高考数学试题汇编圆的方程
(完整版)全国高考数学直线与圆的方程试题汇编
全国高考数学试题汇编——直线与圆的方程一、选择题:1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D )A ．1B ．3C ．2D ．52．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ）A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--． 选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．4．(全国I 卷理科10）若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，,则 （ B ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 2）,P 2（5,6）的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的 比λ的值为( A ）A ．－13B ．－15C ．15D ．13（重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－13，则点B 分有向线段PA 所成的比是( A ）A ．－32B ．－12C ．12D ．36．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 （ C ）A ．[B ．(C ．[D ．( 7．（辽宁文、理科3)圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是 ( C )A ．(k ∈B ．(,)k ∈-∞⋃+∞C ．(k ∈D ．(,)k ∈-∞⋃+∞8．（陕西文、理科5）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C )A B ． C ．- D ．-9．（安徽文科11)若A为不等式组0,0,2xyy x⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤表示的平面区域,则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( C ）A．34B．1C．74D．210．（湖北文科5）在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组,1x yx⎧⎪⎨<⎪⎩≤的点(,)x y的集合用阴影表示为下列图中的（ C ）11．（辽宁文科9）已知变量x、y满足约束条件10,310,10,y xy xy x+-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥则z＝2x+y的最大值为( B ) A．4 B．2 C．1 D．－412．（北京理科5）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，则z=3x+y的最小值是（ B ）A．0 B．1 C．3D．9（北京文科6）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤,则z=x+2y的最小值是（ A ）A．0 B．21C．1 D．213．(福建理科8)若实数x、y满足错误!，则错误!的取值范围是（ C ）A．(0，1) B．（0，1］C．(1，+∞) D．[1，+∞）（福建文科10）若实数x、y满足20,0,2,x yxx-+⎧⎪>⎨⎪⎩≤≤则yx的取值范围是（ D ）A．（0,2）B．（0，2）C．（2,+∞) D．[2,+∞）14．（天津理科2文科3）设变量y x ,满足约束条件0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则目标函数y x z +=5的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．5 （ D ）15．（广东理科4）若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥,则32z x y =+的最大值是（ C ）A ．90B ．80C ．70D ．4016．（湖南理科3）已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则x+y 的最大值是（ C ）A ．2B ．5C ．6D ．8（湖南文科3）已知变量x 、y 满足条件120x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，，，则x +y 是最小值是( C ）A ．4B ．3C ．2D ．117．（全国Ⅱ卷理科5文科6）设变量x ，y 满足约束条件：,22,2y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则y x z 3-=的最小值为( D ）A ．－2B 。
高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)
高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。
以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。
一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
2024全国高考真题数学汇编：椭圆(1)精选全文完整版
2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
高中圆的方程基础练习题及讲解
高中圆的方程基础练习题及讲解### 高中圆的方程基础练习题及讲解#### 练习题一题目：已知圆心在原点的圆的方程为 \(x^2 + y^2 = r^2\)，求半径为3的圆的方程。
解答：将 \(r = 3\) 代入圆的标准方程，我们得到：\[ x^2 + y^2 = 3^2 \]\[ x^2 + y^2 = 9 \]这就是半径为3的圆的方程。
#### 练习题二题目：圆 \(x^2 + y^2 + 6x - 8y + 20 = 0\) 与直线 \(x + y - 1 = 0\) 相切。
求圆的半径。
解答：首先，将圆的方程化为标准形式：\[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2 \]\[ x^2 + 6x + y^2 - 8y + 20 = r^2 \]\[ x^2 + y^2 + 6x - 8y = r^2 - 20 \]由于圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径。
圆心坐标为\((-3, 4)\)，直线方程可以写成 \(y = -x + 1\)。
使用点到直线距离公式：\[ \text{距离} = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]将距离等于半径代入：\[ r = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]\[ r = \frac{1}{\sqrt{2}} \]#### 练习题三题目：已知圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 与直线 \(y = x + b\) 相切，求\(b\) 的值。
解答：由于圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，即1。
圆心坐标为 \((0, 0)\)，直线方程可以写成 \(x - y + b = 0\)。
使用点到直线距离公式：\[ 1 = \frac{|0 - 0 + b|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \]\[ 1 = \frac{|b|}{\sqrt{2}} \]解得：\[ b = \pm \sqrt{2} \]#### 练习题四题目：求圆 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) 的圆心坐标和半径。
圆的方程-高考数学练习
7.已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则实数a的取值范
围为__2_，__94___.
