§3.1.1 变化率问题
3.1.1变化率问题
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在 函 h 数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某段时 间内的平均速度粗略地 o t 描述其运动状态?
请计算 0 t 09t2+6.5t+10
r (2) r (1) 0.16(dm) 当V从1L增加到2L时,气球半径增加了
r (2) r (1) 0.16(dm / L) 气球的平均膨胀率为 2 1
显然 0.62>0.16
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小
思考:
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
• 小结 1.平均变化率:
y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x x2 x1 x
2.求函数的平均变化率的步骤:
（ 1 ）求函数的增量 y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 )
Y=f(x) y B
表示什么?
f(x2) f(x1)
A
f(x2)-f(x1)=△y
直线AB 的斜率
x2-x1=x △x
x2
O
x1
• 练习
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及 临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )D A.3 B.3Δx-(Δx)2 C.3-(Δx)2 D.3-Δx 2.质点运动规律s(t)=t2+3,则在时间[3,3+Δt]的平 均速度为( A ) A. 6+Δt B. 6+Δt +9/Δt C. 3+Δt D. 9+Δt 3.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均速度.
3.1.1变化率问题
由例题二可知， 求y =f ( x)在 x，x x 上的平均变化率的一般步骤为：
第一步：先求y f ( x x) f ( x);
y f ( x x) f ( x) 第二步：计算 . x x
注意：例题二计算平均变化率的方法， 在为后一节定义导数做考：
这一节我们学习了求y =f ( x)在 x，x x 上 的平均变化率。假设x 0，那么这个
x，x x x，此时的这个平均变化率
y =f ( x)在x处的瞬时变化率。
上面这个说法对不对，请发表一下你的看法！
解：这位车手在前三秒钟内赛车车速的平均变化 率是 120 0 40 m s
30
赛车车速度的平均变化率=
速度的增量 时间的增量
问题二：回忆一下吹气球的过程，可以发现，随 着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越 来越慢。请问：当空气容量V从0增加到1L时， 气球半径的平均变化率？（半径r的单位是:dm)
y f ( x2 ) f ( x1 ) = x x2 x1
表示什么？
y f ( x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 = 表示 x x2 x1 连接两点的线段所在直线的斜率。
例题二：求函数y x2 x在区间[3,3 x]上的平均变化率。
解： y f (3 x) f (3) (3 x) 2 32
解：当空气容量V从0增加到1L时，气球半径的 平均变化率为 r (1) r (0) 0.62 dm
1 0 L
半径的增量 气球半径的平均变化率= 体积的增量
定义： 如果上述两个问题中的函数关系用 y f ( x) 表示， 那么问题中的变化率可用式子 f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 表示，我们把这个式子称为函数 y f ( x) 从 x1 到 x 2 的平均变化率。 注意：习惯上令增量y f ( x2 ) f ( x1 ) ，x x2 x1 于是， 平均变化率可以表示为 y x
3.1.1变化率问题
极限（数学术语）编辑本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目审核。
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
极限是一种“变化状态”的描述。
此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
极限思想编辑简介极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计极限思想的思维功能极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。
借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。
变化率 问题
(x1, f(x1)) A
x O x1 x2
问题2
这是某市2007年3月18日至4月20日每天最高气温 的变化图，
T (℃ )
C (34, 33.4) 30
20
10
B (32, 18.6)
A (1, 3.5) 10 20 30 34 t(d)
2 0 2
t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
例题讲解
小远从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算小远从出生到第3个月与第6个月到 第12个月体重的平均变化率。 比较这两个时间段小远体重变化的快慢情况。
W(kg)
11 8(月)
例2 在高台跳水运动中,运动
员相对于水面的高度h(单位：
m)与起跳后的时间t（单位：s）
“形” 曲线“陡峭”程度
2.平均变化率的几何意义. 曲线上A、B两点连线的斜率。
“数” 平均变化率
已知函数 f ( x) x 2 ，分别计算 f ( x) 在下列区 间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。
4
3 2.1
2.001
34 t(天)
（1）t=32到t=34这两天的温差达到了多少？
(2)t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
定义:
f ( x2 ) - f ( x1 ) 平均变化率: 式子 x2 - x1
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 分别计算运动员在0到0.5秒时 间段,1秒到2秒时间段,以及 65 时间段内的平均 0到 秒 49 速度. (1)运动员在这段时间里是静止的吗?
