人教版九年级上册圆的切线证明及计算训练试题
人教版九年级上《24.2.3切线的判定和性质》同步练习（含答案）
2022-2023人教版数学九年级上册同步练习24.2.3 切线的判定和性质一．选择题（共15小题）1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（）A．4B．5C．6D．72．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．2.5D．33．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=20°，则∠C的度数是（）A．25°B．65°C．50°D．75°4．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为1，若∠OBA=30°，则OB长为（）A．1B．2C．D．25．如图，∠NAM=30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN边于D、E两点，则当⊙O与AM相切时，AD等于（）A．4B．3C．2D．16．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD 分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．37．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP=5B．OE=OFC．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF8．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK=（）A．3B．2C．5D．9．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（）时，PA与⊙O相切．A．20°B．25°C．30°D．40°10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．3C．5D．1或511．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=60°，∠D=110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（）A．B．C．D．12．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC 相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE=EC，则AC是⊙O的切线D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线13．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D 是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论①l1和l2的距离为2 ②MN=③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°④当AM+BN=时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B 的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8二．填空题（共6小题）16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x 轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为．17．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为．18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．（1）∠APB=；（2）当OA=2时，AP=．19．如图所示，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动s时，直线MN 恰好与圆O相切．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．21．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（只需填序号）三．解答题（共9小题）22．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD ⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E．（1）求证：BC平分∠ABD．（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．23．如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B （0，4），C（0，16），求该圆的直径．24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线．25．如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；（2）求证：直线AB是⊙O的切线．26．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．27．如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE．28．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF．29．如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．30．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC=3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵AB=24，OB=OA=13，∴BC=12；在Rt△OCB中，∴OC==5．故选：B．2．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故选：B．3．【解答】解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∠COD=2∠A=40°，∴∠C=90°﹣40°=50°，故选：C．4．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，连接OA则∠OAB=90°．∵OA=1，∴OB=．故选：B．5．【解答】解：设直线AM与⊙O相切于点K，连接OK．∵AM是⊙O的切线，∴OK⊥AK，∴∠AKO=90°∵∠A=30°，∴AO=2OK=4，∵OD=2，∴AD=OA﹣OD=2，故选：C．6．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．7．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．8．【解答】解：如图所示：MK=，故选：B．9．【解答】解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=∠AOP=25°，故选：B．10．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选：D．11．【解答】解：连结OC、OD、OA，如图，∵∠D=110°，∴∠B=180°﹣∠D=70°，∴∠AOC=2∠B=140°，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∵的度数是70°，∴∠COD=70°，∴∠AOD=70°，∠BOC=50°，∴AD弧的长度==π，∴BC弧的长度==π，∵70π=6π•12﹣2π，而2π＞π，∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．故选：C．12．【解答】解：A、如图1，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确；B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB，∵BE=CE，∴BC=AB=2BO，∴AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC=60°，∴OH=AO≠OB，∴C选项错误；D、如图2，∵BE=EC，∴CE=BE，∵AB=BC，BO=BE，∴AO=CE=OB，∴OH=AO=OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．13．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，∵AB是⊙O的直径，CD不是直径，∴AB≠CD，∴PO≠DC，故（3）错误；（4）由（2）证得四边形PCBD是菱形，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，故（4）正确；故选：C．14．【解答】解：如图1，∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，∵l1∥l2，∴点A、B、O共线，∴l1和l2的距离=AB=2，所以①正确；作NH⊥AM，如图1，则四边形ABNH为矩形，∴NH=AB=2，在Rt△MNH中，∵∠1=60°，∴MH=NH=，∴MN=2MH=，所以②正确；当直线MN与⊙O相切时，如图2，∠1=∠2，∠3=∠4，∵l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠MON=90°，所以③正确；过点O作OC⊥MN于C，如图2，=S△OAM+S△OMN+S△OBN，∵S四边形ABNM∴•1•AM+•1•BN+MN•OC=（BN+AM）•2，即（AM+BN）+MN•OC=AM+BN，∵AM+BN=，MN=，∴OC=1，而OC⊥MN，∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．故选：D．15．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P1只能在直线CD的左侧，∴P1E⊥CD又∵∠AOD=30°，r=1cm∴在△OEP1中OP1=2cm又∵OP=6cm∴P1P=4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），或P1P=8cm∴圆P到达圆P1需要时间为：8÷1=8（秒），∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．故选：D．二．填空题（共6小题）16．【解答】解：若运动后⊙P与y轴相切，则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），而﹣1﹣（﹣4）=3，1﹣（﹣4）=5，所以点P的运动距离为3或5．故答案为3或5．17．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．18．【解答】解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．19．【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，∴b2=×1×|b|，解得：b=或b=﹣，∴直线EF的解析式为y=x+或y=x﹣，∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．令y=x﹣2中y=0，则x=2，∴点M（2，0）．∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．故答案为：2﹣或2+．20．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为2或1021．【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，∵∠AOD=2∠ABC，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD=90°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=∠P，∴∠PCD+∠OCD=90°，∴∠PCO=90°，∴PC是切线，∴②正确；假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，∴3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°，已知没有给出∠B=30°，∴③错误；∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF=弧AG，∴AG=CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，∴OZ=CQ，∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ=BZ=BG，∴④正确．