解析 因为点 A(a，2)在圆外，
所以（ a2＋－42－a）2a2＋ 2－（3×－23＋）a2－ 2＋4a（>0a，2＋a）>0，
a>2， 所以a<94，即
是( B )
A.x＋y－3＝0
B.x－y－3＝0
C.2x－y－6＝0
D.2x＋y－6＝0
解析 过点 M 的最长弦所在的直线应为过点 M 的直径所在的直线.易得圆 的圆心为(4，1)，则所求直线的方程为0y－－11＝3x－－44，即 x－y－3＝0.
Байду номын сангаас
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4.(多选)若圆 x2＋y2－2x－4y＝0 的圆心到直线 x－y＋a＝0 的距离为 22，则实数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9.若方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝
___2_____.
解析
a2＝1， 根据题意，得－b2＝2，
14（a2＋b2－4c）＝1，
a＝2， 解得b＝－4，
c＝4.
∴a＋b＋c＝2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2<a<94，
所以 a 的取值范围是2，94.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且PA＝1，则P点的轨迹方程 是_(_x_－__1_)2_＋__y_2_＝__2_. 解析 设P(x，y)，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，则PA2＋1＝PB2， 所以(x－1)2＋y2＝2.
2025高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练【含解析】
课时过关检测(四十八)圆的方程【原卷版】1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝52．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8B．4C．210D．54．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为()A．23B．13C．23＋1D．13＋16．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝438．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．14．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．15．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3,0)C ．经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5)4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．课时过关检测(四十八)圆的方程【解析版】1．圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是()A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －2)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5解析：A 圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A ．2．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆，则有D 2＋E 2－4F ＝a 2＋4－8＞0，解得a ＞2或a ＜－2，则“a ＞2”是“a ＞2或a ＜－2”的充分不必要条件，所以“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A ．3．若x 2＋y 2＝8，则2x ＋y 的最大值为()A ．8B ．4C ．210D ．5解析：C 设2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x ，当直线y ＝t －2x 与x 2＋y 2＝8相切时，t 取到最值，所以|t |5≤22，解得－210≤t ≤210，所以2x ＋y 的最大值为210，故选C ．4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是()A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：D圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心C (3，1)，半径为1，因为圆心C 到O (0,0)的距离为2，所以圆C 上的点到O (0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB ＝90°，则以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得|PO |＝12|AB |＝t ，所以有1≤t ≤3，故选D ．5．点M 为圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ过定点P ，则|MP |的最大值为()A ．23B ．13C ．23＋1D ．13＋1解析：D 整理直线方程得：(x ＋y －2)＋(3x ＋2y －5)λ＝0＋y －2＝0，x ＋2y －5＝0得＝1，＝1，∴P (1,1)，由圆的方程知圆心C (－2，－1)，半径r ＝1，∴|MP |max ＝|CP |＋r ＝(－2－1)2＋(－1－1)2＋1＝13＋1．故选D ．6．(多选)已知圆x 2＋y 2－4x －1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称解析：ABCx 2＋y 2－4x －1＝0⇒(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y ＝0过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x ＋3y －2＝0过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x －y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A 、B 、C ．7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝43解析：AB由题意知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心C (0，a ),半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C的方程为x 2＝43．8．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则＝0，＋2D ＋F ＝0，＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得＝－2，＝－6，＝0，所以圆的方程为x 2－2x ＋y 2－6y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．答案：(1,3)9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2，1)，半径r ＝2，圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3，设P 到直线AB 的距离为h ，则S △ABP ＝12·|AB |·h＝h ，∵d －r ≤h ≤d ＋r ，∴1≤h ≤5，∴S △ABP ∈[1,5]，即△ABP 的面积的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210．