电路分析基础第六章 正弦稳态电路分析

指数形式： A| A| ej
O
a 1
三角形式： A |A |(co jssin )
极坐标形式： A| A|
复数在复平面上用矢量表示
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二．复数运算规则 复数的加、减运算
AA 1A 2(a1jb 1)(a2jb 2) (a1a2)j(b1b2)
复数的乘、除运算
A 1 A 2 |A 1 |e j 1 |A 2 |e j2 |A 1 | |A 2 |e j ( 1 2 ) |A 1 | |A 2 | ( 1 2 )
R e [ A ( t ) B ( t ) ] R e [ A ( t ) ] R e [ B ( t ) ]
定理3 若A为复数,其极坐标形式为 A。Am则ej有t
d d tR e [A m e j t] R e [d d tA m e j t] R e [jA m e j t]
定理4 若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足
则将电流I 定义为周期电流信号 i (的t ) 有效值。
当周期电流为正弦电流时 i(t)Imcos(ti)
代入上式，可得正弦电流的有效值I为
I
1 T
0T[Imcos(ti)]2dt
Im 2
0.707Im
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正弦电流也可表示为
i(t) 2Icos(ti)
同理可得正弦电压u（t）的有效值为
R e[Aejt]R e[Bejt]
则 AB
6-2-2 正弦量的相量表示法
正弦电压
u(t) 2Ucos(tu)
复指数函数
2 U e j ( t u ) 2 U c o s (t u ) j2 U s i n (t u )
比较上两式可得
例：
u(t)1c0o 1s0 t( 0 3)0
i(t)5si1 n0 (t0 1 5 )
u(t)1c0o 1s0 t( 0 3)0 i(t) 5co 1s0 (t 0 1 5 )
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6-1-3 源自文库弦量的有效值
在工程上，常将周期量在一个周期内产生的平均效应换算 为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期量的效应， 这一直流量就称为周期量的有效值，用相对应的大写字母表 示。
u
t
um
正弦量的振幅
正弦量的角频率，表示其随时间变化的快慢
u
正弦量的初相位，表示其起始值的大小
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规定 u 的取值范围为： u
u 可以为正为负，为正时，最大值发生在计时时刻之前
为负时，最大值发生在计时时刻之后
u (t ) Um
u (t ) Um
u
t
u
t
u(t)U mco t s(u)
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本章的主要内容
6-1 正弦量 6-2 正弦量的相量表示法 6-3 正弦稳态电路的相量模型 6-4 正弦稳态电路的相量分析法 6-5 正弦稳态电路的功率 6-6 三相电路
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6-1 正 弦 量
6-1-1 正弦量的三要素
正弦电压的瞬时值可表示为：
u (t ) Um
u(t)U mcos(tu)
UUm 2
0.707Um
有效值在工程中应用十分广泛。大部分使用于50HZ的交 流电表测读的都是有效值。交流电机和电器铭牌上所标注的 额定电压或电流都是指有效值。通常所说的民用交流电的电 压220V，指的就是电压的有效值。
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6-2 正弦量的相量表示法
正弦量为什么要用相量表示？
正弦稳态电路中，电路中各支路的稳态响应是与激励同 频率的正弦量。激励的频率通常是已知的，因此要求响应， 只要确定它们的振幅和初相这两个量就行了
A A 1 2||A A 2 1||e ejj 1 2||A A 1 2||ej(1 2)||A A 1 2|| (12)
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三、复数运算定理
定理1 若为a实数，A(t)为任意实变量的复值函数。则有
R e [aA (t)] aR e [A (t)]
定理2 若A(t)和B(t)为任意实变量的复值函数。则有
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二、研究正弦稳态电路的意义
正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用 电路中使用广泛。
复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可 利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电 路响应。
三、正弦稳态电路的分析方法
采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路中 应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。
当周期电流信号流过电阻时，在一个周期内，电阻所消耗 的电能量为
W 1oTp(t)dtoTRi2(t)dt
直流电流流过电阻时，在一个周期内，该电阻消耗的能量为
W2
TRI2dt
o
RI2T
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如果上述两种情况下，电阻R消耗的能量相同，即
RI2T TR2i(t)dt o
I 1 T i2 (t)dt T0
u2(t)2U 2cos(t2)
相位差定义为： 1 2 (t1 ) (t2 )1 2
同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与时 间无关的常数
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比较两正弦量的相位差时应注意： （1）两正弦量必须是同类型的函数 （2）两正弦量必须具有相同的频率 （3）初相位要小于π
u(t)U mco ts (u)
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6-1-2 正弦量的相位差
在同一正弦稳态电路中，任意电量都是同频的正弦量， 因此各正弦量的区别在于振幅和初相不同。为了衡量各正弦 电压和电流间变化进程之间的差别，即两个同频正弦量之间 的相位关系，引入“相位差”的概念。
设两个同频正弦量为：
i1(t) 2I1cos(t1)
相量表示法就是用复数来表示正弦量的振幅和初相，将 描述正弦电路的微分方程变换为复数代数方程，而这些方程 在形式上又与直流电路的方程相类似，从而大大简化了正弦 稳态响应的分析与计算。
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6-2-1 复 数
一．复数的概念 一个复数 A 有四种数学表达形式：
j
b
|A|
直角坐标形式： Aa jb
第6章 正弦稳态电路分析
一、什么是正弦稳态电路
动态电路在正弦激励下的完全响应由固有响应和强制 响应组成的。在正弦激励下，动态电路的固有响应是随时 间的增长而衰减的，经过一段时间后，固有响应将趋于零。 这时电路的完全响应则由强制响应，也即稳态响应决定。 在正弦激励下，处于稳态响应阶段的电路称为正弦稳态电 路。