折现因子的概述
折现因子 计算公式
折现因子计算公式折现因子计算公式在金融领域，折现因子是非常重要的概念之一，它用于计算未来现金流在当前时点的价值。
本文将详细介绍折现因子的意义、计算公式及其应用。
什么是折现因子？折现因子，也称为贴现因子，是指现在一定量的钱，在未来某个时点的价值。
它考虑了货币时间价值的影响，因为同样的金额在不同时间点可能会有不同的价值。
折现因子的计算公式折现因子的计算公式是：折现因子 = 1 / (1 + r)^t其中，r是折现率，t是时间。
一般情况下，折现率指的是市场利率或公司的加权平均资本成本（WACC）。
折现因子应用现在我们来看一个例子，假设财务部门需要决定是否投资一家新公司。
这家公司承诺，在未来五年内每年提供1,000美元的现金流量。
我们可以使用折现因子计算出这些现金流量的当前价值。
假设市场利率为10%，现在的折现因子为：折现因子 = 1 / (1+0.1)^1 = 0.910折现因子 = 1 / (1+0.1)^2 = 0.826折现因子 = 1 / (1+0.1)^3 = 0.751折现因子 = 1 / (1+0.1)^4 = 0.683折现因子 = 1 / (1+0.1)^5 = 0.621现在我们将每个现金流与对应年份的折现因子相乘，得到它们的当前价值：当前价值 = 1,000 x 0.910 = 910当前价值 = 1,000 x 0.826 = 826当前价值 = 1,000 x 0.751 = 751当前价值 = 1,000 x 0.683 = 683当前价值 = 1,000 x 0.621 = 621最终，我们将这些价值加在一起，得到总现值：总现值 = 910 + 826 + 751 + 683 + 621 = 3,791如果这些现金流是确定的，而且我们确定了正确的折现率，那么它们的当前价值理应等于我们需要支付的投资金额。
如果当前价值大于投资金额，那么投资该公司是有利可图的。
结论折现因子的计算公式是一种重要的金融工具，它能够帮助我们计算未来现金流在当前时点的价值。
养老保险精算基础第二节
金额，与给定的时期有关。 Image
例题：1. 教材p8
养老保险精算基础第二节
（三）单利和复利 在投资期为多个或非整数个度量期时，
根据实际利率计算积累值和利息的两种不同 的方式。 ■单利
只有本金产生利息，而已产生的利息在 后面的时期不再生息。
付出的成本或借出一定数量的资本所得到的报酬。 一般用It表示。
在某种意义上，利息可以理解为租金的一种形 式，即借方向贷方支付的由于资金转让而在一段 时间内不能使用该笔资金所引起的损失。
一般来说，利息包含对机会成本的补偿和对风 险的补偿。
养老保险精算基础第二节
●几个基本概念：本金、积累值、第t时刻的利息、
a (t + s) – a (t)=s · i
利息与时间长度s成比， 与t无关。
复利：同样长时间积累值 增长的相对比率保持为常 数。
a(ts)a(t)(1i)s1 a(t)
在实务中，期限达到或超 过一个度量期的金融业务 几乎全部使用复利。
养老保险精算基础第二节
例题： 2. 某银行以单利计息，年息为6%，某人
PV=10000a-1(4) =10000/（1+8%）4=7350.3(元)
养老保险精算基础第二节
例题
5. 教材p10，例2-2
(1) 期限超过了一个度量 期，t=1和t>1时单利、复利 下积累值的比较。 (2) 单利、复利条件下，It的 变化趋势。 (3) 单利、复利条件下，it的 变化趋势。
存入5000元，求5年后的积累值是多少？
A(5)=5000a(5)=5000(1+6% ·5)=6500(元)
3. 如果该银行以复利计息，其他条件不 变，求5年后的积累值。
第二章 养老保险精算基础(第二节)
第一节 利息与年金
单利计息的特征: 单利计息的特征 1. 利息恒定 It=A(t)-A(t-1) =k[a(t)-a(t-1)] =k[1+it-1-i(t-1)] =k i
第一节 利息与年金
2. 实际利率递减
At − At−1 it = At−1 k[a(t) − a(t −1)] = ka(t −1) i = 1+i(t −1)
在实务中， 在实务中，期限达到或超 过一个度量期的金融业务 几乎全部使用复利。 几乎全部使用复利。
第一节 利息与年金 例题： 例题： 2. 某银行以单利计息，年息为 ，某人 某银行以单利计息，年息为6%， 存入5000元，求5年后的积累值是多少？ 存入 元 年后的积累值是多少？ 年后的积累值是多少 A(5)=5000a(5)=5000(1+6% ·5)=6500(元) 元 3. 如果该银行以复利计息，其他条件不 如果该银行以复利计息， 年后的积累值。 变，求5年后的积累值。 年后的积累值 A(5)=5000a(5)=5000(1+6%)5=6691.13(元) 元
第一节 利息与年金
■
实际利率的计算公式
It At − At −1 = it = At −1 At −1
实际利率是单位本金在给定时期中产生的利息 金额，与给定的时期有关。 金额，与给定的时期有关。 例题： 教材p8 例题：1. 教材
第一节 利息与年金
（三）单利和复利 在投资期为多个或非整数个度量期时， 在投资期为多个或非整数个度量期时， 根据实际利率计算积累值和利息的两种不同 的方式。 的方式。 ■单利 只有本金产生利息， 只有本金产生利息，而已产生的利息在 后面的时期不再生息。 后面的时期不再生息。 考虑1单位本金 如果在t时刻的积累值 单位本金， 考虑 单位本金，如果在 时刻的积累值 为：a (t)=1+i t ，那么可以说该笔投资以每期 单利i计息 并将这样产生的利息称为单利。 计息， 单利 计息，并将这样产生的利息称为单利。
