二重积分计算中的积分限的确定
第十章第二节_二重积分的计算法
(1,1)
y x
x
y
0
1
dx sin y 2dy
x
1
(1,1)
0 dy 0 sin y dx
2
1
y
y x
(sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 y 1, 0 x y
o
y sin y 2dy
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、极坐标系下二重积分的计算 三、小结 思考题
【复习与回顾】
回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
在点x处的平行截面的面积为 A( x ) 体积元素 dV A( x )dx 体积为
V A( x )dx
a b
一、利用直角坐标系计算二重积分
(( xx )0 ) 11
ff (x (x ,0 y,)dy y )dy
b
V A( x )dx
a
2 ( x )
1( x)
f ( x, y )d [
D a
f ( x , y )dy]dx.
公式1
上式称为先对 y后对x的二次积分
注意:
1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2）积分次序: X-型域 先Y后X; 3）积分限确定法: 后积先定限，域中做穿线； 先过为下限，后过未上线。
f ( x, y )d 的值等于以D 为底，以曲面z
D
f ( x , y ) 为顶的曲顶柱体的体积 ．
【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.
二重积分的计算
二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分1.X 型区域1) 定义：先把x 看做常数，f(x,y)只看做y 的函数，对f(x,y)计算从1ϕ(x)到2ϕ(x)的定积分，然后把所得结果（为x 的函数）再对x 从a 到b 计算定积分，称其为X 型积分。
2) 积分区域D={(x,y)|21,ϕϕ≤≤≤≤y b x a },称为X 型区域。
3) 记作：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(2)(1)(2)(1),(),(),(),(x x Db a Db a x x dy y x f dx d y x f dx dy y x f d y x f ϕϕϕϕσσ4) 例题1注意：积分限：由下向上作平行为y 轴的直线，先经过的为积分下限，后经过的为积分上限。
.2,1,所围闭区域及：由其中计算xy x y D xyd D===⎰⎰σ⎩⎨⎧≤≤≤≤xy x D X 121:2211[]2xy x dx =⋅⎰89)22(213=-=⎰dx x x 211xDxyd dx xydyσ=⎰⎰⎰⎰解： 12 oxyy=xy=1Dx2.Y 型区域1）定义：先对x ，后对y 的二次积分，称之为Y 型积分。
2）积分区域D={})()(,),(21y x y d x c y x ϕϕ≤≤≤≤，称之为Y 型区域。
3）记作：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(2)(1)(2)(1),(),(),(),(y y Dd c Dd c y y dx y x f dy d y x f dy dx y x f d y x f ϕϕϕϕσσ4）例题2注意：积分限：由左向右做平行于x 轴的直线，先经过的为积分下限，后经过的为积分上限。
.2,1,所围闭区域及：由其中计算xy x y D xyd D===⎰⎰σ⎩⎨⎧≤≤≤≤221:x y y D Y 2221[]2y x y dy =⋅⎰89)22(213=-=⎰dy y y 221yDxyd dy xydxσ=⎰⎰⎰⎰解：12 o xy x = y x=2D y1 2例题3所围闭区域及：由其中计算2,2-==⎰⎰x y x y D xyd Dσ［法1］⎩⎨⎧+≤≤≤≤-221:2y x y y D Y 232511(44)2y y y y dy -=++-⎰46322114[2]2436y yy y -=++-13[12]24=-=2221y y D xyd dy xydx σ+-=⎰⎰⎰⎰22221[]2y y x y dy +-=⎰458［法2］⎩⎨⎧≤≤-≤≤x y x x D 10:1⎩⎨⎧≤≤-≤≤xy x x D 241:2⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21DD D xyd σ=+=⎰⎰⎰⎰--xx x x xydydx xydy dx 24110845例题四 计算()22Dxy dxdy +⎰⎰其中D 是以y x y x a y a ==+=，，和()30y a a =>为边的平行四边形区域。
二重积分计算法
0 D
R
x
I 2
2 0
d d 0 1 2
1
1 2
2
1
ln(1 ) ln 2 2 2 2 0
【例3】计算二重积分 e
D
x y
d . 其中D {( x, y ) | | x | | y | 1 }.
