函数的对称性

函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性， 同时又有着优美的对称关系式
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=F(x)图像关于直线x=0对称
Y
从”数”的角度看， F(-x)=F(x)
F (1) F (1) F (2) F (2) F ( x) F ( x)

证明:
()
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0))
? P’
2a-x0
P(x0,y0)
设P’是P关于直线x=a的对称点 P’(2a-x0,y0) 由f(x)图像关于x=a对称 P’也在y=f(x)图像上 y0=f(x0)
x0
xa
f(2a-x0)=f(x0)
F(x)=F(2a-x)
F(a-x)=F(a+x)
y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称
F(x)+F(2a-x)=2b
F(a-x)+F(a+x)=2b
数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般
3.类比思想
知识迁移：
已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
函数 f ( x)图像关于x a轴对称
f (a x) f (a x) x D
（必要性） 证明：

xx -1 -3 -2
x
x x 1
x2
3
4
5
6
-x
-3 -2 -1 1 2
x
F (1) F (1) F (2) F (2)
f (6 x) f (6 x)
P’(2a-x0, y0)
代入y=f(x)
f(2a-x0)=f(x0)= y0
xa
f(2a-x0)=y0 P’在f(x)的图像上 函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看， y=F(x)图像关于(0,0)中心对称
y

从”数”的角度看， F(-x)+F(x)=0
-x
o
x a
x
类比探究
中心对称性
从”数”的角度看， F(x)+F(2a-x)=0
从”形”的角度看， y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
y
2a-x o
a
x
x
类比探究
谢谢!
奇函数
函数图像关于(0,0)中心对称 F(-x)=-F(x) 即：F(-x)+F(x)=0
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a+x)+F(a-x)=0
a
函数图像关于(a,0)中心对称
x
x2
2 3 4 5
f(x)=f(4-x)
6
x
从”形”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
Y
从”数”的角度看，
f(x)=f(4-x) f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
f ( x)

对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
-3 -2 -1 0 1
x
x2
中心对称性
从”形”的角度看， y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
y

从”数”的角度看， F(x)+F(2a-x)=0
F(a-x)+F(a+x)=0
b
a-x o
a
a+x
x
类比探究
中心对称性
y=F(x)图像关于(a,b)中心对称

y
F(x)+F(2a-x)=2b F(a+x)+F(a-x)=2b
2 3 4 5 6 7
x
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称
Y
f(x)=f(-2-x)
-2-x
-3 -2 -1 1
x
2 3 4 5 6 7 8
x
x=-1
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称
Y
f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)

-1-x
-3 -2 -1
xa
P’(2a-x0,y0)代入y=f(x) Y0=f(2a-x0)
函数图像关于直线x=0对称
函数图像关于(0,0)中心对称
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称 F(a-x)=F(a+x) F(x)=F(2a-x)
函数图像关于(a,0)中心对称
x=a
猜测：若f(x)图像关于直线x=a对称 f(x)有怎样的对称关系式？
-x
-3 -2 -1
x
x0
1 2 3 4 5 6 7 8
X
从”形”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
y
从”数”的角度看，
f(1)= f(3) f(0)= f(4)
f ( x)
f(-2)= f(6)
f(310)=f(4-310)

7 8
4-x
-3 -2 -1 0 1
F ( x) F ( x)

f (5) f (7) f (4) f (8)
f (6 x) f (6 x)
f ( x)

-x
-3 -2 -1 1 2
x
3 4 5 6 7 8
x 6 x6 x0 思考？若函数 f ( x) 图像关于x a轴对称，
即： f(x)=f(2a-x)
猜测：若f(x)图像关于直线x=a对称 f(x)有怎样的对称关系式？
证明: ( (2a-x0, y0) P’ )
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
任取y=f(x)图像上一点P(x0, y0) 设P’是关于P直线x=a的对称点 P(x0,f(x0)) (需验证) ？ 若P’也在f(x)图像上，
f ( x)有怎样的对称关系式？
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
证明： （必要性）
f(x)=f(2a-x)
P’
若点P关于直线x=a的对称点P’ 也在f(x)图像上． P(x0,y0) 则由P的任意性可知
分析： 任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)
？
y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点 都在y=f(x)图像上 则y=f(x)图像上图象关于x=a对称
b o
a
x
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0, 则函数图像关于
点( a+b ,0 ) 2 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c, 则函数图像关于点 (
a+b ,C ) 对称 2
知识内容： 函数图像的对称性 对称关系式
y=F(x)图像关于x=a轴对称
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0)) f(x0)=f(2a-x0) 即： f(x)=f(2a-x)
2a-x0
x0
xa
（代数证明）
求证
已知
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)=f(2a-x)
()
P’
在y=f(x)图像上任取一点P
若点P关于直线x=a的对称点P’ P(x0,f(x0)) P’(2a-x ,f(x )) ? 也在f(x)图像上
轴对称
函数图像关于直线x=0对称
中心对称性
函数图像关于(0,0)中心对称
-x
x
F(-x)=F(x)
F(-x)=-F(x) 函数图像关于(a,0)中心对称
函数图像关于直线x=a对称 F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x)
x=a
a
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
-1+x
1 2 3 4 5 6 7 8
x
x=-1
ຫໍສະໝຸດ Baidu测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
xa
（代数证明）
已知
求证
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)=f(2a-x)
()
P’ P(x0,f(x0))
在y=f(x)图像上任取一点P
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
0 0
2a-x0
x0
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
xa
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称

f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
特例：a=0
xa
y=f(x)图像关于直线x=0对称

f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x), x= a+b 直线 则函数图像关于 2 对称