2007年高考数学试题全国1卷(文科)
2007年高考文科数学试题及参考答案(湖北卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文 史类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．32-12．8 13．314．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．解：（Ⅰ）π()1cos 23cos 21sin 23cos 22f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+-=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，．17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角．依题意π6CBH ∠=，所以 在CHD Rt △中，2sin 2CH a θ=； 在BHC Rt △中，πsin62a CH a ==， 2sin 2θ=∴． π02θ<<∵，π4θ=∴．故当π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解法2：（Ⅰ）以CA CBC V ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则2(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V a θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，2tan 222a a VD a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，，(0)AB a a =- ，，．从而2211(0)0002222a a AB CD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭ ，，，，··，即AB CD ⊥．同理22211(0)tan 0022222a a AB VD a a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··， 即AB VD ⊥．又CD VD D = ，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，··n n ．得02tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，． 可取(112cot )θ=，，n ，又(00)BC a =-，，，A DB CVxyz于是2π2sin sin 6222cot BC a BC a θθ===+n n ···， 即2sin 2θ=π02θ<<∵，π4θ∴=．故交π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则222(000)0000222D A a B a C a⎛⎫⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，220tan 22V a a θ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是220tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，2002DC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，(020)AB a =，，．从而(020)AB DC a = ，，·20002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥． 同理22(020)0tan 022AB DV a a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，·，即AB DV ⊥． 又DC DV D = ，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB DV == ，··n n ，得2022tan 022ay ax az θ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，． 可取(tan 01)n θ=，，，又22022BC a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 于是22tan π22sin sin 621tan a BC BC a θθθ===+ n n ···， 即πππsin 0224θθθ=<<，，∵∴=． ADBCVxy故交π4θ=时， 即直线BC 与平面VAB 所成角为π6． 18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）设商品降价x 元，则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ， 则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+，又由已知条件，2242k=·，于是有6k =， 所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，．（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有2()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---．x[)02，2 (212)，12 (]1230，()f x ' - 0 +0 - ()f x极小极大故12x =时，()f x 达到极大值．因为(0)9072f =，(12)11264f =，所以定价为301218-=元能使一个星期的商品销售利润最大．19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力． 解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，011322322a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，，或，0322a ⇔<<-． 故所求实数a 的取值范围是(0322)-，．（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -== ，令2()2h a a =．当a >时，()h a 单调增加，∴当0322a <<-时，20()(322)2(322)2(17122)h a h <<-=-=-1121617122=<+ ，即1(0)(1)(0)16f f f -< ．解法2：（I ）同解法1．（II ） 2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I ）知0322a <<-， 41122170a -<-<∴2．又4210a +>，于是 221112(321)(421)(421)0161616a a a a -=-=-+<， 即212016a -<，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得121x x a +=-，12x x a =，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->⎩，，，，01322322a a a a ⎧>⎪⇔<⎨⎪<->+⎩，，或0322a ⇔<<-． 故所求实数a 的取值范围是(0322)-，．（II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--2211221112216x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 20．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（I ）证：由1n n b q b +=，有1221n n n n n n a a a q a a a ++++==，∴ 22()n n a a q n +=∈N*．（II ）证：22n n a q q -= ，22221231n n n a a q a q ---∴=== ，222222n n n a a q a q --=== ， 22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=．{}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）得2221111nn qa a --=，222211n n q a a -=，于是 1221321242111111111n n na a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24222422121111111111n n a q q q a q q q --⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2122311112n q q q -⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭． 当1q =时，2422122111311112n n a a a q q q-⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭32n =． 当1q ≠时，2422122111311112n n a a a q q q-⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭223121n q q --⎛⎫-= ⎪-⎝⎭2222312(1)n n q q q -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦． 故21222223121111 1.(1)nn n n q q a a a q q q -⎧=⎪⎪+++=⎨⎡⎤3-⎪≠⎢⎥⎪2-⎣⎦⎩ ， ，， 解法2：（I ）同解法1（I ）．（II ）证：222*1212221221221222()22n n n n nn n n n nc a a q a q a q n c a a a a +++---++===∈++N ，又11225c a a =+=， {}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）的类似方法得222221212()3n n n n a a a a q q ---+=+=，34212121221234212111n n n n na a a a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ， 2222212442123322k k k k k k k a a q qa a q --+---+== ，12k n = ，，，．2221221113(1)2n k q q a a a --+∴+++=+++ ． 下同解法1．21．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-． 于是12122AMN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．2121212()4p x x p x x x x =-=+- 222224822p p k p pk =+=+，∴当0k =，2min ()22ABN S p =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，设AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，QPQ ，的中点为H ， 则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．2222111111()222O P AC x y p y p '==+-=+∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--，222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+--- 1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．NOACB yxNO AC ByxO 'l解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得222222212121211()4148AB k x x k x x x x k p k p =+-=++-=++··22212p k k =++·，又由点到直线的距离公式得221p d k=+．从而2222211221222221ABN p S d AB p k k p k k ==++=++△·····，∴当0k =时，2m ax ()22ABN S p =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，， 则有34114()2()22p p PQ x x a y a p a a y a p a ⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．。
2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷一)及答案
2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（）A．∅B．C．D．2．（5分）α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种6．（5分）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2） B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）7．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．49．（5分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（5分）函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A．B．C．D．11．（5分）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．12．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为．14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．16．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．18．（12分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．19．（12分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（12分）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．21．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（）A．∅B．C．D．【分析】集合S、T是一次不等式的解集，分别求出再求交集．【解答】解：S={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，T={x|3x﹣5＜0}={x|x＜}，则S∩T=，故选D．2．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A．B．C．D．【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，∴sinα=，故选B．3．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种【分析】根据题意，先分析甲，有C42种，再分析乙、丙，有C43•C43种，进而由乘法原理计算可得答案．【解答】解；根据题意，甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，有C42种，乙、丙各选修3门，有C43•C43种，则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种，故选C．6．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2） B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）【分析】本题考查的是不等式所表示的平面区域内点所满足的条件的问题，解决此问题只需将点代入验证即可【解答】解：将四个点的坐标分别代入不等式组，解可得，满足条件的是（0，﹣2），故选C．7．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．（5分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g （x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g （x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】要进行有关三角函数性质的运算，必须把三角函数式变为y=Asin（ωx+φ）的形式，要先把函数式降幂，降幂用二倍角公式．【解答】解：函数y=2cos2x=1+cos2x，由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，解得﹣π+kπ≤x≤kπ，k为整数，∴k=1即有它的一个单调增区是，故选D．11．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．【解答】解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．12．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为0.25．【分析】由题意知本题是一个统计问题，需要用样本的概率估计总体中位于这个范围的概率，试验发生包含的事件数时20，袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的可以数出有5，利用概率公式，得到结果．【解答】解：从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为P==0.25．故答案为：0.2514．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（x∈R）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x 对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．【分析】先确定球心位置，再求球的半径，然后可求球的体积．【解答】解：正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为．故答案为：16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．18．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．【分析】（1）3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的对立事件是3位顾客中无人采用一次性付款，根据独立重复试验公式得到3位顾客中无人采用一次性付款的概率，再根据对立事件的公式得到结论．（2）3位顾客每人购买1件该商品，顾客的付款方式为一次性付款和分期付款，且购买该商品的3位顾客中有1位采用分期付款，根据互斥事件的公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．P（）=（1﹣0.6）3=0.064，．（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则B=B0+B1．P（B0）=0.63=0.216，P（B1）=C31×0.62×0.4=0.432．P（B）=P（B0+B1）=P（B0）+P（B1）=0.216+0.432=0.648．19．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC 的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．【分析】（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．21．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．22．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．。
2007年高考文科数学试题及参考答案(湖南卷)
查看文章《人生若止如初见》2012-05-07 10:26《人生若止如初见》又名《花，美丽成缘却已衰》是一部长篇校园爱情小说。
《花，美丽成缘却悲衰》纪录90年代青春历程。
主要讲述的是校园学生夏小兮和一个女孩晴芸的爱情故事，她热情率真又有些任性和虚荣《花，美丽成缘却悲衰》是一部标准的爱情小说，语言标准，内容标准，套路标准。
依我历来对爱情小说的不屑看法，大多都处理不好生理期和心理期上的关系。
身在其中的年轻人来写，可能鲜活生动，但往往会小儿科忸怩的给过来人看，很大的可能是“止增笑尔”而时过境迁来回忆的，情感估计能收放自如了，但又不免来手来脚，情节干瘪，如油浮水上，终究隔着点什么。
到这篇显然是个意外，我把它理解成是作者对爱情小说的致敬之作，也就是说，他是把那些优秀小说和作者的爱情进行大杂烩后的集大成者。
站在《人生若止如初见》的肩膀上蹦达，自然脱不开模仿借鉴一说，这篇也不例外。
