可以理解积分的概念与性质，并能应用到实际问题中。
三、提高篇详解提高篇是在基础篇的基础上进一步拓展和深化数学知识的内容。
同济高数第4章课件第三节
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$
同济大学微积分课件ch.ppt
例 求函数z x2 y3 2xy 在点1,2 处的导数.
解 zx 2x 2y, zy 3y2 2x,
所以 zx 1,2 6, zy 1,2 4.
x 例 设 z arctan y ,求 zx , zy.
解 由一元复合函数的求导法则得
11 y
zx
1
x 2
y
y
x2
, y2
zy
1
2z
a2
2z .
y2
x2
证
z cos x ay,
x
2z x2
sin
x
ay ,
z a cos x ay,y2z x2来自a2sin x
ay .
从而有
2z
a2
2z .
y2
x2
例 验证函数 z ln x2 y2 满足拉普拉斯方程
2z 2z 0.
x2 y2
证
z
x
x2
x
y2
,
2z x2
lim y z lim f x0, y0 y f x0, y0
y y 0
y 0
y
存在，则称此极限为函数z f x, y 在点 x0, y0 对 y
的偏导数，记作
z
, y x0 , y0
zy
x0, y0
,
f ,
y x0 , y0
fy x0, y0 .
当函数z f x, y 在点 x0, y0 同时存在对 x, y 的偏导数， 则称函数 z f x, y 在点 x0, y0 可偏导.
yx
x
y
,
2z z
z yy
y2
y
y
.
而其中的第二与第三项称为混合偏导.
同济大学高等数学上课件D全微分
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z
fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y x y
lxyi m00 0,
lim
x0
y0
0
注意到 xy , 故有
z fx ( x ,y ) x fy ( x ,y ) y o()
所以函数 zf(x,y)在点 (x, y) 可微.
令 δx,δy,δz分别表示 x , y , z 的绝对误差界,
那 么
z 的绝对误差界约为
δ z fx ( x ,y )δ x fy ( x ,y )δ y
z 的相对误差界约为
zzffx((xx,,yy))δxffy((xx,,yy))δy
第十三页，共25页。
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特别注意
解: 由欧姆定律可知 RU244( 欧) I6
所以 R 的相对误差约为
δ R δU δ I 0.3 + 0.5 RU I
R 的绝对误差约为
δ R R = 0.032 ( 欧 )
第十六页，共25页。
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内容小结
1. 微分定义: (zf(x,y))
z fx(x ,y ) x fy(x ,y ) yo()
2) f(x,0)0, fx(0,0)0;同理 fy(0,0)0.
3) 当 (x,y)(0,0)时 ,
fx(x,y) ysin
1 x2 y2
x2 y
cos
(x2 y2)3
1 x2 y2
当 P ( x ,y ) 点 沿 y 射 x 趋 ( 0 ,0 线 ) 时 于 ,
lim
(x,x) (0,0)
[f(x x ,y y )f(x,y y)]
同济版高等数学第二章导数与微分_3高阶导数课件
阶数 2
分析:
f
(
x)
4x3 2x3
, ,
x0 x0
f
(0)
lim
x 0
2x3 x
0
0
f (0)
lim
x0
4x3 0 x
0
f
(
x)
12x 2 , 6x2,
x0 x0
又
f
(0)
lim
x0
6x2 x
0
f
(0)
lim
x0
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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例1. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n
n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
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(4) y sin6 x cos 6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x
高等数学课件 同济大学版 D9习题课
y2 (3) z f ( x , ) : x
2y 2z 2y 2 f2 ( x x y x
y2 2 f 22 ) x
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P73 题12 设 提示: 由 z uv , 得 z u v v u x x x
求
①
z
②
z u v v u y y y
练习题：
1. 在曲面 平面 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 并写出该法线方程 . 则法线方程为
提示: 设所求点为
y0
利用 得
x0
1
法线垂直于平面 点在曲面上
y0 x0 1 1 3 1 z0 x0 y0
x0 3 , y0 1 , z0 3
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du y e x ( x z) f 3 f1 f 2 1 答案: dx x sin( x z )
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三、多元函数微分法的应用
1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题
例5. 求旋转抛物面
与平面
之间的最短距离. 则 解：设 为抛物面 z x 2 y 2 的距离为 问题归结为 目标函数: ( x y 2 z 2) 2 (min)
约束条件: x 2 y 2 z 0 作拉氏函数
u u
u v x yx y
由 x e cos v, y e sin v , 得
d x eu cos v d u eu sin v d v d y eu sin v d u eu cos v d v
同济版大一高数第九章第二节偏导数
f1( x0 , y0 ) .