故答案为：①②④．三．解答题（共9小题）22．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴OC⊥CD，∴AG=EG，易得四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4．23．【解答】解：过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，∵O′D⊥BC，∴D为BC中点，∴BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，∵⊙O′与x轴相切，∴O′A⊥x轴，∴四边形OAO′D为矩形，半径O′A=OD=10，24．【解答】解：（1）BD=DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴BD=DE．∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠DEC=75°，∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，又∵==，∴=，∴=，又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC=∠AOG=90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，∠B=∠ADC∵四边形ADCE是⊙O内接四边形∴∠ADC+∠AEC=180°∵∠AEC+∠AEB=180°∴∠ADC=∠AEB∴∠B=∠AEB∴AE=CD（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．∵AF是直径∴∠AEF=90°∴∠AFE+∠EAF=90°∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE∴∠AFE=∠BAE∴∠BAE+∠EAF=90°∴∠BAF=90°且AO是半径∴直线AB是⊙O的切线26．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°．（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．27．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，∵点O为直角三角形斜边AB的中点，∴OC=OA=OB．∴点C在⊙O上，∵BD=OB，∴AB=DO，∵CD=CA，∴∠A=∠D，∴△ACB≌△DCO，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4．28．【解答】（1）证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∴BEC=∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF=90°，∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，∴∠FEH=∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）证明：如图，连结DE．∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，29．【解答】解：（1）如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．30．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切，理由是：如图1，∵AC⊥MN，∴∠ACM=90°，∴∠A+∠AMC=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠NPM=90°，∴∠PNM+∠AMC=90°=∠A+∠ABP，∴∠ABP=∠AMC，∵OP=OB，∴∠ABP=∠OPB，Rt△PMN中，C为MN的中点，∴PC=CN，∴∠PNM=∠NPC，∴∠OPC=∠OPB+∠NPC=∠ABP+∠PNM=∠AMC+∠PNM=90°，即OP⊥PC，∴直线PC与⊙O相切；（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，∵MN为直径，∴∠MDN=90°，则∠MDC+∠NDC=90°，∵∠DCM=∠DCN=90°，∴∠MDC+∠DMC=90°，∴∠NDC=∠DMC，则△MDC∽△DNC，∴，即DC2=MC•NC∵∠ACM=∠NCB=90°，∠A=∠BNC，∴△ACM∽△NCB，∴，即MC•NC=AC•BC；即AC•BC=DC2，∵AC=AO+OC=2+3=5，BC=3﹣2=1，∴DC2=5，∴DC=，∵MN⊥DD'，∴D'C=DC=，∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．。
人教版九年级上册数学课堂练习 第二十四章 专题练习九 与圆的切线有关的计算与证明
专题练习九1.如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2 cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B.(1)连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形；(2)填空：①当DP＝1cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP＝(2－1)cm时，四边形AOBP是正方形．2.如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若PD＝5，求⊙O的直径．3.如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E.求证：(1)DE⊥AE；(2)AE＋CE＝AB.4.如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB＝BF.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若CF＝4，DF＝10，求⊙O的半径r.5.如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．6.如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.(1)求证：OP⊥CD；(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．7.如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R.8.如图，⊙0的切线PC交直径AB的延长线于点P，为切点,若∠P=30°，⊙0的半径为1, 则PB的长为9.如图，AB与⊙0相切于点B，BC为⊙0的弦，OC⊥OA, OA与BC相交于点P.(1)求证: AP=AB;(2)若OB=4，AB=3，求线段BP的长.10.如图, AB是⊙0的直径，点C，D在⊙0上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC.(1)求证: DE与⊙0相切;(2)若0的半径.11.如图，AH是⊙0的直径，AE平分∠FAH,交⊙0吁点E，过点E 的直线FG⊥AF，垂足为F,B为直径0H上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上.(1)求证:直线FG是00的切线;(2)若CD=10,EB=5，求⊙0的直径.答案：1.解：(1)如图，连接OA，AC，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，在Rt△AOP中，∠AOP＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°，∴∠ACP＝30°，∵∠APO＝30°∴∠ACP＝∠APO，∴AC＝AP，∴△ACP是等腰三角形(2)①DP＝1 cm，理由如下：∵四边形AOBD是菱形，∴OA＝AD＝OD，∴∠AOP＝60°，∴OP＝2OA，DP＝OD.∴DP＝1 cm，②DP＝(2－1) cm，理由如下：∵四边形AOBP是正方形，∴∠AOP＝45°，∵OA＝PA＝1 cm，OP＝ 2 cm，∴DP＝OP－1，∴DP＝(2－1) cm.故答案为：1；2－12.解：(1)证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD＋PD，又∵OA＝OD，∴PD＝OA，∵PD＝5，∴2OA＝2PD＝2 5.∴⊙O的直径为253.解：证明：(1)连接OD，如图①所示．∵OA＝OD，AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠ODA，∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AE∥OD.∵DE是⊙O 的切线，∴∠ODE ＝90°，∴OD ⊥DE ，∴DE ⊥AE(2)过点D 作DM ⊥AB 于点M ，连接CD ，DB ，如图②所示． ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AE ，DM ⊥AB ，∴DE ＝DM.在Rt △DAE 和Rt △DAM 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DM ，AD ＝AD ，∴Rt △DAE ≌在Rt △DAM(HL )，∴AE ＝AM.∵∠EAD ＝∠MAD ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD.在Rt △DEC 和Rt △DMB 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DM ，CD ＝BD ，∴Rt △DEC ≌Rt △DMB(HL )，∴CE ＝BM ，∴AE ＋CE ＝AM ＋BM ＝AB4.解：(1)连接OA ，OD ，∵点D 为CE 的下半圆弧的中点，∴OD ⊥BC ，∴∠EOD ＝90°，∵AB ＝BF ，OA ＝OD ，∴∠BAF ＝∠BFA ，∠OAD ＝∠D ，而∠BFA ＝∠OFD ，∴∠OAD ＋∠BAF ＝∠D ＋∠OFD ＝90°，即∠OAB ＝90°，∴OA ⊥AB ，∴AB 是⊙O 切线(2)OF ＝CF －OC ＝4－r ，在Rt △DOF 中，OD 2＋OF 2＝DF 2， 即r 2＋(4－r)2＝(10)2，解得r 1＝3，r 2＝1，∵OE ＞OF ，∴r ＞4－r ， 解得r ＞2，∴r 2＝1(舍去)，∴半径r ＝35.解：(1)连接OA ，∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC ＝90°，∵∠ADE ＝25°，∴∠AOE ＝2∠ADE ＝50°， ∴∠C ＝90°－∠AOE ＝90°－50°＝40°(2)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝2∠C ， ∵∠OAC ＝90°，∴∠AOC ＋∠C ＝90°，∴3∠C ＝90°，∴∠C ＝30°，∴OA ＝12OC ，设⊙O 的半径为r ，∵CE ＝2，∴r ＝12(r ＋2)， 解得：r ＝2，∴⊙O 的半径为26.解：(1)如图，连接OC ，OD ，∴OC ＝OD ，∵PD ，PC 是⊙O 的切线，∵∠ODP ＝∠OCP ＝90°，在Rt △ODP 和Rt △OCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC ，OP ＝OP ， ∴Rt △ODP ≌Rt △OCP ，∴∠DOP ＝∠COP ，∵OD ＝OC ，∴OP ⊥CD(2)连接OD ，OC ，∴OA ＝OD ＝OC ＝OB ＝2，∴∠ADO ＝∠DAO ＝50°，∠BCO ＝∠CBO ＝70°，∴∠AOD ＝80°，∠BOC ＝40°， ∴∠COD ＝60°，∵OD ＝OC ，∴△COD 是等边三角形，由(1)知，∠DOP ＝∠COP ＝30°，在Rt △ODP 中，OP ＝OD 32＝4337.解：(1)过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线(2)过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB ＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2＋FC2，∴DF＝DC2－FC2＝132－52＝12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是68.