整数的分拆
整数的分拆
第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
数学中的整数分拆
数学中的整数分拆在数学中，整数分拆是一个有趣且重要的概念。
它涉及到将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
整数分拆在代数、组合数学以及数论等领域都有广泛的应用和研究。
本文将介绍整数分拆的基本概念、应用以及一些有趣的性质。
一、基本概念整数分拆即是将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
例如，对于整数4，可以将其分拆为1+1+1+1、2+2、1+1+2等不同的方式。
整数分拆的方式可以具有不同的顺序，但只要拆分的数目相同，就属于同一种拆分方式。
通常，我们用P(n)表示一个正整数n的拆分数，P(n)的值表示n的所有拆分方式的总数。
二、应用整数分拆在实际问题中有着广泛的应用。
下面以组合数学为例，介绍一些具体的应用场景。
1. 钱币组合问题假设有不同面额的硬币，例如1元、2元、5元等，我们需要凑出一个特定金额的零钱。
这个问题可以转化为整数分拆的问题。
例如，我们要凑齐10元，可以分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+1+2、1+1+1+1+1+1+1+2+2等多种方式。
2. 整数拆分问题整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和，并且这些正整数之间没有顺序要求的问题。
例如，将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2等都属于整数拆分的方式。
整数拆分问题在计算机科学中有着广泛的应用，例如动态规划算法中的背包问题、分割问题等。
三、性质整数分拆具有很多有趣的性质，下面介绍其中的一些。
1. 奇偶性对于正整数n，其拆分数P(n)具有一定的奇偶性规律。
当n为奇数时，P(n)为奇数；当n为偶数时，P(n)为偶数。
这个结论可以通过归纳法证明。
2. 递推关系正整数n的拆分数P(n)可以通过递推关系计算得到。
具体地，对于正整数m，其拆分数可以通过计算m-1的拆分数、m-2的拆分数等递推得到。
例如，P(5)可以通过计算P(4)、P(3)、P(2)、P(1)的值得到。
3. 生成函数生成函数是一种用于研究组合数学问题的工具。
三年级数学奥数讲义-整数的分拆(PDF,通用版,无答案)
【例1】(★★) 将12分拆成三个不同的正整数相加之和，共有多少种不同的分拆 方式，请把它们一一列出。
【例2】(★★ ★) 将15分拆成不大于9的三个不同的自然数【0除外】之和有多少种 不同分拆方式，请一一列出。
【例3】(★★★) 古代有孔融让梨的佳话，现在乐乐老师准备在七个装有梨的盘子 中取梨，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9 个梨.她要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么 都拿，要么都不拿。共有多少种不同的拿法？
【本讲总结】 一、概念 整数的拆分： 把一个自然数(0 除外)拆分成几个自然数相加的形式 核心思想： 有序、全面 二、基本型
三、告知最大数
四、求加数的最多个数
五、拆成两个数
1．和一定，差小积大
2．积一定，差小和小
六、拆成多个数，乘积最大
1．相同：3，少2，无1
2．不相同：
2
1
【例4】(★★★) 100这个数最多能写成多少个不同的正整数之和？
【例5】(★★★★) ⑴两个非零自然数的和是14，这两个数分别是多少时，它们的积 最大？最大是多少？ ⑵两个自然数的积为40，这两个数分别为多少时，它 们的和最小？ 最小为多少？这两个数分别为多时， 它们的和最大，最大是多 少？
【拓展】(★★★) 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互 不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？
【例6】(★★★★★) ⑴将10分成若干个自然数的和(允许有相同的)，使得 这些自然数 的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑵将10分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然 数的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑶将13分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然 数的乘积达到最大，这个乘积是什么？
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。
也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。
2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。
3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。
4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。
如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。
5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。
6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。