小说的内容无非就是中学校园常见的那些风花雪月，模式走的也是爱情小说惯用的先搞笑后悲情的调调剩下要做的就是对着人物标签作与文对应的情节构思。
显然这是个毛病，它造成情节发展完全是一根筋式的往下写，连花开两朵，单表一枝的简单技巧都不讲，另外个别地方巧合不巧，偶然非必然也是有的。
但我必须得说，这些不是在作者真诚的文字面前，可以忽略不计，《罗朱》的感情赵是势实在太完美了，撑的满，蹦得紧捂的实，发得猛，每一个着力点，都落在了我们极需慰藉极为受用的那个点上，痛快淋漓，无孔不入。
想想洋洋洒洒几十万字，就在那么点情爱纠缠里做文章，对我和读者是一种怎样的考验？可偏不信这个邪，将挑战转化成了机遇，字字溢溢沸沸扬扬的爱，却并没让人们感到腻歪。
所以在小说里，虽然个别细枝未节让人不耐烦，但男主人公与晴芸具体而鲜活的感情纠葛还是太揪人心了，爱之甜，爱之伤，爱之恨，爱之悔，真真切切，结结实实，起码，我是感同身受并心甘情愿一头载进去的。
青春依旧的歌，不断从演的故事，它勾起我的回忆了，而且这种遐想是连惯且递进的，想一下，又想一下，在想一下，还想一下…陷入想想又不敢想的两难境地，哎呀，简直让人抓狂从情节的角度讲《人生若止如初见》仍然演绎了一个比较老套的爱情故事，我的小说观念很朴素的，首先要好看，也就是说，情节要与重不同，场面分析，该小说吸引人的地方首先是场面的描写，比如说晴芸的出场：“她是从珠海地方转来的学生，我叫晴芸，我最喜欢和自己的朋友一起开心的玩，一起周很大的公寓，喜欢和所爱的人做最后一班公车，现在已经加入了某某画室学画画，但是我学画画是我男朋友叫我画的，当然我对画画也很感兴趣。
2007年高考文科数学试题及参考答案(北京卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ< ，那么角θ是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为（ ） Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π4．椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12M N F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） Ａ．102⎛⎤⎥⎝⎦，Ｂ．02⎛⎝⎦Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．12⎫⎪⎪⎣⎭ 5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） Ａ．()2142610C A 个Ｂ．242610A A 个Ｃ．()2142610C个Ｄ．242610A 个6．若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）Ａ．5a < Ｂ．7a ≥ Ｃ．57a <≤Ｄ．5a <或7a ≥7．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥ 8．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷） 第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为 ．11．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是．12．在A B C △中，若1tan 3A =，150C =，1B C =，则A B =．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 ．14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；当[()]2g f x =时，x =．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分） 记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围． 16．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式． 17．（本小题共14分）如图，在R t AO B △中，π6O A B ∠=，斜边4A B =．R t A O C △可以通过R t AO B △以直线A O 为轴旋转得到，且二面角B A O C --的直二面角．D 是A B 的中点．（I ）求证：平面C O D ⊥平面AO B ；（II ）求异面直线A O 与C D 所成角的大小． 18．（本小题共12分）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（I ）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率； 19．（本小题共14分）如图，矩形A B C D 的两条对角线相交于点(20)M ，，A B 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在A D 边所在直线上．OCADB（I ）求A D 边所在直线的方程； （II ）求矩形A B C D 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形A B C D 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．20．（本小题共14分）已知函数y kx =与22(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是22(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点．（I ）求k 的取值范围；（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III ）试比较O M 与O N 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．∵ cos tan 0θθ< ，∴ 当cos θ<0，tan θ>0时，θ∈第三象限；当cos θ>0，tan θ<0时，θ∈第四象限，选C 。
2007年高考文科数学试题及答案(全国卷1)
如果事件 A、B 相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
C
1 n
pk
(1
p) nk
(k
0,1,2，
球的表面积公式 S 4R 2 其中 R 表示球的半径
球的体积公式
一、选择题
V 4 R3 3
1．a 是第四象限角， tan 5 ，则 sin 12
A． 1 5
B． 1 5
2．设 a 是实数，且 a 1 i 是实数，则 a＝ 1i 2
A． 1 2
B．1
3．已知向量 a＝（－5，6），b＝（6，5），则 a 与 b
n)
其中 R 表示球的半径
C． 5 13
C． 3 2
2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们邓社新。出寻始小会的邓（找终平主关小1一代坚义）键平种表持的我2在对能.1中把科本国人社9够国发学质社5才会从4先展社，会年，主更进作会是主，人义深生为主解义毛才本层产执义放制在的质次1力政理生度《成所.认社1的兴论产还论长作.识发会发国和力刚十靠的社展主展的实，刚大教概会才义要第践发建关坚育括主是本求一的展立系2持。，义硬质、，要基生，》以人一，道理发大务本产还重发才方从理论展力是成力没要展资面而，把才促由果，有讲社的源强为把我是进中，消完话会办是调四中发们（硬先国抓灭全中主法第必、国展对2道进共住剥建提三义解一）须科的生社理生产“削立出、经决资采解学社产会，产党什，（代济前源取放技会力主是力的么消还1表基进。从和术主作义）对的执是除不中础科低发是义1为的吧社3发政社两完9国基的学级展.第建发社认二国5会展地会极全先本问技到6生一设展会识、内主，年位主分巩进建题术高产生在才主提发外义是底所义化固生立，实级力产改是义高1展一时中我决，的邓产的是力9，力革硬建到是切间5国定怎最思小力同实和国另3开道设了党积经共对的样终想年平的时行国家一放理的一执极验产农，建达。1一发，改民资方中2，根个政因教党业是设到（月再展我革教本面探是本新兴素训站、对社共2，强要国开育主指索）适任的国都的在手一执会同毛调求的放水义出出第创应务科在的调深时工、政主富1泽，政以平的4了一三造.时，学社第动刻坚代.业发规义裕东中一治来，过2解条节性代符水会一起总持前.和展律”。关社 国个领我始度放发、地主合平阶要来结社列资才认这”于会 社公域们终形和展社提题马。级务为。会，本是识个1总主 会有也党是式发更会9出变克社二关中主保硬的根8路义 主制发的衡。展快主了化思会6、系国义持道深本3线基 义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本 基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制 本体重主邓合国力民根主要基本.主变事所平化向业也，1整度 制，大要小国家的享本9义。本质义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任原理6本的服问法设根社对刻表确 的个化验年提和本段到会 1务理论第质同务题进与本会党揭一.述立 确共，。出社主社和社主基，的二理时的行社体主实示、：， 立同确苏“会义会目会3义本是提节论，基关改会现义了社.从为 ，富立共社文，社主的主一改矛巩出、的我本键造主和改其社会中当 使裕了二会明就会义。义、造盾固，对重国方是。义根造所会之华代 占，中十主程是主基建中的和和为第社要针这改本基承主一人中 世这国大义度在义本设国基两发进一会意。靠不造要本担义本民国 界是共以财的国基制内成特本类展一节主义的（自仅同求完的本质共一 人我产后富重家本度涵果色完矛社步、义主2己保时。成历质理和切 口们党毛属要直）制的包最伴社成盾会推中本要的证并，史论国发 四必领泽于标接正度确括大随会，的主进国质矛发了举标第的这成展 分须导东人志控确的立（，着主是学义改特理盾展2社。志五需是提立进 之坚的提民。制处确是1.能社义我说采制革色论也。会实着章要对）出，步 一持人出，和理立中够会建国，取度开社的发的践中。马把到奠 的民要社支经，国社充经设强积的放会提生稳证国克解社定 东民“会配济是历会分济道调极必和主出了定明历思放会了 方主以下建4广史主体制路要引然社义变，.史主和主把制 大专苏义的设大上义现度初严导要会二建化而党上义发义对度 国政为的资和劳最的出和步经格、求主设。且坚长的展改企基 进党的鉴致本社动深本对社探济区逐。义确道人极持达重生造业础 入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产基的。 了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千发力逐本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年展概步完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的，括实成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶对为现，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级于国这人制 社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥建家是的度 会线治道富资列家变一的本变类中了成制迅主社削设的一改的 ，第制路。本重的革、道变化不国强立度速义会制中社个造建 这三主度。社大主，社路化，同这大，的发事主度国的会过结立 是节要。会义关人也会，1社性场的标重展业义的特本主.渡合极 世、内人主有系解和是主奠我会质巨思志大的的工结（色质义时起大 界社容民义初。决社2义定国主的大想着意需发业束3社0。工期来地 社（会被民原级了会基）世了社义矛而武我义要展化，会（业。，提 会2主概则和3在生本把纪理会经盾深器国同），同实主2化党把高 主对义括专，高一产制资中）论的济，刻。新经遵改总时现义新是在对了 义手制为政第级个资度本国强基阶成在特的通民济循革之并了具民党这资工 运二七度“实一形以料的主又调础级分新别社过主文自4过，举由有主在个本人 动、届 业在一质是式农的.（初义一消，关已民是它会（没主化愿于和的新重主过过主阶 史新社二 的中化上发之民主1步工次灭开系占主要是变4收义不互集平方民（大）义渡渡义级 上民会中 社国三已展）分为人确商划剥阔也绝主正中革官能利中改针主3的用社时时工和 又主全 会的改成生坚。主立）业时削了发对义确国，僚命满、的造，主理和会期期商广 一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义论平的.的业大 个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向和赎五总总搞劳 历革造出 改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3实买种路路糟动 史命的使 造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会践的经线线成人 性理历中 ，化级是导的义后√ 1农为巨极。的会内体对革成本要的和如刻主意）方济的和为民 的论史国 党”专共、工的中村自变分邓主指部实生命的结建国初实的义积法成主总自的 伟是经“ 和即政同稳家商半国的食。化小义导矛际产在走社束状设家步现社的。极改分体任食积 大以验稳 政社；致步资业殖社革阶其们平。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极 胜一毛步 府会人富前本的民会命级力吐对1有，。发的个村主社之加助想会变导资—要.，力性 利、泽地 采主民。进农社地第的必和出社制中（，发以包义会间强的，变革农本社从是的和 。适东由 取义代”的业会半二阶须社了会已国3不展农围的主党原要革中社民主会根）要社创合为农 了工表这方是、主封节级走层会最主成共拘造民城国义矛的则求与保会组义主本从在会造中主业 积大段针国手义建、构农状主终义为产泥成为市营改盾建，2中经持主织工义上全一主性国要极化会话，家工改的.社成村况义达本我党武于破主、经造，设以央济社义起商性改体个义。特代转 领，制成采对业造东会主包，劳到质国领装已��
2007年高考.北京卷.文科数学试题及详细解答
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（ ） Ａ．(0)+∞， Ｂ．(19]， Ｃ．(01)， Ｄ．[9)+∞，3．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（ ）Ａ．π2 Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π 4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．0⎛ ⎝⎦Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．1⎫⎪⎪⎣⎭5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）Ａ．()2142610CA 个 Ｂ．242610A A 个Ｃ．()2142610C 个Ｄ．242610A 个6．若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）Ａ．5a < Ｂ．7a ≥ Ｃ．57a <≤ Ｄ．5a <或7a ≥7．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥8．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷） 第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为 ．11．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 ．12．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为 ；当[()]2g f x =时，x = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分）记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．x 1 2 3 ()f x2 1 1x 1 2 3()f x3 2 116．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式．17．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．18．（本小题共12分）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： （I ）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；19．（本小题共14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程； （III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．20．（本小题共14分）已知函数y kx =与22(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是22(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点．（I ）求k 的取值范围；（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III ）试比较OM 与ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．OC ADB2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B BD A C D C 1．∵ cos tan 0θθ<，∴ 当cos θ<0，tan θ>0时，θ∈第三象限；当cos θ>0，tan θ<0时，θ∈第四象限，选C 。
2007年全国高考数学卷(安徽.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）参考公式：(1)122n n n ++++=L 222(1)(21)126n n n n +++++=L22333(1)124n n n ++++=L第I 卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若{}21A x x ==，{}2230B x x x =--=，则A B =I （ ） Ａ．{}3Ｂ．{}1Ｃ．∅Ｄ．{}1-2．椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ａ．2Ｂ．34Ｃ．2Ｄ．233．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21a =，33a =，则4S =（ ） Ａ．12 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．64．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ） Ａ．2()f x x =，[0)x ∈+∞，Ｂ．3()()f x x x =∈-∞+∞，，Ｃ．()e ()xf x x =∈-∞+∞，，Ｄ．1()f x x=，(0)x ∈+∞，5．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=，则a 的值为（ ） Ａ．2-或2Ｂ．12或32Ｃ．2或0 Ｄ．2-或0 6．设t ，m ，n 均为直线，其中m n ，在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件7．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ） Ａ．312y x =- (02)x ≤≤第7题图Ｂ．33122y x =-- (02)x ≤≤Ｃ．312y x =-- (02)x ≤≤Ｄ．11y x =--(02)x ≤≤8．设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =-，log (2)a p a =，则m n p ，，的大小关系为（ ） Ａ．n m p >>Ｂ．m p n >> Ｃ．m n p >> Ｄ．p m n >>9．如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ） Ａ．321-Ｃ．1110．把边长为的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，折成直二面角后，在A B C D ，，，四点所在的球面上，B 与D 两点之间的球面距离为（ ）Ｃ．π Ｂ．π2 Ｄ．π311．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．3Ｄ．52007年普通高等学校招生全国统一考试（安微卷）数学（文科）第II 卷（非选择题共95分）注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．12．已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则024135()()a a a a a a ++++的值等于 ．13．在四面体O ABC -中，OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OC c =u u u r，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =u u u r（用a b c ，，表示）14．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为． 15．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 解不等式(311)(sin 2)0x x --->．17．