[解析]连结⊙C，因为PC为⊙0的切线，所以∠PC0=90°，在Rt∠OCP中，OC=1，∠P=30° ,所以OP= 20C=2，所以PB=OP-OB=2-1=1.9.答图解: (1)证明: ∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵AB是⊙0的切线,∴OB⊥AB,∴∠OBA= 90°，∴∠ABP+ ∠OBC= 90°，∵OC⊥AO,∴∠AOC= 90°，∴∠OCB+∠CPO= 90°,∵∠APB=∠CPO,∴APB=∠ABP, ∴AP= AB;(2)如答图,作OH ⊥BC 于H.在Rt △OAB 中,∵OB=4,AB=3， ∴5=,∵ AP= AB= 3，∴PO= 2.在Rt △POC 中= ∵11..OP,22PC OH OC =11..,22.5,,255PC OH OC OP OP OC OH PC CH OH BC CH BH BC CH BP BC PC =∴==∴==⊥∴=∴==∴=-=-=10.答图解: (1)证明:如答图，连结OD.∵AB是⊙0的直径，∴∠ACB= 90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠BOD= 2∠BCD，∠A= 2∠BCD,∴∠BOD=∠A，∵∠AED=∠ABC，∴∠BOD+ ∠AED= 90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙0相切;(2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.∵DE与⊙0相切，∴∠ACD+∠BCD=∠ODB+∠BDE= 90°，∴∠ACD=∠OBD，∠OBD=∠ODB，∴∠BDE=∠BCD,∵∠AED=∠ABC，∴∠AFC=∠DBF,∵∠AFC=∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，BF= 1，∴= 3,∴FH= BH=12在Rt△ODH中，0H2 + DH2=OD2,即(OD- 1)2+ 32= OD2,∴OD=5.即⊙0的半径是5.11.证明:(1)如图1，连接0E,∵OA=OE,∴∠EAO=∠ AEO,∵AE平分∠FAH,∴∠EAO=∠FAE,∴∠FAE=∠AEO,∴AF // OE,∴∠AFE+∠/ 0EF=180。
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
第二十四章 圆
专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
类型1 已知圆的切线，求角的度数或线段长 1．(山西中考)如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC 为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于 点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．
解：连接 OB，∵⊙O 与 AB 相切于点 B，∴OB⊥AB，∵四边形 ABCO 为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC，∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵
则点 D 为⊙M 与 x 轴的切点，即 PM＝MD，设 P(x，－34 x2＋94 x＋3)， M(x，－34 x＋3)，则 PD＝－34 x2＋49 x＋3，MD＝－34 x＋3，∴(－43 x2 ＋49 x＋3)－(－34 x＋3)＝－34 x＋3，解得 x1＝1，x2＝4(不合题意舍去)， ∴⊙M 的半径为 MD＝－43 ＋3＝94 ；当⊙M 与 y 轴相切时，如图②所示， 延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，则点 E 为⊙M 与 y 轴的切点，即 PM＝ME，PD－MD＝EM＝x，
6．(天水中考)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D. 过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
解：(1)证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD， ∴PA＝PC，∵OP＝OP，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线
圆的切线的判定练习题2024~2025学年人教版数学九年级上册++
切线的判定练习题1.如图，⊙O是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，点B为圆外一点，且∠BAD＝∠C．求证：AB是⊙O的切线．2.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．3.如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．4.如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：AD＝CD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AĈ=CD̂=DB̂，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．6.如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．7.如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．（1）求证：⊙D与AC相切；（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．8.如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是⊙O的切线．9.如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB上一点．以O为圆心，OB长为半径的⊙O过点C，交AB于另一点D．若D是OA的中点，求证：AC是⊙O的切线．10.如图所示，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，AD平分∠CAB交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，DE=√3，求线段AC的长．11.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G，求证：FG是⊙O的切线．12.如图，已知AB＝AC，以AB为直径的圆O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）如果∠BAC＝120°，求证：DE=14BC．13.如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，且∠A＝∠CDB＝∠COB．求证：CB是⊙O的切线．14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，∠ACB的平分线CO交AB于点O，以OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求⊙O的半径．。
初三圆的切线练习题及答案
初三圆的切线练习题及答案圆的切线是数学中的重要概念，初三学生需要通过练习来巩固和掌握相关的知识。
下面是一些圆的切线练习题及答案，供初三学生参考。
题目一：已知圆O的半径为6cm，A为圆上一点，B为圆上与A相对应的点，且AB为圆的直径。
点C为圆上任意一点,点D为OC的垂足。
求证：OC是∠ACD的平分线。
（解析）解：首先，连接OD、AD。
由于AB是圆的直径，所以∠BAD为直角。
因为AO、OD都是半径，所以AO=OD。
又因为∠OAD=∠ODA，所以△AOD是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，可知∠DAO=∠DOA。
又因为∠DAB=90°，所以∠ODA+∠DAB=90°。
所以∠ODA+∠DAB=∠DAO+∠DOA。
整理得到∠ODA=∠DAO。
因此，OC是∠ACD的平分线。
已知圆O的半径为8cm，切线AB与半径OC相交于点D，且CD = 14cm。
求证：AD = 2BD。
（解析）解：首先，连接OD、AO、BO。
根据切线与半径的性质，可知∠ODB=90°，∠OAB=90°。
所以△ODB与△OAB共边且有一个角是90°，因此△ODB≌△OAB。
根据等腰三角形的性质，可知OD=OA。
设AD=x，BD=y。
根据勾股定理可得：x²+y²=OD²①由于△ODB≌△OAB，所以AD=2y。
根据勾股定理可得：(2y)²+y²=OA²②由于OD=OA，所以OD²=OA²。
代入上式，得到：化简得到：x²=2y²由于AD=2y，所以x=2y。
所以AD=2BD。
答案一：OC是∠ACD的平分线。
答案二：AD = 2BD。
通过以上的练习题及答案，初三学生可以加强对圆的切线性质的理解与掌握。
希望同学们通过不断地练习与思考，能够熟练运用相关知识解决实际问题。
祝大家学习进步！。
九上数学切线练习题
九上数学切线练习题1. 已知圆的方程为 \(x^2 + y^2 = 4\)，求过点 \((1, \sqrt{3})\) 的圆的切线方程。
2. 给定函数 \(y = x^3 - 3x^2 + 2\)，求在 \(x = 1\) 处的切线方程。
3. 直线 \(y = 2x + 1\) 与抛物线 \(y^2 = 4x\) 相切，求切点坐标。
4. 已知直线 \(y = mx + b\) 与圆 \(x^2 + y^2 = 9\) 相切，且直线过点 \((0, 3)\)，求 \(m\) 和 \(b\) 的值。
5. 函数 \(y = \sin x\) 在 \(x = \frac{\pi}{4}\) 处的切线斜率是多少？6. 求曲线 \(y = e^x\) 在 \(x = 0\) 处的切线方程。
7. 已知点 \((2, 3)\) 在抛物线 \(y = ax^2 + bx + c\) 上，且该点处的切线斜率为 4，求 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 的值。
8. 直线 \(y = -x + 5\) 与圆 \(x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0\) 相切，求切点坐标。
9. 函数 \(y = \ln(x)\) 在 \(x = e\) 处的切线方程是什么？10. 已知圆 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\)，求过点 \((1, 2)\) 的圆的切线方程。
11. 函数 \(y = x^2 - 4x + 3\) 在 \(x = 2\) 处的切线斜率是多少？12. 求曲线 \(y = \sqrt{x}\) 在 \(x = 4\) 处的切线方程。
13. 已知直线 \(y = 3x - 2\) 与抛物线 \(y = x^2\) 相切，求切点坐标。
14. 函数 \(y = \tan x\) 在 \(x = \frac{\pi}{6}\) 处的切线斜率是多少？15. 求曲线 \(y = \cos x\) 在 \(x = 0\) 处的切线方程。
人教版九年级数学上册切线的判定与性质测试题