典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。
【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。
2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。
则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。
选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇一、引言随着春季班的推进，我们来到了三年级奥数的第10讲——整数的分拆。
整数分拆是数学中一个有趣且实用的领域，通过学习这一讲，同学们将能够掌握整数分拆的基本概念和方法，并在实际问题中灵活运用。
二、整数分拆的概念与方法1.整数分拆的含义整数分拆，指的是将一个整数拆分成若干个正整数的和。
在数学中，整数分拆有着广泛的应用，如求解最值问题、优化问题等。
2.整数分拆的方法整数分拆的方法主要包括：质因数分解、同余分拆、最简分拆等。
这些方法在解决不同类型的问题时有所侧重，接下来我们将通过实例来了解。
三、整数分拆的强化篇1.强化分拆的定义与特点强化分拆，是指在常规整数分拆的基础上，对拆分后的整数进行进一步的优化。
强化分拆的特点如下：（1）强化分拆追求拆分方式的简洁性；（2）强化分拆注重运用数学原理，如数论、组合数学等；（3）强化分拆强调解题策略的多样性。
2.强化分拆的实例解析以下是一个利用强化分拆求解最值问题的实例：题目：已知正整数n，求n(n+1)(n+2)(n+3)的最小值。
解：通过强化分拆，可以将n(n+1)(n+2)(n+3)转化为(n^2+3n)(n^2+3n+2)。
进一步拆分为(n^2+3n)[(n+1)+(n+2)]，然后利用基本不等式，得到最小值为24。
四、整数分拆在奥数中的应用1.题目类型一：利用整数分拆求解问题例题：求解不等式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|≥4。
解：将不等式转化为四个绝对值之和的形式，然后根据整数分拆的原理，讨论x的取值范围，求解得到x∈[-1,4]。
2.题目类型二：利用整数分拆优化问题例题：已知四个数a、b、c、d，求a^2+b^2+c^2+d^2的最小值。
解：利用整数分拆，将a、b、c、d分为两组，使得两组数的和相等。
然后根据平方差公式，将原式转化为一个关于和的形式，进一步求解得到最小值。
3.题目类型三：整数分拆与组合数的联系例题：求解组合数问题C(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)/m!的性质。
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆整数的分拆是数学中一个重要的概念，也是三年级奥数春季班的一部分内容。
所谓整数的分拆，就是把一个整数表示为若干个正整数的和的形式。
首先，我们来看一个例子。
假设我们要把整数5分拆成若干个正整数的和。
从1开始，我们可以找到一组分拆方式：5=1+1+1+1+1。
这就是把整数5分拆成5个1的和。
同样，我们还可以找到其他的分拆方式，如：5=2+2+1或者5=3+1+1。
这里需要注意的是，分拆的方式可以有很多种，但是分拆的正整数的个数是有限的。
那么如何确定一个整数的所有分拆方式呢？我们可以利用递归的方法来求解。
假设n是一个正整数，我们要求n的所有分拆方式。
如果n等于1，那么分拆方式只有一种，即n=1。
如果n大于1，那么我们可以将n分拆成两部分。
第一部分是一个正整数i，i可以从1取到n-1。
第二部分是n-i。
例如，当n=5时，我们可以将5分拆成1和4、2和3等。
然后，我们可以递归地求解这两部分的所有分拆方式，最后将它们合并在一起，就得到了n的所有分拆方式。
这个方法可以表示为如下的递归公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(1)其中f(n)表示n的分拆数。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设我们要求整数5的所有分拆方式。
根据递归公式，我们可以先求解f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，然后将它们相加，即f(5)=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)。
由于f(1)等于1，那么我们可以依次求解f(2)、f(3)、f(4)的值。
f(2)=f(1)+f(0)=1+1=2f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3f(4)=f(3)+f(2)+f(1)=3+2+1=6所以，f(5)=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=6+3+2+1=12。
这就是整数5的所有分拆方式的个数。
通过上面的例子，我们可以看出，求解整数的分拆方式主要是利用了递归的思想。
递归的过程就是不断地将原问题转化为更小的子问题，直到子问题的规模足够小，可以直接求解。
初中数学竞赛：整数的分拆(含例题练习及答案)
初中数学竞赛：整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
整数分拆
整数分拆（严格地讲是自然数分拆）形式多样，解法也很多。
下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。
那么什么是“中间数”呢？其实这里的“中间数”也就是平均数。
有的“中间数”是答数中的一个，如：1、2、3、4、5中的“3”便是；也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。