所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：D ∵A (－4,0)，B (0,4)，∴AB 的垂直平分线方程为x ＋y ＝0，又外心在欧拉线x－y ＋2＝0＋y ＝0，－y ＋2＝0，解得三角形ABC 的外心为G (－1,1)，又r ＝|GA |＝(－1＋4)2＋(1－0)2＝10，∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝10．设C (x ，y )，则三角形ABC 即x －43－y ＋43＋2＝0．整理得x －y －2＝0．联x ＋1)2＋(y －1)2＝10，－y －2＝0，＝0，＝－2＝2，＝0.∴顶点C 的坐标可以是(0，－2)．故选D ．12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．解析：设圆心坐标为C (a ，b )，因为圆C 关于x ＋y －1＝0对称，所以C (a ，b )在直线x ＋y －1＝0上，则a ＋b －1＝0，取a ＝1⇒b ＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x －1)2＋y 2＝1．答案：(x －1)2＋y 2＝1(答案不唯一)13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．解析：设M (x ，y )，由|MA |＝2|MB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0．以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，2＋y 2＝4，解得|y |＝85．即M 点的纵坐标的绝对值为85．此时△MAB 的面积为S ＝12×4×85＝165．答案：3x 2＋3y 2－20x ＋12＝016514．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：圆C ：x 2＋(y －4)2＝42，故圆心为C (0,4)，半径为4．(1)当C ，M ，P 三点均不重合时，∠CMP ＝90°，所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P ，C )，线段PC 中点为(1,3)，12|PC |＝12(2－0)2＋(2－4)2＝2，故M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2(x ≠2，且y ≠2或x ≠0，且y ≠4)．当C ，M ，P 三点中有重合的情形时，易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2．(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．法一(几何法)：由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13，故直线l的方程为y＝－13x＋83，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝22，点O到直线l的距离为812＋32＝4105，|PM|＝＝4105，所以△POM的面积为12×4105×4105＝165．法二(代数法)：设M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝22得x2＋y2＝8，2＋y2＝8，①－1)2＋(y－3)2＝2，②①－②得直线l方程为x＋3y－8＝0，将x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝145，y2＝2．从而x1＝－25，x2＝2．所以M－25，|PM|＝＝4105．又点O到l距离d＝812＋32＝4105，所以△POM的面积S＝12|PM|·d＝12×4105×4105＝165．15．(多选)设有一组圆C k：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆C k均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆C k有且只有一个D．所有圆的面积均为4π解析：ABD圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆C k有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选A、B、D．16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T 两侧．(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5)4－x2－y2＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx，则F(x，y)＝kx－y＝0，因为A(－1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，则F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，解得－1<k<3 2．(2)因为F[O]<0，所以F[P]＝(3x＋4y－5)·4－x2－y2<0，x＋4y－5<0，2＋y2<4，点集S为圆x2＋y2＝4在直线3x＋4y－5＝0下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，故∠AOB＝2π3，因此，所求面积为S＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π3＋3．。
高中数学圆与方程典型例题
高中数学圆与方程典型例题一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x解已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=dr ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-即得圆的方程.二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+--(D))12,0(+解化为标准方程222)(a a y x=-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距ar a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-< 点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：?>r d线圆相离；=r d 线圆相切；?<="">三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=解化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r .设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A).点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.四、弦长问题例4 (06天津卷理) 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .解由已知圆4)2()1(22=-+-y x ，即得圆心)2,1(C 和半径2=r .∵线心距112++=a a d ，且222)2(r AB d =+，∴22222)3()11(=+++a a ，即1)1(22+=+a a ，解得0=a .点评：一般在线心距d、弦长AB的一半和圆半径r 所组成的直角三角形中处理弦长问题：222)2(r AB d =+. 五、夹角问题例5 (06全国卷一文) 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A)21 (B)53 (C)23 (D) 0 解已知圆化为1)1()1(22=-+-y x ，即得圆心)1,1(C 和半径1=r .设由)2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ，则在切线长、半径r 和PC构成的直角三角形中，522cos=θ，∴5312cos 2cos 2=-=θθ，故选(B). 