（本小题满分14分） 如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；（Ⅲ）求二面角1A BB C --的大小（用反三角函数值表示） 18．（本小题满分14分）设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u rg ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 19．（本小题满分13分）在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔． （I ）求笼内恰好剩下．．．．1只果蝇的概率；ABCD1A1B1C 1D（II ）求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率． 20．（本小题满分14分） 设函数232()cos 4sincos 43422x xf x x t t t t =--++-+，x ∈R ， 其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ． （I ）求()g t 的表达式；（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a L ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，L L ．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文史）参考答案一、选择题：本题考查基本知识的基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｃ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ａ7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ｃ 11．Ｄ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．256-13．111244a b c ++ 14．31115．①②③三、解答题16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．解：因为对任意x ∈R ，sin 20x -<，所以原不等式等价于3110x --<． 即311x -<，1311x -<-<，032x <<，故解为203x <<． 所以原不等式的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分． 解法1（向量法）：以D 为原点，以1DADC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． （Ⅰ）证明：1111(110)(220)(110)(220)AC AC D B DB =-=-==u u u u r u u u r u u u u r u u u r，，，，，，，，，，，∵． 111122AC AC DB D B ==u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，∴． AC u u u r ∴与11AC u u u u r 平行，DB u u u r 与11DB u u u u r 平行， 于是11AC 与AC 共面，11BD 与BD 共面．（Ⅱ）证明：1(002)(220)0DD AC =-=u u u u r u u u r，，，，··，(220)(220)0DB AC =-=u u u r u u u r ，，，，··， 1DD AC ⊥u u u u r u u u r ∴，DB AC ⊥u u ur u u u r ．1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ．∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AA BB CC =-=--=-u u u r u u u r u u u u r，，，，，，，，． 设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，11120AA x z =-+=u u u r ·n ，111120BB x y z =--+=u u u r n ·．于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ． 设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，122220BB x y z =--+=u u u r m ·，12220CC y z =-+=u u u u r m ·．于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ．1cos 5==，m n m n m n ·． ∴二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DADC ，的中点，连结11EF A E C F ，，， 有111111A E D D C F D D DE DF ==，，，∥∥． 11A E C F ∴∥，于是11A C EF ∥．由1DE DF ==，得EF AC ∥， 故11AC AC ∥，11A C 与AC 共面． 过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，， 于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴． ABCD1A1B1C 1DMOEF1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴． 1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴， 又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥， 根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．过点A 在平面1ABB A 内作1AM B B ⊥于M ，连结MC MO ，， 则1B B ⊥平面AMC ， 于是11B B MC B B MO ⊥⊥，，所以，AMC ∠是二面角1A B B C --的一个平面角．根据勾股定理，有111A A C C B B ==． 1OM B B ⊥∵，有11B O OB OM B B ==·，BM =AM =，CM =． 2221cos 25AM CM AC AMC AM CM +-∠==-·，1πarccos 5AMC ∠=-，二面角1A BB C --的大小为1πarccos5-． 18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．解：（I ）设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2xy '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为2000()42x xy x x -=-． 即20424x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上．所以2044x -=-，2016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，， 得2440x kx --=， 由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，24(1)AC k ===+．因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+． 同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2222218(1)18(2)322ABCDk S AC BD k k k +===++≥． 当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．19．本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．解：以k A 表示恰剩下k 只果蝇的事件(016)k =L ，，，． 以m B 表示至少剩下m 只果蝇的事件(016)m =L ，，，． 可以有多种不同的计算()k P A 的方法．方法1（组合模式）：当事件k A 发生时，第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7k -只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以17287()28kk C k P A C --==． 方法2（排列模式）：当事件k A 发生时，共飞走8k -只蝇子，其中第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前7k -只飞出的蝇子中有6k -只是果蝇，有68kC -种不同的选择可能，还需考虑这7k -只蝇子的排列顺序．所以162688(7)!7()28kk kC C k kP A A ----==g ． 由上式立得163()2814P A ==； 356563()()()()28P B P A A P A P A =+=+=． 20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分． 解：（I ）我们有232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：由此可见，()g t 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭．21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥． （Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=L12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++L ，①在①式两端同乘1r +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++L②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-L1[(1)1](1)n n n dr r a r a r=+--++-． 即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--．如果记12(1)nn a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r+=--，则n n n T A B =+． 其中{}n A 是以12(1)a r dr r++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列．。
2007年高考数学试题汇编
2007年高考数学试题汇编——排列、组合、二项式1．（全国Ⅰ卷理科第10题）的展开式中，常数项为15，则n= （ D ）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，，当n=6时，，选D。
2．（全国Ⅰ卷文科第5题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ C ）A．36种 B．48种 C．96种 D．192种【解答】甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有种，选C。
3．（全国Ⅱ卷理科第10题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B）A．40种 B．60种 C．100种 D．120种【解答】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种，选B。
4．（全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ D）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种【解答】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D。
5．（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种【解答】5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B。
6．（北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ A ）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个【解答】某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有个，选A。
2007年全国高考数学卷
2007年普通高等学校招生全国统一考试参考公式：(1)122n n n ++++=222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=第I 卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若{}21A x x ==，{}2230B x x x =--=，则A B = （ ） Ａ．{}3Ｂ．{}1Ｃ．∅Ｄ．{}1-2．椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ｂ．34Ｃ．2Ｄ．233．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21a =，33a =，则4S =（ ） Ａ．12 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．64．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ） Ａ．2()f x x =，[0)x ∈+∞，Ｂ．3()()f x x x =∈-∞+∞，，Ｃ．()e ()xf x x =∈-∞+∞，，Ｄ．1()f x x=，(0)x ∈+∞， 5．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为（ ） Ａ．2-或2Ｂ．12或32Ｃ．2或0 Ｄ．2-或0 6．设t ，m ，n 均为直线，其中m n ，在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件7．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ） Ａ．312y x =- (02)x ≤≤Ｂ．33122y x =-- (02)x ≤≤第7题图Ｃ．312y x =-- (02)x ≤≤ Ｄ．11y x =--(02)x ≤≤8．设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =-，log (2)a p a =，则m n p ，，的大小关系为（ ）Ａ．n m p >>Ｂ．m p n >>Ｃ．m n p >>Ｄ．p m n >>9．如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ） Ａ．321-Ｃ．1110．把边长为的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，折成直二面角后，在A B C D ，，，四点所在的球面上，B 与D 两点之间的球面距离为（ ）Ｃ．π Ｂ．π2 Ｄ．π311．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．3Ｄ．52007年普通高等学校招生全国统一考试（安微卷）数学（文科）第II 卷（非选择题共95分）注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置． 12．已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则024135()()a a a a a a ++++的值等于．13．在四面体O ABC -中，OA a = ，OB b = ，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =（用a b c ，，表示）14．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为．15．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 解不等式(311)(sin 2)0x x --->．17．（本小题满分14分） 如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =． （Ⅰ）求证：11AC 与AC 共面，11BD 与BD 共面． （Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；（Ⅲ）求二面角1A BB C --的大小（用反三角函数值表示） 18．（本小题满分14分）设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 19．（本小题满分13分）在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔． （I ）求笼内恰好剩．．．下．1只果蝇的概率； （II ）求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率． 20．（本小题满分14分）ABCD1A1B1C 1D设函数232()cos 4sincos 43422x xf x x t t t t =--++-+，x ∈R ， 其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ． （I ）求()g t 的表达式；（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+， ．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文史）参考答案一、选择题：本题考查基本知识的基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｃ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ａ7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ｃ 11．Ｄ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．256-13．111244a b c ++ 14．31115．①②③三、解答题16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．解：因为对任意x ∈R ，sin 20x -<，所以原不等式等价于3110x --<．即311x -<，1311x -<-<，032x <<，故解为203x <<． 所以原不等式的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分． 解法1（向量法）：以D 为原点，以1DADC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． （Ⅰ）证明：1111(110)(220)(110)(220)AC AC D B DB =-=-==，，，，，，，，，，，∵． 111122AC AC DB D B ==，∴． AC ∴与11A C 平行，DB 与11D B平行，于是11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面．（Ⅱ）证明：1(002)(220)0DD AC =-= ，，，，··，(220)(220)0DB AC =-=，，，，··， 1DD AC ⊥ ∴，DB AC ⊥．1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ．∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AA BB CC =-=--=-，，，，，，，，． 设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，11120AA x z =-+= ·n ，111120BB x y z =--+=n ·．于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ． 设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，122220BB x y z =--+= m ·，12220CC y z =-+= m ·．于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ．1cos 5==，m n m n m n ·． ∴二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DADC ，的中点，连结11EF A E C F ，，， 有111111A E D D C F D D DE DF ==，，，∥∥． 11A E C F ∴∥，于是11AC EF ∥．由1DE DF ==，得EF AC ∥， 故11AC AC ∥，11A C 与AC 共面． 过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，， 于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴． 1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴．ABCD1A1B1C 1DMOEF1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴， 又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥， 根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．