企业投资决策中的折现因子研究
企业投资决策中的折现因子研究折现因子在企业投资决策中起着重要的作用。
它是将未来的现金流量进行折现，以便能够比较不同时点的现金流量的价值。
在这里，我将回答你的问题，并用易于理解的术语解释。
1. 什么是折现因子折现因子是一种衡量现金流量在不同时间点上的价值的工具。
它用于将未来的现金流量转换为等值的现值，以考虑时间的价值。
折现因子可以看作是一个调整因子，它将未来现金流量按照时间价值进行调整，使得不同时点的现金流量可以进行比较。
2. 为什么需要折现因子在企业投资决策中，未来的现金流量通常不同时间点上的价值是不同的。
由于时间价值的存在，未来的现金流量需要进行折现，以便能够进行比较和评估。
折现因子能够考虑到未来现金流量的时间价值，使得企业能够更准确地评估投资项目的价值和回报。
3. 如何计算折现因子折现因子的计算通常基于贴现率。
贴现率是投资项目的期望收益率，它反映了投资风险和资金的成本。
具体计算折现因子的方法有多种，常用的方法是使用贴现因子表格或计算公式。
贴现因子表格是一个根据不同时间期限和贴现率编制的表格，可以直接查找相应的折现因子。
计算公式则是根据贴现率和时间期限进行计算，常见的计算公式包括现值公式和复利公式。
4. 折现因子的影响因素有哪些折现因子的大小受到多个因素的影响。
其中包括贴现率、投资项目的时间期限、现金流量的稳定性等。
贴现率越高，折现因子越小，因为高贴现率意味着较高的投资风险和较高的资金成本。
时间期限越长，折现因子也越大，因为时间的价值越高。
稳定的现金流量会导致较小的折现因子，因为它能够提供较为可靠和稳定的现金流量。
5. 折现因子在企业投资决策中的应用折现因子在企业投资决策中起到关键的作用。
通过将未来的现金流量进行折现，企业能够更准确地评估投资项目的价值和回报。
在投资决策中，企业会根据折现因子计算出项目的净现值或内部收益率等指标，用于评估投资项目的可行性和优先级。
通过对折现因子的研究和分析，企业能够更好地进行投资决策，降低风险，提高投资回报率。
第二章固定收益债券的定价与利率的期限结构
( 1 r B ) 1 r B 8 5 7 . 3 4 1 0 0 0 ( 元 ）
2020/10/18
得rB=8%
对于债券C。初始946.93元的投资，一年后变为（1+rC） *946.93元。这时，投资者支取50元利息，账户变为
[（1+rC）*946.93]-50元。在两年末，投资者的账户变 为：
dk
1
[1
r m
]
k
2，永久性现金流（永久性年金）
P
A A
k1 (1r)k r
2020/10/18
3，有限期限的现金流定价公式 P (1 C i)1 (1 C i)2 (1 C i)3 (1 C i)n (1 M i)n
PC1[(i11i)n](1Mi)n
（二）股票的估值或定价
2020/10/18
A1Rn
如果每年计m次复利，则终值为：
A1mR mn
当m趋于无穷大时，就称为连续复利（Continuous
compounding），此时的终值为
m l i m A1m Rmn ARen
2020/10/18
假设Rc是连续复利的利率，Rm是与之等价的每年计 m次复利的利率，则
eRcn1R m m mn 或 eRc 1Rm m m
格将保持在票面值水平。 对于溢价或折价出售的债券而言，债券价格将不会保
持固定不变。可将债券价格分解为息票付款的现时价值 和票面值的现时价值。
2020/10/18
（1）等价的连续复利率为多少？ （2）按年计复利的利率为多少？
2020/10/18
4、即期利率与远期利率
如果把当前利率称为即期利率，则当前时 刻的未来一定时期的利率就称为远期利率。
折现率和折现因子
折现率和折现因子
折现率和折现因子是财务领域中非常重要的概念。
折现率是指计算未来现金流时所使用的折现率，通俗来讲就是将未来的钱降低至今天的价值。
折现因子是指将未来的现金流转化为今天的现值的系数。
折现率的大小取决于多种因素，如货币政策、通货膨胀率、市场利率、风险等级等。
当折现率越高，未来的现金流就被贬值得越快，因此，高折现率通常用于计算高风险投资的现值。
折现因子是根据折现率计算得出的。
例如，当折现率为5%时，今天的100元未来现金流的现值为95.24元（100÷1.05）。
因此，折现因子是指将未来现金流按照折现率计算得到的系数。
通常，折现因子和折现率是成反比例关系的。
折现率和折现因子在财务分析和投资决策中都扮演着重要的角色。
在计算净现值（NPV）时，需要使用折现率将未来的现金流折现至今天的价值，以便得出投资的价值。
在评估股票、债券等投资时，折现率也是一个重要的参考指标。
因此，理解和掌握折现率和折现因子的概念对于财务管理和投资决策非常重要。
- 1 -。
收益法评估报告