由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。
下面利用这种方法解几道题：一、把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。
例1、把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么？分析与解：这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：2000÷25=80，那么80的左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：80—12×2=56，最大的为：80+12×2=104，故所求的这25个数为：56、58、………、80、………、102、104。
例2、把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少？分析与解：我们仿照例1的办法先求中间数：105÷10=10.5，“10.5”这个数是小数，并不是自然数，很明显“10.5”不是所求的数中的一个，但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个，这样也就是10.5左边有5个数，右边也有5个数，距离10.5最近的分别是10、11，这10个数分别是：6、7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14、15。
二、把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。
例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？分别是多少？分析与解：此题看上去无从下手解答。
我们先把84分解质因数，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8（2×2×2）个连续自然数的和。
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆
摘要：
1.整数分拆的定义和概念
2.整数分拆的方法和技巧
3.整数分拆的实际应用和例题
4.整数分拆的注意事项和易错点
5.整数分拆的练习和提高
正文：
【整数分拆的定义和概念】
整数分拆，是指将一个整数拆分成若干个整数的和，这些整数可以是任意整数，包括正整数、负整数和零。
整数分拆是数学中的一个基本概念，也是奥数比赛中经常出现的题型。
【整数分拆的方法和技巧】
整数分拆的方法和技巧主要有以下几点：
1.拆分前的分析：观察题目，了解题目要求，找出有用的条件和信息。
2.拆分原则：尽量拆分成小的整数，以便计算和求解。
3.拆分步骤：先从最大的整数开始拆分，逐步减小，直到得到满足题目要求的整数和。
4.拆分方法：可以使用数学方法，如因数分解、质因数分解等，也可以使用试错法，逐步尝试，直到找到满足条件的整数和。
【整数分拆的实际应用和例题】
例如，将整数10 拆分成若干个整数的和，可以是1+2+3+4，也可以是5+5，或者是-1+-1+-1+-1+-1+-1+-1+-1。
不同的拆分方法，对应不同的拆分结果。
【整数分拆的注意事项和易错点】
1.拆分结果不唯一，需要根据题目要求进行判断。
2.拆分过程中，需要注意整数的正负性，避免出现错误。
3.在使用试错法时，需要有耐心，逐步尝试，直到找到满足条件的整数和。
【整数分拆的练习和提高】
通过大量的练习，可以提高整数分拆的能力，增强解题技巧。
第八讲 整数的分拆
第八讲整数的分拆
例1：将15拆成2个数的和，并且使这两个数的乘积最大，应该怎么拆？最大值是多少？将11拆成2个数的和，使这两个数的乘积最大，应该怎么拆？最大值是多少？
例2：把14拆成三个不同自然数之和的形式，使这三个数的积最大。
把19拆成三个不同自然数之和的形式，使这三个数的积最大。
例3：把20分拆成若干个自然数之和，使这些数的积最大。
怎样拆？
把40分拆成若干个自然数之和，使这些数的积最大。
怎样拆？
例4：将20米长的篱笆围成一个长方形，怎样围，使长方形的面积最大？
利用一堵墙，将20米长的篱笆围成一个长方形，怎样围，使长方形的面积最大？
练习：
1．将210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5。
第1个数与第6个数分别是几？
2. 将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，怎样拆？
3. 将135个人分成若干个小组，要求任意两个组的人数都不同，则至多可以分成多少组？
4．把1999分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，一共有多少种不同的分拆方法？求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应将1999如何分拆？
5．把456表示成若干个连续自然数的和。
要求写出所有的表达式（如9可以有两种表达形式：9=4+5=2+3+4）。
小升初数学之整数的分拆
小六数学资料（教师用卷）第十一讲整数的分拆知识要点：整数的拆分，就是把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一种分拆。
1、要求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆的过程按一定的顺序进行。
2、特殊要求的分拆有特殊的解题方法。
比如分成两个自然数的和，然后要使乘积最大，就必须使这两个数的差最小。
如果分成若干个自然数的和并使其积最大，就要充分考虑分成3或2，并且2的个数不多于2个。
（因为3个2相乘小于2个3相乘）这也是著名的哥德巴赫猜想。