分析 首先应画出区域 D的图形,然后根据图形的特点选择适当 的坐标计算。本题可采用直角坐标计算, 即框图中线路1的方法。 注意到 D 既是 X 型区域, 又是Y 型区域，而无论 X 型区域 或 Y 型区域都不能用一个不等式组表出, 均需要把D 分割成 两个X 型区域或两个 Y 型区域的和的形式。 不妨把 D分成 两个X 型区域的和 D D1 D2来计算． 解: 积分区域如图所示.
(1, 1)
y x
x
. D
0
.
1
2
将二重积分转化为先对 y 对后 x 的二次积分，得
D
2 2 x x x2 dxdy dx 1 2 dy 2 1 y x y
x x 9 ( x x )dx 1 2 1 4 4
2
4 2
2
3
注：若本题将二重积分转化为先对x 后对 y 的二次积分,
y 2 ( x)
. .
D
y 1 ( x )
o
a
2 ( x ) 1 ( x )
x b
x
f ( x,
D
y )dxdy dx
a
b
f ( x , y )dy
（2）Y-型区域：
y
c y d D : 1 ( y ) x 2 ( y )
二重积分
（2）在还原积分区域时，首先根据积分上下限用不等式表示出积分区域，然后 再画出积分区域的草图。 例 2、设函数 f ( x, y ) 连续,交换二次积分次序得
dy
0
1
0
2 y 2
f ( x, y)dx A
A 2 dx 0
0
1
x 2
f ( x, y )dy .
B 2 dx 1 x f ( x, y)dy .
2
2
或含有较多的 x
D
2
y 2 时，可以考虑用极坐标计算。
直角坐标与极坐标的转换公式为
f ( x, y)dxdy f ( cos , sin ) d d 。
D
例 3、设 D
x, y x
2
y 2 x ,求 xdxdy .
D
二重积分
二重积分的计算思路，是将它化为累次积分，也就是两次定积分，可用的坐标有直角 坐标与极坐标。二重积分的内容包括概念、不等式的性质以及二重积分的计算。 一、二重积分的计算 1、直角坐标系 1）步骤：画出积分区域草图；选择积分次序；确定积分上下限，做定积分计算 2）确定积分次序时遵循两原则：尽可能地避免分类讨论；尽可能地使第一步的积分简单 3）定限方法（以先对 y 积分的情况为例） ： a、画一条与 y 轴平行的直线，观察这条直线与积分区域边界的两交点，下交点为下限，上 交点为上限，即
2 ( x )
1 ( x)
f ( x, y)dy ；
b、使得直线与积分区域交点 x 的范围便是积分变量 x 的上下限，即 2、极坐标 1）计算公式:
dx
a
b
2 ( x )
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算二重积分是一个非常重要的数学概念，在多种实际的问题中都得到了广泛应用。
通过对直角坐标系下二重积分的计算，可以深入地理解这个概念的含义。
在本篇文章中，我们将对直角坐标系下二重积分的计算进行详细的讲解。
一、二重积分的定义在直角坐标系下，二重积分可以定义为：如果在平面上有一个区域D，在D中每一点(x,y)都有一个实数f(x,y)，那么二重积分可以表示为：∬Df（x,y）dxdy其中，dxdy是对x和y的区域积分。
从数学上来讲，二重积分可以看做是对一个多元函数在一个二维区域上的积分。
在物理学、工程学和经济学等领域中，二重积分可以用来计算物体的质量、电荷或利润等量。
二、二重积分的计算接下来，我们将具体介绍如何计算直角坐标系下的二重积分。
1、以矩形为例当区域D为矩形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫ab[∫cd f（x,y）dy]dx其中，a、b、c和d是矩形的四个顶点。
从右到左积分是对x的积分，从下到上积分是对y的积分。
这个公式建立在f（x,y）在矩形D内是连续函数的条件下。
如果f（x,y）不连续，那么需要将图形分割成多个子区域，再对每个子区域使用上述公式求解。
如果积分上下限为定值，则直接将定值带入公式中进行计算。
2、以圆形为例当区域D为圆形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫0R[∫0 2πf（rcosθ，rsinθ）rdθ]dr其中，R是圆的半径，r是极径。
θ是极角，取值从0到2π。
这个公式建立在f（x,y）在圆形D内是连续函数的条件下。
如果不连续，需要将圆形分割成多个区域，再对每个区域使用上述公式求解。
3、以三角形为例当区域D为三角形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫a b[∫c(x)(d(x)−c(x))/b a f(x,y)dy]dx 其中，a和b是三角形底边的两个端点。
c（x）是左侧斜线的端点函数，d（x）是右侧斜线的端点函数。
二重积分计算中的积分限的确定1
二重积分计算中积分限的确定摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法.关键词:二重积分累次积分积分限积分次序引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。
原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。