同样可定义对 y 的偏导数 f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为
z
1 3y y2 x 1
z y (1, 2)
14
例2
f ( x, y ) x y y x ( x 1) 2 ( y 2) 3 arctan
ex 4 y2 1
求
f x (1,2), f y (1, 2).
f x (1,2) [ f ( x,2)] x 1
21
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为
( y
z ) n 1 x y
n
22
例1. 求函数 z
e
x 3 x y
2
3z . 的二阶偏导数及 2 y x
f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
8
二元函数偏导数的几何意义:
z f ( x, y)
z
M0
f x
x x0 y y0
d f ( x, y 0 ) x x0 dx
z f ( x, y ) Z f x, y 是曲线 0 y y0
高等数学偏导数PPT课件.ppt
f
(x, y)
xy x2 y2
( x2 y2 0 ),
f (0, 0) 0
但是
lim f (x , 0) f (0, 0) lim 0 0 ,
x0
x
x0
lim f (0, y) f (0, 0) lim 0 0 ,
y0
y
y0
( f y(0,0))x .
例 验证函数 u( x, y) ln x2 y2 满足拉普
拉斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 ln
x2
y2
1 ln( x2 2
y2 ),
u x
x x2
y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
求偏导数时,只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量,其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 .
例 求 z x2 3xy y2在(1,2)处对 x 的偏导数．
解法一 (用定义)
z x
x 1 y2
lim z(1 x,2) z(1,2)
x0
x
8
.
解法二 (用定义)
f (x x, y, z) f (x, y, z)
fx
(
x,
y,
z)
lim
x0
x
,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f
(x,
y
y, z) y
f
(x,
y, z) ,
fz ( x,
y, z)
高等数学教材同济版目录
高等数学教材同济版目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的图像与性质1.1.3 常用函数的性质介绍1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的运算性质1.2.3 无穷小量与无穷大量1.3 函数的连续性与间断点1.3.1 连续函数的概念1.3.2 连续函数的性质1.3.3 间断点与间断函数1.4 导数与微分1.4.1 导数的定义1.4.2 导数的运算法则1.4.3 高阶导数与隐函数求导1.5 中值定理与应用1.5.1 高尔定中值定理1.5.2 柯西中值定理1.5.3 利用中值定理解决问题第二章一元函数微分学2.1 函数的极值与最值2.1.1 求函数的极值2.1.2 求函数在闭区间上的最大值与最小值2.1.3 求解优化问题的应用2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的单调性与凹凸性2.2.2 求函数的拐点2.2.3 凹凸函数的性质与应用2.3 不定积分2.3.1 不定积分的定义2.3.2 基本积分表与积分法2.3.3 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法2.4 定积分2.4.1 定积分的概念与性质2.4.2 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的运算法则2.4.3 定积分的几何应用2.5 微分方程2.5.1 一阶常微分方程2.5.2 可降阶的高阶微分方程2.5.3 可分离变量的高阶微分方程第三章一元函数积分学3.1 定积分的计算3.1.1 分部积分法3.1.2 变量代换法3.1.3 参数方程曲线的长度与曲边梯形的面积3.2 定积分的应用3.2.1 曲线的弧长与曲率3.2.2 曲线包围的面积与体积3.2.3 质量、质心与转动惯量3.3 定积分的进一步应用3.3.1 有理函数的积分3.3.2 特殊曲线所围成的面积3.3.3 参数积分与概率密度函数第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限与连续性4.1.1 多元函数极限的定义4.1.2 多元函数的连续性4.1.3 多元函数连续性的充要条件4.2 