例题1、两个小朋友用玩具枪打靶。
他们每人打了两发子弹，靶子上有1到6环。
甲一共打中6环，乙一共打中5环。
如果没有哪两发子弹是打在同一个环带内，并且弹无虚发，你知道他们俩打中的分别是哪几环吗？解析：已知汤姆两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求吉米每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3。
由于题意得，没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：甲打中的是1和5环，乙打中的是2和3环。
例题2、小明用身上的1分、2分、5分的硬币各4枚，想买2角3分的一件商品，他应该如何付款？共有多少种不同的支付方法？解析：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分。
因为全部1分和2分都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分。
当使用3枚5分时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分最多4枚，最少2枚，可有23=15+(2+2+2+2) 23=15+（2+2+2+1+1）23=15+（2+2+1+1+1+1）共3种支付方法。
当使用4枚5分时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分，或者不使用。
从而有23=20+(2+1) 23=20+（1+1+1）共2种支付方法。
所以一共有3+2=5种支付方法。
例题3、试把1999分拆成8个自然数的和，使其乘积最大。
解析：要使分拆的8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1.因为1999=8×249+7，由上述分析，拆法应是1个249，7个250，其乘积249×2507为最大。
第一周(整数的分拆)
整数的分拆1、整数的分拆其相关结论如下(1)一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大，也就是把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。
(2)一般的，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n-r)个p。
(3)把自然数S(S>1)分拆成若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分成的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。
(4)把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+r(r≤n)的形式，再把r一轮一轮的从后往前每个加1即可。
(5)若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？2、把60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是几？3、把1999分成若干个自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？4、将35分拆成若干个互不相等的自然数之和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？5、电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播出几天？6、把8个苹果分给3个小朋友有多少种不同的分法？(至少1个)。
7、一个自然数可以分拆成9个自然数之和，也可以拆成10个自然数之和，还可以拆成11个自然数之和。
这个自然数最小是几？8、自然数2000能否拆成若干个连续自然数之和？如能，有几种？课后练习：1、把1999分拆成8个自然数之和，使其乘积最大。
2、把50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大的质数是几？3、把49分拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积最大应该怎样分拆？4、将36分成若干个互不相等的自然数之和，且使这些数的乘积最大，求乘积？5、将2008分成若干个互不相等的自然数之和，且乘积最大？6、是否有若干个连续自然数，他们的和恰好等于64？6、把34分拆成若干个连续自然数之和有多少种分法？。
第七讲 整数的分拆
第七讲 整数的分拆1、整数的分拆：把一个整数n 表示为若干个自然数之和的形式，这通常叫整数n 的分拆。
即12m n n n n =+++ (121m n n n ≥≥≥≥ )。
对被加项和项数m 加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆。
自然数的分拆是古老而又十分有趣的问题，著名的歌德巴赫猜想实际上是一个分拆问题。
其相关结论如下：(1)一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大，也就是把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。
(2)一般的，把自然数m 分成n 个自然数的和，使其乘积最大，则先把m 进行对n 的带余除法，表示成m=np+r ，则分成r 个(p+1)，(n-r)个p 。
(3)把自然数S(S>1)分拆成若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分成的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。