本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。
1．高等数学中计算二重积分的方法在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。
(1)画出积分区域(2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域.(3)用公式化二重积分为累次积分.(4)计算累次积分的值.在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得.2．教学过程中总结的方法本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限.3．例题解析例1 计算⎰⎰D xydxdy,其中D是由直线xyyx===,1,2所围成的区域.解:作出积分区域D的图形在这个例题中我们既可以选择先对积分积分也可以选择先对y x .若我们选择先对先定下的积分限根据积分区域后积分的变量那么根据口诀需要先把积分y x , 来.从积分区域图可以看出21最大取到最小取到y .然后我们在y 的限1=y 和2=y 内画一条和这两条直线平行的直线,易见这条线只要画在1=y 和2=y 内,则其左边总是和直线y x =相交,从而x 的积分下限即为y ,而右边总是和直线2=x 相交,从而x 的积分上限为2.这样就完成了二重积分到累次积分的转化:811)81()212(2142212212=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰y y dy y y dx x ydyxydxdy Dy若我们选择先对y 积分也是可以的。
二重积分定限口诀
二重积分定限口诀二重积分是数学中的重要概念，它在解决面积、体积、质量分布等问题中发挥着重要作用。
在进行二重积分计算时，我们需要确定积分的定限，即确定积分的范围。
为了帮助大家记忆和理解二重积分的定限规则，下面我将介绍一个简单易记的二重积分定限口诀。
我们需要了解二重积分的定限方式。
在二维平面上，我们可以用两个变量（通常用x和y表示）来确定一个点的位置。
而二重积分的定限就是在这个平面上确定一个区域，将该区域分割成无数个小块，然后对每个小块进行积分求和。
在确定二重积分的定限时，我们需要考虑两个方向，即x轴方向和y轴方向。
根据这个思路，我们可以得出一个简单易记的二重积分定限口诀：右上左下。
右上左下是指在确定二重积分的定限时，首先从右侧开始，然后顺时针方向依次确定上限、左限和下限。
这样的定限方式可以确保我们在对每个小块进行积分时，能够正确地包含整个区域。
下面我将具体介绍一下右上左下的定限方式。
1. 右限：确定右限时，我们需要找到二重积分区域的最右边界。
可以根据题目的给定条件，或者通过观察图形的形状来确定右限的值。
右限一般用变量x来表示。
2. 上限：确定上限时，我们需要找到二重积分区域的最上边界。
同样地，可以通过给定条件或者观察图形的形状来确定上限的值。
上限一般用变量y来表示。
3. 左限：确定左限时，我们需要找到二重积分区域的最左边界。
同样地，可以通过给定条件或者观察图形的形状来确定左限的值。
左限一般用变量x来表示。
4. 下限：确定下限时，我们需要找到二重积分区域的最下边界。
同样地，可以通过给定条件或者观察图形的形状来确定下限的值。
下限一般用变量y来表示。
通过以上四个步骤，我们就可以完整地确定二重积分的定限范围。
在进行具体计算时，可以利用定限口诀来帮助我们记忆和理解。
需要注意的是，定限范围的确定要符合数学规则，不能出现重叠、遗漏或者错误的情况。
在进行二重积分计算时，还需要根据具体题目的要求，选择合适的积分方法和变量代换等技巧。
考研数学中二重积分的计算方法与技巧
考研数学中二重积分的计算方法与技巧顾 贞 洪 港 高恒嵩高等数学作为大多数专业研究生考试的必考科目，其有自己固有的特点，大纲几乎不变，注重基本知识点的考察，注重学生的综合应用能力，也考察学生解题的技巧.二重积分作为考研数学必考的知识点，在解题方面有一定的技巧可循，本文针对研究生考试中二重积分的考察给出具有参考性的解题技巧.二重积分的一般计算步骤如下：（1） 画出积分区域D 的草图；（2） 根据积分区域D 以及被积函数的特点确定合适的坐标系；（3） 在相应坐标系下确定积分次序，化为二次积分； （4） 确定二次积分的上、下限，做定积分运算.但是在历年考试题中，越来越多的题目注重解题技巧的考查，考题经常以下列几种情况出现：1分段函数的二重积分如果被积函数中含有函数关系min max,以及绝对值函数，则需要对二重积分进行分区域积分.例1：（2008年试题）计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),({≤≤≤≤=y x y x D .解：积分区域如图1所示：因为⎩⎨⎧>≤=111}1,max{xy xy xy xy ，所以有：max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰1122222111022x xdx dy dx dy dx xydy=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2ln 419)ln 21(21ln 2ln 2212212+=-+-+⨯=x x2交换二重积分的次序交换积分次序的步骤如下： （1） 先验证二次积分是否是二重积分的二次积分（积分下限小于上限）（2） 由所给二次积分的上、下限写出积分区域D 的不等式组（3） 依据不等式组画出积分区域D 的草图（4） 根据积分区域D 的草图写出另一种积分次序下的二次积分。