人教版·选修1-1 §3.1.1 变化率问题
3V 如果将半径r表示为体积V的函数, 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) = 4π
3
3
我们来分析一下: 我们来分析一下:
增加到1 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) − r (0) ≈ 0.62(dm) r (1) − r (0) ≈ 0.62( dm / L ) 气球的平均膨胀率 膨胀率为 气球的平均膨胀率为 1− 0 增加到2 当V从1增加到2时,气球半径增加了 显然
r (2) − r (1) ≈ 0.16(dm) 0.62>0.16 气球的平均膨胀率 膨胀率为 气球的平均膨胀率为 r (2) − r (1) ≈ 0.16 ( dm / L ) 2 −1
当空气容量从V 增加到V 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨 胀率是多少? 胀率是多少?
思考? 思考
r(V ) − r(V ) 2 1 V −V 2 1
问题2 问题 高台跳水问题
在高台跳水运动中, 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 h(单位 单位： 与起跳后的时间t 单位： 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒） 存在函数关系： h(t)=存在函数关系： h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态? 描述其运动状态?
5、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一 、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化” 种粗略的刻画--------导数 --------导数
作业
1.过曲线y=f(x)=x3上两点P 1.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy) 过曲线y=f(x)=x3上两点 作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. Δx=0.1时割线的斜率 作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
3.1.1 变化率问题 3.1.2导数的概念 教案(人教A版选修1-1)
3．1 变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．●重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．(教师用书独具)●教学建议学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f (x )在x ＝x 0处的导数反映了函数f (x )在x ＝x 0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何刻画物体运动的快慢？⇒引导学生结合物理知识，分析、比较，引出平均变化率与瞬时变化率的概念.⇒通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率，得出导数的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何计算平均变化率.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求瞬时速度的方法，为求导数打下基础.⇒通过例3及其变式训练，学会求函数在某点处的导数的步骤与方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第45页)【问题导思】实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快． 1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？ 【提示】 可以运用平均变化率来刻画．2．实例(2)中，当t 1≈t 2时刻时，平均变化率有什么样的特点？ 【提示】 平均变化率接近t 1或t 2时刻的速度． 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(对应学生用书第45页)求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 (1)Δx 、Δy 分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy . 2．求函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量：Δx ＝x 2－x 1. (2)求函数值的增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (3)作商求函数的平均变化率：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．【解】 函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π，在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3＜1，∴3π＞3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t ＜3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？【自主解答】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li mΔt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs ，再用公式v ＝li mΔt →0 Δs，求得瞬时速度． 3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．【解】 设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率ΔsΔt 趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.【思路探究】 求Δy →求ΔyΔx→取极限→得f ′(1) 【自主解答】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx .Δy Δx ＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx Δx＝3Δx ＋6＋a . li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致li mΔx →0 ΔyΔx 不存在．(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c ) ＝2a ·Δx ＋(Δx )2，∴Δy ＝2a ·Δx ＋(Δx )2＝2a ＋Δx . 因此f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a .∴2a＝2，a＝1.(对应学生用书第48页)求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【思路点拨】本题已知函数解析式，求初速度即t＝0时的瞬时速度，t＝2时的瞬时速度和t∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，2分Δs Δt＝3Δt－(Δt)2Δt＝3－Δt，3分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.4分∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2，6分Δs Δt＝－Δt－(Δt)2Δt＝－1－Δt，7分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，8分∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝210分 v ＝Δs Δt ＝22＝1. ∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错．