第五章 留数(答案)
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复变函数练习题 第五章 留数
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§1 孤立奇点
孤立奇点类型得判别法 1、洛朗展开法
f(z)在点a 处得洛朗展式中, 若无负幂项,则点a 为可去奇点;
若负幂项最高次数为m,则点a 为m 阶极点; 若负幂项为无穷多个,则点a 为本性奇点。 2、极限法
存在且有限,则点a 为可去奇点;
等于无穷,则 a 为极点(无法判断阶数); 不存在且不等于无穷,则a 为本性奇点。 3、判断极点得方法
3、1,g(z)在点a 解析且g(a)不等于零; 3、21
()()lim ()lim()()()
m m z a z a f z g z g z z a f z z a →→=
=--，存在且有限; 3、3 h(z)在点a 解析且h(a)不等于零
一、选择题
1.函数在内奇点得个数为 [ D ] (A) (B) (C) (D)
cot cos 3
(23)sin 0,()23(23)sin 2
z z z z z k k z z z ππππ=-=⇒=∈--Z ，
2.设与分别以为可去奇点与级极点,则为得 [ C ]
(A)可去奇点 (B)本性奇点 (C)级极点 (D)小于级得极点 (对f(z)与g(z)分别进行洛朗展开并求与)
3.为函数得级极点,那么 [ C ] (A) (B) (C) (D)
224
2
2455
32
01112!3.3=(1)sin sin sin sin 2!lim (1)1sin 2!z z z z z e z e z z z z z z z z z z z z z z →⎛⎫
++ ⎪--⋅=⋅=⋅++ ⎪
⎪ ⎪++= ⎪⎝
⎭
L L L 利用方法， 4.就是函数得 [ B ] (A)可去奇点 (B)一级极点 (C)二级极点 (D)本性奇点
32
22
32321=32=0z z z z z z ζζζζ⎛⎫++++=++ ⎪⎝⎭
以为一阶极点
5.就是函数得 [ D ] (A)可去奇点 (B)一级极点 (C)一级零点 (D)本性奇点 (将函数在z=1洛朗展开,含无穷多个负幂项) 二、填空题
1.设为函数得级零点,那么 9 。
()()3
5
3391563333
91sin ()()3!
5!3!5!3!5!
z z z z z z z z z
z -=--
++=-+=-+L L L
2.设为函数得级极点,那么 2 。
三、解答题
1.下列函数在有限点处有些什么奇点？如果就是极点,指出它得级: (1)
322
11
=1, 1.1(1)(1)11.
z z z z z z z z z ==---+-+==-解：显然，的奇点有其中是其二阶极点；是其一阶极点 (2)
(3)
335
233
32sin 1
0.
1sin 11113!5!3!5!0.
sin 1010.
z z z
z z z z z z z z z z z z z -=-+-+--==-+-+-=-=-=L
L 解法一：可能的奇点为故有为其三阶极点解法二：由在点解析且等于，从而为原函数的三阶极点
(4)(为正整数)
2.判断点就是下列函数得什么奇点？ (1)
(2)
00.1.z z z ζ⎛<<∞=⎫ ⎪
⎪
= ⎪⎝⎭
注在本题中，由于级数的收敛域是，从而可以直接让函数在点展开但在上一道题中，必须先做变量替换，才可进行展开
3.就是函数得几级极点？()
35793579
59
()sin sh 2=sin 22
23!5!7!9!3!5!7!9!225!9!
z z
e e
f z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z --=+-+-⎛⎫⎛⎫=-+-+-++++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=++L L
L 解法一：
(4)
(4)(5)
()sin sh 2=sin 22
(0)0;
'()cos 2'(0)1120;
2''()sin ''(0)0;
2'''()cos ,'''(0)110;
2()sin (0)0;
2()cos 2
z z
z z
z z
z z
z z z z e e f z z z z z z
f e e f z z f e e f z z f e e f z z f e e f z z f e e f z z -------=+-+-=+=+-=+-=-=-+=+=-+=-+=-=+=+=+解法二：考虑函数
，，，()(5)2
(0) 2.
0sin sh 2sin sh 2f z z z z z z z ==+-+-，从而为的五阶零点，为的十阶零点，因为是原函数的十阶极点.
复变函数练习题 第五章 留数
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§2 留数
一、选择题:
1.设在内解析,为正整数,那么 [ ] (A) (B) (C ) (D)
2.在下列函数中,得就是 [ ] (A) (B) (C) (D )
()000111'11.lim 1lim 1lim 101111'z z z z z z z z z z z e z z e e e e →→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪-=--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3. [ ]
(A) (B ) (C) (D)