例2：计算dy e dx xy ⎰⎰-222解：积分区域如图2所示：因为⎰-22xy dy e 不可积，所以交换二重积分次序，则有：)1(214022022222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy e dx e dy dy e dx yy yy xy图1 图2 图3 图43利用积分区域的对称性计算二重积分（1）利用积分区域的对称性，被积函数的奇偶性计算 设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于y 轴对称，1D 为D 中0≥x 的部分.则有：()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=DD y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于x 轴对称，1D 为D 中0≥y 的部分.则有:()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=D D y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ 例3：（2017年试题）已知平面区域22{(,)2}D x y x y y =+≤，计算二重积分2(1).Dx dxdy +⎰⎰解析：积分区域具有对称性如图3，首先考虑使用奇偶性，其次，因为积分区域为圆域，需要使用极坐标进行求解。
二重积分计算中积分限的确定
维普资讯
一 ｚ相交 。 从而 Ｙ这个 积分 变量 的下限 为 １ 限为 上 ｚ。 是该 二 重积 分 也 可转 化 为下 面 的 二次 积分 来 于
分 变量 的积分 下限 ， 交 的即为 其积分 上限 。 后
１ 高等数学 中计算二重分的方法
在高等 数 学 课本 中 ， 直角 坐标 系 下计 算二 重 在
积 分 的步骤 为 ：
（ ）画出积 分 区域 ； Ｉ
３ 例题解析
例 １ 计算 Ｊｚ ｄ ， Ｉ ｘ ｙ 其中Ｄ是由直线 Ｘ一 ２ Ｉ ， Ｄ ， ｌ
（ ）用公 式 化二重积 分为 累次积 分 ； ３
（ ）计 算累 次积分 的值 。 ４
在教 学 的过程 中我发 现学生对 于此 种方 法 掌握 得 很不好 ， 其是在 第二步 中 ， 定积分 区域 从而 确 尤 确 定 累次 积分 的积 分 限 是 一个 薄弱 环节 。 下面 就 本 人
定积 分 限 的 简单 易行 的 方 法 。
关键 词 ： 重 积 分 ； 二 累次 积 分 ； 分 限 ； 分 次 序 积 积
中图分类号 ： ７． ０１ ２ ２
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：６ ３ ０ ６ ２ ０ ）４ ０ ３ ４ １７ —２ ０ （０ ７０ —０ ８ —０
高 等数 学学 习过程 中 ， 二重积 分计 算是 个难 点 。 原 因在于 将 二重 积分 化 为 累次积 分 时 ， 于 积分 限 对
的确定学 生难 以掌握 。本 人结合 自己的教学 实 践和 自己的学 习体 会 总结 出一个 口诀 ， 现 在教 学过 程 发
中 效 果 不 错 可 以很 好 地 帮 助 学 生 解 决 这 一 难 题 。
下限应 为 常数 ） 确 定 了这 个变 量 的上 下 限 以后 ， 。 我
§9[1].2二重积分的计算法
![§9[1].2二重积分的计算法](https://img.taocdn.com/s3/m/51e2566ea98271fe910ef9ea.png)
dxdy ,其中D: x 2
2
y
2
a
2
2
y
R x y
D
2
2
e
e
0
dxdy x
dx
2
D
e
r
2
rdrd
y
a
2
a
0
d
0
e
r
2
rdr (1 e
x
2
)
0
D1
e
x y
2
2
dxdy
S
e
x y
2
2
2
( ) d
2
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
y
r ( )
(2) y
o
r ( )
D
D
x
o
x
( 2)
答: (1) 0 ;
2
2
例1 计算 e
R
2
x y
R
2
2
e x 2 dx (1 e 2 R 2 ) D (1 e ) 4 解 D : 0 r a ,0 0 2 4
D
O
ri
ri ri
r
3。化为二次积分公式
I
r r1 ( )
r r 2 ( )
D
f ( r cos , r sin ) rdrd
二重积分计算中的积分限的确定
二重积分计算中的积分限的确定二重积分计算中积分限的确定摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法.关键词:二重积分累次积分积分限积分次序引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。
