《章末复习课》一元二次函数、方程和不等式ppt课件
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高中数学新教材必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》全套课件PPT
例题讲评 例3.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
练习：
已知x 0,比较 x2 1 2与x4 x2 1的大小.
想一想 : 在上题中,如果没有x 0这个条件, 那么两式的大小关系如何 ?
练习巩固
练习已知 a,b, m都是正数，且a<b,求证：a m a .
bm b
变式1：若a>b,结果会怎样？
变式2：若没有a<b这个条件呢？zxxk
完成课本第40页第2题
课堂小结
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
500x 600y 4000
x3x0y
完成课本第39页第1题
y 0 x,y∈N
考虑到实际问题
的意义，还应有
x,y∈N
学习新知
不等式
a-b>0
<=> a > b
基本原 a - b = 0 <=> a = b
理 a - b < 0 <=> a < b
比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法：
归纳逻辑过程： 作差 变形 判断符号
b
G
F
A
aHE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时基本不等式)
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋4a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C． ab≥a＋2 b
D．x2＋x32≥2 3
解析：选 D.a＜0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a2＋b2＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜a＋2 b，故 C 错；
由基本不等式可知 D 项正确．
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
基本不等式
理解基本不等式的内容及 导出过程
利用基本不等式 能够运用基本不等式求函
求最值
数或代数式的最值
核心素养 逻辑推理 数学运算
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的 原则，即： ①一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
所以 y＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2
≥2 （x－2）·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立．
所以 y＝x＋x－4 2的最小值为 6.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 0<x<12， 所以 1－2x>0， 所以 y＝12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋12－2x2＝14×14＝ 116， 当且仅当 2x＝1－2x， 即当 x＝14时，ymax＝116.
2025版高考数学一轮总复习第一章二次函数与一元二次方程不等式第2课时一元二次不等式pptx课件
4.（教材题改编）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为%
（即每销售100元征税元），若年销售量为 30 −
万元，则的取值范围是(
A.[4,8]
√
则
万件，要使附加税不少于128
)
B.[6,10]
C.[4%, 8%]
解：根据题意，要使附加税不少于128万元，
5
30 −
2
2
5
A. 0,1
B. −3,0
√
∪ 1,2
C. −3,1
解：因为 = {| < 2 } = −∞, 0 ∪ 1, +∞ ,
= {| 2 + − 6 < 0} = −3,2 ,
所以 ∩ = −3,0 ∪ 1,2 .故选B.
)
D. −2,0 ∪ 1,3
（2）解关于的不等式 2 − 2 ≥ 2 − ∈ .
2
2
2
时， < −1；当 = −2时, = −1；当 < −2时， > −1.
所以不等式的解集为：当 = 0时，{| ≤ −1}；
当 > 0时，{| ≤ −1或 ≥
2
}；
2
当−2 < < 0时，{| ≤ ≤ −1}；
当 = −2时，{| = −1}；
当 < −2时，{| − 1 ≤ ≤
另解：分类讨论后分离参数.故填[−5,5].
命题角度3 给定参数范围的恒成立
例5 对任意 ∈ [−1,1]，函数 = 2 + − 4 + 4 − 2的值恒大于零，则的取
值范围是(
)
A. 1,3
第二章 一元二次函数、方程和不等式复习课-(新教材人教版必修第一册)(21张PPT)
＜m}，则 m＝________.
根，
m>1， 且m>1⇒1＋m＝6a，
1·m＝a
⇒ma＝＝22.， ]
不等式恒成立问题 【例4】 (1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都 成立，则实数m的取值范围是________． (2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零， 求x的取值范围．
c＜a 对于C： b2≥0⇒cb2≤ab2 cb2＜ab2，C错，即C不一定成立． 对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，选C.]
不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判 断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对， 不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩 下的就是正确答案了.
