3.3宋元数学

（二）秦九韶“正负开方术”


《数书九章》这部传世名著是他1244-1247年 在家守母孝期间撰写的，其主要内容是他此前 十数年间埋头钻研数学的结果。 这部著作继承了中国古代传统数学的特色，特 别是受《九章算术》的影响，采用了问题集的 形式。但其中问题的复杂程度和解题水平均高 于以往的著作，它代表了当时中国乃至世界中 世纪数学的最高成就。
3.3.2中国剩余定理

再将 分别与 相乘后求和，设为 ， 如果 ，则M即为所求； 如果 ，则M被 除后所得 的余数即为所求。 这就是数论中著名的“剩余定理”。
3.3.2中国剩余定理


秦九韶在《数书九章》卷一“大衍总数术”中 推广了“孙子问题”的解法。 秦九韶的方法是通过对具体问题的讨论给出的， 但具有一般性。
3.3.4“天元术”和“四元术”

《四元玉鉴》中，朱世杰给出了四元高次方程 的一种固定记法，他引进“天、地、人、物” 四元来表示四个未知数，然后如下图，仿照 “天元术”的记法列出四元高次方程。
3.3.4“天元术”和“四元术”


在“四元术”中最精彩的是所谓“相消法”， 即由该方程组经过变形得到一个一元的高次方 程。其主要步骤是“剔而消之”、“互隐通分 相消”和“内外相消”这三步。朱世杰的相消 法是中国数学史上一项杰出的成就。 在西方，由方程f(x,y)=0 与g(x,y)=0消去一个 未知数的方法是由法国的贝佐特于1764年给 出初步方案，1779年在《代数方程的一般理 论》一书中才正式发表的，比朱世杰晚了近 500年，因此，美国科学史家萨顿称朱世杰是 “贯穿古今的一位最杰出的数学家”。
3.3.4“天元术”和“四元术”


特别需要指出的是，宋元数学不仅是中国数学 史上最辉煌的一页，同时也是中世纪时期世界 数学史上最丰富多彩的一页。 然而，由于后继无人等诸方面的原因，中国数 学发展到宋元高峰以后突然中断了，随之而来 的是明代数学研究的断代。
练习：1.今有共买鸡，人出九，
盈十一；人出六，不足十六。 问人数、鸡价各几何？
3.3.4“天元术”和“四元术”



这样就抛弃了那种每一项都要用一个文字来表 示的繁琐的方法，形成了一种简捷的固定形式。 作为应用，他在《测圆海镜》中利用“天元术” 解决了六七百条几何命题的证明，主要是勾股 容圆问题。 其《益古演段》大都阐述平面图形间的面积关 系。
3.3.4“天元术”和“四元术”
5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、 第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第 2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1 行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是 第2n-1个斐波那契数。 6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1) ，第三个数为1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为
3.3宋元数学



这一时期的一个显著的标志是数学家及其数学 著作的大批出现。 据不完全统计，著名的数学家数十人（其中最 著名的就是“宋元四大家”：秦九韶、杨辉、 李冶、朱世杰），有记载的数学专著百余种， 远远超出了前面的各个时期。 这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高 成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。
（二）秦九韶“正负开方术”



全书搜集了与当时社会生活密切相关的81个数 学实际应用问题，按性质分为九类，每类九题， 共18卷。 这九类分别是：大衍、天时、田域、测望、徭 役、钱谷、营建、军旅和市物。 其中，他推广传统的“开方法”，创立了“正 负开方术”。
（二）秦九韶“正负开方术”



方法是先列出相当于 的方程，其中其余系数可正可负，而常数项 则总是负的（“实常为负”）。若试商为 ， 作减根变换 ，则将方程变形为 然后利用类似于贾 宪的“增乘开方法”的迭代程序来计算变换后 所得到的新方程的各项系数 。 他的程序与贾宪方法的区别在于：由于规定了 “实常为负”，整个程序便统一用加法，真正 实现了随乘随加的机械操作。
3.3.4“天元术”和“四元术”


李冶（1192—1279）曾中过金朝进士，并担 任过地方官。金朝灭亡后，他隐居于今山西、 河北一带，一面进行数学研究，一面收徒讲学。 在这期间，他完成了《测圆海镜》十二卷 （1248年）和《益古演段》三卷（1259年）。 在这两部著作中，他对已有的“天元术”进行 了改进与简化，其方法是：首先“立天元一为 某某”，这相当于“设x为未知数”，“天元 一”就表示未知数。
2.今有共买牛，七家共出一百
九十，不足三百三十；九家共 出二百七十，盈三十。问家数、 牛价各几何？
中世纪的中国数学
3.3宋元数学
宋元数学