第2课时切线的判定与性质1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．3．下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线4．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置位置是（） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定6．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．7．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．9．在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为M（a，0），半径为2，如果⊙M与y轴相离，那么a的取值范围是______．10．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O•与菱形其它三边的位置关系是（） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定11．平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能12．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．13．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B•点，OC=BC，AC=12 OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．14．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．15．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF•与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD和FG的长度．答案:1．1，2，不存在 2．直角三角形 3．B 4．B 5．A 6．（1）略（2）37．（1）略（2）928．（1）略（2）1529．a>2或a<－210．C 11．C 12．（1）略（2）3．（1）略（262 14．提示：连结OA，证OA⊥AP15．（1）略（2）略（3），FG=3专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )A.316B.38C.58D.1316第7题图第8题图8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝15，AC＝9，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：(2)先从袋子中取出m 个红球，再放入m 个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m 的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________； (2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________； (3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6. 9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.1315．解：(1)4 2或3(2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14； (2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16； (3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13； (2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 5 22 23 2 5 2 32 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。
初三切线的判定练习题
初三切线的判定练习题切线是几何学中重要的概念，初三学生需要掌握切线的判定方法。
下面是一些初三切线的判定练习题，帮助同学们巩固知识。
题目一：已知圆O的半径为r，点P是圆O外的一点，且OP的长度大于r。
要判断点P到圆O的切线的存在性，请写出判断条件和步骤。
解答：判断条件：点P到圆心O的距离等于圆O的半径r。
步骤：1. 计算点P到圆心O的距离PO。
2. 比较PO和r的大小关系：a) 如果PO > r，则点P到圆O有两条切线。
b) 如果PO = r，则点P到圆O有一条切线。
c) 如果PO < r，则点P到圆O没有切线。
题目二：已知圆C1和C2相交于点A和点B，且A、B不重合。
若点X是圆C1上的一点，并且直线BX与圆C2相切于点Y，请写出判断BX与圆C1的切线的存在性的条件和步骤。
解答：判断条件：直线BX与圆C1相切的条件是点X到圆C1的圆心距离等于圆C1的半径。
步骤：1. 计算点X到圆C1圆心的距离CX。
2. 比较CX和C1的半径的关系：a) 如果CX = C1的半径，则直线BX与圆C1有一条切线。
b) 如果CX ≠ C1的半径，则直线BX与圆C1没有切线。
题目三：已知一个半径为r的圆O以点A为圆心，点P在圆O的外部。
从点P引两条切线分别与圆O相交于点B和点C，请写出判断角BAC是否为直角的条件和步骤。
解答：判断条件：角BAC为直角的条件是角BAC的对边BC的斜率等于-1。
步骤：1. 计算点B和点C的坐标。
2. 计算直线BC的斜率。
3. 比较直线BC的斜率与-1的关系：a) 如果直线BC的斜率为-1，则角BAC为直角。
b) 如果直线BC的斜率不为-1，则角BAC不是直角。
通过以上三组判断题的练习，相信同学们已经掌握了切线的判定方法。
在实际问题中，切线的判断能够帮助我们解决许多几何问题，加深对几何学知识的理解。
本文旨在帮助初三学生巩固切线的判定方法，并提供实际练习题。
希望同学们通过练习，能够熟练掌握切线的判定条件和步骤，进一步提高几何学的解题能力。
新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷
新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷并且可以用于解决一些圆的问题。
在圆O中，圆心角∠XXX和∠AEB相等，则弦AB和DE相等，弦BC和BD相等，弦AC和AD相等，且弦心距相等。
七、切线与切点1、切线定义：过圆上一点的直线称为圆的切线；2、切点定义：圆上与切线相切的点称为切点；3、定理：切线垂直于半径，切点在切线上，且切点到圆心的距离等于半径长。
在圆O中，点A在圆上，线段AB是圆O上的一条切线，点B是切点，且AB垂直于半径OA，AB上的点与圆心O的距离等于半径OA的长度。
参考答案：一、圆的概念集合形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合，圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合。
轨迹形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，以定点为圆心，定长为半径的圆。
垂直平分线是到线段两端距离相等的点的轨迹，角的平分线是到角两边距离相等的点的轨迹，到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线，到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系点在圆内的距离小于半径，点在圆上的距离等于半径，点在圆外的距离大于半径。
三、直线与圆的位置关系直线与圆相离的距离大于半径，直线与圆相切的距离等于半径，直线与圆相交的距离小于半径。
四、圆与圆的位置关系圆与圆外离的距离大于两圆半径之和，圆与圆外切的距离等于两圆半径之和，圆与圆相交的距离在两圆半径之差和之和之间，圆与圆内切的距离等于两圆半径之差，圆与圆内含的距离小于两圆半径之差。
五、垂径定理垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1包括平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
六、圆心角定理圆心角定理是指同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
人教版数学九年级上册有关《圆》切线的证明与计算精选20题(无答案)
人教版数学九年级有关《圆》切线的证明与计算精选20题1, 如图，已知：⊙O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 和⊙O 的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长。
2,如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．判断直线BD 与的位置关系，并证明你的结论.3,如图，PA 是⊙O 的切线，切点是A ，过点A 作AH OP ⊥于点H ，交⊙O 于点B ．求证：PB 是⊙O 的切线．PBAOHDCO AE4,如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，•且分别交OA，OB于点E，F．求证：AB是⊙O的切线．5,如图所示，△内接于，，∥且与的延长线交于点.(1)判断与的位置关系,并说明理由；(2)若∠120°，，求的长．6.如图所示，点D在O⊙的直径AB的延长线上，点C在O⊙上，且，∠°.（1）求证：CD是O⊙的切线；（2）若O⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积.7,如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．判断直线BD 与的位置关系，并证明你的结论.8,如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点P 是直径AB 上的一点（不与A ，B 重合），过点P 作AB 的垂线交BC 的延长线于点Q .（1）在线段PQ 上取一点D ，使DQ =DC ，连接DC ，试判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若cos B = 35，BP =6，AP =1，求QC 的长.9． Rt △ABC 中，∠B=90º，AB=6cm ，BC=8cm ，若以B 为圆心，以R 为半径作图，求当R 取何值时，⊙B 与直线AC 相切？D CO ABE10,如图所示，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD =CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E . （1）求证：CD 为⊙O 的切线;（2）若BD 的弦心距OF =1，∠ABD =30°，求图中阴影部分的面积.(结果保留π)11、已知：如图，△ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．求证：（1）AD ＝BD ； （2）DF 是⊙O 的切线．12,如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A 、C ，∠A=∠B=30º，边BD 交⊙O 于点D ，试说明BD 是⊙O 的切线。
2023-2024学年人教版九年级上册数学期末圆的切线证明题专题训练(无答案)
2023-2024学年人教版九年级上册数学期末圆的切线证明题专题训练1．如图，为的直径，点、都在上，且平分，过点作，交的延长线于点．(1)求证：是的切线．(2)延长交的延长线于点．若，，则的长为______．2．如图，在中，四边形为圆内接四边形，过作交延长线于，．AI(1)求证：为切线；(2)若，，求的半径长．3．如图，为的直径，点C 、D 都在上，过点D 作，交的延长线于点E ．AB O e C D O e BD ABC ∠D DE BC ⊥BC E DE O e ED BA F 30F ∠=︒8AB =BE O e ABCD D DE BC ⊥BC E 2180B A ∠+∠=︒DE O e 1CE =8BC =O e AB O e O e DE BC ⊥BC(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径．(1)求证：为的切线；(2)若，AC O e 3AC =O e EF O e 4AB =2BDC ∠=∠(1)直线与相切吗？并说明理由；(2)若，求的长．7．如图，是的直径，为的切线，D 为上的一点，，延长交的延长线于点E ．(1)求证：为的切线；(2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）8．如图，在，，的平分线交于点，过点作直线的垂线交于点，是的外接圆．BE O e 24CA CD ==，DE AB O e BC O e O e CD CB =CD BA CD O e 2==EA AO πABC V 90C = ∠ABC ∠BE AC E E BE AB F O e BEF △(1)求证：是的切线；(2)过点作于点，求证：平分；(3)求证：．9．如图，为的直径，点为上一点，垂直过点的直线，垂足为点，且平分．(1)如图1，求证：是的切线；(2)如图2，若与交于点，连接，交于点，若，，求的长．10．如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点．连接，，与的延长线相交于点．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若，，请直接写出_____．AC O e E EH AB ⊥H EF AEH ∠CD HF =AB O e C O e BD C l D BC DBA ∠CD O e BD O e E AE BC F 2DE =8AE =AB AB O e C BD AC BD E BC BCF BAC ∠=∠CF AB F CF O e ACD F ∠=∠10AB =6BC =AD =(1)求证：与(2)若，(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积．(1)求证：直线是的切线；(2)若，求BE 2CA =AC O e 3CF =33CE =PQ O e 62AD EC ==,CD(1)求证：是的切线；(2)若，求15．如图，是的直径，(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．CE O e 6,2AB CD ==BD O e AC O e 3AD =32AE =O e(1)证明：是的切线；(2)若，(1)求证：是的切线；(2)若，，求GF O e 6AG =63GE =CF O e 10AB =6BC =19．已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，．(1)求证：直线是的切线；(2)若，垂足为，的半径为，求的长．20．如图，为的直径，点是的中点，过点作射线的垂线，垂足为点E ．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长；(3)在（2）的条件下，若，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．BC O e D BC AB AD =AE O e 30AEC ∠=︒AD O e AE BC ⊥M O e 10AE AB O e C »AD C BD CE O e »»3,CB BE D D ==BC 4AB =π。