数学（人教版） 必修第一册
第二章 一元二次函数、方 程和不等式
章末复习课
不等式的性质
【例 1】 如果 a，b，c 满足 c＜b＜a 且 ac＜0，则以下列选项中不
一定成立的是( ) A．ab＞ac C．cb2＜ab2
B．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0
C [c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0. 对于A： ba＞＞c0⇒ab＞ac，A正确． 对于B： bc＜＜0a⇒b－a＜0⇒c·(b－a)＞0，B正确．
5．若不等式 ax2－2x＋2>0 对于满足 1<x<4 的一切实数 x 恒成立，求 实数 a 的取值范围．
[解] ∵1<x<4， ∴不等式 ax2－2x＋2>0 可化为 a>2xx－2 2. 令 y＝2xx－2 2，且 1<x<4， 则 y＝2xx－2 2＝－21x－122＋12≤12，
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
章末复习(一) 一元二次方程-2020秋人教版九年级数学全一册习题课件(共22张PPT)
11．若方程(a－1)xa2＋1＋3x＝1 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的
值是 －1 ．
12．若方程(k－1)x2＋2x－2＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围 是 k≥12且 k≠1 ． 13．【整体思想】若(a2＋b2)2－3(a2＋b2)－4＝0，则代数式 a2＋b2 的
值为 4 ． 14．方程(x－3)2＝x－3 的根是 x1＝3，x2＝4 ．
20．(北京中考)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
解：(1)证明：∵在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，Δ＝[－(k ＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
＋b2 的值为 1 ．
3．(舟山中考)用配方法解方程 x2＋2x－5＝0 时，配方结果正确的
是( DD)
A．(x＋2)2＝5
B．(x＋1)2＝5
C．(x＋2)2＝6
D．(x＋1)2＝6
4．(贵阳中考)方程(x－3)(x－9)＝0 的根是 x1＝3，x2＝9 ．
5．解下列一元二次方程： (1)(2x＋3)2－81＝0；
解：(2x＋3)2＝81. x1＝3，x2＝－6.
(2)x2－6x－2＝0； 解：(x－3)2＝11. x1＝3＋ 11，x2＝3－ 11.
(3)x2＋2 2x－6＝0；
解：∵a＝1，b＝2 2，c＝－6，
∴Δ＝b2－4ac＝(2 2)2－4×1×(－6)＝32.
∴x＝－2
2± 2
32＝－
2±2
2.
10．如图，要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈，用 100 米的围栏围 成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？
高考总复习数学精品课件 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第三节 二次函数与一元二次方程、不等式
(-a,a).
2.研究不等式ax2+bx+c>0(<0,≥0,≤0)的恒成立问题时,注意对a=0这一情
形的讨论.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )
(2)若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
()
()() ≥ 0,
()
(2)
≥0⇔
()
() ≠ 0;
()
()
()-()
(3)
>m(m≠0)⇔
-m>0⇔
>0⇔[f(x)-mg(x)]g(x)>0;
()
()
()
()
()
()-()
[()-()]() ≥ 0,
(4)
的实数根
x1,x2(x1<x2)
ax2+bx+c>0(a>0) {x|x<x ,或x>x }
1
2
的解集
ax2+bx+c<0(a>0)
的解集
{x|x1<x<x2}
Δ=0
Δ<0
有两个相等的实数
根x1=x2= ≠
⌀
b
2a
−
2
没有实数根
R
⌀
微点拨1.简单分式不等式的解法
()
(1)
>0⇔f(x)g(x)>0;
考点一
一元二次不等式的解法(多考向探究)
2.研究不等式ax2+bx+c>0(<0,≥0,≤0)的恒成立问题时,注意对a=0这一情
形的讨论.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )
(2)若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
()
()() ≥ 0,
()
(2)
≥0⇔
()
() ≠ 0;
()
()
()-()
(3)
>m(m≠0)⇔
-m>0⇔
>0⇔[f(x)-mg(x)]g(x)>0;
()
()
()
()
()
()-()
[()-()]() ≥ 0,
(4)
的实数根
x1,x2(x1<x2)
ax2+bx+c>0(a>0) {x|x<x ,或x>x }
1
2
的解集
ax2+bx+c<0(a>0)
的解集
{x|x1<x<x2}
Δ=0
Δ<0
有两个相等的实数
根x1=x2= ≠
⌀
b
2a
−
2
没有实数根
R
⌀
微点拨1.简单分式不等式的解法
()
(1)
>0⇔f(x)g(x)>0;
考点一
一元二次不等式的解法(多考向探究)
新教材人教A版第二章一元二次函数方程和不等式章末整合课件(29张)
在,请说明理由.
