第31课时 图形运动专题(函数类)

第31课时图形运动（函数类）【课标要求】

动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

【知识要点】

动态几何问题是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题型出现。这类问题主要是集中代数、几何、三角、函数知识于一体，综合性较强。常用到的解题工具有方程的有关理论，三角函数的知识和几何的有关定理。本节主要说明与函数类结合有关的运动问题。

【典型例题】

【例1】如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC ＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．

（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围．

（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC 面积与⊿PAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由．【例2】

11．(8分)如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B 停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M 作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）设AE＝x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．

【课堂检测】

1．如图，在矩形ABCD中，4

=

AB，6

=

BC，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q，x

BP=，y

CQ=，那么y与x之间的函数图象大致是

2.如图1正方形A B C D 的边长为2，动点P 从C 出发，在正方形的边上沿着C B A →→的方向运动（点P 与A 不重合）。设P 的运动路程为x ，

则下列图像中宝石△A D P 的面积y 关于x 的函数关系

3．如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q

移动的时间为t 秒．

(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？

(3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为5

24个平方

单位？

4．如图2－5－15所示，等边三角形ABC 的边长为6，点D 、E 分别在边AB ，AC 上，且AD=AE=2，若点F 从点B 开始以每秒二个单位长度的速度沿射线BC 方向运动，设点F 运动的时间为t 秒，当t ＞0时，直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，AB 与GH 相交于点O ．

⑴ 设△EGA 的面积为S ，写出S 与 t 的函数解析

式；

⑵ 当t 为何值时，AB ⊥GH ；

⑶ 请你证明△GFH 的面积为定值．

5．如图2－5-16，在矩形ABCD 中，AB=10。cm ，BC=8cm ．点P 从A 出发，沿A→B→C→D 路线运动，到D 停止；点Q 从D 出发，沿D→C→B→A 路线运动，到A 停止，若点P 、点Q 同时出发，点P 的速度为1cm/s ，点Q 的速度为2cm/s ，a s 时点P 、点Q 同时改变速度，点P 的速度变为bcm/s ，点Q 的速度变为d cm/s ，图 2－5－17是点 P 出发x 秒后△APD 的面积S 1（cm 2

）与x （s ）的函数关系图象；图2－5－18是点Q 出发xs 后面AQD 的面积S 2（cm 2）与x （s ）的函数关系图象．

⑴ 参照图2－5－17，求a 、b 及图中c 的值； ⑵ 求d 的值；

⑶ 设点P 离开点A 的路程为y 1(cm)，点Q 到点A 还需走的路程为y 2(cm)，请分别写出动点 P 、Q 改变速度后，y 1、y 2与出发后的运动时间x （s ）的函数解析式，并求出P 、Q 相遇时x 的值． ⑷ 当点Q 出发_______s 时，点P 、点Q 在运动路线上相距的路程为25cm ．

【课后作业】

1．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm ，

OB=6cm ，点P 从O 点开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动：点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（06t ≤≤），那么： （1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式。

（2）当△POQ 的面积最大时，△ POQ 沿直线PQ 翻折

后得到△PCQ ，试判断点C 是否落在直线AB

上，

（3）当t 为何值时， △POQ 与△AOB 相似？

2．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90º，AB ＝6，AC ＝8，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ ＝x ，QR ＝y ． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

3．(本题8分)如图①，梯形ABCD 中，∠C=90°．动点E 、F 同时从点B 出发，点E 沿折线 BA —AD —DC 运动到点C 时停止运动，点F 沿BC 运动到点C 时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s ．设E 、F 出发t s 时，△EBF 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数图象如图②所示，其中曲线OM 为抛物线的一部分，MN 、NP 为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)梯形上底的长AD=_____cm ，梯形ABCD 的面积_____cm 2；

(2)当点E 在BA 、DC 上运动时，分别求出y 与t 的函数关系式(注明自变量的取值范围)； (3)当t 为何值时，△EBF 与梯形ABCD 的面积之比为1：2.

4． 如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为(12，0)，点B 坐标为(6，8)，点C 为OB 的中点，点D 从点O 出发，沿△OAB 的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周． (1)点C 坐标是( ， )，当点D 运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )；

(2)设点D 运动的时间为t 秒，试用含t 的代数式表示△OCD 的面积S,并指出t 为何值时，S 最大； (3)点E 在线段AB 上以同样速度由点A 向点B 运动，如题28(b)图，若点E 与点D 同时出发，问在运动5秒钟内，以点D ，A ，E 为顶点的三角形何时与△OCD 相似(只考虑以点A ．O 为对应顶点的情况)：

A B

C

D E R

P H Q