人教版九年级数学上册《圆的切线》题组训练(含答案解析)
提技能·题组训练切线的判定1.如图,△ABC的一边AB是☉O的直径,请你添加一个条件,使BC是☉O的切线,你所添加的条件为.【解析】当△ABC为直角三角形时,即∠ABC=90°时,BC与圆相切,∵AB是☉O的直径,∠ABC=90°,∴BC是☉O的切线(经过半径外端,与半径垂直的直线是圆的切线).答案:∠ABC=90°2.如图,已知点A是☉O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于点B,OC=BC,AC=OB.则AB (填“是”或“不是”)☉O的切线.【解析】连接OA,∵OC=BC,AC=OB,∴∠OAB=90°,∴AB是☉O的切线.答案:是3.如图,点A,B,D在☉O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°,直线BC与☉O的位置关系为.【解析】∵∠A=25°,∴∠BOD=50°,又∵∠OCB=40°,∴∠OBC=90°,∴BC为☉O的切线.答案:相切4.(2013·牡丹江中考)如图,点C是☉O的直径AB延长线上的一点,且有BO=BD=BC.(1)求证:CD是☉O的切线.(2)若半径OB=2,求AD的长.【解析】(1)连接OD,如图,则有BO=BD=BC=DO,∴∠C=∠CDB,∠DOB=∠BDO.又∵∠C+∠CDB+∠DOB+∠BDO=180°,∴∠CDB+∠BDO=90°,即∠CDO=90°,∴CD是☉O的切线.(2)∵OB=2,∴BD=OB=2,AB=4.∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴AD=2.【方法技巧】证明一条直线是圆的切线的常用方法1.当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称“作半径,证垂直”.2.当直线和圆公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直,证半径”.切线的性质1.(重庆中考)如图,AB是☉O的切线,B为切点,AO与☉O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为( )A.40°B.50°C.65°D.75°【解析】选C.∵AB是☉O的切线,∴∠OBA=90°,∴∠O=90°-∠BAO=90°-40°=50°,又∵O B=OC,∴∠OCB=∠OBC=(180°-50°)=65°.2.(2013·黔西南州中考)如图所示,线段AB是☉O的直径,∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于( )A.50°B.40°C.60°D.70°【解析】选A.连接OC,∵CE为切线,∴∠OCE=90°,∵∠CDB=20°,∴∠COE=40°,∴∠E=50°.3.(济南中考)如图,AB是☉O的直径,点D在☉O上,∠BAD=35°,过点D作☉O的切线交AB的延长线于点C,则∠C= .【解析】连接OD,则∠ODC=90°,∠DOC=2∠BAD=70°,因此∠C=90°-70°=20°.答案:20°4.(永州中考)如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A,若∠MAB=30°.则∠B= .【解析】连接OA,则OA⊥MN,由于∠MAB=30°,所以∠OAB=90°-30°=60°,而OA=OB,所以∠B=∠OAB=60°.答案:60°5.如图,AB为☉O的直径,BC切☉O于B,CO交☉O于D,AD的延长线交BC于E,若∠C=25°,求∠A的度数.【解析】∵AB为☉O的直径,BC切☉O于B,∴∠ABC=90°.∵∠C=25°,∴∠BOC=65°.∵∠A=∠BOD,∴∠A=32.5°.【知识归纳】关于切线性质的五点理解1.切线与圆只有一个公共点.2.切线和圆心的距离等于半径.3.切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.注意:对于任意一条直线,如果具备下列条件中的两个,就可以推出第三个结论:①垂直于切线;②经过切点;③经过圆心.【错在哪？】作业错例课堂实拍如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上,且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么☉P与直线CD相切时运动时间为秒.(1)错因:.(2)纠错:.答案：(1)☉P在点O的左右两边各相切一次,本题错在只考虑了一种情况,而遗漏另一种情况(2)作PE⊥CD于E.若☉P与直线CD相切,则PE=1,当点P在OA上时,此时OP=2PE=2,则☉P需要移动6-2=4(cm),需要时间4s;当点P在OB上时,此时OP=2PE=2,则☉P需要移动6+2=8(cm),需要时间8s。
人教版九年级上册数学圆的切线相关证明题训练
人教版九年级上册数学圆的切线相关证明题训练 1．如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，点C 是切点，弦CF AB ⊥于点E ，连接AC ．(1)求证：AC 平分DCF ∠；(2)若AD CD ⊥，2BE =，8=CF ，求AD 的长．2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC =CD ，AC 与BD 相交于点E ．连接BC ，⊙BCF =⊙BAC ，CF 与AB 的延长线相交于点F ．(1)求证：CF 是⊙O 的切线；(2)求证：⊙ACD =⊙F ；(3)若AB =10，BC =6，求AD 的长．3．如图AB 是圆O 的弦，过点O 做OC ⊥OA ，OC 交AB 于点P ，且CB ＝CP ．(1)求证：BC 是圆O 的切线；(2)已知∠BAO ＝25，点Q 是圆O 上的一点（与点A ，B 不重合）⊙求∠AQB 的度数；⊙若OA ＝12，求AmB 的长．4．已知AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP ．(1)如图⊙，⊙OPC 的最大面积是________；(2)如图⊙，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．5．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，延长CA 到点D ，以AD 为直径作O ，交BA 的延长线于点E ，延长BC 到点F ，使BF EF =．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若9OC =，4AC =，8AE =，求BE 的长．6．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．(1)求证：CD 是B 的切线；(2)若AB =60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．7．如图，AB 为半圆的直径，点O 为圆心，BC 为半圆的切线，连接OC ，过半圆上的点D 作AD ⊙OC ，连接BD ．BA 、CD 的延长线相交于点E ．(1)求证：DC是O的切线；(2)若4ED=，AE=，8⊙求O的半径．⊙将ABD∆以点A为中心逆时针旋转120︒，求AB扫过的图形的面积（结果用π表示）．8．已知⊙ABC内接于⊙O，AB＝AC，⊙BAC＝42°，点D是⊙O上一点．(1)如图⊙，若BD为⊙O的直径，连接CD，求⊙DBC和⊙ACD的大小；(2)如图⊙，若CD⊙BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求⊙E的大小．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．(1)求证：FG与⊙O相切；(2)连接EF，若AF＝2，求EF的长．10．如图，AB 为⊙O 的直径，过圆上一点D 作⊙O 的切线CD 交BA 的延长线与点C ，过点O 作//OE AD 交CD 于点E ，连接BE ．(1)直线BE 与⊙O 相切吗？并说明理由；(2)若2CA =，4CD =，求DE 的长．11．如图，点A 、B 、C 在半径为6的⊙O 上，过点B 作BD //AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且⊙BCA ＝⊙OAC ＝30°．(1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)求图中阴影部分的面积．12．已知AB 为O 的直径，6AB =，C 为O 上一点，连接,CA CB ．(1)如图⊙，若C 为AB 的中点，求CAB ∠的大小和AC 的长；(2)如图⊙，若2,AC OD =为O 的半径，且OD CB ⊥，垂足为E ，过点D 作O 的切线，与AC 的延长线相交于点F ，求FD 的长．13．如图，ABC 内接于O ，45ACB ∠=︒，AD 是O 的直径，过点B 作AD 的平行线，交AC 的延长线于点P ．(1)求证：PB 是O 的切线．(2)若2AB =，30CAB ∠=︒，则BC 的长为_________．（结果保留π）14．如图，在BCE 中，点A 是边BE 上一点，以AB 为直径的O 与CE 相切于点D ，AD OC ∥，点F 为OC 与O 的交点．(1)求证：CB 是O 的切线；(2)连接DB 与OC 交于点G ，2FG =，BD =15．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上两点，C 是BD 的中点，过点C 作AD 的垂线，分别交AB与AD的延长线于点E和点F．(1)求证：EF是O的切线；(2)若9,AE CE==AC的长．16．在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，⊙ABC＝63°．(1)如图⊙，若⊙APC＝100°，求⊙BAD和⊙CDB的大小；(2)如图⊙，若CD⊙AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求⊙E的大小．图⊙图⊙17．已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，⊙BAC=36°．(1)如图⊙，若CD平分⊙ACB，连接BD，求⊙ABC和⊙CBD的大小；(2)如图⊙，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE=AC，求⊙P的大小．18．如图，在Rt⊙AOB 中，⊙AOB ＝90°，⊙O 与AB 相交于点C ，与AO 相交于点E ，连接CE ，已知⊙AOC ＝2⊙ACE ．(1)求证：AB 为⊙O 的切线；(2)若AO ＝20，BO ＝15，求AE 的长．19．如图，ABC 内接于O ，AC 是O 的直径，点D 是O 上一点，连接CD 、AD ，过点B 作BE AD ⊥，交DA 的延长线于点E ，AB 平分CAE ∠．(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若30ACB ∠=︒，O 的半径为6，求BE 的长．20．如图，AB ＝2，射线BM AB ⊥，点P 为BM 上一点，以BP 为直径作C ，点D 在C 上，AD ＝AB ，连接PD ，点Q 为弦PD 上一点，射线QC 交C 于点E ．(1)求证：AD 为C 的切线；(2)若30ACB ∠=︒，求劣弧PD 的长．。
人教版九年级数学上册《圆》阶段方法专训 证明圆的切线的七种常用方法
阶段方法专训 (2)求线段 AC 的长． 解：在 Rt△BED 和 Rt△FCD 中， DE＝DC， DB＝DF， ∴Rt△BED≌Rt△FCD(HL)．∴BE＝CF＝2. ∵∠B＝90°，BD 是半径，∴AB 是⊙D 的切线． 又∵AF 切⊙D 于 F，∴AF＝AB＝5. ∴AC＝AF＋CF＝5＋2＝7.
