2006年福建高考数学试题(理科)及答案

2006年福建高考数学试题（理科）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是

（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=

（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于

（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45

（3）已知3(,),sin ,25π

απα∈=则tan()4π

α+等于

（A ）17 （B ）7 （C ）1

7

- （D ）7-

（4）已知全集,U R =且{}{}

2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于

（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-

（5）已知正方体外接球的体积是

32

3

π，那么正方体的棱长等于

（A ）22 （B ）

233 （C ）423 （D ）43

3

（6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个

黑球的概率等于

（A ）27 （B ）38 （C ）37 （D ）928

（7）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是

（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n

（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n

（8）函数2log (1)1

x

y x x =>-的反函数是

（A ）2(0)21x x

y x =>- （B ）2(0)21x

x y x =<-

（C ）21(0)2x x y x -=> （D ）21

(0)2

x x y x -=< （9）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

上的最小值是2-，则ω的最小值等于

（A ）

23 （B ）3

2

（C ）2 （D ）3 （10）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o

的直线与双曲线的右支

有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞

（11）已知1,3,.0,OA OB OAOB

===点C 在AOC ∠30o

=。

设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则

m

n

等于 （A ）

1

3

（B ）3 （C ）33 （D ）3

（12）对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)

A x y

B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 2121.x x y y =-+-

给出下列三个命题：

①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o

C ∠=则2

22

;AC

CB AB +=

③在ABC ∆中，.AC CB AB +>

其中真命题的个数为

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。 （13）2

51

()x x

-展开式中4

x 的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）。 （14）已知直线10x y --=与抛物线2

y ax =相切，则______.a =

（15）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标 以数2。将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是＿＿＿＿＿。 （16）如图，连结ABC ∆的各边中点得到一个新的111,A B C ∆又连 结111A B C ∆的各边中点得到222A B C ∆，如此无限继续下 去，得到一系列三角形：ABC ∆，111A B C ∆，222A B C ∆，...，

这一系列三角形趋向于一个点M 。已知(0,0),(3,0),A B

y

C

B 1

A 1

B 2

A 2

C 2

(2,2),C 则点M 的坐标是＿＿＿＿。

三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 已知函数22

()sin 3sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈

（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；

（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？

（18）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2, 2.CA CB CD BD AB AD ======

（I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。

（19）（本小题满分12分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗

油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：

313

8(0120).12800080

y x x x =

-+<≤已知甲、乙两地相距100千米。

（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

（20）（本小题满分12分） 已知椭圆2

212

x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；

（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，

C

A

D

B O E

x

y

l

G A

B

F O