收益法评估报告目录一、概述 (2)1.1 目的与范围 (2)1.2 评估依据 (3)1.3 评估假设与限制 (5)二、项目概述 (6)2.1 项目基本情况 (7)2.2 项目地理位置 (8)2.3 项目主要资产 (9)三、收益法基础 (10)3.1 收益法的定义与原理 (11)3.2 相关财务模型与计算方法 (12)3.3 收入预测模型 (13)3.4 费用预测模型 (14)3.5 折现因子确定 (15)四、收益预测 (16)4.1 收入预测 (17)4.2 成本预测 (18)4.3 利润预测 (18)五、敏感性分析与不确定性评估 (20)5.1 敏感性分析 (21)5.2 不确定性分析 (22)六、评估结果 (23)6.1 评估结论 (25)6.2 资产价值估算 (26)6.3 风险评估与建议 (27)七、附件 (28)7.1 收入与成本预测表 (29)7.2 财务模型参数与计算过程 (29)7.3 敏感性分析表 (30)7.4 其他相关支持文档 (31)一、概述本评估报告旨在采用收益法对指定资产进行价值评估，收益法基于预期未来现金流的预测，并考虑了资产的风险水平，以确定其现值。
本报告将详细阐述评估对象的基本情况、评估目的、评估方法、参数选取及依据，并最终给出资产的评估价值。
评估对象为某公司持有的房地产项目，该项目位于市中心繁华地段，周边配套设施完善，交通便利。
本次评估旨在为该房地产的买卖、抵押或融资等提供价值参考。
在评估过程中，我们采用了收益法，该方法通过预测房地产的未来收益，并将其折现至现值，从而得出房地产的价值。
在预测未来收益时，我们综合考虑了房地产市场趋势、区域发展状况、政策影响等因素。
我们也充分考虑了房地产所面临的风险，如市场波动、租金收入不稳定等，并在评估中予以体现。
本报告所采用的参数和数据均来源于公开渠道和专业机构，确保了评估结果的客观性和准确性。
通过本报告的阐述和分析，能够为相关利益方提供有价值的参考信息。
年期折现因子和哥登模型乘数-精品文档资料
年期折现因子和哥登模型乘数哥登模型乘数的含义与ADF是类似的，只是其为期限趋于无限的现金流在第一个现金流等于1元时按恒定增长率或零增长率增长折现的的现值。
当采用哥登模型乘数时，折现率必须大于增长率，而ADF没有这个限制。
一、概述资金的时间价值是金融分析技术的支柱，也是企业价值评估、无形资产评估和不动产评估中的技术支柱。
由于不同时间的现金流具有不同的价值，资产评估中常常需要计算现金流的现值或其未来价值。
而年期折现因子就是计算现金流现值的重要工具。
为使评估师在评估实践中能够更加熟练运用这一工具，本文拟对其作一绍介。
所谓年期折现因子（ Annual Discount Factor，以下称ADF）就是对于有限系列的现金流，在假设第一个现金流等于1元，并按恒定增长率或零增长率增长的情况进行折现的现值。
那么，在资产评估中，将企业或资产第一年实际发生的现金流乘以ADF就等于这一时间间隔为从第一年到第n年的这个企业或资产系列现金流在时间坐标为零（即第一年年初时）的现值。
由于现金流本身情况的变化，ADF也会有几种变化。
主要变化的情况有：1.现金流是保持常数不变，还是增长的或递减的？2.现金流是发生在年中，还是在年末？故有年中ADF和年末ADF之分。
3.现金流是从第一年开始还是从别的什么时间开始？4.是每年都有现金流还是有规律地跳过一些年份？5.完结时是一个完整的年份还是在一年的几分之几？如果现金流结束在某一年的几分之几时段上，那么应该采用残余时间段的ADF公式。
ADF是有限系列现金流的年期折现因子。
当这个有限序列现金流的期限变为无穷大时，且现金流的增长率为一常数，则现金流的年期折现因子就变为哥登模型（Gorden & Shapiro 1956）乘数。
所以，哥登模型乘数就是恒定增长率下的永久年金的折现因子。
二、年末现金流的ADF由于ADF 的定义是第一年开始的现金流为1元，按恒定增长率n年内现金流折现的现值。
马尔可夫决策过程
马尔可夫决策过程马尔可夫决策过程1. 概述现在我们开始讨论增强学习(RL，reinforcement learning)和⾃适应控制( adaptive control)。
在监督式学习中，我们的算法总是尝试着在训练集合中使预测输出尽可能的模仿（mimic）实际标签y（或者潜在标签）。
在这样的设置下，标签明确的给出了每个输⼊x的正确答案。
然⽽，对于许多序列决策和控制问题（sequential decision making and control problems），很难提供这样的明确的监督式学习。
⽐如我们现在正在做⼀个四条腿的机器⼈，⽬前我们正在尝试编程让他能够⾏⾛，在最开始的时候，我们就⽆法定义什么是正确的⾏⾛，那么我们就⽆法提供⼀个明确的监督式学习算法来尝试模仿。
在增强学习框架下，我们的算法将仅包含回报函数(reward function)，该函数能够表明学习主体(learning agent)什么时候做的好，什么时候做的不好。
在四⾜机器⼈⾏⾛例⼦中，回报函数可以是在机器⼈向前移动时，给予机器⼈积极的回报，在机器⼈后退后者跌倒时给予消极的回报。
那么我们的学习算法任务是如何随着时间的变化⽽选择⼀个能够让回报最⼤的⾏动。
⽬前增强学习已经能够成功的应⽤在不同的⾃主直升飞机驾驶、机器⼈步态运动、⼿机⽹络路由、市场策略选择、⼯⼚控制和不同的⽹页检索等等。
在这⾥，我们的增强学习将从马尔可夫决策过程(MDP， Markov decision processes)开始。
1. 马尔可夫决策过程⼀个马尔可夫决策过程是⼀个元组 (S, A, {P sa}, γ, R)，其中（以⾃主直升飞机驾驶为例）：S是状态(states)集合，例：直升飞机的所有可能的位置和⽅向的集合。
A是动作(actions)集合，例：可以控制直升飞机⽅向的⽅向集合P sa是状态转移概率，例：对于每个状态s∈ S，动作a∈ A，P sa是在状态空间的⼀个分布。
第一章利息理论
p P-300
P+336 p
0
1.