过点A 在平面1ABB A 内作1AM B B ⊥于M ，连结MC MO ，， 则1B B ⊥平面AMC ， 于是11B B MC B B MO ⊥⊥，，所以，AMC ∠是二面角1A B B C --的一个平面角．根据勾股定理，有111A A C C B B ===1OM B B ⊥∵，有11B O OB OM B B ==·BM =AM =CM =2221cos 25AM CM AC AMC AM CM +-∠==-·，1πarccos 5AMC ∠=-，二面角1A BB C --的大小为1πarccos5-． 18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．解：（I ）设切点204x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2xy '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为2000()42x xy x x -=-．即20424x x y x =-．因为点(0)P -4，在切线上．所以2044x -=-，2016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=， 由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，24(1)AC k ===+．因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+． 同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2222218(1)18(2)322ABCDk S AC BD k k k+===++≥． 当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．19．本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：以k A 表示恰剩下k 只果蝇的事件(016)k = ，，，． 以m B 表示至少剩下m 只果蝇的事件(016)m = ，，，． 可以有多种不同的计算()k P A 的方法．方法1（组合模式）：当事件k A 发生时，第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7k -只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以17287()28kk C k P A C --==． 方法2（排列模式）：当事件k A 发生时，共飞走8k -只蝇子，其中第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前7k -只飞出的蝇子中有6k -只是果蝇，有68kC -种不同的选择可能，还需考虑这7k -只蝇子的排列顺序．所以162688(7)!7()28kk kC C k kP A A ----== ． 由上式立得163()2814P A ==； 356563()()()()28P B P A A P A P A =+=+=． 20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分． 解：（I ）我们有232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：由此可见，()g t 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥． （Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++ ，①在①式两端同乘1r +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]nn n n n rT a r d r r r a --=++++++++-1[(1)1](1)n n n dr r a r a r=+--++-． 即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--．如果记12(1)nn a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r+=--，则n n n T A B =+． 其中{}n A 是以12(1)a r dr r ++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列．。
2007年高考文科数学试题及参考答案(陕西卷)
年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-= 12．π613．314．（1）[2)+∞，（2）9215．3π，2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ2sin(2)2sin(2)2cos 2442x x x =++=+=． （I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==； （II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2cos2f x x=是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=．解法二 任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯= ． 所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一 任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是350.90.729P ==． 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=． 解法二 任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=． 18．解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ． 因为αβ⊥，PQ αβ= ，所以CO α⊥， 又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=．从而BO PQ ⊥．又CO PQ ⊥， 所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥．（II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ= ，BO α⊂，所以BO β⊥． 过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥． 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2AC =，则3AO =，3sin 302OH AO ==． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以3BO AO ==， 于是在Rt BOH △中，3tan 232BOBHO OH∠===． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2．解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=．不妨设2AC =，则3AO =，1CO =．AB CQαβ POHRt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠= ，所以3BO AO ==． 则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，(300)B ，，，(030)A ，，，(001)C ，，． 所以(330)AB =- ，，，(031)AC =- ，，． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得33030x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 取1x =，得1(113)n =，，．易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<> ，．所以121215cos 5||||51n n n n θ===⨯． 故二面角B AC P --的大小为5arccos5． 19．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(22)，，(22)-，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++-- AB C Qα β P Oxyz(42)411k k =--++=-． 综上所述，CA CB为常数1-．（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =- ，， 22(1)CB x y =- ，，(10)CO =- ，．由CM CA CB CO =++ 得：121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是224x y -=． 解法二：同解法一得12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有212241k x x k +=-．…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③ 由①②③得22421k x k +=-．…………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有2222244(2)(2)(2)1x y x yy x x yy +⨯+==++--．整理得224x y -=． 当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是224x y -=．20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………② 由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-． 由③有3215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列．所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N *． 由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第0k 项，由018626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =．此时26k a k =，由2n k b a =得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N *，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．（注：考生取满足036a k =-，0k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a-⨯+-项即可） 21．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是2044a b <-≤，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是 (1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-．又由248a b -=，得1b =-．故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号．于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah '=⨯++=． 所以2a =-．又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．。
2007年全国高考文科数学真题(含答案)-天津卷
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}12S x x =∈+R ≥，{}21012T =--，，，，，则S T = （ ） A ．{}2 B ．{}12，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， （2）设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≤，≥则目标函数24z x y =+的最大值为（ ）Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14（3） “2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（4）设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<（5）函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是（ ） A ．24(2)xy x =+> B ．24(0)xy x =+> C ．24(2)x y x =->D ．24(0)xy x =->（6）设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥ D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥（7）设双曲线22221(00)x y a b ab-=>>，的离心率为3，且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224xy-= Ｂ．2214896xy-=Ｃ．222133xy -= Ｄ．22136xy-=（8）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ）Ａ．2 Ｂ．4Ｃ．6 Ｄ．8（9）设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数（10）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．)2⎡+⎣，∞B ．[)2+，∞C ．(]02，D ．2120⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦，，第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． （11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下： 分组 [)90100，[)100110，[)110120， [)120130， [)130140， [)140150， 频数1 2 3 10 1则这堆苹果中，质量不小于．．．120克的苹果数约占苹果总数的 ％．（12）921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．（14）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线A B 的方程是 ．（15）在A B C △中，2A B =，3A C =，D 是边B C 的中点，则AD BC =．（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 在A B C △中，已知2A C =，3B C =，4cos 5A =-．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． （18）（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P A B C D -中，P A ⊥底面A B C D ，AB AD AC CD ⊥⊥，，60A B C ∠=°，P A A B B C ==，E 是P C 的中点．（Ⅰ）求P B 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明A E ⊥平面PC D ； （Ⅲ）求二面角A P D C --的大小．（20）（本小题满分12分）ABCDPE在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ． （Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立． （21）（本小题满分14分）设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立． （22）（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212A F F F ⊥，原点O 到直线1A F 的距离为113O F ．（Ⅰ）证明2a b =；（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B （9）A （10）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． （11）70（12）84 （13）14π （14）30x y +=（15）52（16）630三、解答题（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解：在A B C △中，2243sin 1cos 155A A ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，由正弦定理，sin sin BC AC AB=．所以232sin sin 355A CB A B C==⨯=．（Ⅱ）解：因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是22221cos 1sin 155B B ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，22117cos 22cos 121525B B =-=⨯-=，221421sin 22sin cos 25515B B B ==⨯⨯=．sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭4213171252252=⨯+⨯1271750+=．（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且2327C 1()C7P A ==，2329C 5()C18P B ==，故取出的4个球均为红球的概率是155()()()718126P A B P A P B ==⨯=．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且1123442279C C C 2()C C 21P C == ，1125242275C C C 10()C C 63P D == ． 故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为21016()()()216363P C D P C P D +=+=+=．（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）解：在四棱锥P A B C D -中，因P A ⊥底面A B C D ，A B ⊂平面A B C D ，故P A A B⊥． 又AB AD ⊥，PA AD A = ，从而AB ⊥平面PAD ．故P B 在平面PAD 内的射影为P A ，从而APB ∠为P B 和平面PAD 所成的角． 在R t PAB △中，AB PA =，故45APB = ∠． 所以P B 和平面PAD 所成的角的大小为45 ． （Ⅱ）证明：在四棱锥P A B C D -中，因P A ⊥底面A B C D ，C D ⊂平面A B C D ，故C D P A ⊥． 由条件C D PC ⊥，PA AC A = ，C D ∴⊥面PAC ． 又A E ⊂面PAC ，A E C D ∴⊥．由PA AB BC = ，60ABC =∠，可得A C P A =．E 是P C 的中点，A E P C ∴⊥，PC CD C ∴= ．综上得A E ⊥平面PC D ．（Ⅲ）解：过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连结A M ．由（Ⅱ）知，A E ⊥平面PC D ，A M 在平面PC D 内的射影是EM ，则AM PD ⊥． 因此AM E ∠是二面角A P D C --的平面角．由已知，可得30CAD =∠．设A C a =，可得P A a =，233AD a =，213PD a =，22AE a =．在R t AD P △中，AM PD ⊥ ，AM PD PA AD ∴= ，则ABCDPEM232737213a aPA AD AM a PD a == ． 在R t A E M △中，14sin 4AE AM E AM==．所以二面角A P D C --的大小14arcsin 4．（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32nn n n S -+=+．（Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ， 1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．（Ⅰ）解：当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．（Ⅱ）解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=，解得3a x =或x a =．