1
2
2
1
(2)求使 + -2 的值为整数的实数 k 的整数值.
解 (1)不存在.理由如下,
3
假设存在实数 k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=- 成立.
2
∵一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 有两个实数根,∴
4 ≠ 0,
2
= (-4) -4 × 4( + 1) = -16 ≥ 0,
4-
≤ 1,
∴ 2
或Δ=(m-4)2-4(4-m)<0,解得m>0.故m的取值范围是{m|m>0}.
1 + -4- + 4 ≥ 0
方法技巧 分离变量法解恒成立问题
对于x在某取值范围内,y≥0(或y≤0)型恒成立问题,我们一般利用分离变量
法转化为求解最大(小)值问题.而对于一元二次不等式问题,可以借助对应
解得 k<0.又 x1,x2 是一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根,∴
1 + 2 = 1,
1 2 =
+1
4
.
∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2(12
+
+9 3
9
2
2
2 )-5x1x2=2(x1+x2) -9x1x2=- 4 =-2.∴k=5.又
k<0,
行比较,分x1<x2,x1=x2,x1>x2三种情况解答.
(3)二次项系数含参数时,首先应讨论二次项系数a与0的关系,①当a=0时,不
等式不是一元二次不等式,可直接解答;②当a≠0时,不等式是一元二次不等
式,可分a>0和a<0两类,借助(1)(2)两种情况进行解答.
1
2
2
1
(2)求使 + -2 的值为整数的实数 k 的整数值.
解 (1)不存在.理由如下,
3
假设存在实数 k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=- 成立.
2
∵一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 有两个实数根,∴
4 ≠ 0,
2
= (-4) -4 × 4( + 1) = -16 ≥ 0,
4-
≤ 1,
∴ 2
或Δ=(m-4)2-4(4-m)<0,解得m>0.故m的取值范围是{m|m>0}.
1 + -4- + 4 ≥ 0
方法技巧 分离变量法解恒成立问题
对于x在某取值范围内,y≥0(或y≤0)型恒成立问题,我们一般利用分离变量
法转化为求解最大(小)值问题.而对于一元二次不等式问题,可以借助对应
解得 k<0.又 x1,x2 是一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根,∴
1 + 2 = 1,
1 2 =
+1
4
.
∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2(12
+
+9 3
9
2
2
2 )-5x1x2=2(x1+x2) -9x1x2=- 4 =-2.∴k=5.又
k<0,
行比较,分x1<x2,x1=x2,x1>x2三种情况解答.
(3)二次项系数含参数时,首先应讨论二次项系数a与0的关系,①当a=0时,不
等式不是一元二次不等式,可直接解答;②当a≠0时,不等式是一元二次不等
式,可分a>0和a<0两类,借助(1)(2)两种情况进行解答.
高中课件 一元二次函数、方程和不等式
b＋c． 这就是说，不等式的两边都加上同一个
实数，所得不等式与原不等式同向．
B1
A1
b+c
aa+c
探究3：移项
用性质2证明 a＋b＞c ⟺ a＞c－b．
a + b > c a + b +(-b)> c +(-b) a > c - b.
一般地说，不等式中任何一项可以改变符号 后移到不等号的另一边.
补充练习
15．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是 a， b，c，d，已知 a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球
由重到轻的排列顺序是( A )
A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b
解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c ＋(c＋d)，即 a>c.∴b<d.又 a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.
于是a× 1 ab
即 1 > 1.