336 i p
p 2800 300 i
p 300
1
2.
Байду номын сангаас
336 p 336 300
d
d
p
2800
p
31
3.pi 336,pd=300 i d 336 300 1 i i 0.12 p 2800
4.i d id (产生36元利息差的原因是本金少了300元) 336-300=300i i=0.12 Q 0.12p 336 p=2800
32
1.2名义利率与名义贴现率
名义利率：
（1）一个度量周期内结转m次利息的利率
（2）度量的是资本在一个小区间
1 内的实际利率
m
（3）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相
12
保险精算的基本原理
➢ 大数法则：即对于大量的随机现象
（事件），由于偶然性相互抵消所呈 现的必然数量规律的一系列定理的统 称。常见的有三个大数法则： ✓切比雪夫（Chehyshev）大数法则 ✓贝努里（Bermulli）大数法则 ✓泊松（Poisson）大数法则
13
教材
李秀芳，傅安平，王静龙 《保险精算》， 中国人民大学出版社（教育部，保监会推 荐教材）
➢ 进入20世纪以来，保险精算学得到了长足发展， 精算技术发生了根本的变化，精算水平显著提高， 精算在保险业务中具有核心作用。
5
保险精算的产生与发展
保险精算是在上世纪80年未90年代初才开始了入 我国的，虽然起步较晚，但在开始引进时就与国 际接轨，通过“派出去，请进来”的直接学习方 式，直接使用国际上最权威的原版教材，直接吸 收国际上最新成果，直接与国外学者进行交流。
现值和内部收益率概述
31
图3.3 即期利率与远期利率曲线
rate
10%
远期利率
即期利率
4%
04
12
20 28 T 年
32
面值100元－票息4.625－到期日95.8.15 的债券， 在94.2.15日价格可以表示为
1、 2.3125×d(0.5)+2.3125×d(1)+102.3125×d(1.5)
2.3125
2、
2
2
2
2
(4)
[1 r(0.5)][1 r(1)].....[1 r(t)] [1 r(t)]2t
2
2
2
2
30
表3.4 根据表3.3的即期利率推算远期利率
T
r (t) % r(t) %
0.5
3.567 3.567
1
3.896 4.226
1.5
4.178 4.743
2
4.443 5.239
2.5
4.622 5.342
4
折现因子 Discount factor
对应某特定期间的折现因子，是指该期间结束时 所收取1元的现值。将t年期的折现因子表示为d(t)。
d(0.5) ＝0.9825 表示6个月后收取的1元，现值0.9825元。
某证券6个月后收取的105元，现值多少？ 105× d(0.5) ＝105×0.9825＝103.16元。
x0 x1c x2c2 ... xncn 0
Proof: plot f (c) x0 x1c x2c2 ... xncn f(c) increasing...
c x0
37
内部报酬率实际上就是到期收益率 (yield to maturity)
第四章折现因子
零的偿付 x 是严格正的。但是它的价格
是负的。与无套利矛盾。
也可由 Arrow-Debreu 证券的价格都是 正的来证明。
路漫漫其悠远
•资产定价 Asset Pricing 4
不完全市场时的定理 2 的证明
这时需要从 m=x*+中选取特殊的 。
路漫漫其悠远
•资产定价 Asset Pricing 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ存在。”
路漫漫其悠远
•资产定价 Asset Pricing 4
4.2 无套利和正折现因子
无套利的定义：正偿付蕴含正价格。存在严
格正折现因子 m 使得 p=E(mx) 当且仅当无
套利机会。
具体地说，偿付空间 X 和定价函数 p(x) 无
套利机会是指每个满足总 (几乎肯定)非负
(x0)、而又以正概率为正 (x>0) 的偿付 x 总有正价格 p(x)>0.