(4)把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+r (r≤n )的形式，再把r 一轮一轮的从后往前每个加1即可。
(5)若自然数N 有k 个大于1的奇约数，则N 共有k 种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
〖经典例题〗例1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？分析：要使8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两个数相等或相差1.因为2006÷8=250……6，所以2006=250×8+6，6不能单独存在，所以将6分成6个1，并从后往前加在6个自然数中，2006=250+250+251+251+251+251+251+251。
例2、把60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是几？分析：因为60÷10=6，可以初步判定尽可能小的最大的质数应从能否为7考虑。
60=7×8+2+2.所以最大的数最小是7.〖方法总结〗本题用到了结论(2)，将2006写成8×p+r 的形式，然后余下6，因此有6个251和2个250.当有些特殊要求时，如例2，我们先估算出大致范围，然后再利用结论求解。
整数的分拆(沪教版二年级数学上培优培优)学生版
整数的分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。
整数的分拆，就是把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式（0除外）。
自然数：0、1、2、4、5等等，像这样的整数叫做自然数。
重、难点：将一个自然数拆成若干个自然数的和的形式（0除外）。
易错点：在解答这些问题的时候要从具体问题入手，有序的思考，不重复，不遗漏。
把5表示成若干个自然数（0除外）的和的形式，有多少种不同的分拆方式？把4分拆成几个自然数（0除外）相加的形式，有多少种分拆方式？将15分拆成不大于9的三个不同的（0除外）自然数之和，有多少种不同分拆方式？请列出。
整数的分拆把15分拆成不大于9的两个不为0的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请列出。
七个箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果。
现在要从这七个箱子里取出87个苹果，但每个箱子内的苹果只能选择全部取走或者一个不取。
小朋友你该如何取呢？八个箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个、128个橘子，现在要从这八个箱子里取出169个橘子，但每个箱子内的苹果只能选择全部取走或者一个不取。
请小朋友想一想，该如何取？将7粒糖果分别放在3个口袋里，可以有口袋不放，问有几种放法？一张试卷有5道题，答对第一道题得1分，答对第二道题得2分，答对第三道题得3分，答对第四道题得4分，答对第五道题得5分。
小乐和小美两人都答对了2道题，小乐得6分，小美得7分，又知两人没有答对相同的题目，你知道他们答对的是哪几道题吗？将16分拆成不大于9的四个不同自然数之和（0除外），有多少种不同的分拆方式，请列出。
将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和（0除外），有多少种不同的分拆方式，请列出。
一个小姑娘，生在水中央，身穿粉红衫，坐在绿船上。
将15分拆成三个不同的自然数（0除外）之和，有多少种不同的分拆方式。
请列出。
美国硬币有1分、5分、10分和25分四种。
现有10枚硬币价值1元钱，其中有3枚25分的硬币。
组合数学第七节：整数的分拆
2.6 正整数的分拆粗略地说，正整数的分拆就是将一个正整数分成几个正整数的和。
在本章的前几节中已经看到，某些重要和式的求和范围都与正整数的分拆有联系，在2.7节中我们将说明有一类分配问题就是“分拆问题”。
分拆问题也是组合论的重要内容之一，本节我们将介绍正整数的分拆的概念及其一些最基本的性质，在2.7节中再将本节的一些结果应用到一类分配问题。
定义2.6.1正整数n 的一个k 分拆是把n 表示成k 个正整数的和()121k n n n n k =+++≥（2.6.1）的一种表示法，其中()01i n i k >≤≤i n 叫做该分拆的分部量。
如果表达式（2.6.1）是无序的，也就是说，对诸i n 任意换位后的表示法都只视为一种表示法，这样的分拆叫做无序分拆，或简称为分拆。
反之，若表达式（2.6.1）是有序的，即表达式（2.6.1）右边的和不仅与各项的数值有关，而且与各项的次序有关，不同的次序认为是不同的表示法，这样的分拆叫做有序分拆。
这时，i n 叫做该有序分拆的第i 个分部量。
n 的k 分拆的个数称为n 的k 分拆数，n 的所有分拆（k 取遍所有可能的值）的个数称为n 的分拆数。
例如：4211121112=++=++=++是4的所有3个有序3分拆。
在4的第一个有序3分拆中，第1个分部量为2，第2个和第3个分部量均匀为1。
而：4211=++ 是4的唯一一个3分拆。
2.6.1 有序分拆在这一小节中，我们介绍n 的有序分拆的计数公式，以及在几类限定条件下n 的有序分拆的计数公式。
定理2.6.1 正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。
证明 正整数n 分成k 个分部量的一个有序分拆：12k n n n n =+++，等价于方程：12k x x x n +++=。