这一时期包括宋元两代，即900年至1368年。 宋代结束了五代十国的封建割据的局面以后， 出现了社会稳定、生产发展、经济繁荣的景象， 特别是统治者鼓励发展科学技术，同时改革旧 的科举制度，极大地推动了科学文化技术的发 展。闻名于世的中国古代“四大发明”中的指 南针、火药和活字印刷这三大发明就都是在宋 代完成并获得广泛的应用的。
宋元四大家的主要成就

杨辉（南宋人） 著《详解九章算术》，其中摘录
了贾宪（北宋人）的《黄帝九章算术细草》。 秦九韶 代表著作《数书九章》，将“增乘开方 法”推广到高次方程的一般情形——正负开方 术；…… 李冶 著有《测圆海镜》 和 《益古演段》，发明 天元术。 朱世杰 著有《算学启蒙》和《四元玉鉴》，最 突出的创造为招差术（高元内插法）、垛积术 （高阶等差级数求和）及四元术（多元高次联立 方程组与消元解法）、
3.3.1从“贾宪三角”到“正负开 方术”



《九章算术》、《辑古算经》等著作中所载的 开平方、开立方方法已具备了解二次、三次方 程的雏形。 宋代以前，也曾经有人尝试将《九章算术》的 开方法推广到解三次以上的方程。 但目前明确记载并保存下来的应是北宋数学家 贾宪创造的“增乘开方法”。
3.3.1从“贾宪三角”到“正负开 方术”
3.3.2中国剩余定理


如前所述，《孙子算经》提出了著名的“孙子 问题”，其给出的解法虽然是针对具体问题的， 但具有一般性。 我们容易推广如下：如要求一个最小整数N， 它被两两互素的s个数 除时， 余数分别为 ，仿照上述方法，首 先对每一个 作 ，然后 找一个整数 （这里的 相当 于孙子问题解法中的70，21，15），
3.3.3内插法与垛积术

高阶等差数列求和的“隙积术”
3.3.4“天元术”和“四元术”



“天元术”的产生标志着中国传统数学发展到 一个新的高度，这就是半符号代数的产生。 由于高次方程数值解法的发展，必然引起人们 对列方程方法的探求。 据研究，这一先进的数学方法产生于12世纪， 李冶的《测圆海镜》和《益古演段》是现存最 早的系统介绍和研究“天元术”的著作。


由此我们可以看出，贾宪的高次开方法是以 “开方作法本源”图为基础的。 图中数字排列成一个三角形，该三角形的每n 横行恰好是二项展开式 中 的各项系数。
3.3.1从“贾宪三角”到“正负开 方术”

贾宪三角 本图采自《永乐大典》
2、第n行的数字个数为n个。 3、第n行数字和为2^(n－1)。 4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和 。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。
如图满足:(1)第n行首尾两数均为 n,(2)表中的递推关系类似于杨辉 三角.求第n行(n＞=2) 的第2个数. 1 22 343 4774 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6
1 22
343 4774 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 .................. n ［(1+2+...+n-1)+1］ 注意观察每行第二个数字的规律:都是当行上所有行 例如: 第二行第二个数2=1+1 第三行第二个数4=(1+2)+1 第四行第二个数7=(1+2+3)+1
（二）秦九韶“正负开方术”

秦九韶，字道古，1202年出生于 普州安岳（今四川安岳），其父 曾任南宋四川巴州守，优越的家 庭环境使得秦九韶能有机会去向 掌管历法的太史局官员求教天文 历法，在数学上又得到过“隐君 子”的指点教诲，成年后相继在 四川、湖北、安徽、江苏等地做 官，但任期都不太长，后因参与 派系斗争失败而被贬谪至梅州， 1261年死于任所。
（二）秦九韶“正负开方术”



另外秦九韶明确他的程序可以用来求解一般的 高次方程，他的《数书九章》共含了21个高次 方程，其中次数最高的是10次方程。 除了“正负开方术”，《数书九章》最重要的 成就还有“大衍总数术”，即一次同余式的一 般解法。 这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史 上占有突出的地位。

题目原文是：“假令有圆城一所，不知周径。 或问甲出西门南行四百八十步，乙出东门直行 一十六步望见甲，问径几何？”

比如，方程式 表示就是
用天Байду номын сангаас式
3.3.4“天元术”和“四元术”


元代数学家朱世杰推广了“天元术”提出用“四元术” 来解四元方程，可以说这是中国筹算代数学的颠峰。 朱世杰，字汉卿，寓居北京，是一位杰出的数学家与 数学教育家。他精通《九章算术》，“旁通诸术”， “以数学名家周游湖海十余年，四方之来学者日众”， 他曾数次到江苏扬州一带传授数学，深受当地学者的 欢迎，他集宋、金、元数学之大成，先后写成《算学 启蒙》三卷（1299年）与《四元玉鉴》三卷（1303 年），前者浅显，后者深奥，二书互为表里，相互补 充，都是中国古代数学的重要著作。