第四章折现因子
路漫漫其悠远
2020/4/6
本章要点
本章要讨论的问题是：“一个折现因子刚 好是某个随机变量，它由偿付生成价格
， p=E(mx). 这个表达式意味着什么？
是否总能求得这样的折现因子？”
两条定理：1. 存在折现因子使所有偿付
可用 p=E(mx) 定价当且仅当单一价格法
则成立。2.存在正折现因子使所有偿付
注意套利的含义，大多数人把套利理解为单 一价格法则不成立。
路漫漫其悠远
•资产定价 Asset Pricing 4
基本定理
定理 1：p=E(mx) 和 m(s)>0 蕴含无
套利。 这一定理的证明非常简单。 定理 2：无套利蕴含存在严格正的折现
折现因子计算公式
折现因子计算公式折现因子是个在金融、经济领域中常常会用到的概念，它的计算公式虽然听起来有点复杂，但其实理解起来也没那么难。
咱先来说说啥是折现因子。
想象一下，未来的一块钱和现在的一块钱，价值可不一样哦！因为现在的钱你可以马上拿去用，能买东西、能投资，而未来的钱存在不确定性。
所以，为了把未来的钱换算成现在的价值，就需要用到折现因子。
折现因子的计算公式是：折现因子 = 1 / (1 + 利率)^期数。
这里的利率呢，一般是一个给定的数值，表示资金的增值或者成本的比率；期数呢，就是时间的阶段数。
比如说，假设年利率是 5%，要计算两年后的 100 块钱在现在值多少钱。
那利率就是 0.05，期数是 2 。
先算（1 + 0.05）的平方，等于1.1025 ，然后用 1 除以 1.1025 ，得到的约 0.907 就是折现因子。
再用100 乘以 0.907 ，就能算出两年后的 100 块钱在现在大约值 90.7 块。
我给您讲个我亲身经历的事儿吧。
有一次我和朋友计划一起投资一个小生意，预计两年后能有一笔收入。
朋友觉得未来能拿到的钱肯定更多，可我就给他用折现因子算了算，告诉他考虑到时间和利率，未来的钱其实没有现在看起来那么多。
朋友一开始还不信，觉得我在忽悠他。
我就详细给他解释了这个公式，还拿笔在纸上给他一步一步算。
最后他恍然大悟，明白了不能光看未来数字大，还得考虑时间和资金的价值。
在实际生活中，折现因子的应用可广泛啦。
比如说在企业做决策的时候，如果要投资一个项目，就得算算未来的收益折现成现在到底值不值。
还有在评估债券价值的时候，也得用折现因子来看看这个债券现在到底值多少钱。
甚至在个人理财规划中，比如考虑是现在存钱以后花，还是现在花掉享受生活，都能用到折现因子来帮忙做决定。
总之，折现因子计算公式虽然简单，但作用可不小。
它能帮我们更清楚地看到金钱在时间维度上的真实价值，做出更明智的经济决策。
希望您通过我的讲解，对折现因子计算公式有了更清楚的认识！。
第九章_债券久期的基本概念
市场 利率％
债券的 价格
修正久期 D*
近考虑久期 的价格变化
凸度
PB
△PB
CB
近考虑久期 与凸度的价 格变化 △PB
两种债券价格变 化估计的差距
3.00 132.50
4.67-3.10Fra bibliotek28.43
-3.05
-0.05
5.00 120.30
8.00 104.62 10.00 95.64
4.63
4.55 4.50
*
PB D* PB i
债券的价格的变化等于债券的修正久期乘以债券的价格再乘以市场利 率的变化
12
五、 凸度
久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系； 债券价格对市场利率的二阶导数关系即为凸度
PB
金融工程课程
a
b D E c
B G A F a’ C b’
i0
c’ i
-△i
解：
PB
＝125美元
i ＝5％
DM＝4.6年
i ＝＋0.004
PB DM PB i 4.6 125 0.004 2.3美元
更加精确的计算结果为：
DM PB 4.6 125 0.004 PB i 2.19美元 (1 i ) 1.05
第二种债券在第2年年末的利息再投资价值 ＝9×38712.79×(1+i％) 第二种债券在第3年年末的利息 ＝9×38712.79 第二种债券在第3年年末的出售价格 ＝109×38712.79/(1+i％)3+9×38712.79/(1+i％ )2+9×38712.79/(1+i％) 在3年时点的债券组合价值
随机折现因子
随机折现因子
随机折现因子是指在消费、购物中采用现金结算而享受折现优惠的条件，也称
为“现金优惠折扣”。
这种优惠是由电子商务企业专门针对现金支付消费者推出的一种折现方式，最主要的目的就是鼓励消费者使用现金。
近年来，随着社会的发展，购物的方式发生了很大的变化。
现金付款已经不是
主要的支付方式，越来越多的人喜欢使用信用卡、网上支付等形式支付。