的正整数解()12,k n n n ，由2.3节定理2.3.4的证明知，正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。
整数分拆——精选推荐
整数分拆
整数分拆，是指将⼀个正整数表⽰为若⼲个正整数的和
⼀、有序分拆
分拆时考虑顺序差异
隔板法，组合数
⼆、⽆序分拆
不考虑顺序差异
dp[i][j]表⽰拆分i，最⼤加数不超过j的⽅案数
for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][1]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=2;j<=n;j++)
{
if(i<j)dp[i][j]=dp[i][j-1];
else if(i==j)dp[i][j]=(dp[i][j-1]+1)%mod;
else dp[i][j]=(dp[i][j-1]+dp[i-j][j])%mod;
}
}
⽆序分拆性质
1、整数n拆分成最⼤数为k的拆分数，和n拆分成k个数的和的拆分数相等。
(设Ferrers图像的每⼀⾏的格⼦数为每个加数⼤⼩，则整数n拆分成k个数的和的拆分可⽤k⾏的图像表⽰，共轭图像最上⾯有k个格⼦)
2、整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数，和n拆分成最⼤不超过m的拆分数相等。
(和上⼀条同理)
3、整数n拆分成互不相同的若⼲奇数的和的拆分数，和n拆分成⾃共轭的Ferrers图像的拆分数相等。
(设n=(2n1+1)+(2n2+1)+……+(2n k+1)，其中n1>n2>...>n k，构造⼀个Ferrers图像，其第⼀⾏、第⼀列都是n1+1格，对应于2n1+1，第⼆⾏，第⼆列各n2+1格，对应于2n2+1，以此类推。
由此得到的Ferres图像是共轭的)
Processing math: 100%。
小学奥数 整数分拆与不定方程
整数分拆与不定方程【内容概述】整数分拆：就是把一个自然数表示为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，及时自然数的一个分拆。
不定方程：含有未知数的等式叫做方程，对一个方程而言，若未知数的个数超过一个，统称为不定方程。
整数的分拆：例1 电视台要播出一部30集的电视连续剧，若要每天安排的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播出几天？例2 把12分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？例3 试把1999分拆成8个自然数之和，使其乘积最大。
例4 把14分拆成若干个自然数之和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何分拆？这个最大的乘积应该是多少？例5 将35拆成若干个互不相等的自然数之和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？例6 396拆成若干个连续自然数和的形式，试问有多少种不同的方法？例7 用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图的鸡圈，问鸡圈的长和宽分别是多少时（包括正方形），鸡圈的面积最大？例8 用6米长的篱笆材料靠墙修建如下图的鸡圈，问鸡圈的长和宽分别是多少时（包括正方形），鸡圈的面积最大？不定方程：例1 已知61375=+y x ，请你写出一组整数解。
例2 已知21346=+y x ，请你写出一组整数解。
例3 已知5494563=+y x ，请你写出一组整数解。
例4 求解不定方程5494563=+y x 的解（至少5组）。
运用：例5 中华牌2B 铅笔7角钱一支，2H 铅笔3角钱一支。
高莎莎用5元钱恰好可以买两种铅笔共多少支？例6 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，一天里共吃了722个馒头。
问：庙里至少有多少个和尚？练习：1.将2006分拆成8个自然数和的形式，使其乘积最大。
2.将1976分拆成若干个正整数之和，再将其相乘，试求所有这种乘积中的最大值。
3.将16分拆成若干个整数和的形式，再将其相乘，试求所有这种乘积中的最大值。
第七讲 整数的分拆
第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数问题例1 有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3 有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析 本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法。
4年级整数的分拆
4年级整数的分拆《4 年级整数的分拆》在 4 年级的数学学习中，整数的分拆是一个很有趣也很重要的知识点。
它就像是一个神奇的魔法，能把一个整数变成不同的组合，帮助我们更好地理解数字之间的关系。
整数分拆，简单来说，就是把一个整数写成几个整数相加的形式。
比如说，把 5 这个整数进行分拆，可以写成 1 ＋ 4、2 ＋ 3、1 ＋ 1 ＋ 3、1 ＋ 2 ＋ 2 等等。
为什么要学习整数分拆呢？这可有着不少用处呢！首先，它能帮助我们锻炼思维能力，让我们学会从不同的角度去看待一个数字。
其次，在解决一些实际问题的时候，比如计算组合的可能性，整数分拆就派上大用场啦。
那我们来看看整数分拆有哪些方法和技巧。
一种常见的方法是从最小的数开始逐步增加。
就拿 6 来举例吧，如果从 1 开始，我们可以得到 1 ＋ 5、2 ＋ 4、3 ＋ 3。
然后再考虑包含两个以上数字相加的情况，比如 1 ＋ 1 ＋ 4、1 ＋ 2 ＋ 3、2 ＋ 2 ＋ 2 等等。
还有一种方法是按照一定的顺序来分拆。