原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。
本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。
1．高等数学中计算二重积分的方法在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。
(1)画出积分区域(2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域.(3)用公式化二重积分为累次积分.(4)计算累次积分的值.在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得.2．教学过程中总结的方法本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3． 例题解析例1 计算⎰⎰Dxydxdy ,其中D 是由直线x y y x ===,1,2所围成的区域.解:作出积分区域D 的图形在这个例题中我们既可以选择先对积分积分也可以选择先对y x .若我们选择先对先定下的积分限根据积分区域后积分的变量那么根据口诀需要先把积分y x , 来.从积分区域图可以看出21最大取到最小取到y .然后我们在y 的限1=y 和 2=y 内画一条和这两条直线平行的直线,易见这条线只要画在1=y 和2=y 内,则其左边总是和直线y x =相交,从而x 的积分下限即为y ,而右边总是和直线2=x 相交,从而x 的积分上限为2.这样就完成了二重积分到累次积分的转化:811)81()212(2142212212=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰y y dy y y dx x ydy xydxdy Dy若我们选择先对y 积分也是可以的。
10-02二重积分的计算
o
y
y
A( x0 )
a
x0
b
x
y 1 ( x )
若积分区域D : c y d , 1 ( y) x 2 ( y).
［y－型］
d
d
1
x 1 ( y)
c
D
x 2 ( y)
x
( y)
D
x
2
( y)
c
f ( x, y )d
D
d
c
dy
t t
te dt t e
t t
dt te t
t
dt e ( t )
t
te e dt (1 t )e C
I x e
D
2 y2
dxdy dx x e
0 x
1
1
2 y2
dy ,
b
2 ( x )
y 1 ( x )
z f ( x0 , y )
z
A( x )
z
2 ( x )
1 ( x )
f ( x, y)dy
z f ( x, y )
2 ( x0 ) 1 ( x0 )
y 2 ( x )
b b 2 ( x )2 ( x )
得 ff ((x , y ) d f ( x , y ) dy dx x , y )d a dx f ( x , y ) dy 1 ( x )1 ( x) a D D
［y－型］ 区域
d
d
x 1 ( y)
x 1 ( y)
D
x 2 ( y)
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下，二重积分是对一个平面区域上的函数进行积分。
它的计算可以通过几何方法或者代数方法来进行，下面我们将介绍二重积分的计算方法以及一些相关的概念和定理。
一、二重积分的概念1.二重积分的定义设函数f(x, y)在平面区域D上有界，D在xOy平面上的投影为Ω，若Ω上有限个点构成的网格P={ (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn) }，其中每个小区域ΔS1,ΔS2,...,ΔSn（ΔSk的形状和大小可以不一样）,则每个ΔS_k上取点(xi_k)Σf(xi_k, yi_k)ΔS_k,称为这些和的极限Σf(xi_k, yi_k)ΔS_k,当格数无穷，网格直径趋于0时，如果此极限存在，则称此极限为平面区域D上函数f(x, y)的二重积分，记为∬D f(x, y)dxdy。
2.二重积分的几何意义从几何意义上理解，二重积分可以表示在平面区域D上函数f(x, y)的值在x轴与y轴所确定的平面区域上的总体积。
通过对平面区域上的小区域求和得到总体积。
3.二重积分的代数意义从代数意义上理解，二重积分可以将一个平面区域上的函数表示为两个单变量函数的积分，即先对y进行积分，再对x进行积分。
这种方法可以简化对复杂函数的积分运算。
二、计算二重积分的方法1.直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过对x或y进行积分，然后再对另一个变量进行积分来进行。
具体而言，对于函数f(x, y)，可以先对y进行积分，再对x进行积分，或者先对x进行积分，再对y 进行积分。
这种计算方法又称为换序积分。
2.计算中间量的选择在进行二重积分计算时，为了简化计算，可以选择合适的中间量来进行变量替换。
例如，可以选择极坐标中的r和θ来替代x和y，从而简化计算过程。
3.区域的划分在计算二重积分时，需要将平面区域D划分为若干小区域，然后对每个小区域进行积分。
可以选择直线或者曲线来进行划分，也可以选择矩形或者圆形等形状的小区域来进行划分。
高等数学第九章习题课二重积分的计算