>
b×a1同的b号实，的数两，个两不边相同等时 取倒数不等号
ba
改变方向
由c < 0,得 c > c .
ab
思考：还可以利用作差法证明吗？ 证明:
思考
糖水加糖后变得 更甜了
已知b克糖水中含有a克糖 （b＞a＞０），再添加m克 糖 （m＞０）（假设全部溶 解），糖水变甜了． 请将这一事实表示为一个不 等式，并证明这个不等式成 立．
cc
类比等式的基本性质，你能 猜想不等式的基本性质吗？
实数，所得不等式与原不等式同向．
B1
A1
b+c
aa+c
探究3：移项
用性质2证明 a＋b＞c ⟺ a＞c－b．
a + b > c a + b +(-b)> c +(-b) a > c - b.
一般地说，不等式中任何一项可以改变符号 后移到不等号的另一边.
补充练习
15．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是 a， b，c，d，已知 a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球
由重到轻的排列顺序是( A )
A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b
解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c ＋(c＋d)，即 a>c.∴b<d.又 a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.
于是a× 1 ab
即 1 > 1.
>
b×a1同的b号实，的数两，个两不边相同等时 取倒数不等号
ba
改变方向
由c < 0,得 c > c .
ab
思考：还可以利用作差法证明吗？ 证明:
思考
糖水加糖后变得 更甜了
已知b克糖水中含有a克糖 （b＞a＞０），再添加m克 糖 （m＞０）（假设全部溶 解），糖水变甜了． 请将这一事实表示为一个不 等式，并证明这个不等式成 立．
cc
类比等式的基本性质，你能 猜想不等式的基本性质吗？
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所以xx－ －22＋×x－2－14＋x＋x24－＞40x，＋4＞0， 解得x＜1或x＞3. 故当x＜1或x＞3时，对任意的－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－ 2m的值恒大于零．
14
解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数 图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参 数进行分类讨论.
15
2 [因为ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1
4．若关于 x 的不等式 ax2 ＜x＜m}，
－6x＋a2<0 的解集是{x|1＜x
所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的
2
3
不等式的性质
【例 1】 如果 a，b，c 满足 c＜b＜a 且 ac＜0，则以下列选项中不
一定成立的是( ) A．ab＞ac C．cb2＜ab2
B．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0
4
C [c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0. 对于 A： ba＞＞c0⇒ab＞ac，A 正确． 对于 B： bc＜＜0a⇒b－a＜0⇒c·(b－a)＞0，B 正确．
c＜a 对于 C： b2≥0⇒cb2≤ab2 cb2＜ab2，C 错，即 C 不一定成立． 对于 D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D 正确，选 C.]
5
不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断 命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适 合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就 是正确答案了.
＜m}，则 m＝________.
根，
m>1， 且m>1⇒1＋m＝6a，
1·m＝a
⇒ma＝＝22.， ]
16
不等式恒成立问题 【例4】 (1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都 成立，则实数m的取值范围是________． (2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零， 求x的取值范围．
a－b 的取值范围为________．
∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.]
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基本不等式
【例 2】 设 x<－1，求 y＝x＋x5＋x1＋2的最大值． [解] ∵x<－1，∴x＋1<0. ∴－(x＋1)>0， ∴y＝x＋x5＋x1＋2＝x2＋x7＋x＋1 10 ＝x＋12＋x＋51x＋1＋4＝(x＋1)＋x＋4 1＋5
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＝－－x＋1＋－x4＋1＋5 ≤－2 4＋5＝1， 当(x＋1)2＝4，即 x＝－3 时取“＝”．]
11
基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的 情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积 式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设 应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑 的目的在于使等号能够成立.
6
A [由 a>b>c 及 a＋b＋c＝0 知
1．若 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，则 a>0，c<0，
下列不等式中正确的是( )
又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选
A．ab>ac
A.]