偏导数与全微分4.2.1 偏导数的定义与计算法则4.2.2 隐函数与参数方程的偏导数4.3 方向导数与梯度4.3.1 方向导数的定义与计算4.3.2 梯度的定义与性质4.3.3 最速下降问题与等高线的切线方向4.4 多元函数的极值与最值4.4.1 多元函数的极值判定条件4.4.2 用拉格朗日乘数法求极值4.5 重积分4.5.1 二重积分的概念与计算4.5.2 二重积分的计算方法4.5.3 三重积分的概念与计算4.5.4 三重积分的计算方法第五章多元函数积分学5.1 曲线积分5.1.1 第一类曲线积分的定义与计算5.1.2 第二类曲线积分的定义与计算5.1.3 斯托克斯公式与格林公式5.2 曲面积分5.2.1 第一类曲面积分的定义与计算5.2.2 第二类曲面积分的定义与计算5.2.3 高斯公式与斯托克斯公式的应用5.3 多元函数应用题5.3.1 质心与转动惯量5.3.2 弹性势能与电势能5.3.3 均匀分布与热力学第六章空间解析几何6.1 空间直线与平面6.1.1 直线的方程与位置关系6.1.2 平面的方程与位置关系6.1.3 直线与平面的位置关系6.2 球面与圆锥面6.2.1 球面方程与性质6.2.2 圆锥面方程与性质6.2.3 球面与圆锥面的位置关系6.3 空间曲线与曲面6.3.1 参数曲线的切线与曲面的切平面6.3.2 空间曲线的弧长6.3.3 二次曲线与二次曲面的性质6.4 空间向量与平面直线等角问题6.4.1 向量的定义与运算法则6.4.2 空间向量的数量积与夹角6.4.3 平面直线的方向余弦与法向量第七章多元函数级数与泰勒展开7.1 级数的概念与性质7.1.1 数项级数的定义7.1.2 数项级数的收敛与发散7.1.3 数项级数的运算性质7.2 幂级数7.2.1 幂级数的收敛域与收敛半径7.2.2 幂级数的性质与运算7.2.3 幂级数的应用7.3 函数展开成幂级数7.3.1 泰勒级数的定义与性质7.3.2 函数展开成泰勒级数的条件7.3.3 函数展开成泰勒级数的例子7.4 泰勒展开的应用7.4.1 高阶导数与泰勒展开7.4.2 函数的逼近与误差估计7.4.3 三角函数的傅里叶展开这是一个关于《高等数学教材同济版》的目录，它共包含七个主要章节，每个章节又分为若干小节，全面而系统地介绍了高等数学的各个知识点和概念。
《高等数学偏导数》课件
连续性与可导性
偏导数存在时，函数在某点的邻域内 连续。
偏导数存在且连续时，函数在该点的 某邻域内可导。
偏导数的计算法则
链式法则
对于复合函数，求偏导数时需要使用 链式法则。
乘积法则
对于两个函数的乘积，求偏导数时需 要使用乘积法则。
商式法则
对于两个函数的商，求偏导数时需要 使用商式法则。
高阶偏导数
对于高阶偏导数，可以使用递推关系 进行计算。
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
01
对于一个函数，如果它的二阶偏导数存在，则称这个二阶偏导
数为该函数的高阶偏导数。
高阶偏导数的计算
02
高阶偏导数的计算需要使用到前面已经求得的低阶偏导数。
高阶偏导数的几何意义
03
高阶偏导数可以用来描述函数图像的凹凸性、拐点等几何特征
偏导数表示函数曲面在某一点处与坐标轴平 面的交线在该方向的切线斜率。
偏导数的几何意义
切线斜率
对于二元函数，偏导数表示函数曲面在某一点处的切 线斜率。
凹凸性
通过研究偏导数的符号变化，可以判断函数在某一点 的凹凸性。
最值问题
利用偏导数研究函数的极值问题，通过求偏导数等于 零的点，找到可能的极值点。
02
根据不同的标准，最优化方法可以分为多种类型 ，如线搜索方法、信赖域方法、梯度下降法等。
最优化方法的选择依据
选择最优化方法时需要考虑问题的性质、计算资 源、精度要求等因素。
3
最优化方法的优缺点比较
各种最优化方法都有其优点和局限性，需要根据 实际情况进行选择和调整。
05
偏导数在实际问题中的应用
经济问题
在给定函数中寻找最小值或最大值，且附加某些约束条件的数学 问题。
高数同济六版课件D93全微分
● 答案：f'(1)=5 ● 解析：根据全微分的定义，f'(x)=4x^3+6x^2+2x+2，所以f'(1)=4*1^3+6*1^2+2*1+2=5
常见问题：全微分的求解过程中，常见的问题包括定义域和值域的选取、计算公式和 技巧的运用等，需要仔细分析和解决。
全微分在高数同济六版课件D93中的重点和难点
全微分的定义和性质 全微分的计算方法 全微分的几何意义 全微分在多元函数中的应用 全微分在极值问题中的应用 全微分在积分学中的应用
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● 习题4：求函数f(x)=x^5+2x^4+x^3+2x^2+x在x=0处的全微分 答案：f'(0)=1 解析：根据全微分的定义，f'(x)=5x^4+8x^3+6x^2+4x+2， 所以f'(0)=5*0^4+8*0^3+6*0^2+4*0+2=1
● 答案：f'(0)=1 ● 解析：根据全微分的定义，f'(x)=5x^4+8x^3+6x^2+4x+2，所以f'(0)=5*0^4+8*0^3+6*0^2+4*0+2=1
判断可微性