但是，由于信用卡消费不同于现金消费，很多电子商务企业在引导消费行为时也采取一定的折扣机制。
随机折现因子是当前流行的折扣机制之一，通过随机应用折现因子，消费者可
以拥有更多的折现优惠，鼓励消费者使用现金结算，他们可以以更低的价格来购买自己想要的东西，大大增加了购物的乐趣。
此外，这种折扣机制也极大地降低了支付成本，提高了消费行为的灵活性，因此被广泛应用于各种电子支付场景中。
随机折现因子是我们当下购物消费模式必备的一大养护要素。
它更多了购物的
活力，也增强了人们使用现金支付消费的意愿，为电子支付环境提供了一种市场调节方式。
只要看到充斥着各种新颖精彩的随机折现优惠，我们就能感受到消费者对它们拥有强烈的购买欲望，这也让消费者在购物过程中体验到兴奋而又满意的心情。
远期结售汇和折现因子
远期结售汇和折现因子自央行发布《中国人民银行关于在银行间外汇市场开办人民币外汇货币掉期业务有关问题的通知》后，货币掉期正式进入人们的视野。
银行间外汇市场目前已有即期结售汇、远期结售汇、即期、远期、外汇互换等汇率产品，随着货币掉期的加入，产品线逐渐丰富，可供汇率风险管理的工具也逐渐增多。
货币掉期指在约定期限内交换约定数量的两种货币，同时定期交换两种货币利息的交易。
协议。
一般在期初按约定汇率交换两种货币，并在期末以相同汇率、相同金额进行一次本金的反向交换，也有只在期末交换本金。
利息支付可以采用固定利率，也可以采用浮动利率，于是有固定对固定、固定对浮动、浮动对浮动三种基本形式的货币互换。
人民银行规定人民币参考利率应该是同业拆借中心发布的货币市场利率。
货币掉期与利率掉期相似，利率掉期是同种货币不同利率之间的互换，如固定利率换3个月SHIBOR，不交换本金只交换利息，因此违约风险较小。
而货币掉期是两种货币的利率之间的互换，如人民币3个月SHIBOR换美元3个月LIBOR，期初买方（定义为收美元利息的一方）支付美元收到人民币（一般按即期汇率），期间收基于LIBOR 的美元利息付基于SHIBOR的人民币利息，期末再按同样汇率收回美元付出人民币。
因为期末有本金交换，所以货币掉期的违约风险要大于利率掉期，并且多了一种汇率风险。
名称上货币掉期与外汇互换容易弄混，外汇互换（FXSwap）指期初买入美元期末卖出美元或相反方向，相当于一笔即期与一笔远明（或两笔远期）的综合，只涉及近端汇率与远端汇率而不涉及利率。
而货币掉期本金交换近端远端按相同汇率，期间还交换利息。
浮动对浮动货币掉期可以拆解为固定对固定货币掉期与一笔人民币利率互换、一笔美元利率互换的加总，如人民币美元3个月SHIBOR对3个月LIBOR货币掉期可拆解为人民币基于3个月SHIBOR 的利率互换、美元基于3个月LIBOR的利率互换、固定利率对固定利率的人民币兑美元货币掉期三笔交易，因此固定利率对固定利率的货币掉期的定价是最为核心的。
折现因子和贴现率的关系
折现因子和贴现率的关系
哎呀，说起这个折现因子和贴现率的关系，那真是让我这个财务小老百姓头都大了。
咱们先来聊聊贴现率，这玩意儿听着高深，其实就是把未来的钱折算成现在的钱。
比如说，你今天给我一块钱，我明天还你，这叫无风险贴现。
可是，如果你明天给我一块钱，我怎么知道明天是不是还能值一块钱呢？这就涉及到折现因子了。
我先给大家举个例子，我有个朋友，叫张三，他特别有远见，每年年底都会存钱。
张三存钱那可是有讲究，不是随便存，而是用折现因子来算。
比如说，他今年存了一万块，明年按5%的贴现率算，那他得折现成多少呢？
我先算一下，10000除以1.05，哎呀，这不就是9430.95块嘛。
也就是说，张三现在就相当于拥有9430.95块。
这折现因子和贴现率的关系，就相当于一个魔术师，把未来的钱变得比现在值钱。
哎呀，说到这，我还想起了一个故事。
有一次，我在一个讲座上，听到一个专家说，折现因子和贴现率的关系，就像一场舞会。
贴现率是舞厅的灯光，亮的时候，大家都想尽情跳；暗的时候，就想着赶紧找个角落躲起来。
而折现因子就是舞伴，舞得好的，让贴现率变得更有趣。
哎呀，这个比喻真是妙啊！我赶紧把这个故事讲给张三听，他听了之后，瞪大了眼睛，说：“哎，没想到这折现因子和贴现率的关系，还能这么形象！”
哎呀，咱这财务小老百姓，也得学会用点幽默来调节一下生活。
你说呢？哎呀，我得赶紧去算算，今年我存的那些钱，现在值多少钱了。
嘿嘿，希望别让我失望啊！。
第四章折现因子(ppt 23)
1
本章要点
本章要讨论的问题是：“一个折现因子 刚好是某个随机变量,它由偿付生成价格, p=E(mx). 这个表达式意味着什么？是 否总能求得这样的折现因子？〞
两条定理：1. 存在折现因子使所有偿付 可用 p=E(mx) 定价当且仅当单一价格法 则成立。2.存在正折现因子使所有偿付 可用 p=E(mx) 定价当且仅当无套利时机。