由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：x 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，3a3a a ⎛⎫⎪⎝⎭， a ()a +，∞()f x '-0 + 0-因此，函数()f x 在3a x =处取得极小值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且 34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =．（2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：x()a -∞，a 3aa ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3a3a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞ ()f x '-0 + 0-因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3a x =处取得极大值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且 34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：由3a >，得13a >，当[]10k ∈-，时，cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤．由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤ 即22cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ①设2211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中 0y >，由于点A 在椭圆上，有22221c y ab+=，222221a b y ab-+=，解得2by a =，从而得到2b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线2AF 的方程为2()2by x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1A F 的距离为113O F ，即242234c b c b a c=+，将222c a b =-代入原式并化简得222a b =，即2a b =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，过点O 作1O B AF ⊥，垂足为H ，易知112F BC F F A △∽△，故211B O F A O F F A=由椭圆定义得122AF AF a +=，又113B O O F =，所以2212132F A F A F Aa F A==-，解得22a F A =，而22bF A a=，得22ba a=，即2a b =．（Ⅱ）解法一：圆222x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为200x x y y t +=． 当(0)t b ∈，时，圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ，因此点111()Q x y ，，222()Q x y ，的坐标是方程组20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ①②的解．当00y ≠时，由①式得 200t x x y y -=代入②式，得22220022t x x x b y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，即 22224220000(2)4220x y x t x x t b y +-+-=，于是201222042t x x x x y+=+，422012220222t b y x x x y-=+2201121201t x x t x x y y y y --=422012012201()t x t x x x x x y ⎡⎤=-++⎣⎦ 242242200002222200000422122t x t b y t x t x y x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭AO1F 2FHxy4220220022t b x x y -=+．若12OQ OQ ⊥，则42242242220000121222222200000022232()0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++．所以，42220032()0t b x y -+=．由22200x y t +=，得422320t b t -=．在区间(0)b ，内此方程的解为63t b =．当00y =时，必有00x ≠，同理求得在区间(0)b ，内的解为63t b =． 另一方面，当63t b =时，可推出12120x x y y +=，从而12OQ OQ ⊥． 综上所述，6(0)3t b b =∈，使得所述命题成立．。
2007年高考数学试题辽宁卷(文科).doc
2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（文科）全解全析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C p p -=-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{13}A =，，{234}B =，，，则A B =（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{1234}，，， 解析：AB ={1，3}∩{2，3，4}={3}，选C2．若函数()y f x =的反函数．．．图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点（ ） A ．(51)，B ．(15)，C ．(11)，D ．(55)，解析：根据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选A3．双曲线221169x y -=的焦点坐标为（ ）A ．(，B ．(0-，，(0 C ．(50)-，，(50)，D ．(05)-，，(05)， 解析：因为a=4，b=3，所以c=5，所以焦点坐标为(50)-，，(50)，，选C 4．若向量a 与b 不共线，0≠a b ，且⎛⎫-⎪⎝⎭a a c =ab a b ，则向量a 与c 的夹角为（ ）A ．0B ．π6C ．π3D ．π2解析：因为0)(22=⋅⋅-=⋅→→→→→→→→b a ba aa c a ，所以向量a 与c 垂直，选D5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27解析：由等差数列性质知S 3、S 6-S 3、S 9-S 6成等差数列，即9，27，S 成等差，所以S=45，选B6．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥C ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥D ．若m αγ=，n βγ=，m n ∥，则αβ∥ 解析：由有关性质排除A 、C 、D ，选B7．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =（ ） A ．(12)-，B ．(12)，C ．(12)-，D ．(12)-，解析：函数(1)2y f x =--为)1(2-=+x f y ，令2,1''+=-=y y x x 得平移公式，所以向量a =(12)-，，选C 8．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）A ．965⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，C ．(][)36-∞+∞，，D ．[36]，解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（29,25），yx表示可行域内的点（x ，y ）与原点（0，0）连线的斜率，当（x ，y ）=（1，6）时取最大值6，当（x ，y ）=（29,25）时取最小值59，选A9．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．(2)-∞，解析：定义域为(2)-∞，∪(3)+∞，，排除A 、C ，根据复合函数的单调性知212log (56)y x x =-+的单调增区间为(2)-∞，，选D 10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ） A ．122B ．111C ．322D ．211解析：从中任取两个球共有66212=C 种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有122326=-C C 种取法，概率为1126612=，选D 11．设p q ，是两个命题：251:||30:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：p ：),3()3,(+∞--∞ ，q ：),21()31,(+∞-∞ ，结合数轴知p 是q 的充分而不必要条件，选A12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a =，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法种数为（ ）A ．18B ．30C ．36D ．48解析：分两步：（1）先排531,,a a a ，1a =2，有2种；1a =3有2种；1a =4有1种，共有5种；（2）再排642,,a a a ，共有633=A 种，故不同的排列方法种数为5×6=30，选B第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ． 解析：由函数()y f x =为奇函数得(2)(3)f f ---=(3)(2)1f f -=，填114．x展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）．解析：2488481)1()(--+==r r rrr r xC xx C T ，当r=0，4，8时为含x 的整数次幂的项，所以展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为72884808=++C C C ，填7215的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ．解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由12)6()6()2(222=+=R 得R=3，球体积为ππ34343=R 16．设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+，则||OM = ． 解析：椭圆2212516x y +=左准线为325-=x ，左焦点为（-3，0），P （)328,35±，由已知M 为PF 中点，M （)324,32±-，所以||OM =2)324()32(22=±+- 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：（I ）将各组的频率填入表中；（II ）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（III ）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查使用统计的有关知识解决实际问题的能力．·········································································································· 4分（II ）解：由（I ）可得0.0480.1210.2080.2230.6+++=，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6． ························································································· 8分 （III ）解：由（II ）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率0.6P =，根据在n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率公式可得223333(2)(3)C 0.60.40.60.648P P +=+=．所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648． ···························· 12分18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，AC BC a ==，DE ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30．（I ）证明：111A B C D ⊥；（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力．（I ）证明：连结CD ， 三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ，∴CD 为1C D 在平面ABC 内的射影．ABC △中，AC BC =，D 为AB 中点， ∴AB CD ⊥，∴1AB C D ⊥．11A B AB ∥， ∴111A B C D ⊥．1A 1C1BCBAMDE1A 1C1BCBAM DEF G（II ）解法一：过点A 作CE 的平行线， 交ED 的延长线于F ，连结MF ． D E ，分别为AB BC ，的中点， DE AC ∴⊥．又AF CE ∥，CE AC ⊥． ∴AF DE ⊥．MA ⊥平面ABC ，∴AF 为MF 在平面ABC 内的射影． ∴MF DE ⊥．MFA ∴∠为二面角M DE A --的平面角，30MFA ∠=．在Rt MAF △中，122aAF BC ==，30MFA ∠=，6AM a ∴=． 作AG MF ⊥，垂足为G ， MF DE ⊥，AF DE ⊥， ∴DE ⊥平面DMF ，平面MDE ⊥平面AMF ， ∴AG ⊥平面MDE ．在Rt GAF △中，30GFA ∠=，2a AF =， ∴4a AG =，即A 到平面MDE 的距离为4a．CA DE ∥，∴CA ∥平面MDE ，∴C 到平面MDE 的距离与A 到平面MDE 的距离相等，为4a ． 解法二：过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连接MF ． D E ，分别为AB BC ，的中点， ∴DE AC ∥．又AF CE ∥，CE DE ⊥ ∴AF DE ⊥．MA ⊥平面ABC ，∴AF 是MF 在平面ABC 内的射影， ∴MF DE ⊥．∴MFA ∠为二面角M DE A --的平面角，30MFA ∠=．在Rt MAF △中，122aAF BC ==，30MFA ∠=，∴6AM a =． ··························································································· 8分设C 到平面MDE 的距离为h ，∴M CDE C MDE V V --=．∴1133CDEMDE S MA S h =△2128CDEa S CE DE ==△，MA =， 211322cos30MDE AF S DE MF DE a ===△，∴2211386312a a a h ⨯⨯=⨯⨯， ∴4a h =，即C 到平面MDE 的距离为4a． ······················································· 12分19．（本小题满分12分） 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>） （I ）求函数()f x 的值域；（II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()y f x =的单调增区间．本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．满分12分．（I ）解：11()cos sin cos (cos 1)2222f x x x x x x ωωωωω=++--+12cos 12x x ωω⎫=--⎪⎪⎝⎭π2sin 16x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． ···················································································· 5分由π1sin 16x ω⎛⎫--⎪⎝⎭≤≤，得π32sin 116x ω⎛⎫--- ⎪⎝⎭≤≤， 可知函数()f x 的值域为[31]-，． ······································································· 7分（II ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，()y f x =的周期为π，又由0ω>，得2ππω=，即得2ω=． ··················································································· 9分 于是有π()2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再由πππ2π22π()262k x k k --+∈Z ≤≤，解得 ππππ()63k x k k -+∈Z ≤≤．所以()y f x =的单调增区间为ππππ63k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ···································· 12分20．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥）（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力． （Ｉ）解：由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即12n n c c -=+（2n ≥）易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为21n c n =+． ································································································ 4分（II ）解：由题设得111()(2)2n n n n a b a b n ---=-≥，令n n n d a b =-，则 11(2)2n n d d n -=≥． 易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列，通项公式为 112n n d -=． ·································································································· 8分 由12112n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得 1122n na n =++， ························································································ 10分求和得21122n n n S n =-+++． ······································································· 12分21．（本小题满分14分）已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB △的内接圆（点C 为圆心） （I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7sin )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF ，的最大值和最小值． 本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．（I ）解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2222y y ⎛⎫⎪⎝⎭，，由题设知=． 解得221212y y ==，所以(6A ，(6B -，或(6A -，，(6B ． 设圆心C 的坐标为(0)r ，，则2643r =⨯=，所以圆C 的方程为 22(4)16x y -+=． ······················································································· 4分解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知22221122x y x y +=+．又因为2112y x =，2222y x =，可得22112222x x x x +=+．即1212()(2)0x x x x -++=．由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上．设C 点的坐标为(0)r ，，则A 点坐标为322r r ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，于是有23222r r ⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得4r =，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=． ······························································· 4分（II ）解：设2ECF a ∠=，则2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-． ·································· 8分在Rt PCE △中，4cos ||||x PC PC α==，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥，所以12cos 23α≤≤，由此可得 1689CE CF --≤≤．则CE CF 的最大值为169-，最小值为8-．22．（本小题满分12分）已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数t 均有(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）若对任意的[266]m ∈-，，恒有2()11f x x mx --≥，求x 的取值范围．。