习题课二重积分的计算一、主要内容二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：①作出积分区域的草图②选择适当的坐标系③选定积分次序，定出积分限1。
关于坐标系的选择这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑看图定限 —穿越法定限 和不等式定限先选序，后定限①直角坐标系ⅰ。
先 y 后 x ，过任一x ∈ [ a , b ],作平行于 y 轴的直线穿过D 的内部从D 的下边界曲线)(1x y ϕ=穿入—内层积分的下限从上边界曲线)(2x y ϕ=穿出—内层积分的上限ⅱ。
先 x 后 yy 过任一 yy ∈[ c , d ] 作平行于 x 轴的直线定限左边界)(1y x ψ=——内层积分的下限右边界)(2y x ψ=——内层积分的上限则将D 分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加②极坐标系积分次序一般是θ后先r 过极点O 作任一极角 为 θ]),[(βαθ∈的射线从D 的边界曲线 )(1θr 穿入从 )(2θr 穿出ⅲ。
如D 须分片)(1θr ——内下限)(2θr —内上限具体可分为三种情况)()(,21θθβθαr r r ≤≤≤≤⑵极点在D 的边界上)()(,21θθβθαr r r ≤≤≤≤是边界在极点处的切线的极角βα,)(1θr 绝大多数情况下为0⑶极点在D 的内部)(0,20θπθr r ≤≤≤≤化累次积分后外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘 r⑴极点在D 的外部∫∫∫∫=D Ddxdy x y f dxdy y x f ),(),(——称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为“你对称，我奇偶”①、②、③简单地说就是④若 DD 关于直线 y = x 对称。
第二节 二重积分的计算法
第二节 二重积分的计算法 一．本课的基本要求掌握在直角坐标系、极坐标系中二重积分的计算． 二．本课的重点、难点二重积分的计算为重点、积分限的确定为难点． 三．教学内容由⎰⎰∑→→∆=Dni iif d y x f 10),(),(lim σηξσλ；引入本次课题． 一． 直角坐标系中的累次积分法假定0),(≥y x f ，按照二重积分的几何意义⎰⎰Dd y x f σ),(的值等于以D 为底、以曲面),(y x f Z =为顶的曲顶柱体的体积．在上一章第一节我们知道区域D 的不等式组表示法通常有两种：1．⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21x y x bx a ϕϕ 或2．⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21y x y d y c ψψ 图1为方便，不妨以表示法1为例讨论．设⎰⎰Dd y x f σ),(所表示图形为图1．思路：⑴ 曲顶柱体的体积V 等于二重积分的值A ．⑵ 能否找到另一种计算曲顶柱体体积V 的方法；如能找到，设其表达式为B ． ⑶ 由传递关系可得到二重积分的计算方法，即A=B ．在定积分的应用中我们已讨论过“平行截面面积为已知的立体的体积” 的求法．下面我们就利用其求法之一的切片法来计算二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(所表示的柱体的体积．在区间[a,b]上任意取定一点0x ，作平行于yoz 面的平面0x x =，它与曲顶柱体相截所得截面是一个以区间[])(),(0201x x ϕϕ为底、曲线),(0y x f Z =为曲边的曲边梯形（图1中阴影部分）．所以，这载面的面积为：⎰=)()(000201),()(x x dy y x f x A ϕϕ．由0x 的任意性，过区间[a,b]上任一点x 且平等yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为：⎰=)()(21),()(x x dy y x f x A ϕϕ应用平行截面面积为已知的立体体积的求法，得曲顶柱体体积为：⎰⎰⎰==bax x badx dy y x f dx x A V )()(21]),([)(ϕϕ即⎰⎰⎰⎰=bax x Ddx dy y x f d y x f )()(21]),([),(ϕϕσ ⑴同理由表示法2可得：⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddy dx y x f d y x f )()(21]),([),(ϕϕσ ⑵由此看到，二重积分的计算可化为两次定积分来计算．把二重积分化为两次定积分的方法称为累次积分法．在上述讨论中，我们假定0),(≥y x f ，但实际上述公式的成立并不受此条件限制． 以后我们称图1所示的积分区域为X ─型区域，后者为Y ─型区域。
二重积分的计算-经典
注意：二重积分转化为二次积分时，关键在于正确
确定积分限，一定要做到熟练、准确。
2014年8月31日星期日
高等数学 11 - 2
4
例 1.求 ( x 2 y )dxdy，其中 D 是由抛物线
y x 2和 x y 2所围平面闭区域.