是负的。与无套利矛盾。
也可由 Arrow-Debreu 证券的价格都是 正的来证明。
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不完全市场时的定理 2 的证明
这时需要从 m=x*+中选取特殊的 。
17
不完全市场时的定理 2 的证明（续）
令
这是 中的线
性子空间。由无套利假设,它与 只相
交于0点。（由凸集别离定理）存在线性
函数
,使得
对于这个 F,存在
9
定理说了么和没说什么？（续）
“x* 是任何随机折现因子 m 在偿付空间 X 上的射影。这是一个非常重要的事实： 任何折现因子 m 对于偿付集 X 的定价含 义都与 m 在 X 上的射影的定价含义是一 样的。〞
代数上,
10
定理说了什么和没说什么？（续）
“上面,我们从投资者或未定权益市场出 发,导出了折现因子。p=E(mx) 蕴含定价 函数的线性性,以至的单一价格法则,这是 在这些状况下的一条非常鲜明的陈述。 这里,我们反方向工作。市场是不完全的, 其中未定权益对某些自然状态而言是不 可采纳的。我们发现单一价格法则蕴含 一个线性定价函数,而线性定价函数蕴含 至少存在一个折现因子。〞
严格正的折现因子可想象为可能的未定权 益（Arrow-Debreu 证券）的价格。
一个观察到的价格和偿付的不完全集合是 否可能由某个完全市场,未定权益经济来生 成？答案是肯定的,尤其是其中还可保持无 套利性。这样的完全市场和定价函数有无 限多个。
折现率的算法
折现率的算法假如存⼊100元，利率为10%，⼀年后得利息是10元，那么连本带息共110元的钱仅相当于现在的100元；⼀年后的100元相当于现在的多少钱呢？⼀年后的110/相当于现在的100=⼀年后的100/相当于现在的X, X=90.91元，即⼀年后的100元相当于现在的90.91元，（反过来说，现在的100元相当于⼀年后的110元。
）上述等式若转换为：X=100×(100/110)=100×（1/110/100）=100×（1/1.1),这⾥1.1就是贴现率，⼜叫折现率，1/1.1就是折现因⼦由此也可看到，利率为10%时它的折现率为1.1。
（可以类推，利率为20%时，它的折现率为1.2。
）引申出⼀个重要公式：现⾦流折现值=若⼲年后的现⾦流×折现因⼦=若⼲年后的现⾦流/折现率。
假如存100元，存⼆年，利率为10%，那么第⼀年得利息是10元，则连本带息共110元，再转存⼀年，这时第⼆年的利息是多少呢？100/10=110/X X=11,即第⼆年利息为11元。
那么100元存⼆年共得利息为10+11=21，即连本带息为121元仅相当于现在的100元，那么⼆年后的100元相当于现在的多少钱呢？121/100=100/X X=100×(100/121)=100×(1/121/100)=100×（1/1.21)=82.64,即⼆年后的100元仅相当于现在的82.64元。
由上述可以看到，利率为10%时，⼀年后的折现率为1.1，⼆年后的折现率为1.21(是⼀年后的折现率再乘以1.1，那么三年后的折现率就为⼆年后的折现率再乘1.1=1.331)，以此类推。
可以列表如下：年份折现率折现率折现率1 （利率为10%）1.1 （利率为20%）1.2 （利率为30%） 1.32 1.21 1.44 1.693 1.331 1.728 2.1974 1.4641 2.0736 2.85615 1.6105 2.4883 3.71296 1.7716 2.9860 4.82687 1.9487 3.5832 6.27498 2.1436 4.2998 8.15739 2.3579 5.1598 10.604510 2.5937 6.1917 13.7858如果把利率理解为通货膨胀率的话，如果假设通货膨胀率每年为10%，那么10年后的100元仅相当于现在的38.55元（100/2.5937），根据72法则，按照每年增长10%的增长率，那么72除以10就是7.2年，表明经过7.2年本⾦能够翻⼀番，反过来可以理解，经过7.2年后，本⾦缩⽔⼀半，⽐如100元，连续放在家⾥7.2年算作7年，通货膨胀率为10%的话，本⾦将变为51.32元（100/1.9487），即缩⽔⼀半。
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4.2 无套利和正折现因子
❖ 无套利的定义：正偿付蕴含正价格。存在严 格正折现因子 m 使得 p=E(mx) 当且仅当无 套利机会。
❖ 具体地说，偿付空间 X 和定价函数 p(x) 无 套利机会是指每个满足总 (几乎肯定)非负 (x0)、而又以正概率为正 (x>0) 的偿付 x 总 有正价格 p(x)>0.