阶段方法专训 证明：连接 OC. ∵⊙O 的直径 AB＝12，∴OB＝OC＝6. ∵PB＝4，∴PO＝10. 在△POC 中，PC2＋CO2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100， ∴PC2＋OC2＝PO2. ∴∠OCP＝90°，即 OC⊥PC. 又∵OC 是半径，∴PC 是⊙O 的切线．
阶段方法专训 2．(2018·青海)如图，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，CD 是⊙O
阶段方法专训 7．如图，四边形 ABCD 中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＋BC＝CD，
以 AB 为直径作⊙O.求证：⊙O 与边 CD 相切．
阶段方法专训 证明：如图，连接 DO 并延长，交 CB 的延长线于点 E. 易证△AOD≌△BOE(ASA)， ∴AD＝BE，∠E＝∠ADO. ∵AD＋BC＝CD，∴CD＝CE. ∴∠E＝∠CDE＝∠ADO. 作 OF⊥CD 于点 F，∴易得 OF＝OA. ∴⊙O 与边 CD 相切．
阶段方法专训 4．如图，已知四边形 OABC 的三个顶点 A，B，C 在以 O 为圆
心的半圆上，过点 C 作 CD⊥AB，分别交 AB，AO 的延长线 于点 D，E，AE 交半圆 O 于点 F，连接 CF，且∠E＝30°， 点 B 是A︵C的中点． (1)判断直线 DE 与半圆 O 的位置关系，并说明理由；
人教版 九年级上
第二十四章 圆
阶段方法专训 证明圆的切线的七种常用方法
九年级数学上册24圆小专题十二与圆的切线有关的计算与证明练习新人教版
小专题(十二) 与圆的切线有关的计算与证明1．如图，I 是△ABC 的内心，∠1＋∠2＝65°，求∠BAC 的度数．2．(黄石中考)如图，⊙O 的直径AB ＝4，∠ABC ＝30°，BC 交⊙O 于D ，D 是BC 的中点．(1)求BC 的长；(2)过点D 作DE⊥AC，垂足为E ，求证：直线DE 是⊙O 的切线．3．如图，AB ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE⊥BC，垂足为E.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)作DG⊥AB 交⊙O 于G ，垂足为F ，若∠A＝30°，AB ＝8，求弦DG 的长．4．如图所示，MN 是⊙O 的切线，B 为切点，BC 是⊙O 的弦且∠CBN＝45°，过C 的直线与⊙O，MN 分别交于A ，D 两点，过C 作CE⊥BD 于点E.(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若∠D＝30°，BD ＝2＋23，求⊙O 的半径r.5．已知直线l 与⊙O，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥l 于点D.(1)如图1，当直线l 与⊙O 相切于点C 时，若∠DAC＝30°，求∠BAC 的大小；(2)如图2，当直线l 与⊙O 相交于点E ，F 时，若∠DAE＝18°，求∠BAF 的大小．6．如图，⊙O 是边长为6的等边△ABC 的外接圆，点D 为BC ︵的中点，过点D 作DE∥BC，DE 交AC 的延长线于点E ，连接AD ，CD.(1)DE 与⊙O 的位置关系是________；(2)求△ADC 的内切圆半径r.7．(桂林中考)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，AB ＝4，PC ，PD 是⊙O 的两条切线，C ，D 为切点．(1)如图1，求⊙O 的半径；(2)如图1，若点E 是BC 的中点，连接PE ，求PE 的长度； (3)如图2，若点M 是BC 边上任意一点(不含B ，C)，以点M 为直角顶点，在BC 的上方作∠AMN＝90°，交直线CP 于点N ，求证：AM ＝MN.参考答案1．∵I 是△ABC 的内心，∴∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠ACB. ∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)． ∵∠1＋∠2＝65°，∴∠ABC ＋∠ACB＝65°×2＝130°.∴∠BAC ＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－130°＝50°.2.(1)连接AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又∠ABC＝30°，AB ＝4，∴BD ＝2 3.∵D 为BC 的中点，∴BC ＝2BD ＝4 3.(2)证明：连接DO ，∵D ，O 分别为BC ，AB 的中点，∴DO 是△ABC 的中位线．∴DO∥AC.又∵DE⊥AC，∴DO ⊥DE.又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 是⊙O 的切线．3.证明：(1)连接OD.∵OA ＝OD ，∴∠A ＝∠ODA.又∵AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C.∴∠ODA＝∠C.∴DO∥BC，∵DE ⊥BC ，∴OD ⊥DE.又点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线．(2) ∵∠A＝30°，∴∠DOF ＝2∠A＝60°.又DG⊥AB，且OD ＝12AB ＝4， ∴OF ＝12OD ＝2. ∴DF ＝DO 2－OF 2＝42－22＝23，4.(1)证明：连接OB ，OC.∵MN 是⊙O 的切线，∴OB ⊥MN.∵∠CBN ＝45°，∴∠OBC ＝45°，∠BCE ＝45°.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB＝45°.∴∠OCE ＝90°.又∵点C 在⊙O 上，∴CE 是⊙O 的切线．(2)∵OB⊥BE，CE ⊥BE ，OC ⊥CE ，∴四边形BOCE 是矩形，又OB ＝OC ，∴四边形BOCE 是正方形．∴BE ＝CE ＝OB ＝OC ＝r.在Rt △CDE 中， ∵∠D ＝30°，CE ＝r ，∴DE ＝3r.∵BD ＝2＋23，∴r ＋3r ＝2＋23，∴r ＝2，即⊙O 的半径为2.5.(1)连接OC.∵直线l 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥l ，得∠OCD＝90°.由AD⊥l，得∠ADC＝90°.∴AD ∥OC ，∴∠ACO ＝∠DAC.在⊙O 中，由OA ＝OC ，得∠BAC＝∠ACO，∴∠BAC ＝∠DAC＝30°.(2)连接BF.∵∠AEF 为Rt △ADE 的一个外角，∠DAE ＝18°，∴∠AEF ＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°.在⊙O 中，四边形ABFE 是圆内接四边形，有∠AEF＋∠B＝180°.∴∠B ＝180°－108°＝72°.由AB 是⊙O 的直径，得∠AFB＝90°.∴∠BAF ＝90°－∠B＝18°.6.(1)相切 (2)∵D 为BC ︵的中点时，有BD ︵＝DC ︵，∴∠BAD ＝∠DAC＝30°，又AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，∴AD 为⊙O 的直径．∴∠ACD＝90°.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，设DC ＝x ，则AD ＝2x.由勾股定理得AD 2＝DC 2＋AC 2，即(2x)2＝x 2＋62.解得x ＝2 3. ∴DC ＝2 3.∴AD ＝2DC ＝4 3.作Rt △ADC 的内切圆⊙O′，分别切AD ，AC ，DC 于F ，G ，H 点，易知CG ＝CH ＝r ， ∴AG ＝AF ＝6－r ，DH ＝DF ＝23－r.∵AF ＋DF ＝AD ， ∴6－r ＋23－r ＝4 3.∴r ＝3－ 3.7.(1)连接BD ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，∠BAD ＝90°，∴BD 为⊙O 的直径．在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝4， ∴BD ＝AB 2＋AD 2＝42＋42＝4 2.∴⊙O 的半径为2 2.(2)连接EO ，OC ，OP ，∵PC ，PD 是⊙O 的两条切线，C ，D 为切点，∴∠ODP ＝∠OCP＝90°.∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，∴∠DOC ＝90°，OD ＝OC ，∴四边形DOCP 是正方形，∴OP ＝OD 2＋PD 2＝（22）2＋（22）2＝4，∠POC ＝45°. ∵点E 是BC 的中点，∴OE ⊥BC ，EC ＝12BC ＝12×4＝2，OE ＝12DC ＝12×4＝2. ∴∠EOC＝45°.∴∠EOP ＝90°.在Rt △OPE 中，∠EOP ＝90°，OE ＝2，OP ＝4， ∴PE ＝OE 2＋OP 2＝2 5.(3)证明：在AB 上截取AF ＝MC ，连接OC 、OD.∵AB ＝BC ，∴BF ＝BM.∵∠B＝90°，∴∠BFM ＝∠BMF＝45°.∴∠AFM ＝135°.又∵在正方形OCPD 中，∠DCN ＝45°，∴∠MCN ＝∠AFM＝135°，∵∠AMN ＝90°，∴∠AMB ＋∠CMN＝90°.∵∠B ＝90°，∴∠AMB ＋∠BAM＝90°.∴∠MAB ＝∠CMN.∴△AFM≌△MCN.∴AM ＝MN.。
2021年人教版数学九年级上册《切线的性质与判定》证明题专项练习(含答案)