解： 两曲线的交点
D
x y
2
0 x 1 ［X－型］ D : x 2 y
2 D1
2014年8月31日星期日
D2
x ln( y 1 y 2 )d xd y 0
13
高等数学 11 - 2
2. 利用极坐标计算二重积分
当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比 较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标
系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑
其计算问题。例如:
2
y
(2) Y－型区域
D： 1 (x) x 2 (x) c y d
Y型区域的特点：平行于 x 轴且穿过区域
d y
x = 1(y)
D
x= 2(y)
c
x
o 内部的直线与区域边界的交点不多于两个。
积分限确定法： f ( x, y)d c
D d
2 ( y) dy f ( x, y)dx 1 ( y)
D
f ( x, y )d dx
a
f(x.y)dy
② 说明: 二重积分可化为二次定积分计算;
③ 积分次序: X -型域
先 y后 x;
④ 积分限确定法: “域中一线插”,须用平行 于 y 轴的射线穿插区域 。 ⑤ 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
2014年8月31日星期日
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二重积分计算中积分限的确定
摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法.
关键词:二重积分累次积分积分限积分次序
引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。
原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。
本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。
1．高等数学中计算二重积分的方法
在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。
(1)画出积分区域
(2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将
积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域.
(3)用公式化二重积分为累次积分.
(4)计算累次积分的值.
在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得.
2．教学过程中总结的方法
本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限.
3．例题解析
例1 计算⎰⎰
D xydxdy,其中D是由直线x
y
y
x=
=
=,1
,2所围成的区域.
解:作出积分区域D的图形
x
在这个例题中我们既可以选择先对积分积分也可以选择先对y x .若我们选择先对
先定下的积分限根据积分区域后积分的变量那么根据口诀需要先把积分y x ,
来.从积分区域图可以看出21最大取到最小取到y .然后我们在y 的限1=y 和 2=y 内画一条和这两条直线平行的直线,易见这条线只要画在1=y 和2=y 内,则其
左边总是和直线y x =相交,从而x 的积分下限即为y ,而右边总是和直线2=x 相交,从而x 的积分上限为2.这样就完成了二重积分到累次积分的转化:
8
11)81()212(21422
1
221
2=-=-
==⎰⎰⎰⎰⎰y y dy y y dx x ydy xydxdy D
y
若我们选择先对y 积分也是可以的。
先把后积分的变量x 的积分限根据积分区域
确定下来。
从积分区域图易见x 最小取到1最大取到2。
然后在1=x 和2=x 内画一条和这两条直线平行的直线，只要这条线画在1=x 和2=x 内，则其下边总是和
1=y 相交，而上面总是x y =相交。
从而y 这个积分变量的下限为1上限为x 。
于
是该二重积分也可转化为下面的二次积分来计算：
81
148
)22(2
1242
1
1
2
1
3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-==⎰⎰⎰
⎰⎰
x x dx x x ydy xdx xydxdy D
x 例2 计算
⎰⎰D
xydxdy ，其中D 是由抛物线x y
=2
和直线2-=x y 所围成的区域。
解 首先作出积分区域图
x
在本题中若我们选择先对x 积分，则根据积分区域图和上面介绍的口诀可以知道该二重积分化为二次积分为：
⎰⎰⎰⎰
⎰--+=-+==21522
1
2
5
5])2([12
dy y y y xdx ydy xydxdy D
