复变函数第六章

i
1
y 例3 求把具有割痕 Re(z)=a, 0 Im(z) h的上半平 面映射成上半平面的一个映射.
(z) C(a+ih) B D a
z1=z-a
v
(w)
O
x (z1)
O
B C D a-h a a+h
w=z4+a
u
y
(z) C(a+ih) B D a x O
v
(w)
(z4) B C -h O (z3) C O D +h
例6(备选题) 例5 解
(z) y v (w)
o
x
u
-1
1
1
例7 (备选题)
求将区域 z 2, z-1 1映射成
1. 曲线的切线
设连续曲线
规定割线P0P的正向对应于参 数t 增大的方向，且知与向量
(z)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~
(z)
对于有向光滑曲线，有结论：
2. 解析函数导数的几何意义
~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~
即 即 (z) (1) (w)
原曲线C经映射w f(z)在z0处的转动角．
x
2016/11/28
(z)
(w)
( z)
(w)
——保角性
f (z0) - - 称之为曲线C 在z0处的伸缩率．
解析函数导数模的几何意义： f (z0) 表示过z0的 曲线C经映射w f(z)后在z0处的伸缩率，伸缩率的大 小与C的形状与方向无关． 如果 f (z0) ，则在z0点充分小的邻域内 放大； 如果 f (z0) ，则在z0点充分小的邻域内 缩小．
x
①导数f (z0)的幅角Arg f (z0)在几何上表示过点z0 的曲线C经过映射w f(z)后在z0处的转动角．
x
~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~
由上述讨论我们有
( z)
(w)
——保角性
2016/11/28
(z)
(w)
解析函数导数模的几何意义： f (z0) 在几何上 表示过点z0的曲线C经过映射w f(z)后在z0处的 伸 缩率，伸缩率的大小与C的形状与方向无关． 如果 f (z0) ，则在z0点充分小的邻域内， 经过映射曲线的弧长变大； f (z0) - - 称之为曲线C 在z0处的伸缩率． 如果 f (z0) ，则在z0点充分小的邻域内， 经过映射曲线的弧长缩小．
3. 共形映射的概念
定义 设w f(z)在z0的邻域内有定义，且在z0 具有保角性和伸缩率不变性则称映射w f(z)在z0 为保角的，或称w f(z)在z0是保角映射． 若w f(z)在区域D内每一点都是保角的，则称 w f(z)是区域D内的保角映射． 若w f(z)在区域D内是一一的且保角的，则称 w f(z)在区域D内是共形映射．
(2)指数函数
带形区域
y ia (z) v
角形区域
(w)
o
x u
二、典型例题
例1
y (z) v (w)
解
上岸 下岸 x u
2016/11/28
例2
(w)
y
(z) i
v
解
o -1 o -i 1 x
u
例3 解
又例 y
( z)
y
(z)
解
v
(w)
R
o o
u
x
o
x
例4 解
y
(z)
v
(w)
a
b
x
u
1
2016/11/28
2.共形映射的概念
若w f(z) 在z0的邻域内是一一的且具有保角性 和伸缩率不变性，则w f(z)在z0处是共形的． 若w f(z)在区域D内每一点处都是共形的，则 称 w f(z)在区域D内是共形映射．
3. 分式线性映射
定义
~~~~~~~~~~~~~
2016/11/28
分式线性映射的性质
2016/11/28
第六章
共形映射
§1 共形映射的概念

内 容 简 介
w=f(z)在几何上是把 z 平面上的一个点集 G 变到 w平面上的点集 G* 的映射，这个映射称为由函数 w=f(z)所构成的映射。
1. 曲线的切线 2. 导数的几何意义 3. 共形映射的概念
本章从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论。 得出其在导数不为零的点处有保角性质，这在数学,流 体力学，弹性力学，电学等学科中都有重要应用。
在 0处，即w az b 在 z 处
是保角的，因此有w az b a 0在扩充复平面上是 共形映射．
2016/11/28
~~~~~~~
定理2
在分式线性映射下，如圆周或直线上没有点 映射成无穷远点，则它映射成半径为有限的圆周； 若有一点映射成无穷远点，它就映射成直线。
u
x
2016/11/28
例5
解
§4 几个初等函数所构成的映射
y (z) i

v
(w)

1. 幂函数 2. 指数函数
o -1 o -i 1 x
u
1.幂函数
幂函数：
y
(z)
v
(w)
x
u
2016/11/28
而作为w zn 的主值逆变换
y (z) v (w) 上岸 x 下岸 u
将 w 平面上的角
形域 0 arg w n0 0 0 n变换成z 平面上角 形域 0 arg z 0 ． 幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角 形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成 了原来的n倍，因此，
y
(z)
v
(w) 上岸
幂函数
u
特点：把以原点为顶点的角
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
x
下岸
形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成 了原来的n倍，因此，
~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
将以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的 角形域，经常使用映射 或
~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
将以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的 角形域，经常使用映射 或
例1 解: y
(z) v (w)
例2
y u x -i i u 1 x
(z)
v
(w)
1. 分式线性映射的定义
§2 分式线性映射

定义
~~~~~~~~~~~~~
1. 分式线性映射的定义 2. 分式线性映射的性质

分式线性映射分解：分式线性映射(1)总可以分解
成下述三种特殊映射的复合：
(4) 两个分式线性映射复合后，所得的映射仍 是分式线性映射。（见书P192）
称为： 平移
旋转与伸缩
定理
设函数w f z在区域 D内解析， z0D, 且 f z0 0，那么映射w f z在点z0处具有两个 性质： 1) 保角性，即通过 z0的任意两条曲线间的夹角 与经过映射后所得的两条曲线的夹角在大小和方向 上是保持不变的。 2) 伸缩率不变性，即通过 z0的任意一条曲线的伸 缩率均为 而与该曲线的形状与方向无关。 Arg f (z0) - -在z0处的转动角, f (z0) - - 在z0处的伸缩率．
由以上讨论给出确定对应区域的两个方法：
事实上
2016/11/28
由上一节和本节的讨论，还有以下结论：

