数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十二章

第十二章 数项级数

证明题

1． 证明下列级数的收敛性,并求其和:

(1)

++-+++1)4)(5n (5n 111.1616.1111.61; (2) +⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫

⎝⎛+n n 22312

1

31213121;

(3)

∑++2)1)(n n(n 1

;

(4) ∑++-+)n 1n 22n (

;

(5)

∑-n 212n .

2. 证明:若级数

∑n

u

发散,则

∑n

Cu

也发散(c ≠0).

3. 证明:若数列{a n }收敛于a,则级数

a -a )a (a

11n n

=+∑+.

4． 证明: 若数列{b n }有+∞=∞

→n n b lim ,则

(1)级数)b (b

n 1

n ∑-+发散;

(2)当b n ≠0时,级数

∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+11n b 1b 1n 1

5. 证明级数

∑n

u

收敛的充要条件是:任给正数ε,有某自然数

N,对一切n>N 总有

|u N +u n+1+…+u n |<ε

6. 设

∑∑n

n

v

、u 为正项级数,且存在正数N 0,对一切n>N 0,有

n

1

n n 1n v v u u ++≤ 7. 设正项级数∑n

a

收敛,证明级数

∑2

n

a

也收敛;试问反之是

否成立?

8. 设a n ≥0,且数列{na n }有界，证明级数∑2n

a

收敛.

9. 设正项级数

∑n

u

收敛,证明级数

∑

+1n n u u 也收敛.

10. 证明下列极限:

(1) 0)(n!n lim

2

n

n =∞→; (2) 1)0(a a )

(2n!lim

n!

n >=∞→.

11. 设{a n }为递减正项数列,证明:级数

∑∞

=1

n n

a

与

∑∞

=0

m 2m m

a 2

同时

收敛或同时发散. 12. 设a n >0, b n >0, C n =b n

1

n n

a a +

b n+1,证明: (1) 若存在某自然数N 0及常数K,当n>N 0时,有C n ≥k>0,则级数

∑∞

=1

n n

a

收敛;

(2) 若n>N 0时有C n ≤0,且∑=∞→+∞=n

1k k n b 1

lim ,则级数∑∞

=1

n n a 发散. 13. 设级数

∑2n a 收敛,证明级数∑

>0)(a n

a n n

也收敛. 14. 设a n >0,证明数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数

∑n

a

同时

收敛或同时发散.

15. 应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:

(1) ∑>+-0)(x ,x

1x n 1)(n

n

n ; (2)

∑

>∈0)(α(0,2π0,x ,n

sinnx

α; (3) ∑-n

n

cos 1)(2n

.

16. 设a n >0,a n >a n+1(n=1,2,…)且∞

→n lim a n =0,证明级数

∑+++--n

a a a 1)

(n

211

n

是收敛的. 17. 设2

u |u |g ,2u |u |p n

n

n n n n -=+=,证明:若∑n u 条件收敛,则级数

∑n

p

与

∑n

q

都是发散的.

二、计算题

1. 试讨论几何级数(也称为等比级数)

a+r+ar 2+…+ar n +…(a ≠0) 的敛散性. 2. 设级数

∑n

u

与

∑n

v

都发散,试问

)v (u

n n

∑+一定发散

吗?又若u n 与v n (n=1,2,…)都是非负数,则能得出什么结论? 3.求下列级数的和:

(1)

∑+-+n)1)(a n (a 1

;

(2)

∑++-+1)

n(n 1

2n 1)(1

n ;

(3)

∑++++1]1)1)[(n (n 1

2n 22.

4. 应用柯西准则判别下列级数的敛散性:

(1) ∑n n

2sin2; (2)

∑+12n n (-1)221-n ;

(3) ∑n

(-1)n

; (4)

∑

+2

n

n 1.

5. 应用比较原则判别下列级数的敛散性.

(1) ∑+22a n 1

; (2)

∑n

n 3πsin

2; (3)

∑

+2

n

11;

(4)

∑∞

=2

n n

(lnn)1

; (5)

∑⎪⎭⎫

⎝

⎛-n 1cos 1; (6)

∑n

n

n

1

;

(7)

∑>⎪⎭⎫

⎝⎛-+0)(a ,2n 1a n 1a ; (8) ∑∞

=2

n lnn

(lnn)1.