快速验证整除性的方法

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快速验证整除性的方法：

截尾法，或从个位数开始的割尾法：

1位截尾，1倍割数差（即「截尾、1倍大、相减、验差」）：11

1位截尾，2倍割数差（即「截尾、2倍大、相减、验差」）：7

1位截尾，2倍割数和（即「截尾、2倍大、相加、验差」）：19

1位截尾，4倍割数和（即「截尾、4倍大、相加、验差」）：13

1位截尾，5倍割数差（即「截尾、5倍大、相减、验差」）：17

2位截尾，1倍割数差：101

3位截尾，1倍割数差：7，11，13若原数大于三位，则末三位与前面剩余数的差，验证

3位截尾，3倍剩数差：17若原数大于三位，则末三位与与3倍前面的剩余数的差被17整除，验证

3位截尾，719，若一个整数的末三位与7倍的前面的剩余数的差能被19整除

4位截尾，173，137，若一个整数的末四位与剩余数的差能被73，137整除（熟悉10001=73x137）

4位截尾，1倍割数和：101若一个整数的末四位与前面1倍的剩余数的和能被101整除

4位截尾，5倍剩数差：23，29，若一个整数的末四位与前面5倍的剩余数的差能被23，29整除

5位截尾，1倍割数差：9091，若一个整数的末四位与前面剩余数的差能被9091整除

截断（分段）法：

一．截断求和法9，99及其约数（两位截断），999（及其约数37，111，333等）（三位截断），9999（及其约数101，9，11，909等）（四位截断）截断，各段和，验证

二．截断奇偶位求差法：11，101，1001或其约数7，11，13，143，77，91

两位、两位截断，各段分类，各类求和，差，验证ep。 7和13的倍数同样也用三位截断法来判断：

ababab=10101 x ab，abcabc=1001 x abc，abcabcabc=1001001 x abc，abcdabcdabcd 其中10101（7，13），1001，甚至更多类似形式的数都很容易被证明是7和13的倍数。

其中1001=7x11x13,所以abcabc一定能被7，11，13整除

10001=73x137，所以abcdabcd，能被73，137整除

17x11x13x1000001,所以abcabcabc一定能被7，11，13整除

分解判定法：如63，要分解成熟悉的质因数，再分别判断；如不易分解，则尝试倍乘，如667x3=2001

（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。（1位截断求和）

（7）a：1位截尾，2倍割数差； b：3位截尾，1倍割数差

（8）先看是不是偶数，若是，再看末尾三位数能被8，125整除，则这个数能被8，125整除。

（9）a（1位截断求和）10^2004-1要能可能出它是9的倍数

类推：N进制里，某数若每位数字（0~N）之和能被N-1除尽，则该数能被N-1整除 b（9的无敌乱切）把一个整数分成若干段（无序不均匀长度）之和能被9整除，则这个数能被9整除

（11）a奇位和、偶位和的差，若能被11整除，则原数能被11整除

b： 1位截尾，1倍割数差

c（无敌乱切）把原数无序不均匀随便分段，每段的末尾数字在原数中排奇数位的归一类，偶数位的归一类，两类各自的和相减，差能被11整除，则原数能被11整除。

推论：偶数个连续相同数字组成的数；首尾相同，中间都是0，且0有偶数个的数；

（13）a：1位截尾，4倍割数和 b：3位截尾，1倍割数差（14）：7的倍数中的偶数。

（15）：3的倍数中末位为0或5。

（16）：后四位能被16整除。16=2^4,所以看末4位。类推32512，1024.

（17）a： 1位截尾，5倍割数差 b： 3位截尾，3

（18）：9的倍数中的偶数。

（19）a： 1位截尾，2倍割数和 b 7

（23）：若一个整数的末四位与前面5倍的剩余数的差能被2323整除（25）：最后两位数字是00；25；50；75

（27）：对原数,从个位不断做截取三位,分段相加,直至数字规模较小，然后验证。

（29）：若一个整数的末四位与前面5倍的剩余数的差能被29整除，则这个数能被29整除（73）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除，则这个数能被73整除

（99，或其约数3，9，11，33）（2位截断求和）

（101）：a若一个整数的末4位与前面的数的和能被101整除，则这个数能被101整除

b若一个整数的末2位与前面的数的差能被101整除，则这个数能被101整除（2位截尾，1倍割数差）

c两位、两位截断，奇数段的和，偶数段的和，它们的差若能被101整除，则能被101整除

（125）：末三位数能被125整除（要熟悉375，625，750，875这几个末尾）；

（137）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被137整除

（999或其约数如3，9，11，33，111，333等）：（3位截断求和）

（1001或其约数7，11，13，143，77，91等）三位、三位截断，奇数段的和，偶数段的和。差若能被1001整除

（9091）：若一个整数的末5位与前面的数的差能被9091整除，则这个数能被9091整除（9999，或及其约数，如909等）：4位截断，所有段求和。

已知七位数7□□78□□不能被101整除，那么它的末两位数字组成的两位数

整除的性质：（1）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除；（2）如果a 同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反过来也成立。性质（1）若a|b且b|c，则a|c

（2）若a|b，则a|kb（其中k为整数）

（3）若a|bc，且a与c互质，则a|b

（4）若a|b，a|c,则a|(b±c)

（5）若b|a，c|a，且b和c互质，则bc|a整除有下列基本性质：

①若a|b，a|c，则a|(b±c)。

②若a|b，则对任意c，a|bc。

③对任意非零整数a，±1|a，±a|a。

④若a|b，b|a，则|a|=|b|。

对任意整数a，b，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r

若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则d是a，b的最大公因数。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素，也称互质。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。

验证是质数的方法：N，算小于等于N里最大的一个平方数的根号，得m；（显然m小于等于

N/2）

从2，3，5.。。挑质数去除N一直到m；

如果一直到m都没有除尽，则才能说“N是质数”

如果未算到m就已经找到质因数，则N不是质数，并继续挑质数去除N，直

到最接近N/2的一个质数被验算完毕，即找到所有不同的质因数

整数的奇偶性

(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，

偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数；

即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差为偶数，偶数个奇数的和、差为奇数；

（2）奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或（8m+4）的形式；（3）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；

若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；