几何原本证明

•请分析《原本》中命题1,2,3,4的证明及其严谨性。

命题1在一个已知有限直线上作一个等边三角形。

证明：设AB是已知直线，那么要求在线段AB上作一个等边三角形。

以A为圆心，且以AB为距离画圆BCD；（公设3）

再以B为心，且以BA为距离画圆BCD；（公设3）

由两圆的交点C到A，B连线CA，CB。（公设1）

因为点A时圆CDB的圆心，AC等于AB；（定义15）

又点Ｂ是圆ＣＡＥ的圆心，ＢＣ等于ＢＡ；（定义１５）

但是，已经证明了ＣＡ等于ＡＢ，所以线段ＣＡ，ＣＢ都等于ＡＢ，而且等于同量的量彼此相等。（公理１）

三条线段ＣＡ，ＡＢ，ＢＣ彼此相等。

所以三角形ＡＢＣ是等边的，即在已知有限直线ＡＢ上作出了这个三角形。

分析：在两圆相交于点Ｃ时不严谨，因为此时要用到连续性，而在这之前的定义、公设和公理里面都还没有连续性的描述，这里《原本》只是根据几何直观和经验确定两圆相交的。其余各处都严谨。

命题２由一个已知点（作为端点）作一线段等于已知直线。

证明：设Ａ是已知点，ＢＣ是已知线段，那么要求由点Ａ（作为端点）作一线段等于已知线段ＢＣ。

由点Ａ到点B连线AB，（公设1）

在AB上作等边三角形DAB，（命题1）

延长DA，DB成直线AE，BF，（公设2）

以B为圆心，以BC的距离画圆CGH。（公设3）

再以D为圆心，以DG为距离画圆GKL。（公设3）

因为点B是圆CGH的心，故BC=BG。（定义15）

且点D是圆GKL的心，故DL=DG。（定义15）

又DA等于DB，所以余量AL=余量BG。（公理3）

所以线段AL、BC的每一个都等于BG，又因等于同量的两彼此相等。（公理1）

所以，AL也等于BC。

分析：在证明中用到了命题1的结论。此外，隐含着两圆内切。关于G 点的确定，就是圆与直线的交点，也必须用到连续性才能正确说明，这里不严谨。

命题3已知两条不相等的线段，试由大的上边截取一条线段使它对于另一条线段。

证明：设AB,c是两条不相等的线段，且AB大于c。这样要求由较大的AB上截取一段等于较小的c。

由点A取AD等于线段C（命题2）

以A为心，以AD为距离画圆DEF。（公设3）

因为点A是圆DEF的圆心，故AE对于AD。（定义15）

但c也等于AD，所以线段AE、c的每一条都等于AD。这样，AE也等于c。（公理1）

分析：命题3的证明中用到了命题2的结论。仍然和命题2一样，在圆与线段相交的过程中只是凭借几何直观给出的，没有严谨的连续性说明。

命题4 如果两个三角形中，一个的两边分别等于另一个的两边，而且这些相等的线段所夹的角相等，那么，他们的底边等于底边，三角形全等于三角形，这样其余的角也等于相应的角，即那些等边所对的角。

证明：设ABC，DEF是两个三角形，两边AB，AC分别等于边DE，DF，以及角BAC等于EDF。则可证底BC也等于底EF，三角形ABC全等于三角形DEF，角ABC等于角DEF，角ACB等于角DFE。

如果移动三角形ABC到三角形DEF上，若点A落在点D上且线段AB落在DE上，因为AB等于DE，那么点B也就与点E重合。又，AB与DE重合，因为角BAC等于角EDF，线段AC也与DF重合。因为AC等于DF，故底BC 也与底EF重合。

【事实上，当B与E重合且C与F重合时，底BC不与底EF重合，则二条直线就围成一

快空间：这是不可能的，所以底BC就与EF重合】二者就相等。（公理4）

这样，整个三角形ABC与整个三角形EDF重合，于是它们全等。且其余的角也与其余的角重合，于是它们都相等，即角ABC等于角DEF，且角ACB等于角DFE。

分析：命题4的证明中用到了反证法。虽然是重合比对，但仍然严谨。•给出Henry E. Dudeney “将一个正方形通过有铰链剖分为一个正三角形”问

题解答的几何位置关系. 答：如图所示，