1．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.(对应学生用书第48页)1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( ) A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C.ΔsΔt 不一定与Δt 有关 D.lim Δt →ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度 【解析】 D 错误，应为t ＝t 0时的瞬时速度． 【答案】 D2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 ∵x ＝2，Δx ＝0.1， ∴Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b 【解析】Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝a ＋b ·Δx ， f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . 【答案】 C4．一物体运动的方程是s ＝3＋t 2，求物体在t ＝2时的瞬时速度． 【解】 Δs ＝(2＋Δt )2－4＝4Δt ＋(Δt )2.∴ΔsΔt＝4＋Δt . ∴当Δt →0时，瞬时速度为4.(对应学生用书第103页)一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . 【答案】 C2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝5Δt ＋10.故应选D.【答案】 D3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒B.12516米/秒 C ．8米/秒 D.674米/秒【解析】 ∵Δs Δt ＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt 4(4＋Δt )Δt＝Δt ＋8－316＋4Δt，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 【答案】 B4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定．【答案】 D5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0. ∴x 0＝－1，y 0＝－2.【答案】 B二、填空题6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2, (s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【解析】 v ′(5)＝lim Δt →0 s (5＋Δt )－s (5)Δt＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10 【答案】 10米/秒7．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.【解析】 f ′(1)＝lim Δx →0 a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝lim Δx →0 a Δx Δx＝2，∴a ＝2. 【答案】 28．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝________.【解析】∵limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)Δx＝m，则limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m.∴limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m＋m＝2m.【答案】2m三、解答题9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．【解】∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2＝2x0·Δx－2Δx＋(Δx)2，∴ΔfΔx＝2x0Δx－2Δx＋(Δx)2Δx＝2x0－2＋Δx，f′(x0)＝limΔx→0ΔfΔx＝limΔx→0(2x0－2＋Δx)＝2x0－2，把x0＝0代入上式，得f′(0)＝2×0－2＝＝－2.10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：s＝3t2＋2t＋1.(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．【解】(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：Δs Δt＝s(2＋Δt)－s(2)Δt＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt＋3(Δt)2Δt＝14＋3Δt.当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.(2)t＝2时的瞬时速度为：v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14＋3Δt)＝14.11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105 m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 【解】 ∵s (t )＝12at 2， ∴Δs ＝s (t 1＋Δt )－s (t 1)＝12a (t 1＋Δt )2－12at 21＝at 1Δt ＋12a (Δt )2， Δs Δt ＝at 1Δt ＋12a (Δt )2Δt ＝at 1＋12a Δt . ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (at 1＋12a Δt )＝at 1. 由题意a ＝5×105 m/s 2，t 1＝1.6×10－3s ， ∴v ＝at 1＝5×105×1.6×10－3 ＝800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.(教师用书独具)求函数y ＝1x在x ＝1时的瞬时变化率． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx＝1－1－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx， ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx . ∴Δx 趋于0时，Δy Δx 趋于－12. ∴x ＝1时的瞬时变化率为－12.求y ＝x 在x ＝1处的导数．【解】 由题意知Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1) ＝11＋Δx ＋1， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.。
2018学年高中数学选修1-1“同课异构”教学课件 3.1.1变化率问题1 精品
k P1P2
f x2 f x1 .
x2 x1
(2)平均变化率的取值 平均变化率可以表现函数的变化趋势，平均变化率为0，并不 一定说明函数f（x）没有发生变化. （3）平均变化率的物理意义 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t)，在
时间段［t1,t2］上的平均速度，即 v st2 st1 .