人教版数学九年级上册《切线的性质与判定》证明题专项练习1.如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是弧DE的中点.（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA=6，求PB的长2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若CF=2，CE=4，求⊙O的半径.3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．4.如图，Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，⊙O为△ADB的外接圆，DH⊥AB于点H，现将△AHD沿AD翻折得到△AED，AE交⊙O于点C，连接OC交AD于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=10，求线段OG的长．5.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．6.如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AC=4，CE=2，求⊙O半径的长．7.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.8.如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE.9.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长.10.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF=2，DF=4，求⊙O的直径的长.11.如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．(1)求的度数．(2)如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF=AB，求∠OCE的度数．12.如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE 的延长线于点F，已知BC=8，DE=2.(1)求⊙O的半径；(2)求CF的长.13.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．15.已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．16.如图,已知直线PA交⊙0于A、B两点,AE是⊙0的直径.点C为⊙0上一点,且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA,垂足为D.(1)求证：CD为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB的长度.17.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）已知：CD=1，EH=3，求AF的长.18.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF.参考答案1.（1）证明：连接DE，OA.∵PD是直径，∴∠DEP=90°，∵PB⊥FB，∴∠DEP=∠FBP，∴DE∥BF，∵，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直线l是⊙O的切线.（2）作OH⊥PA于H.∵OA=OP，OH⊥PA，∴AH=PH=3，∵OA∥PB，∴∠OAH=∠APB，∵∠AHO=∠ABP=90°，∴△AOH∽△PAB，2.（1）证明：连接OE.∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠EBC，∴∠EBC=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠C，∵∠ACB=90°，∴∠OEA=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r.过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH=CE=4，CH=OE=r，∴BH=FH=CH－CF=r－2，在Rt△BHO中，∵OH2+BH2=OB2，∴42+（r－2）2=r2，解得r=5.∴⊙O的半径为5.3.解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB=DH，∴AC与⊙D相切4.解：（1）连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，由翻折得：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，∴∠ODA=∠EAD，∴OD∥AE，∴∠E+∠ODE=180°，∴∠ODE=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵将△AHD沿AD翻折得到△AED，∴∠OAD=∠EAD=30°，∴∠OAC=60°，∵OA=OD，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOG=60°，∵∠OAD=30°，∴∠AGO=90°，∴OG=2.5．5.（1）证明：连接OB，如图所示：∵E是弦BD的中点，∴BE=DE，OE⊥BD，=，∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，∴OC==10，∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，∴BE===4.8，∴BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6．6.解：（1）连接OA，∵∠ADE=25°，∴由圆周角定理得：∠AOC=2∠ADE=50°，∵AC切⊙O于A，∴∠OAC=90°，∴∠C=180°﹣∠AOC﹣∠OAC=180°﹣50°﹣90°=40°；（2）设OA=OE=r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2=OC2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，答：⊙O半径的长是3．7.（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°.（2）证明：如图，连接OC，OD、AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线.8.（1）证明：如图1，连结OC，∴OC=OA=OB.∴点C 在⊙O 上，∵BD=OB ，∴AB=DO ，∵CD=CA ，∴∠A=∠D ，∴△ACB ≌△DCO ，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：如图2，在Rt △ABC 中，BC=ABsin ∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4.9.解：(1)证明：如图，连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO ＋∠OCB=90°.∵OA=OC ，∠BCD=∠A ，∴∠ACO=∠A=∠BCD ，∴∠BCD ＋∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴OC ⊥CD.又∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线.(2)由(1)及已知得∠OCD=90°，OB=OC=3，CD=4，在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD=5，∴BD=OD －OB=5－3=2.10.解：(1)证明：如图，连接OD ，CD.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°.又∵E 为BC 的中点，∴DE=12BC=CE ，∴∠EDC=∠ECD.∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠EDC＋∠ODC=∠ECD＋∠OCD=∠ACB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE.又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线.(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，根据勾股定理，得OD2＋DF2=OF2，即x2＋42=(x＋2)2，解得x=3.∴⊙O的直径的长为6.11.解：(1)连接OB，∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，∴OB⊥OA，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，∴的度数为45°；(2)连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH=t，∵OH⊥EC，∴EF=2HE=2t，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=CO=EF=2t，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA=t，则HO===t，∵OC=2OH，∴∠OCE=30°．12.解：(1)设⊙O的半径为x，∵E点是的中点，O点是圆心，∴OD⊥BC，DC==4，在Rt△ODC中，OD=x﹣2，∴OD2+DC2=OC2∴(x﹣2)2+42=x2∴x=5，即⊙O的半径为5；(2)∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥CF又∵E是的中点.∴OD⊥BC，∴OC2=OD•OF，即52=3•OF,∴在Rt△OCF中，OC2+CF2=OF2∴13.解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN=．14.解：15.解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°﹣108°=72°，∴∠BAF=90°﹣∠B=90°﹣72°=18°．16. (1)证明：连接OC,∵点C在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO。