2007年高考.广东卷.文科数学试题及详细解答
绝密★启用前试卷类型：A2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题。
满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答。
答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题号（或题组号），对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式V =31Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ). 用最小二乘法求线性回归方程系数公式x b y n xn x yx n y x b ni i ni i i-=-∑-∑===,2121一、选择题:本大题共l0小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|10}M x x =+>,1{|0}1N x x=>-,则M N =A ．{x|-1≤x ＜1}B ．{x |x>1}C ．{x|-1＜x ＜1}D ．{x |x ≥-1} 【解析】(1,),(,1)M N =-+∞=-∞,故M N (1,1)=-,选(C).2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b=A ．-2B ．12-C. 12D ．2 【解析】(1)(2)(2)(21)bi i b b i ++=-++,依题意202b b -=⇒=, 选(D).3.若函数f(x)=x 3(x ∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是 A ．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C ．单凋递增的偶函数 D ．单涮递增的奇函数【解析】函数3()y f x x =-=-单调递减且为奇函数,选(B).4．若向量,a b 满足||||1a b ==,a 与b 的夹角为60︒,则a a a b ⋅+⋅= A ．12 B ．32C.12+ D ．2【解析】23||||||cos602a a ab a a b ⋅+⋅=+⋅︒=,选(B).5．客车从甲地以60km ／h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km ／h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地。
2007年高考数学卷(四川.文)含详解
2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(一、选择题(1)设集合M ={4,5,6,8},集合N ={3,5,7,8}那么M ∪N = (A){3,4,5,6,7,8} (B){5,8} (C){3,5,7,8}(D){4,5,6,8}(2)函数f (x )=1+log 2x 与g （x ）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是(3)某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是 (A)150.2克 (B)149.8克 (C)149.4克 (D)147.8克 (4)如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 (A ）BD ∥平面CB 1D 1 (B)AC 1⊥BD(C)AC 1⊥平面CB 1D 1 (D)异面直线AD 与CB 所成的角为60°（5）如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是(A)364 (B)362 (C)62 (D)32 （6）设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都是2π，且二面角B-OA-C 的大小是3π，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是(A)67π (B)45π (C)34π (D)23π（7）等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其降n 项和S n =100,则n = (A)9 (B)10 (C)11 (D)12(8)设A （a,1）,B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为A.4a-5b=3B.5a-4b=3C.4a+5b=14D.5a+4b=12 (9)用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有 A.48个 B.36个 C.24个 D.18个(10)已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于A.3B.4C.32D.42（11）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为A.36万元B.31.2万元C.30.4万元D.24万元(12)如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2与l 3同的距离是2， 正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 A.23 B.364 C. 473- D.3212- 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题横线上.（13）.1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是 .三、解答题：本大题共6小题。
2007年高考文科数学试题及参考答案(江西卷)
2007年高考文科数学试题及参考答案（江西卷）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}01M =，，{}012345I =，，，，，，则I M ð为（ ） Ａ．{}01，Ｂ．{}2345，，，Ｃ．{}02345，，，， Ｄ．{}12345，，，， 2．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（ ） Ａ．π4Ｂ．π2Ｃ．π Ｄ．2π3．函数1()lg 4x f x x -=-的定义域为（ ）Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞ ，，Ｄ．(1](4)-∞+∞ ，，4．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ）Ａ．3- Ｂ．13-Ｃ．3 Ｄ．135．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ， 则01211a a a a ++++ 的值为（ ） Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．26．一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ） Ａ．132Ｂ．164Ｃ．332Ｄ．3647．连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形O A M 的面积为（ ） Ａ．12-+Ｂ．322- Ｃ．12+ Ｄ．322+8．若π02x <<，则下列命题正确的是（ ）Ａ．2sin πx x <Ｂ．2sin πx x >Ｃ．3sin πx x <Ｄ．3sin πx x >9．四面体A B C D 的外接球球心在C D 上，且2C D =，3AD =，在外接球面上两点A B，间的球面距离是（ ） Ａ．π6Ｂ．π3Ｃ．2π3Ｄ．5π610．设32:()21p f x x x m x =+++在()-∞+∞，内单调递增，4:3q m ≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >> Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>12．设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20a x b x c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=上 Ｂ．必在圆222x y +=外 Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能2007年高考文科数学试题及参考答案（江西卷）文科数学 第II 卷注意事项：第II 卷2页，须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．在平面直角坐标系中，正方形O A B C 的对角线O B 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．15．已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(31)，，则函数1()y fx -=的图象必经过点 ．16．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点作平面1A B D 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．A H 垂直平面11C B DＣ．二面角111C B D C --的正切值为2 Ｄ．点H 到平面1111A B C D 的距离为34其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）AD1D1C1A 1BBHC已知函数21(0)()21(1)x ccx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤满足29()8f c =．（1）求常数c 的值； （2）解不等式2()18f x >+．18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是P A 的中点，当032y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．19．（本小题满分12分）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：O C ∥平面111A B C ； （2）求AB 与平面11AA C C 所成的角的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设{}n a 为等比数列，11a =，23a =． （1）求最小的自然数n ，使2007n a ≥； （2）求和：212321232n nn T a a a a =-+--．yx3 OAPABCO1A1B1C22．（本小题满分14分）设动点P 到点1(10)F -，和2(10)F ，的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ=∠，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）如图，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A B ，两点．问：是否存在λ，使1F AB △是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西文）参考答案一、选择题1．Ｂ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｃ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题13．1 14．7 15．(14)， 16．A ，B ，C 三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <； 由29()8f c =，即3918c +=，12c =．（2）由（1）得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤由2()18f x >+得，当102x <<时，解得2142x <<，当112x <≤时，解得1528x <≤，所以2()18f x >+的解集为2548x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 1Fyx 2F OA PB18．解：（1）将0x =，3y =代入函数2cos()y x ωθ=+中得3cos 2θ=，因为π02θ≤≤，所以π6θ=．由已知πT =，且0ω>，得2π2π2T πω===．（2）因为点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是P A 的中点，032y =． 所以点P 的坐标为0π232x ⎛⎫-⎪⎝⎭，． 又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05π3cos 462x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=，即02π3x =或03π4x =．19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =． （1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-⨯= ；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ，， 则11()()0.42P A P A B ==，22()()0.45P B P A B ==． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为()0.420.550.580.450.492P A B AB +=⨯+⨯=．解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +++=．20． 解法一：（1）证明：作1O D AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11O D BB C C ∥∥， 因为O 是AB 的中点，2CCHO2AA所以1111()32O D A A B B C C =+==．则1ODC C 是平行四边形，因此有1O C C D ∥，1C D ⊂平面111C B A ，且O C ⊄平面111C B A则O C ∥面111A B C ．（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1A A ，1C C 于2A ，2C ， 作22BH A C ⊥于H ，因为平面22A BC ⊥平面11AA C C ，则BH ⊥面11AA C C ． 连结A H ，则BAH ∠就是AB 与面11AA C C 所成的角．因为22BH =，5AB =，所以10sin 10BH BAH AB==∠．AB 与面11AA C C 所成的角为10arcsin10BAH =∠．（3）因为22BH =，所以222213B A A CCA A C C V SB H -=．1121(12)23222=+= ． 1112211111212A B C A B C A B C V S B B -=== △．所求几何体的体积为221112232B A A CCA B C A B C V V V --=+=．解法二：（1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1102O C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，易知，(001)n = ，，是平面111A B C 的一个法向量． 由0OC n =且O C ⊄平面111A B C 知O C ∥平面111A B C ．1A1B1CxBz COAy（2）设AB 与面11AA C C 所成的角为θ． 求得1(004)A A = ，，，11(110)A C =- ，，．设()m x y z = ，，是平面11AA C C 的一个法向量，则由11100A A m A C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y =⎧⎨-=⎩，取1x y ==得：(110)m =，，． 又因为(012)A B =--，，所以，cos m < ，1010m AB AB m AB>==-则10sin 10θ=． 所以AB 与面11AA C C 所成的角为10arcsin 10．（3）同解法一21．解：（1）由已知条件得112113n n n a a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为67320073<<，所以，使2007n a ≥成立的最小自然数8n =． （2）因为223211234213333n n n T -=-+-+- ，…………① 2234212112342123333333n n nn n T --=-+-++-，…………②+①②得：2232124111121333333n n nn T -=-+-+--2211231313n n n -=-+22333843nnn--=所以22223924163n n nnT +--=．22．解：（1）在12PF F △中，122F F =22221212121242cos 2()4sin d d d d d d d d θθ=+-=-+ 212()44d d λ-=-1221d d λ-=-（小于2的常数）故动点P 的轨迹C 是以1F ，2F 为焦点，实轴长221a λ=-的双曲线． 方程为2211xyλλ-=-．（2）方法一：在1AF B △中，设11AF d =，22AF d =，13BF d =，24BF d =． 假设1AF B △为等腰直角三角形，则123434213234222πsin4d d a d d a d d d d d d d λ⎧⎪-=⎪-=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ①②③④⑤ 由②与③得22d a =， 则134342222(21)d a d a d d a a=⎧⎪=⎨⎪=-=-⎩ 由⑤得342d d λ=，242(21)2a λ-= (842)(1)2λλ--=，1222(01)17λ-=∈，故存在122217λ-=满足题设条件．方法二：（1）设1AF B △为等腰直角三角形，依题设可得2121221212222πsin π8211cos 4πsin 24A F A F A F A F B F B F B F B F λλλλλ⎧⎧===⎪⎪⎪⎪--⇒⎨⎨⎪⎪=⎪=⎪⎩⎩ ， 所以12121πsin(21)24A F F S A F A F λ==+ △，121212B F F S B F B F λ== △．则1(22)AF B S λ=+△．①由12122221AF F BF F S AF S BF ==+△△，可设2BF d =，则2(21)AF d =+，1(22)BF AB d ==+．则122211(22)22A FB S A Bd ==+△．②由①②得2(22)2d λ+=．③根据双曲线定义12221BF BF a λ-==-可得，(21)21d λ+=-． 平方得：22(21)4(1)d λ+=-．④由③④消去d 可解得，1222(01)17λ-=∈，故存在122217λ-=满足题设条件．。
2007年高考数学试题辽宁.文)含答案