【解题指导】
【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．
在0时刻取一时间段［0,0＋Δt］，即［0，Δt］，
∴Δs=s（Δt）-s（0）=［3Δt-（Δt）2］-（3×0-02）
=3Δt-（Δt）2 ①，…………………………………………2分
s 3t （t）②2 ， 3… …t ………………………………3分
【解析】x0处的函数值为f(x0)，x0+Δx处的函数值为
f(x0+Δx)，所以Δy为f(x0+Δx)-f(x0). 答案：f(x0+Δx)-f(x0)
1.对平均变化率的解读
(1)平均变化率的几何意义
平均变化率的几何意义是表示函数y=f（x）图象上割线P1P2的
斜率(其中P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2)))，即
（1）如果记Δx=x2-x1，可用x1+Δx代替x2.类似的，Δy=
f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)，于是平均变化率可以表示为
y f x2 f x1 f x1 x f x1 . 式子中的Δx是一个整体
x
x2 x1
x
符号，不是Δ与x相乘.
(2)公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间
t12+t，
4
Δs=
（14 t0+Δt）2+(t0+Δt)-(
3.1.1变化率问题
1 运动员在这段时间里是静止的吗 ? 2 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
状态有什么问题吗 ?
h t2 h t1 h v t t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， ( 65 ) h(0) ， h 49 所以， h
小结：
1.函数的平均变化率
y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);
y f ( x2 ) f ( x1 ) (2)计算平均变化率： x x2 x1
见Word版活页训练
注意：x的值可正可负不可以为0 y的值可正可负也可为0
2、平均变化率的几何意义
割线AB的斜率 课本P74页思考 y
平均变化率 y f ( x2 ) f ( x1 ) f(x2) x x2 x1 表示什么？
B
y=f(x) f(x2)-f(x1)
f(x1) O
A
x2-x1 x
思考
以上解法没有理解“膨胀率”的概念，从 R＝1 到 R ＝m 时球的体积膨胀率即为 R∈[1，m]时的平均变化率． 4π 3 4π 4π ΔV 3 3 [ 正 解 ] Δ V ＝ 3 m － 3 × 1 ＝ 3 (m － 1) ， ∴ ＝ ΔR 4π （m3－1） 3 28 ＝ 3 π .∴m2＋m＋1＝7.∴m＝2 或 m＝－3(舍)． m－1 物理学上的平均速度、 膨胀率等就是函数的平均变化 率．
思考 当空气的容量从 1增加到V2时, 气球的平 V r r V2 r V1 均膨胀率是多少 ? V V2 V1
人教a版数学【选修1-1】：3.1.1 3.1.2 变化率问题 导数的概念(含答案)
第三章导数及其应用§3.1 变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为________________，简记作：ΔyΔx.①平均速度；②曲线割线的斜率.瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即_______________＝limx→ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2．导数的概念：一般地，函数y=f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limx→ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y=f(x)在x＝x0处的，记为或即f′(x0) ＝limx→ΔyΔx一、选择题1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化率D．以上都不对2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则ΔyΔx等于()A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1 B．－1 C．2 D．－24．设f(x)在x＝x0处可导，则limx→f(x0－Δx)－f(x0)Δx等于()A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________． 8．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．能力提升 12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ；0 Δy Δx .→0 ΔyΔx.第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念答案知识梳理 1．f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0) y ′|x ＝x 0lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－lim Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－f ′(x 0)．] 5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx ＝－Δx －3，∴lim Δx →0Δy Δx＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )，∴ΔyΔx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析 由导数的定义，得 f ′(0) ＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －cΔx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2.13．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以0 Δv Δt＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
数学：选修1-1人教版精品课件3.1.1变化率与导数
解析：分别写出 x＝x0 和 x＝x0＋Δx 对应的函数值 f(x0) 和 f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量 Δy＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)，故应选 D.
