射影几何的故事PPT课件

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2. 投影构形
在平面几何中有一些只与“结合性” (即相交性) 有关的命题, 如“过两点存在唯 一直线”、“两平面或者平行或者交于一 条直线”, 等等。这些都是公理或简单的 定理, 但还有一些只与结合性有关的相当 复杂的定理, 例如:
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这两个定理看上去复杂, 却是非常基本的, 有时甚至作为公理。
请注意这两个图都有很强的对称性:德萨格 定理的图中有 10 个点, 10 条直线, 每条直线上 有 3 个点, 过每个点有 3 条直线;帕普斯定理的 图中有 9 个点, 9 条直线, 每条直线上有 3 个点, 过每个点有 3 条直线。
象这样的复杂且只与结合性有关的定理很 多, 一般都有很对称的图, 统称为“构形定理”。 例如下面的图都是构形定理的图。
习题 2: 可能有人会问: 太阳光线不是平行的 吗? 怎么能相交呢? 请你回答这样的问题。
下面的图说明圆在投影下的像是椭圆、 抛物线或双曲线的情形。
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如果让点光 源的位置连续变 化，则圆的投影 如右边这样变化。
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地平线:
如果地面很平, 朝着地面上远方望去 看到天地交界处是一条直线, 这就是所谓 地平线。由于地球是球体, 实际上地平线 是所能看到的最远地方。下图是一个夸张 的说叙述甚为复杂, 一方 面要排除各种平行的情形以得到对一般情形的陈 述, 另一方面对每个特殊情形将陈述作适当修改 仍能成立。
人们发现, 若 (作为公理) 对每条直线加上一 个“无穷远点”, 并规定相互平行的直线交于无 穷远点, 所有无穷远点组成一条“无穷远直线”, 则所有构形定理仍成立而没有了例外情形。直观 地, 这个“无穷远点”就是透视图上的消失点, 而 无穷远直线就是地平线。
2. 圆在投影下的像可以是椭圆、抛物线或 双曲线。
3. 一组相互平行的直线的投影可能是相交 于同一点的一组直线, 反之亦然。
在风景照片上我们经常可以看到这样 的现象 (见下面的照片)。
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“平行线的投影可能交于一点”这个原 理很有用, 例如在上面的照片中, 太阳被云遮 住了, 但有几道光线射出来, 如果我们将两道 光线延长, 得到一个交点, 这个交点就是太阳 的位置。
如我们前面所说, 射影空间是与寻常 的空间大不相同的几何结构。
首先我们来看它们的拓扑结构。
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我们先来看射影直线, 它是由寻常的直线 加一个无穷远点得到的, 如果沿着直线走, 无 论是向前走还是向后走, 最终都能到达同一个 无穷远点。为清楚起见, 假定我们沿着直线往 南走, 如果在到达了无穷远点后继续往前走, 那么我们走到哪里了呢? 我们发现走到了出发 点的北面, 如果再往南走就回到了出发点!
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点光源
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另一个意义: 将空间中 的物体投影在画面上。
例如: 小孔成像, 凸透 镜成像, 眼睛看物体等。
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照相与点光源照射的物理意义 不同: 不是发出光线, 而是接收光线。 但数学的理解是相同的, 就是将物体 上的任一点 X 与投影中心点 (点光源 或焦点) 连结一条直线, 与投影平面 交于一点 Y, 则 Y 点就是X 点在投影平 面上的投影。物体上所有点的投影 合起来就组成整个物体的投影。
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对二次曲线也有类似的构形定理, 如
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上面的几个定理绝非仅仅是一种游戏 (“有 观赏价值”), 恰恰相反, 它们都是有关学科中重 要的基本定理。
这些定理的图有一个共同点, 就是如果把它 们投影到另一个平面上, 仍然是同一个定理的图, 所以常称为“投影构形”。
但我们前面看到, 原来相交的直线, 在投影 后可能变成相互平行的了，而原来相互平行的 直线在投影后则可能变成相交的。此时构形定 理的叙述需要改变。
在寻常的直线上加上一个无穷远点, 就 扩充成了“射影直线”; 在寻常的平面上 加上所有无穷远点, 就扩充成了“射影平 面”, 其中所有无穷远点组成无穷远直线。 在数学上怎样刻画射影平面呢?
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4. 射影空间的结构
射影空间的故事
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整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
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1. 什么是投影
“投影”亦称“射影”, 来源于物 体在点光源或平行光源照射下投下的影 子。
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假定一张透明胶片上有一个图形, 那么它在光源照射下的影子是什么样的 呢?
例如在下面的图中, 某个平面上有 一个三角形 ABC, 在点光源 S 的照射下 投影到平面 P 上, 形成一个投影, 它也是 一个三角形。
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采用这种方法就不需要讨论上面那样的退 化情形了。道理十分简单: 如果出现有两条直 线平行的情形, 就通过投影 (射影变换) 将它变 为没有两条直线平行的一般情形, 这样就只需 考虑这样的一般情形了。
这当然有了很多方便, 但更重要的是由此 发现了一种重要的几何结构 ------ 射影空间。
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3. 射影空间
实际上, 即使地面完全是平的, 仍然可 以看到地平线。它是天空和地面投影到视 网膜上的图象的分界线, 直观上可以理解 为“地面上的无限远处”。
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站在地球表面看地平线
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在风景中经常可以看到地平线, 不过 多半是在水边 (见下面的照片)。
如果朝着地面上一条很长的直线的 方向看去, 会看到直线与地平线交于一点, 称为“消失点”, 一组相互平行的直线有 相同的消失点 (见下面的照片) 。
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一个图形经过投影后变成什么样 子, 这是一个数学问题, 术语叫做“射 影变换”。
很容易从实验看到: 1. 直线的投影仍是直线。 2. (平面) 二次曲线的投影仍是二次曲 线。
习题 1: 证明上述事实。
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但是:
1. 平行的直线经过投影后不一定是平行线; 反之, 不平行的直线经过投影后可能成 为平行线。
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对投影的研究有很长的历史, 在古 代的绘画中已对此做了研究。简言之, 画风景画就是以人眼为中心, 将风景中 的物体投影在画板上。
直观上, 看东西“近大远小”, 反映 在绘画上, 就可以用例如人物的大小来 给出远近的感觉, 就是“立体感”。 对这方面的系统研究, 后来在西方艺术 中产生了“透视”的概念。这就是“画 法几何”中透视图的基本原理。