❖ 注意套利的含义，大多数人把套利理解为单 一价格法则不成立。
基本定理
❖ 定理 1：p=E(mx) 和 m(s)>0 蕴含无套利。 ❖ 这一定理的证明非常简单。 ❖ 定理 2：无套利蕴含存在严格正的折现因子
m>0, 使得 p=E(mx) xX. ❖ 这一定理在完全市场情形的证明很简单，但
是对于不完全市场，证明很困难。
4.1 单一价格法则 和折现因子的存在性
❖ 单一价格法则的定义：价格是线性函数。 ❖ 单一价格法则等价于折现因子存在。 ❖ 讨论的框架是不完全（未定权益）市场。 ❖ 定义偿付空间 X，其含义是所有可交易的偿
付。它是 S 维空间的一个线性子空间。即它 满足
(A1) (自由组合形成)
单一价格法则
❖ (A2) (单一价格法则，线性性)
）
❖ “上面，我们从投资者或未定权益市场出发 ，导出了折现因子。p=E(mx) 蕴含定价函数 的线性性，以至的单一价格法则，这是在这 些状况下的一条非常鲜明的陈述。这里，我 们反方向工作。市场是不完全的，其中未定 权益对某些自然状态而言是不可采纳的。我 们发现单一价格法则蕴含一个线性定价函数 ，而线性定价函数蕴含至少存在一个折现因 子。”
定理说了什么和没说什么？（续
）
❖ “我们允许任意的组合形成，以及某种‘完 全性’对于结果来说是重要的。如果一个投 资者不能形成一个组合 ax+by, 他们不能够强 求这个组合的价格等于它的组成成分的价格 。单一价格法则不是兼蓄并收的；它是一个 关于偏好的假定，尽管它很弱。定理的要点 在于，正是关于偏好的足够多的信息，来导 出折现因子的存在。”
❖ 也可由 Arrow-Debreu 证券的价格都是 正的来证明。
不完全市场时的定理 2 的证明
❖ 这时需要从 m=x*+中选取特殊的 。
不完全市场时的定理 2 的证明（续 ）
❖令
这是 中的线性
子空间。由无套利假设，它与 只相交
于0点。（由凸集分离定理）存在线性函
数
，使得
对于这个 F，存在 ，使得
由此可得 m 必须是正的。
定理说了什么和没说什么？
❖ 定理说折现因子 m>0 存在，但并没有说 m>0 是唯一的。
❖ 定理说折现因子 m>0 存在，但并没有说 每 个折现因子 m 都是正的。
❖ 定理表明，我们可以把任何定义在 X 上的定 价函数延拓到整个 ，并且仍然没有任何套 利机会。
定理说了什么和没说什么？（续 ）
无套利蕴含 m>0 的反例
❖ 如果m>0 不成立， 那么如图 可以看出 套利的存 在。
完全市场时的定理 2 的证明
❖ 无套利蕴含单一价格法则，故存在 x* 使 得 p=E(x*x), 并且在完全市场中它是唯 一的。假设对于某些状态 x*<0. 那么对 于在这些状态上为一，其他状态为零的 偿付 x 是严格正的。但是它的价格 是负的。与无套利矛盾。
4.3 一个取代公式
❖ 前面公式中的
是一个二阶矩矩阵。对实
际应用来说，更好的是取协方差矩阵。由此
可得
其中
这只需注意到 对这个和求逆不太方便。
但是
怎样求 x*?
❖ 这样 x* 就可看作偿付的震荡的线性函数：
再由
可解得 ❖ 如果无风险利率可交易，则
一般情况下，取例如零-beta 利率等。
❖ 定理：给定自由组合形成 A1 和单一
价格法则 A2, 存在唯一的偿付
，使得
对于所有
成立。ຫໍສະໝຸດ 几何证明X 是偿付空间的一 个线性子空间。
几何证明（续）
❖ 价格为常 数的集合 是偿付空 间中的一 个超平面 。
❖ 超平面的 法向量就 可形成
代数证明
❖ 我们把 X 看作由 N 个 S 维向量
张成的向量空间。它们的价格为 N 维向量
折现因子的概述
本章要点
❖ 本章要讨论的问题是：“一个折现因子刚好 是某个随机变量，它由偿付生成价格， p=E(mx). 这个表达式意味着什么？是否总能 求得这样的折现因子？”
❖ 两条定理：1. 存在折现因子使所有偿付可用 p=E(mx) 定价当且仅当单一价格法则成立。 2.存在正折现因子使所有偿付可用 p=E(mx) 定价当且仅当无套利机会。
m=x*+ 有无限 多个，其中 与
X 正交。
定理说了什么和没说什么？（续 ）
❖ “x* 是任何随机折现因子 m 在偿付空间 X 上的射影。这是一个非常重要的事实：任何 折现因子 m 对于偿付集 X 的定价含义都与 m 在 X 上的射影的定价含义是一样的。”
❖ 代数上，
定理说了什么和没说什么？（续
❖ 严格正的折现因子可想象为可能的未定权 益（Arrow-Debreu 证券）的价格。
❖ 一个观察到的价格和偿付的不完全集合是 否可能由某个完全市场，未定权益经济来 生成？答案是肯定的，尤其是其中还可保 持无套利性。这样的完全市场和定价函数 有无限多个。
❖ 无套利是另一个偏好和市场均衡的非常弱 的特征。
偿付空间中的元素都可用这 N 个向量的线性组 合来表示：
代数证明（续）
❖ 所求 x* 也有同样的形式，从而它满足
由此得到
可逆。从而 要求：
这里可要求方阵 。这个x* 满足下列
定理说了什么和没说什么？
❖ 定理说 x* 在 X 中是唯一的，但 是没有说m 是唯 一的。当 X 不 是 S 维空间（ 完全市场）时， 满足条件的