年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{13}A =，，{234}B =，，，则A B = （ ） A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{1234}，，，2．若函数()y f x =的反函数．．．图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点（ ） A ．(51)，B ．(15)，C ．(11)，D ．(55)，3．双曲线221169x y -=的焦点坐标为（ ）A ．(70)-，，(70)， B ．(07)-，，(07)， C ．(50)-，，(50)，D ．(05)-，，(05)，4．若向量a 与b 不共线，0≠ a b ，且⎛⎫- ⎪⎝⎭a a c =ab a b ，则向量a 与c 的夹角为（ ） A ．0B ．π6C ．π3D ．π25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63B ．45C ．36D ．276．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥C ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥D ．若m αγ= ，n βγ= ，m n ∥，则αβ∥7．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =（ ） A ．(12)-，B ．(12)，C ．(12)-，D ．(12)-，．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）A ．965⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，， C ．(][)36-∞+∞ ，，D ．[36]，9．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．(2)-∞，10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ） A ．122B ．111C ．322D ．21111．设p q ，是两个命题：251:||30:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a = ，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法种数为（ ）A ．18B ．30C ．36D ．48第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ． 14．41()xx x+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）． 15．若一个底面边长为62，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ．．设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+ ，则||OM =．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示： 分组 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，+∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率（I ）将各组的频率填入表中；（II ）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（III ）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率． 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，AC BC a ==，DE ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30 ．（I ）证明：111A B C D ⊥；（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．19．（本小题满分12分） 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>） （I ）求函数()f x 的值域；（II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π2，求函数1A 1C1BCBAMDEy f x =的单调增区间．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥）（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ． 21．（本小题满分14分）已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB △的内接圆（点C 为圆心）（I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7sin )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF，的最大值和最小值． 22．（本小题满分12分）已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数t 均有(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）若对任意的[266]m ∈-，，恒有2()11f x x mx --≥，求x 的取值范围．2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（供文科考生使用）试题答案与评分参考说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变试题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不要超过该部分正确解答应得分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．D 10．D 11．A 12．B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分． 13．1 14．72 15．43π 16．2三、解答题17．本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查使用统计的有关知识解决实际问题的能力．满分12分． （I ）解： 分组 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，+∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率0.0480.1210.2080.2230.1930.1650.042······································································································································ 4分 （II ）解：由（I ）可得0.0480.1210.2080.2230.6+++=，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6． ················································································································· 8分 （III ）解：由（II ）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率0.6P =，根据在n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率公式可得223333(2)(3)C 0.60.40.60.648P P +=+= ．所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648． ···································· 12分 15．本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力．满分12分．（I ）证明：连结CD ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ，∴CD 为1C D 在平面ABC 内的射影． ABC △中，AC BC =，D 为AB 中点， ∴AB CD ⊥，∴1AB C D ⊥． 11A B AB ∥， ∴111A B C D ⊥．（II ）解法一：过点A 作CE 的平行线， 交ED 的延长线于F ，连结MF ．1A 1C1BCBAMDEF GD E ，分别为AB BC ，的中点， DE AC ∴⊥．又 AF CE ∥，CE AC ⊥． ∴AF DE ⊥．MA ⊥平面ABC ，∴AF 为MF 在平面ABC 内的射影． ∴MF DE ⊥．MFA ∴∠为二面角M DE A --的平面角，30MFA ∠= ．在Rt MAF △中，122aAF BC ==，30MFA ∠= ， 36AM a ∴=． 作AG MF ⊥，垂足为G ， MF DE ⊥，AF DE ⊥， ∴DE ⊥平面DMF ，平面MDE ⊥平面AMF ， ∴AG ⊥平面MDE ．在Rt GAF △中，30GFA ∠=，2a AF =， ∴4a AG =，即A 到平面MDE 的距离为4a．CA DE ∥，∴CA ∥平面MDE ，∴C 到平面MDE 的距离与A 到平面MDE 的距离相等，为4a．解法二：过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连接MF ． D E ，分别为AB BC ，的中点， ∴DE AC ∥．又 AF CE ∥，CE DE ⊥ ∴AF DE ⊥．MA ⊥平面ABC ，∴AF 是MF 在平面ABC 内的射影， ∴MF DE ⊥．∴MFA ∠为二面角M DE A --的平面角，30MFA ∠= ．在Rt MAF △中，122aAF BC ==，30MFA ∠= ， ∴36AM a =． ··················································································································· 8分 设C 到平面MDE 的距离为h ，∴M CDE C MDE V V --=．1133CDE MDE S MA S h = △ 2128CDEa S CE DE == △，36MA a =，211322cos3012MDE AF S DE MF DE a === △， ∴221313386312a a a h ⨯⨯=⨯⨯， ∴4a h =，即C 到平面MDE 的距离为4a． ······································································ 12分 19．本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．满分12分． （I ）解：3131()sin cos sin cos (cos 1)2222f x x x x x x ωωωωω=++--+ 312sin cos 122x x ωω⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 16x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． ·········································································································· 5分 由π1sin 16x ω⎛⎫--⎪⎝⎭≤≤，得π32sin 116x ω⎛⎫--- ⎪⎝⎭≤≤，可知函数()f x 的值域为[31]-，． ·························································································· 7分 （II ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，()y f x =的周期为π，又由0ω>，得2ππω=，即得2ω=． ········································································································· 9分 于是有π()2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再由πππ2π22π()262k x k k --+∈Z ≤≤，解得 ππππ()63k x k k -+∈Z ≤≤．所以()y f x =的单调增区间为ππππ63k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ·············································· 12分 20．本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ｉ）解：由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即2n n c c -=+（2n ≥）易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为21n c n =+． ·························································································································· 4分 （II ）解：由题设得111()(2)2n n n n a b a b n ---=-≥，令n n n d a b =-，则 11(2)2n n d d n -=≥． 易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列，通项公式为 112n n d -=． ···························································································································· 8分 由12112n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得 1122n na n =++， ················································································································ 10分 求和得21122n n n S n =-+++． ·························································································· 12分 21．本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．（I ）解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2222y y ⎛⎫⎪⎝⎭，，由题设知222222222211122212()2222y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解得221212y y ==，所以(623)A ，，(623)B -，或(623)A -，，(623)B ，． 设圆心C 的坐标为(0)r ，，则2643r =⨯=，所以圆C 的方程为 22(4)16x y -+=． ·············································································································· 4分解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知22221122x y x y +=+．又因为2112y x =，2222y x =，可得22112222x x x x +=+．即()(2)0x x x x -++=．由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上．设C 点的坐标为(0)r ，，则A 点坐标为3322r r ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，于是有233222r r ⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得4r =，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=． ··············································································· 4分 （II ）解：设2ECF a ∠=，则2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-． ············································ 8分在Rt PCE △中，4cos ||||x PC PC α==，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥，所以12cos 23α≤≤，由此可得 1689CE CF -- ≤≤．则CE CF 的最大值为169-，最小值为8-．。
07年高考数学宁夏、海南试题(文科)
2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（宁夏、 海南卷）全解全析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B = （ ） Ａ．{}|2x x >-Ｂ．{}1x x >-|Ｃ．{}|21x x -<<-Ｄ．{}|12x x -<<【答案】：A 【分析】：由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，,可得A B = {}|2x x >-. 2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >【答案】：C 【分析】：p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x >3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）【答案】：A 【分析】：π()sin 23f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭排除Ｂ、Ｄ，π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭ 排除Ｃ。
也可由五点法作图验证。
xＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．BA4．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 【答案】：D 【分析】：1322-=a b (12).-， 5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）Ａ．2450 Ｂ．2500Ｃ．2550Ｄ．2652【答案】：C【分析】：由程序知，15021222502502550.2S +=⨯+⨯++⨯=⨯⨯= 6．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ） Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2-【答案】：B【分析】：曲线223y x x =-+的顶点是(12)，，则：1, 2.b c ==由a b c d ，，，成等比数列知，12 2.ad bc ==⨯=7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =· 【答案】：C 【分析】：由抛物线定义，2132()()(),222p p px x x +=+++即：2132FP FP FP =+． 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm【答案】：B 【分析】：如图，180********.33V =⨯⨯⨯=正视图 侧视图俯视图ASCB9．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为（） Ａ．Ｂ．12-Ｃ．12【答案】：C【分析】：22cos 2cos )π2sin 4αααα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭1cos sin .2αα⇒+=10．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e【答案】：D 【分析】：(),x x y e e ''⇒==曲线在点2(2)e ，处的切线斜率为2e ，因此切线方程为22(2),y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(1,0),(0,),A B e -所以：2211.22AOBe S e ∆=⨯⨯= 11．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π【答案】：D 【分析】：如图，2,90,,AB r ACB BC ⇒=∠==31111,3323ABC V SO S r r ∆∴=⨯⨯=⋅⋅=三棱锥333441,::4.333V r V V r r πππ=∴==球球三棱锥12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >>Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．213s s s >>甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6丙的成绩 环数 7 8 9 10频数 4 6 6 4yx【答案】：B 【分析】：(78910)58.5,20x +++⨯== 甲2222215[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]1.25,20s ⨯-+-+-+-== (710)6(89)48.5,20x +⨯++⨯==乙 2222226[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]1.45,20s ⨯-+-+⨯-+-== (710)4(89)68.5,20x +⨯++⨯==丙2222234[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]1.05,20s ⨯-+-+⨯-+-== 22213213.s s s s s s >>>>2由得第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】：3【分析】：如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B 、C ，则：||||63.