答案：D
8
2．若一质点按规律 s＝8＋t2 运动，则在时间段 2～2.1 中，平均速度是( ) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1
答案：3－Δx
12
5．求函数 y＝x2 在点 x＝1 处的导数．
解：Δy＝(1＋Δx) －1＝2Δx＋(Δx) ， Δy ∴ ＝2＋Δx.y′|x＝1＝ lim (2＋Δx)＝2. Δx Δx→0
2
2
13
14
1.函数的平均变化率的理解 定义中的 x1，x2 是指其定义域内不同的两个数，记 Δx fx2－fx1 Δy ＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则当 Δx≠0 时， ＝ Δx x2－x1 称作函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，理解平均变化率 应注意以下几点：
24
练 1 求函数 y＝2x2＋5 在区间[2,2＋Δx]上的平均变化 1 率；并计算当 Δx＝ 时，平均变化率的值． 2
[ 解 ] 因为 Δy＝ 2×(2 ＋ Δx) ＋ 5 － (2×2 ＋ 5)＝ 8Δx ＋ Δy 2 2(Δx) ，所以平均变化率为 ＝8＋2Δx. Δx 1 1 当 Δx＝ 时，平均变化率的值为 8＋2× ＝9. 2 2
18
注意：令 x＝x0＋Δx，得 Δx＝x－x0， fx－fx0 于是 f′(x0)＝ lim x x0 x－x0 fx0＋Δx－fx0 与定义中的 f′(x0)＝ lim 意义相同. Δx Δx→0
19
函数的平均变化率 2 例 1 已知函数 f(x)＝2x ＋3x－5. Δy (1)求当 x1＝4，且 Δx＝1 时，函数增量 Δy 和平均变化率Δx； Δy (2)求当 x1＝4，且 Δx＝0.1 时，函数增量 Δy 和平均变化率Δx； (3)若设 x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
3.1.1变化率问题
3.1.1变化率问题习题【知识点总结】1、我们把式子2121()()f x f x x x --称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率。
习惯上令21x x x ∆=-，类似有21()()y f x f x ∆=-，于是平均变化率可以表示为y x ∆∆. 2、平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-表示连接两点的线段所在直线的斜率。
3、我们把函数值的增量与自变量的增量的比值叫做函数在这一区间上的平均变化率。
4、求平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量21()()y f x f x ∆=-；（2）求自变量的增量21x x x ∆=-；（3）计算2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的值. 5、求平均变化率的另一种步骤：（1） 求函数值的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2） 计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆的值. 注意：知识点5计算平均变化率的方法，为后一节定义导数做铺垫，要好好理解。
【基本题型练习】1、求函数2y x =在区间[]1,3上的平均变化率。
解：22(3)(1)318y f f ∆=-=-=312x ∆=-=∴ (3)(1)84312y f f x ∆-===∆- 变式一：求函数2y x x =+在区间[]1,3上的平均变化率。
2、求函数2y x x =+在区间[]3,3x +∆上的平均变化率。
解：(3)(3)y f x f ∆=+∆-2222(3)396()96()x x x x x =+∆-=+∆+∆-=∆+∆∴ 26()6y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆ 变式二：求函数23y x =在区间[]3,3x +∆上的平均变化率。
【变式练习参考答案】变式一：求函数2y x x =+在区间[]1,3上的平均变化率。
解：22(3)(1)(3+1(11)8y f f ∆=-=-+=)312x ∆=-=∴ (3)(1)84312y f f x ∆-===∆- 变式二：求函数23y x =在区间[]3,3x +∆上的平均变化率。
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1
[思路点拨]
思路一：
求Δy
―→
求ΔΔyx
―→
求 lim
Δx→0
Δy Δx
思路二： 求f x ―→ 求f
解析： 方法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴ΔΔyx＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16.
y′|x＝3＝ lim Δx→0
7分
lim
Δt→0
ΔΔst ＝liΔmt→0
(－1－Δt)＝－1，
8分
∴当 t＝2 时，物体的瞬时速度为－1.
(3)当 t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2. Δs＝s(2)－s(0) ＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2. v ＝ΔΔst＝22＝1. ∴在 0 到 2 之间，物体的平均速度为 1.
