线性规划中目标函数斜率与最值的关系

线性规划中最值问题的一种改进解法

摘 要：本文主要是讨论如何利用目标函数的斜率来求最值。首先，分析通用解法步骤以及其存在的一些缺点，引出寻求新解法的必要；其次，对于原解法进行改进，主要是对比等值线的斜率与已知约束条件所对应直线的斜率，确定表示可行域的各条直线和等值线的相对位置；最后，通过实例应用来具体理解。 关键词：目标函数；斜率；等值线；最值

一、引言

在解决线性规划问题时，我们常常会遇到以下三个问题：（1）如何快速有效的检验结果是否正确；（2）约束条件中不等式的数字较大或对应直线与坐标轴的交点不是整点时，画可行域不精确，是否会对结果造成影响；（3）由于精确画图所需时间较多，能不能通过草图解决问题呢？为了解决这三个问题，通过对目标函数的斜率的研究，进而可以得到解决。

二、归纳总结，改进方法

对于线性规划问题，图解法的一般步骤是：（1）作出可行域；（2）作出目标函数对应的等值线；（3）在可行域内平移等值线找到最值点，从而求出最优解。而在这个过程中，第

（2）步最易出错，且第（1）步因为要求精确作图，也容易出现误差，导致结果出现偏差。针对这个问题，提出以下改进步骤：

1、作出可行域，不必精确作图，只需根据各直线的斜率和在坐标轴上的截距来确定它们之间的位置关系，作出其草图，找到可行域，但各直线的位置关系一定要正确；

2、作目标函数()0,≠+=b a by ax Z 的等值线x b a y -

=，它的关键点是根据可行域所在直线的斜率和等值线的斜率b

a -来确定等值线的相对位置，做出草图； 3、得到结果，在可行域内平移等值线即可。

说明：根据斜率关系确定两直线位置的方法：记两直线21l l 、的斜率分别为21k k 、，倾斜角为21αα、。若21k k 、一正一负，则两直线的位置关系明显可以确定；若21k k 、同正或同

负，则有：（1）021>>k k ，由于2211tan ,tan αα==k k ，正切函数在⎪⎭

⎫ ⎝⎛2,0π内递增，则21αα>，即1l 比2l 更倾斜；（2）021<

证明：此方法与原方法的不同之处在于作图不精确，但由直线构成的可行域和等值线的相对 位置关系却没有改变，因而平移等值线后得到的最值点也不会改变，故此法可行。

例1、y 、x 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-0102201y x y x y x ，且目标函数y ax Z 2+=在()0,1点取得最小

值，求a 的范围。

分析：所求问题可以转化为确定目标函数斜率的范围，运用上法即可。

解：（1）作出可行域（如下图）：三直线的斜率分别为1、2、-1；

（2）目标函数可化为2

2z x a y +-

=，则过()0,1点取得最小值的直线需满足：当02>-a 时，222=<-k a ，即04<<-a ；当02<-a 时，123-=>-k a ，即20<

三、小结

对于线性规划问题，只需由一条直线的两点大致确定可行域，然后用目标函数的斜率与已知直线对比，确定其位置，就可以用草图来求解此类问题。

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