【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 计时双基练30 等比数列及其前n项和 文 北师大版

计时双基练三十 等比数列及其前n 项和

A 组 基础必做

1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列

解析 根据等比数列的性质，若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N ＋)，则a m ，a k ，a n 成等比数列。 答案 D

2．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝1

4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )

A ．2

B ．1 C.12

D.1

8

解析 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)， ∴a 2

4＝4(a 4－1)，解得a 4＝2。

又a 4＝a 1q 3

，且a 1＝14，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12。

答案 C

3．已知数列－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz ＝( ) A ．－4 B ．±4 C ．－2 2

D ．±2 2

解析 根据等比数列的性质，xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2

＝2，又y

－1

＝q 2

(q 为公比)，故

y <0，所以y ＝－2，所以xyz ＝－22。

答案 C

4．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N *

，且a 3·a 2n －3＝22n

(n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )

A ．n (2n －1)

B ．(n ＋1)2

C ．n 2

D ．(n －1)2

解析 由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2

n ＝22n

，从而得a n ＝2n

。

解法一：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22

n (2n －1)

＝n (2n －1)。

解法二：取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2

＝4，(1－1)2

＝0，排除B ，D ；取n ＝2，

log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22

＝4，排除C ，选A 。

答案 A

5．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( ) A ．150 B ．－200 C ．150或－200

D ．400或－50

解析 依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2

＝S 10(S 30

－S 20)，即(S 20－10)2

＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－

S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80。S 40＝150。

答案 A

6．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *

，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1

m －1

，则数列{a n }的公比为( )

A ．－2

B ．2

C ．－3

D ．3

解析 设公比为q ，若q ＝1，则

S 2m

S m

＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1。 ∵S 2m S m ＝a 1 1－q 2m

1－q a 1 1－q m

1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m

＝8。 ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1

， ∴m ＝3，∴q 3

＝8， ∴q ＝2。 答案 B

7．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________。 解析 由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得

a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，

∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3

＝3。 答案 3

8．(2016·云南省昆明市高三年级昆十四中、官渡二中、昆十二中、云南民中、官渡一中、官渡五中、官渡六中两区七校模拟调研考试)在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若q ＝2，且a 2与2a 4的等差中项为18，则S 5＝________。

解析 依题意得a 2＋2a 4＝36，q ＝2，则2a 1＋16a 1＝36，解得a 1＝2，因此S 5＝

2× 1－25

1－2

＝62。

答案 62

9．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1

4

，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝________。

解析 设数列{a n }的公比为q ，则q 3

＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝a 2q

＝4。易知数列{a n a n ＋1a n

＋2

}是首项为a 1a 2a 3＝4×2×1＝8，公比为q 3

＝18

的等比数列，所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n

＋2＝

8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18n 1－18

＝647(1－2－3n

)。 答案

647

(1－2－3n

) 10．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8。 (1)求{a n }的通项公式；

(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n 。 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则由已知得⎩⎪⎨

⎪

⎧

a 1＋d ＝2，a 1＋4d ＝8，

∴a 1＝0，d ＝2。

∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2。 (2)设等比数列{b n }的公比为q ， 则由已知得q ＋q 2

＝a 4， ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3。 ∵等比数列{b n }的各项均为正数， ∴q ＝2。

∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1 1－q n 1－q ＝1× 1－2n 1－2

＝2n

－1。

11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N ＋)。 (1)求证：数列{a n }是等比数列；

(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N ＋)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式。 解 (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N ＋)，n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1。 因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝4

3

a n －1。