B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
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2．若 1≤a≤5，－1≤b≤2，则 －1≤a－b≤6 [∵－1≤b≤2，
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3．若x，y为实数，且x＋2y＝ 4，则xy的最大值为________．
2 [xy＝12·x·(2y)≤12·x＋22y2＝ 2(当且仅当 x＝2y，且 x＋2y＝4，即 x＝2，y＝1 时取“＝”)．]
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一元二次不等式的解法 【例3】 解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0. [解] 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a. 函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以 (1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； (2)当a＝－1时，原不等式解集为∅； (3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
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(1)－ 22＜m＜0 [由题意，得函数 y＝x2＋mx－1 在{x|m≤x≤m＋1}
上的最大值小于 0，又抛物线 y＝x2＋mx－1 开口向上，
m2＋m2－1＜0， 所以只需m＋12＋1－1＜0，
2m2－1＜0， 即2m2＋3m＜0，
解得－ 22＜m＜0.]
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(2)[解] 由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m ＝(x－2)m＋x2－4x＋4， g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数． 由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零，
第二章 一元二次函数、方程和不等式
章末复习课
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解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数 图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参 数进行分类讨论.
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2 [因为ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1
4．若关于 x 的不等式 ax2 ＜x＜m}，
－6x＋a2<0 的解集是{x|1＜x
所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的
2
3
不等式的性质
【例 1】 如果 a，b，c 满足 c＜b＜a 且 ac＜0，则以下列选项中不
一定成立的是( ) A．ab＞ac C．cb2＜ab2
B．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0
4
C [c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0. 对于 A： ba＞＞c0⇒ab＞ac，A 正确． 对于 B： bc＜＜0a⇒b－a＜0⇒c·(b－a)＞0，B 正确．
c＜a 对于 C： b2≥0⇒cb2≤ab2 cb2＜ab2，C 错，即 C 不一定成立． 对于 D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D 正确，选 C.]
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不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断 命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适 合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就 是正确答案了.
＜m}，则 m＝________.
根，
m>1， 且m>1⇒1＋m＝6a，
1·m＝a
⇒ma＝＝22.， ]
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不等式恒成立问题 【例4】 (1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都 成立，则实数m的取值范围是________． (2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零， 求x的取值范围．
a－b 的取值范围为________．
∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.]
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基本不等式
【例 2】 设 x<－1，求 y＝x＋x5＋x1＋2的最大值． [解] ∵x<－1，∴x＋1<0. ∴－(x＋1)>0， ∴y＝x＋x5＋x1＋2＝x2＋x7＋x＋1 10 ＝x＋12＋x＋51x＋1＋4＝(x＋1)＋x＋4 1＋5
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＝－－x＋1＋－x4＋1＋5 ≤－2 4＋5＝1， 当(x＋1)2＝4，即 x＝－3 时取“＝”．]
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基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的 情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积 式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设 应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑 的目的在于使等号能够成立.
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A [由 a>b>c 及 a＋b＋c＝0 知
1．若 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，则 a>0，c<0，
下列不等式中正确的是( )
又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选
A．ab>ac
A.]
B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
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2．若 1≤a≤5，－1≤b≤2，则 －1≤a－b≤6 [∵－1≤b≤2，
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3．若x，y为实数，且x＋2y＝ 4，则xy的最大值为________．
2 [xy＝12·x·(2y)≤12·x＋22y2＝ 2(当且仅当 x＝2y，且 x＋2y＝4，即 x＝2，y＝1 时取“＝”)．]
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一元二次不等式的解法 【例3】 解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0. [解] 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a. 函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以 (1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； (2)当a＝－1时，原不等式解集为∅； (3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
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(1)－ 22＜m＜0 [由题意，得函数 y＝x2＋mx－1 在{x|m≤x≤m＋1}
上的最大值小于 0，又抛物线 y＝x2＋mx－1 开口向上，
m2＋m2－1＜0， 所以只需m＋12＋1－1＜0，
2m2－1＜0， 即2m2＋3m＜0，
解得－ 22＜m＜0.]
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(2)[解] 由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m ＝(x－2)m＋x2－4x＋4， g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数． 由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零，
第二章 一元二次函数、方程和不等式
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