比如说，我们可以先把整数平均分成两份，如果能整除，那就得到一种分拆。
如果不能整除，就把余数依次加到其中一份上，这样也能得到不同的分拆方式。
在进行整数分拆的时候，我们要注意一些问题。
首先，要确保分拆的结果都是整数，不能有小数或者分数。
其次，每个分拆的数字都不能重复。
下面我们通过一些具体的例子来加深对整数分拆的理解。
假设我们要把 8 进行分拆。
按照从小到大的顺序，我们可以得到 1＋ 7、2 ＋ 6、3 ＋ 5、4 ＋ 4。
然后再考虑三个数字相加的情况，有 1＋ 1 ＋ 6、1 ＋ 2 ＋ 5、1 ＋ 3 ＋ 4、2 ＋ 2 ＋ 4、2 ＋ 3 ＋ 3 。
再比如把 10 进行分拆，我们能得到 1 ＋ 9、2 ＋ 8、3 ＋ 7、4 ＋ 6、5 ＋ 5 。
三个数字相加的有 1 ＋ 1 ＋ 8、1 ＋ 2 ＋ 7、1 ＋ 3 ＋ 6、1 ＋4 ＋ 5、2 ＋ 2 ＋ 6、2 ＋ 3 ＋ 5、2 ＋ 4 ＋ 4、3 ＋ 3 ＋ 4 。
第四讲 整数的拆分
第四讲整数的拆分笔记总结整数的拆分：把自然数分成为若干个自然数之和，每一种表示方法就是一种拆分。
【要求】1.拆成的数的和必须等于这个数n。
2.不允许重复（排列顺序不一样的重复也不可以）：例如：3=2+1.3=1+2只能算一种拆分。
【要点】1.被拆的数 2.拆成多少个数 3.特殊要求一、整数分拆中的计数问题（几种、多少个这样的问题称为计数问题）例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？（不加限制条件的分拆，称为无限制分拆）分类(枚举)法：只能拆成2个至6个数的和。
2个数：6=5+1=4+2=3+3 3个数：6=4+1+1=3+2+1=2+2+24个数：6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；5个数：6=2+1+1＋1＋1 6个数：6＝1+1+1+1+1+1因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法。
例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法：采用枚举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1992+2=…=998＋996=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.【拆成2个数规律】：n是双数，有n÷2种拆分；n是单数，有（n-1）÷2种拆分.二、整数分拆中的最值问题（最大和最小的两种极端情况，称为最值问题）例3 50最多能拆成多少个不同的正整数之和？拆“50”没有个数限制，但要求拆成的数个数最多-------也就是尽量拆的最小50=1+2+3+4+5+6+7+8+9+5 最多拆成9个。
例4 试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49. [结论] 拆成两个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大。
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整数的分拆
知识要点屋
1．整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式。
2．每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。
比如，①将10拆成2个数相加的形式有_____种方法。
②将10块糖果分给2个小朋友有_____种方法。
(★★)
小明，爸爸两人练习射击，他们每人打了两发子弹，均击中了靶子。
小明两发共打了12环，小明爸爸两发共打了8环。
已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环？(靶子上只有2、4、6、8、10环)
(★★★)
两个海盗分20枚金币。
请问：
⑴如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有多少种不同的分法？
⑵如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？
(★★★★)
小王有5个相同的飞机模型，他要把它们放在一个3层的货架上，每层至少要放1个。
小王一共有____种不同的放法。
过了几天，他又要把18个相同的汽车模型放到另一个3层货架上，每层至少要放5个，这时有_____种不同的放法。
(★★★)
小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱。
冬冬一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法？
【铺垫】(★★★)
将8拆成几个数的和，这些自然数可以相同，那么，这些自然数的乘积最大是________。
(★★★★)
将10分成若干个自然数的和(允许有相同的)，使得这些自然数的乘积达到最大，这个乘积是什么？
【超常大挑战】(★★★★)
两个自然数的和为10这两个数分别为_____和_____时，它们的乘积最大，最大是______。
【知识大总结】
整数的分拆
1．顺序：分拆时候，由大到小，
①拆成两个数时，无前后顺序之分，
②拆给两个人时，有前后顺序之分。
2．限定条件：拆偶数；至少有5个金币。
3．拆成多个数(积最大)：多拆3，少拆2，坚决不拆1。
4．拆成2个数：两数和一定，差小积大。
【今日讲题】例1，例3，例4，例5
【讲题心得】
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【家长评价】
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