人教版九年级上册数学圆的切线相关证明题练习
人教版九年级上册数学圆的切线相关证明题练习1．如图，以△ABC 的边BC 为直径作△O ，点A 在△O 上，点D 在线段BC 的延长线上，AD ＝AB ，△D ＝30°．(1)求证：直线AD 是△O 的切线；(2)若直径BC ＝4，求图中阴影部分的面积．2．如图，O 是ABC 的外接圆，其切线AE 与直径BD 的延长线相交于点E ，且60ACB ∠=︒．(1)求证：AE AB =；(2)若2DE =，求O 的半径．3．图，AB 为△O 的直径，C 为△O 上一点，CD 垂直AB,垂足为D ，在AC 延长线上取点E，使，CBE=，BAC，4．如图，BE为△O的直径，点A和点D是△O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使△EAC=△ED A．(1)求证：AC是△O的切线；(2)若AD△BC于点F，DE=4，OF=2，求图中阴影部分的面积．5．如图，AB为△O的切线，B为切点，过点B作BC△OA，垂足为点E，交△O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．(1)求证：AC为△O的切线；(2)若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．6．如图，在Rt△ABC中，△ABC＝90°，△BAC的平分线交BC于点O，D为AB上的一点，OD＝OC，以O为圆心，OB的长为半径作△O．7．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ，以点A 为圆心，AB 为半径的△O 交AC 于点E ，12CBE CAB ∠=∠．(1)求证：BC 是△A 的切线；(2)△当CE ＝______时，四边形ABCD 是正方形；△当CE ＝______时，以点A ，B ，E ，D 为顶点的四边形是菱形．8．如图，AB 、CD 为O 的直径，AB CD ⊥，点E 为BC 上一点，点F 为EC 延长线上一点，FAC AEF ∠=∠．连接ED ，交AB 于点G ．(1)证明：AF 为O 的切线；(2)证明：AF AG =；(3)若O 的半径为2，G 为OB 的中点，AE 的长．9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分BC ，BE 平分△ABC 交AD 于点E ．点O 在AB 边上，以点O 为圆心的△O 经过B 、E 两点，交AB 于点F ．(1)求证：AE 是△O 的切线；(2)若△BAC ＝60°，AC ＝12，求阴影部分的面积．10．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线MN ，使得∠=∠ACN ABC ．(1)求证：直线MN 是O 的切线．(2)点D 为直线MN 上一点，连接AD ，交O 于点E ，若AC 平分BAD ∠，3,2==DE AC CD ，求图中阴影部分（弓形）的面积．11．如图，ABC 为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，点D 为O 上一点，且12ABD BAC ∠=∠，过点D 作DE BC ∥交CA 的延长线于点E ．(1)求证：DE 为O 的切线；(2)若8,12AE DE ==，求O 的半径．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)求BD 的长．13．如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上一点，连接AC ，BC ，CBD BAC =∠∠．且CD BD ⊥．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若2BC =，BD π）．14．如图1，AB 是△O 的直径，C ，D 是△O 上的点，连接CB ，CD ，延长CA ，BD 交于点E ，△BDC =2△ABE ．(1)求证：AE =AB ；(2)如图2，过点D 作△O 的切线交AE 于点F ，若DF =52，CD =132，求EF 长．15．如图1，四边形ABCD 内接于△O ，AD 为直径，过点C 作CE △AB 于点E ，连接AC ．(1)求证：△CAD ＝△ECB ；(2)若CE 是△O 的切线，△CAD ＝30°，连接OC ．如图2，当AB ＝2时，求AD 、AC 与弧CD 围成阴影部分的面积．16．已知AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，点P 为圆O 外一点，且OP BC ∥，P BAC ∠=∠．(1)求证：P A 为圆O 的切线；(2)如果2OP AB ==，求AC 的长．17．如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连接AD ，BD ．(1)如图1，连接OC ．若58ADC ∠=︒，求CDB ∠及COB ∠的大小；(2)如图2，过点C 作O 的切线，交DB 的延长线于点E ，连接OD ．若2ABD CDB ∠=∠，求CED ∠的大18．如图，已知点D在△O的直径AB延长线上，CD为△O的切线，过D作ED AD⊥，与AC的延长线相交于E．(1)求证：CD＝DE；(2)若BD＝1，DE△ADE的面积；(3)在（2）的条件下，作ACB∠的平分线CF与△O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．19．如图，AB为△O的直径，CD是△O的弦，点E在AB的延长线上，连接OC、AD，CD△AB。
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圆的切线证明及计算
一、知识回顾
1、切线证明的两种主要类型：
（1）已知直线经过圆上某一点，辅助性的作法是连接圆心和这一点，判定方法是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。
（2）未知直线是否经过圆上的某一点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段，判定方法是：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
2、圆的有关计算：经常用到垂径定理、勾股定理等。
二、例题讲解：
例1：如图1，在Rt △ABC 中，C 90∠=o
,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥. （１） 求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线； （２）若26,62==AE AD ，求EC 的长.
注：（1）角平分线、平行于角平分线一边的直线、等腰三角形中，任意两个作为条件都可以推导出第三个。
（2）直角三角形中的特殊边角关系的应用。
例2：如图2，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆。
求证：（1）AC 是⊙D 的切线；
（2）AB+EB=AC 。
证明：（1）过点D 作DF ⊥AC 于F.
∵AB 为⊙D 的切线, AD 平分∠BAC, ∴BD=DF .
∴AC 为⊙D 的切线 .
（2）在△BDE 和△DCF 中, ∵BD=DF, DE=DC,
∴△BDE ≌△DCF （HL ）, ∴EB=FC .
又AB=AF, ∴AB+EB=AF+FC, 即AB+EB=AC .
三、课堂练习：
1、如图3，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，在∠ACD 的外部作∠ACE=∠ACD ，CE 的反向延长线交AB 的延长线于点P ．（1）求证：PE 是⊙O 的切线；（2）若PC=4，PA=8，求sinP 的值．
2、如图4，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D,AB ＝5,EB ＝3.
求证:⑴AC 是⊙O 的切线；
⑵求线段AC的长.
3、如图5，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线
BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB = 15，EF = 10，求AE的长．
4、已知：如图6，∠ACB=60°，CE为∠ACB的角平分线，O为射线CE上的一
点，⊙O切AC于点D．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为6，P为⊙O上一点，且使得∠DPC=90°，求DP的长．5、如图7，在边长为4的正方形ABCD中，以AD为直径作⊙O，以C为
圆心，CD长为半径作⊙C，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F.
(1)求证：CF与⊙O相切；
（2）求△BCF和直角梯形ADCF周长之比.
四、课后作业：
1、如图8，AB为⊙O的直径，D是⊙O 外一点，AD交⊙O于C，AE平分∠BAD交⊙O于E，AD⊥ED于D。
（1）求证：DE为⊙O的切线。
（2）若CE∥AB,AB=10,求CD的长
2、如图9，已知点C是线段BD上一点，分别以线段BC和线段DC为边在同侧做等边三角形ABC和等边三角形CDE，⊙O是△ABC的外接圆.
⑴求证：CE是⊙O的切线；
⑵若△CDE的边DE所在直线恰好与⊙O相切，线段BD=4，求⊙O的半径.
3、如图10，AB是⊙O的直径，AC是弦，弦AE平分∠CAB，ED⊥AC于D，
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，DE＝4，求AC的长。
中，∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于D,OE∥AB交4、如图11，Rt ABC。