维纳滤波基本概念

Wiener 滤波概述

Wiener 滤波器是从统计意义上的最优滤波, 它要求输入信号是宽平稳随机序列, 本章主要集中在FIR 结构的Wiener 滤波器的讨论。

由信号当前值与它的各阶延迟)}1(,),1(),({+--M n x n x n x ，估计一个期望信号

)(n d ，输入信号)(n x 是宽平稳的，)(n x 和)(n d 是联合宽平稳的, 要求这个估计的均方

误差最小。

在本章中,不特别说明, 假设信号是零均值. Wiener 滤波器的几个实际应用实例如下：

①通信的信道均衡器。

图1. 信道均衡器的结构示意

②系统辨识：

图2. 线性系统辨识的结构

③一般结构:

图3. Wiener 滤波器的一般结构

Wiener 滤波器的目的是求最优滤波器系数o w ，使

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==2

2

)(ˆ)(]|)([|)(n d n d E n e E n J 最小。

§3.1 从估计理论观点导出Wiener滤波

FIR结构(也称为横向)的Wiener滤波器的核心结构如图4所示.

图4. 横向Wiener滤波器

FIR结构的Wiener是一个线性Beyesian估计问题.

为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数

由输入)(n x 和它的1至（M-1）阶延迟，估计期望信号)(n d ，确定权系数

}1,0,{-=M i w i 使估计误差均方值最小，均方误差定义为：

]))(ˆ)([(2n d n d E J -=

这里估计)(ˆn d 写为：

∑-=-=1

)()(ˆM k k k n x w n d 除了现在是波形估计外，与线性Bayesian 估计一一对应。

∑-==1

)(ˆN k k k x a θ

∑-=-=1

)()(ˆM k k k n x w n d

T

N a a a ],,[110-= a

T

N w w w ]

,,[110-= w

T

N x x x )]

1(),1(),0([-= x

T

M n x n x n x n )]1(,),1(),([)(+--= x

θ

)(n d

xx R R （零均值假设）

θx R T

xd

xd xd M r r r n d n E )]1(,),1(),0([)]()([+--== x r xd

这里)])()([)((n d k n x E k r xd -=-, Wiener 滤波与线性Bayesian 估计变量之间具有一一对应关系, 设最优滤波器系数为0w ，由线性Bayesian 估计得到Wiener 滤波器系数对应式：

x d r w R =⇒=0R R x xx θ

a

上式后一个方程称为Wiener-Hopf 方程, 或

xd x xx

r R R R 1

01

--=⇒=w θ

a

)()()(ˆˆ011n n R n d R R T T xx T x x x w r x x d ==⇒=--θθ

x d x d r r 12

m in 1)ˆ(---=⇒

-=R J R R R C Bmse T

d

x xx T x σθθ

θθθ 结论：

1) Wiener 滤波器是线性FIR 滤波器中的最优滤波器，但非线性滤波可能会达到更好结果。 2) 在联合高斯条件下，Wiener 滤波也是总体最优的（①从Bayesian 估计意义上讲是这样，②要满足平稳条件）

3) 从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的w 时，其误差性能表示：

w w r p r w w xd xd R J T

T T d

+--=2

)(σ

它是w 的二次曲面，只有一个最小点，0w w =时，min )(J w J =

§3.2维纳滤波：从正交原理和线性滤波观点分析Wiener 滤波器

Wiener 滤波器是一个最优线性滤波器，滤波器核是IIR 或FIR 的。

导出最优滤波器的正交原理, 并从正交原理出发重新导出一般的Wiener 滤波器方程 推导适应于IIR 和FIR 的一般结论，然后分别讨论FIR 和IIR 。 讨论一般的复数形式。

· ],[,],0[n x x 输入过程。

· ,,,210w w w 滤波器系数，（权系数） ·希望的响应 d [n ]

·输出误差： ][][][n y n d n e -=

·正交性原理

对复数据情况，推导一般结论，实数据是特例。

∑∞

=-=0

*)

(][k k

k n x w n y

][][][n y n d n e -==∑∞

=--0

*)(][k k

k n x w n d

均方误差是：

{}][*][n e n e E J ={}2

|][|n e E = 设权系数:

k k k jb a w +=

定义递度算子 T

k ],,[10 ∇∇∇=∇. 其中k k k k b j a w ∂∂

+∂∂=∂∂=∇

符号J ∇是递度算子作用于J ，其中第k 项为：k k k b J j

a J J ∂∂+∂∂=∇

要求 ,,10w w 的值, 使得J 最小,即

0=∇J