基本不等式中“1”的妙用(高考专题)

解：由图得
1 3 3 x y 0 当过 的交点（1, ）时，z=ax+by取得最大值6，即a+ b 6 2 2 2 6 x 2 y 3 0 2 3 2 3 3 1 13 3b 3a 25 则 a b a b a b 2 6 2 a b 12 12 当且仅当a=b= 时等号成立 5 2 3 25 即 的最小值为 a b 12
练习
已知a,b是实数，且a+b=-2，求 a 2 + b 2的最大值
已知a,b,c都是正实数，且a+b+c=3，求证：a + b + c 3．
总结
1.体验1的妙用，拓展数学思想，有利于解题。 2.反复理解基本不等式的“一正，二定，三相等”，验证避 免进入错误陷阱。
2 1 1 3a a 10 2 10 2b b 2 a 3b a 3b 2 3 a 2b 3 2b a 当且仅当 时，等号成立取最小值，即a=2b代入（1）得 a 2b 1 1 1 1 1 b= , a , c 1 4 2 2 4 4
基本不等式中“1”的妙用
高三数学复习
知识点复习：
a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2
a ，b∈R ＋ (1)基本不等式成立的条件： ________ ． a＝b 时取等号． (2)等号成立的条件：当且仅当________
2．几个重要的不等式
2ab a，b∈R)． (1)a2＋b2≥________(
解：
a b c 1 1 1 1 a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 1 a b c a b c bc ac ab b c a c a b 2 2 2 2 2 2 8 a b c a a b b c c 当且仅当a b c时，等号成立 1 1 1 1 1 1 的值域为[8,+) a b c
妙用4：与概率问题相结合
一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a, 得2分的概率为b, 不得分的概率为c, 2 1 其中a, b, c (0,1). 已知他投篮一次得分的期望2，则 取得最小值时，求不 a 3b 得分的概率c.
解：投篮X的分布列为
X 0 2 3 0 c 2 即3a 2b 2, 则
1 1 11 1 3 2 a 2b , 当且仅当a 2 2b 2时等号成立取得最小值 a b 2a b 2 2 此时a 2 2 2 故f ( x) (2 2 2) x 1 1
妙用6：不等式证明
1 1 1 已知a+b+c=1，（其中a,b,c均为大于零的实数），求 1 1 1的取值范围． a b c
妙用5：与函数结合
直线ax by 2 0(a 0, b 0)和函数f ( x) a x 1 1(a 0, a 1)的图像 1 1 恒过同一个定点，则当 取最小值时，求f ( x)的解析式. a b
解： 由指数函数的性质得定点为(-1,1),将其代入直线得-a-2b+2=0,即a+2b=2
得：a+2b=2 1 1 1 1 2 b a 3 1 3 ( )( b) 2 a b a b 2 a 2b 2 2 2 b a 当且仅当 取等号 a 2b 1 1 3 故 的最小值为 + 2 a b 2
妙用3：线性规划问题中的应用
6 x 2 y 3 0 1 x, y满足约束条件 x y 0 , 若目标函数z ax by (a 0, b 0)的最大值为6， 2 x 0, y 0 求 2 3 的最小值。 a b
b a 2 (2) ＋ ≥________( a，b 同号)． a b a＋b 2 (3)ab≤( ) (a，b∈R)． 2 a＋b 2 a2＋b2 (4)( )≤ (a，b∈R)． 2 2
1.简单的妙用：求最值
1 9 已知a>0,b>0,且 + =1，求a+b的最小值. a b
解：
1 9 1 a b b 9a 1 9 a b (a b) 1 9 10 2 9 16 a b a b b 9a 当且仅当 = 时，即b=12,a=4时，等号成立 a b
同步练习：
1 2 已知x, y R , x 2 y 1, 求 的最小值. x y

已知x, y R , x 2 y xy, 求x 2 y的最小值. 3 2 已知x, y R , 2, 求6 x 2 y的最小值. x y

18 6 2 答案（1）9；（2）8；（3）
妙用2：解决解析几何问题
1 1 若直线ax by 2 0(a 0, b 0)被x2 y 2 2 x 4 y 1 0截得的弦长为4，求 的最小值 a b
2 2 解： 化简圆的方程为(x+1) ( y 2) 4, 即圆心坐标(-1,2),圆的半径为2 故弦长为4过圆心，则圆心（-1,2）在ax-by+2=0上