y y
在本题中若我们选择先对y 积分，则根据积分区域图我们先把x 的上下限定下来，由图可见x 最小取到0 最大取到4 。
但在0=x 和4=x 这两条直线之间画和他们平行的直线的时候发现在1=x 这条直线的左右两侧情况有所不同：在1=x 的左侧所画直线上下均与抛物线x y =2
相交，而右侧所画直线下面是与直线
2-=x y 相交上面是与抛物线相交。
从而本题若选择先对y 后对x 积分则需要将
积分区域从直线1=x 处分割成两半来处理：
⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰--+=D
x
x
x
x ydy xdx ydy xdx xydxdy 41
2
10
显然这样计算起来要比上一种方法复杂的多！故当积分区域属这种情况时一般
来讲我们会选择先对x 后对y 积分。
还有的情况恰与这种情况相反，那么我们为了简便起见一般会选择先对y 后对x 积分。
比如： 例3：计算
⎰⎰D
xydxdy ，其中D 解 首先作出积分区域图
在本题中若我们仍然选择先对x 积分，则根据积分区域图易知：积分变量y 的最小取到0最大取到4。
但是在40＝和y y =这两条直线之间画平行于它们的直线的时候会发现在直线1=y 的上下两侧所画直线与区域图的交点所在的曲线有所不同：在直线1=y 的下侧，所画直线左右两端均与抛物线相交。
在直线1=y 的上侧，所画直线左端与直线相交右端与抛物线相交。
于是二重积分转化为累次积分进行计算时要将积分区域沿直线1=y 分割成两块来处理：
⎰
⎰⎰
⎰⎰-+=410
y
y
y
D
xdx ydy xdx ydy xydxdy
下面我们选择先对y 积分看是否可以起到简化计算的效果：
从积分区域图可以看到积分变量x 最小取到-1最大取到2，在直线1-=x 和
2=x 之间画平行于它们的直线时易见该直线上端总是与直线2+=x y 相交下端总是
与抛物线2
x y =相交，从而二重积分化为累次积分如下：
2
1
6234215232
2
1
612344121)44(212
--+-⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-++=-++==⎰⎰⎰⎰⎰
x x x x dx x x x x ydy xdx xydxdy x x
D
8
55
= 以上两个例题是根据积分区域选择积分次序以简化计算，积分次序的选择有时还要根据被积函数来选择，比如下面这个例题：
例4：计算
dxdy e
x D
y ⎰⎰-2
2，其中D 是由直线x y y x ===及1,0所围成的
区域。
解 先画出积分区域图
若我们选择先对x 积分，根据积分区域图，积分变量y 最小取到0最大取到1，在直线10==y y 和之间画平行于他们的直线，该直线左端总是与直线0=x 相交右端总是与直线y x =相交，从而二重积分化为累次积分为：
e
dy e y dx x dy e dxdy e x y y
y y D
31
613122
2
1030
21
2-===---⎰⎰⎰⎰⎰ 本题中若我们选择先对y 积分，则有：
⎰⎰⎰⎰--=1
10
222
2
x
y
y D
dy e dx x dxdy e x 由于2
y e
-的原函数不能用初等函数表出，因此我们无法求出二重
积分的值！
综上所述，对于初学者在将二重积分转化为累次积分时，应该依积分区域和被积函数的具体情况选择积分的先后顺序，方能达到简化计算的目的。
参考文献：【1】杜先能 孙国正。
高等数学[M]。
安徽大学出版社，2004 【2】华东师范大学数学系。
数学分析[M]。
高等教育出版社，2004
The integral limit's ascertaining in double integral's calculation
( zhaojuan chenhao)
(Department of Mathematics,Suzhou College,Suzhou,Anhui,234000) Abstract:That dual accumulate points calculates ascertaining that middle accumulate points is restricted to is that a priority also is a difficult point to the beginner. The main body of this article aim at ascertaining the method simple and easy to do that accumulate points is restricted to in introducing that one kind of dual accumulate points secretly schemes against.
Key words:Double Integral;Repteat Integral ;Integral Limit;Integrate Sequence。