||||2OF FC c OA AB a =⇒== 14．设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = ．【答案】：-1 【分析】：(1)(1)2(1)0, 1.f f a a =-⇒+=∴=-15．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，）【答案】：44i - 【分析】：238i 2i 3i 8i i -2-3i +4+5i -6+7i +8=4-4i.++++=16．已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ．【答案】：12 【分析】：46563,a a a +=⇒=1515135510 1.22a a a S a ++=⨯=⨯=⇒= 511.512a a d -∴==-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．18．（本小题满分12分）如图，AB C D ，，，为空间四点．在ABC △中，2AB AC BC ===， 等边三角形ADB 以AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ； （Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论．解：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，， 因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥． 当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC AB =， 所以DE ⊥平面ABC ， 可知DE CE ⊥ 由已知可得1DE EC ==，在DEC Rt △中，2CD =．（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥． 证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知AB DE ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥．EDBA又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥． 综上所述，总有AB CD ⊥．19．（本小题满分12分）设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞．（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加，在区间112⎛⎫--⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．又31397131149lnln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<． 所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．20．（本小题满分12分）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数， 求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数， 求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==．（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥． 所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ， 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB + 与PQ共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ， 且斜率为k 的直线方程为2y kx =+． 代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=， 整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ① 直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，，由方程①，1224(3)1k x x k-+=-+ ② 又1212()4y y k x x +=++． ③而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，．所以OA OB + 与PQ共线等价于1212()6()x x y y +=+，将②③代入上式，解得34k =-． 由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故没有符合题意的常数k ．22．请考生在Ａ、Ｂ两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．（Ⅰ）证明AP O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥．于是180OPA OMA ∠+∠=°．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以AP O M ，，，四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得AP O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程． 解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．所以224x y x +=．即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-． A。
2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)
2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（）A．∅B．C．D．2．（5分）α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种6．（5分）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2） B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）7．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．49．（5分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（5分）函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A．B．C．D．11．（5分）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．12．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499～．14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．16．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．19．（12分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（12分）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．21．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（）A．∅B．C．D．【分析】集合S、T是一次不等式的解集，分别求出再求交集．【解答】解：S={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，T={x|3x﹣5＜0}={x|x＜}，则S∩T=，故选D．2．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A．B．C．D．【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，∴sinα=，故选B．3．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种【分析】根据题意，先分析甲，有C42种，再分析乙、丙，有C43•C43种，进而由乘法原理计算可得答案．【解答】解；根据题意，甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，有C42种，乙、丙各选修3门，有C43•C43种，则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种，故选C．6．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2） B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）【分析】本题考查的是不等式所表示的平面区域内点所满足的条件的问题，解决此问题只需将点代入验证即可【解答】解：将四个点的坐标分别代入不等式组，解可得，满足条件的是（0，﹣2），故选C．7．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．（5分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g （x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g （x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，10．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】要进行有关三角函数性质的运算，必须把三角函数式变为y=Asin（ωx+φ）的形式，要先把函数式降幂，降幂用二倍角公式．【解答】解：函数y=2cos2x=1+cos2x，由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，解得﹣π+kπ≤x≤kπ，k为整数，∴k=1即有它的一个单调增区是，故选D．11．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．【解答】解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．12．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499～．【分析】～【解答】解：从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499～14．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（x∈R）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x 对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．【分析】先确定球心位置，再求球的半径，然后可求球的体积．【解答】解：正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为．故答案为：16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．【分析】（1）3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的对立事件是3位顾客中无人采用一次性付款，根据独立重复试验公式得到3位顾客中无人采用一次性付款的概率，再根据对立事件的公式得到结论．（2）3位顾客每人购买1件该商品，顾客的付款方式为一次性付款和分期付款，且购买该商品的3位顾客中有1位采用分期付款，根据互斥事件的公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．P（3．（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则B=B0+B1．P（B03P（B1）=C31×2×P（B）=P（B0+B1）=P（B0）+P（B1+19．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC 的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．【分析】（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．21．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．22．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．参与本试卷答题和审题的老师有：wdlxh；涨停；wkqd；wsj1012；danbo7801；blue；minqi5；wukexing；qiss；zhwsd；吕静；zlzhan（排名不分先后）菁优网2017年2月4日。
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2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）文科数学全解全析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）. 1．设，，则A ．B ．C ．D ．2．是第四象限角，，则A ．B ．C ．D ．3．已知向量，，则与A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 4．已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则双曲线方程为A ．B ．C ．D ．5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种 6．下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是A ．B ．C ．D ．7．如图，正棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 A ． B ．C ．D ． 8．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则A ．B ．2C ．D ．4DB1B 1D 1A9．，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．函数的一个单调增区间是A．B．C．D．11．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为A．B．C．D．12．抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，则△AKF的面积是A．4 B．C．D．8二、填空题13．从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________。
14．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则____________。
15．正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为_________。
16．等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为______。
三、解答题17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求b。
18．某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买。
根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元。
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率。
19．四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，。
（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小。
20．设函数在及时取得极值。
（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的，都有成立，求c的取值范围。
21．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求、的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和。
22．已知椭圆的左右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修＋选修1）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBAACC DDBD AC 1．设={x| x>－}，={x| x<}，则，选D 。
2．是第四象限角，，则，选B 。
3．已知向量，，，则与垂直，选A 。
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则c =4，a =2，，双曲线方程为，选A 。
5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有种，选C 。
6．将四个点的坐标分别代入不等式组，满足条件的是，选C 。
7．如图，连接BC 1，A 1C 1，∠A 1BC 1是异面直线与所成的角，设AB=a ，AA 1=2a ，∴ A 1B=C 1B=a ，A 1C 1=a ，∠A 1BC 1的余弦值为，选D 。
8．设，函数在区间上的最大值与最小值之分别为，它们的差为，∴ ，4，选D 。
9．，是定义在R 上的函数，，若“，均为偶函数”，则“为偶函数”，而反之若“为偶函数”，则“，不一定均为偶函数”，所以“，均为偶函数”，是“为偶函数”是充分而不必要的条件，选B 。
DBA1B 1D 1A10．函数=，它的一个单调增区间是，选D。
11．曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是(，0)，(0，－)，围成的三角形面积为，选A。
A．B．C．D．12．抛物线的焦点F(1，0)，准线为l：，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3，2)，，垂足为K(－1，2)，∴△AKF的面积是4，选C。
题号13 14 15 16答案13．从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为P==0.25。
14．．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则与函数互为反函数，。
15．正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为。
16．等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，又，即，解得的公比。
三、解答题17．解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得．所以，．18．解： （Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．，．（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”． 表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”． 则．，．．19．解法一： （1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设， 故，由，，．又，作，垂足为， 则平面，连结．为直线与平面所成的角．DBCASE所以，直线与平面所成的角为．解法二： （Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．因为，所以．又，为等腰直角三角形，．如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，因为，，又，所以，，． ，，，，所以．（Ⅱ），.与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．，，所以，直线与平面所成的角为．20．解： （Ⅰ），因为函数在及取得极值，则有，．DBCAS即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．当时，；当时，；当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为．21．解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，．所以，．（Ⅱ）．，①，②②－①得，．22．证明（Ⅰ）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．设，，则，，；因为与相交于点，且的斜率为．所以，．四边形的面积．当时，上式取等号．（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．综上，四边形的面积的最小值为．。