~~~~~ ~~~~~~~~~
2. 举例
例1 解 y
( z)
v
( w)
x
u
例2
解
2016/11/28
y
(z)
v
o
(w)
u
o
x

例3 解
y
(z)
v
(w) 1 u
1 x
例4 y
( z)
解
v
(w)
R
o o
例 定理二
~~~~~~~~
解
如果解析函数w f(z)在D内是一一的且处处有 f (z) 0, 则映射w f(z)是D内的共形映射.
若上述保角映射定义中，仅保持角度绝对 值不变，而旋转方向相反，此时称为第二类保角 映射．从而，定义中的保角映射称为第一类保角 映射．
2016/11/28

1. 分式线性映射的存在唯一性 2. 举例
定理
2016/11/28
证明
所求分式线性映射
①
式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。
因此，式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性。 ~~~~~~~~~~~~
由分式线性映射的存在唯一性定理知：
事实上，
以下讨论这个映射会把C的内部映射成什么？
(不可能把G1的一部分 映入D1，G1的另一部分映入D2).
w平面上的点集 G* 的映射，这个映射称为由函数 w=f(z)所构成的映射。 本章从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨 论。得出其在导数不为零的点处有保角性质，在数学, 流体力学，弹性力学，电学等学科中都有重要应用。
设函数w f z在区域 D内解析， z0D, 且 f z0 0. ①导数f (z0)的辐角Arg f (z0)在几何上表示过点z0 的曲线C经过映射w f(z)后在z0处的转动角．
T C O P
2. 分式线性映射的性质
所以当 z 0， z 时w 1z 是解析函数，因此是共形映射．至于 z 0和 z 我们作规定： 两条伸向无穷远点的曲线在无穷远点的夹角在大小 方向上都与它们在映射 下所映成的通过原点
的两条曲线在原点处的夹角大小、方向相同。
所以 由于w az b a 0，所以w az b在复平面上是 共形的，为了讨论这个映射在 z 处的保角问题， 我们令： 则 且 定理 1
反演
或分式线性映射分解：分式线性映射(1)总可以分解 成下述两种特殊映射的复合：
称为：
整线性
反演
事实上，
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2016/11/28
y,vቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义
O C
r
P 1 o
z x,u
w
规定:无穷远点关于圆周C的对称点为圆心O
首先我们来阐明关于圆周的对称点的一个重要特 性: z1 ,z2 是关于圆周C :z -z0 R 的一对对称点的充 要条件是经过 z1 ,z2 的任何圆周G与C 正交．
定理3
z' R C z0 z 1 z2
G
2016/11/28
例
解
选例 解
y i o
(z)
v
(w)
x
o
u 1
作业
1. 分式线性映射的存在唯一性 §3 唯一决定分式线性映射的条件

(z)
则
~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~
2016/11/28
(z)
(w)
即 即 (z) (1) (w) 若将w平面与z平面叠放在 一起，使点w0与z0重合，x轴 与u轴平行且正向相同， 称曲线C的切线正向与映射后 曲线G的切线正向之间的夹角 为(原曲线C经映射w f(z))在 z0处的转动角．记作．
定理1
定理2
在分式线性映射下，如圆周或直线上没有点 映射成无穷远点，则它映射成半径为有限的圆周； 若有一点映射成无穷远点，它就映射成直线。
定理3
分式线性映射的存在唯一性
定义
T o P
定理
规定无穷远点的对称点为圆心O
3. 几个初等函数所构成的映射 (1)幂函数
幂函数：
y
(z)
v
(w)
x
u
2016/11/28
O
B C D a-h a a+h
u - h2 C
C ih B D O
z2=z12
(z2) D
z3=z2+h2
D Bh2
O B
2016/11/28
例 例
解
解
2. 指数函数
带形区域
y ia (z) v
角形区域
(w)
o
x u
例4 解
y (z) v (w) 上岸 下岸 x i u y (z) v (w)
x
u
2016/11/28
例5 解 y
例6 (z)
v (w)
解
E a b x u
y
(z) D C
v
(w)
u B x
A
1
例7 答： 解
(z) y v (w)
o y (z) v (w)
x
u
u x -1 1 1
例9 例8
求将区域 z 2, z-1 1映射成上半平面Imw 0
的一个保角映射。 解
解 见P244
2016/11/28
例10 求将区域 解
且
映射成带形域
的一个保角映射。
习题课
第六章 共形映射
一、 解析函数导数的几何意义,共形映射的概念 二、分式线性映射 三、几个初等函数所构成的映射
机动
目录
上页
下页
返回
结束
1. 解析函数导数的几何意义
一、共形映射小
结 w=f(z)在几何上是把 z 平面上的一个点集 G 变到
综上有： 定理一 设函数w f z在区域 D内解析， z0D, 且 f z0 0，那么映射w f z在点z0处具有两个 性质： 1) 保角性，即通过 z0的任意两条曲线间的夹角 与经过映射后所得的两条曲线的夹角在大小和方向 上是保持不变的。 2) 伸缩率不变性，即通过 z0的任意一条曲线的伸 缩率均为 而与该曲线的形状与方向无关。