＝3f′(x0)＝1，
所以 f′(x0)＝13，故选 D.
【错因】 错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与 分 母 Δx 的 对 应 关 系 ． 在 导 数 的 定 义 f′(x0) ＝ lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的两个自变量的 差，即(x0＋Δx)－x0.初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分 母相应的符号或 Δx 系数的一致性．
求平均变化率的步骤： (1)先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔyx＝fxx11－ －fx0x0.
1．在函数 y＝2x2＋1 中，分别求函数在 x＝1,2,3 附近的平均
变化率，取 Δx 的值均为14，问哪一点附近的平均变化率最大？ 解析： ΔΔyx＝2x0＋Δx2＋Δx1－2x20＋1＝4x0＋2Δx 当 x0＝1，Δx＝14时，函数在[1,1.25]上的平均变化率为 k1＝4×1＋2×14＝4.5.
课件6：3.1.1 变化率问题
思维导航 2．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系 为h＝h(t)，h是否随t的变化均匀变化？
新知导学
1．当空气容量从V1增加到V2时，气球的半径从r(V1) rV2－rV1
增加到r(V2)，气球的平均膨胀率是___V_2－ __V_1 _____.
【解析】 ∵f(x)＝－2x2＋1，则质点从 x＝1 到 x＝2 的平均速
度为Βιβλιοθήκη v ＝ΔΔyx＝f－f 2－1
[－2×22＋1]－[－2×12＋1]
＝
＝－6，故选 D.
2－1
课堂总结 变化率问题来源于现实生活中的实际问题．平均变化率是一个 比值，它是揭示一个量随另一个量变化快慢的重要指标，学习时应 通过实例体会和经历求平均变化率的过程，注意平均变化率对于不 同的实际问题可
平均速度是( )
A．0.41 B．2
C．0.3
D．0.2
【答案】B
【解析】 Δs＝(3＋2×2.1)－(3＋2×2)＝0.2，
Δt＝2.1－2＝0.1，
∴ΔΔst＝00..21＝2.
3．如果质点A的运动方程是s(t)＝2t3，则在t＝3秒时的瞬时
速度为( )
A．6
B．18
C．54
D．81
【答案】 C
C．－3
D．0
【答案】C
思路方法技巧 命题方向1：平均变化率 例 1：求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率，并计算 当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
【解析】直接利用概念求平均变化率，先求出表达式， 再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
解：当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化率为 f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)＝(x0＋ΔΔxx)3－x03＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.1.1 变化率问题
【学习目标】
1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 【使用说明与学法指导】
1. 预习教材P72-74的内容，大约需要10分钟。
2. 认真阅读课本，自主完成自主学习部分，积极合作探究，努力完成合作探究部分。
训练提升部分分层完成：A 层全部完成；B 层完成除**外的题目；C 层完成不带*题目。
自主学习
/
探究：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象
问题2：高台跳水，求平均速度
|
计算运动员在65
049
t ≤≤
这段时间里的平均速度，并思考下面的问题： （1） 运动员在这段时间里是静止的吗
（2） 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗
新知：平均变化率：2121()()f x f x f
x x x
-∆=
-∆ ，
试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即
x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数
的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值y
x
∆∆，则上式就表示
为 ，此比值就称为平均变化率.
反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.
合作探究
例 1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.
#
变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则y
x
∆∆=
；
例2 已知函数2
()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，]； （4）[1，]
(
小结:
练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12
：
练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.
T(月)
W(kg) @
3
9
12
导
学
案
装
订
线
】
（发现：y kx b =+在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点
）
※ 学习小结
1.函数()f x 的平均变化率是
2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率
当堂检测
1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） ：
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
*2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆-
**3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）
A ．6t +∆
B ．9
6t t
+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆
4.已知21
2
s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______
5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____。
训练提升
1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好为什么
*2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯（单位：3
cm ）， 计算第一个10s 内V 的平均变化率.。