点评：处理两切线夹角θ问题的方法是：先在切线长、半径r 和PC所构成的直角三角形中求得2θ的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角θ问题.六、圆心角问题例6 (06全国卷二) 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k.解由已知圆4)2(22=+-y x ，即得圆心)0,2(C 和半径2=r .设)2,1(P ，则2-=PC k ；∵⊥PC 直线l 时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l 的斜率221=-=PCk k . 点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.七、最值问题例7 (06湖南卷文) 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25解已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .设线心距为d ，则圆上的点到直线014=-+y x 的最大距离为r d +，最小距离为r d -，∴262)()(==--+r r d r d ，故选(C).点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d 与圆半径r 的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为r d +，最小距离为r d -.八、综合问题例8 (06湖南卷理) 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )(A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π解已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .∵圆上至少有三个不同的点到直线:=+by ax l 的距离为22，∴2222222=-≤++=a b a d ，即0422≤++b ab a ，由直线l的斜率bak -=代入得0142≤+-k k ，解得3232+≤≤-k ，又3212tan-=π，32125tan+=π，∴直线l 的倾斜角的取值范围是]125,12[ππ，故选(B).点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决. 圆的方程2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________. 解析：圆心（－2，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2.答案：2 4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2.再由d －r =2－1=1，知最小距离为1.答案：15.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·=0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直，∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<="">x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵·OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0.解得b =1∈（2－32，2+32）.∴所求的直线方程为y =－x +1.7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x 2+y 2－4x +1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设xy=k ，即y =kx ，由圆心（2，0）到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-k k =3，解得k 2=3.所以k max =3，k min =－3.（2）设y －x =b ，则y =x +b ，仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时，纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式，得2|02|b +-=3，即b =－2±6，故（y －x ）min =－2－6.（3）x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则（x 2+y 2）max =｜OC ′｜=2+3，（x 2+y 2）min =｜OB ｜=2－3. 8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可. 因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB = 3124--=－1，AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －y +1=0.又圆心在直线y =0上，因此圆心坐标是方程组 x －y +1=0， y =0 半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<="" ，所以m="">M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.经过两已知圆的交点的圆系例．设圆方程为：016448)4012()42()4()4(22=--+++++++λλλλλy x y x 其中λ≠－4求证：不论λ为何值，所给圆必经过两个定点。
高中数学圆与方程专题(压轴题训练)
圆与方程【知识梳理】 1、确定圆的要素 2、圆的标准方程和一般方程 3、直线和圆、圆与圆的位置关系 4、用解析方法解决几何问题 【重难点问题】 1、求圆的方程 2、位置关系 3、求最值、范围 4、求轨迹 5、存在性问题 6、定切线，定圆，定点【典题讲练】 【例1】以(2 1)A -，，(1 5)B ，为半径两端点的圆的方程是_______________． 【变】圆心在直线20x y +=上，并且经过点(1 3)A ，和(4 2)B ，的圆的方程为_______________．【拓】求过A （0，0）、B （1，1）、C （4，2）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【例2】过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为______________． 【变】已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为_____________． 【拓1】已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为_______________．【拓2】在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______________．【例3】过点P ﹣1）的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________．【变】（1）过点P （2，1）的直线l 被圆x 2＋y 2＝10截得的弦长为___________．（2）已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A 、B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为__________． 【拓】（1）圆x 2＋y 2＋2x ＝0和x 2＋y 2﹣4y ＝0的公共弦所在直线方程为___________．（2）过点（3，1）作圆（x ﹣1）2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为___________．【例4】若直线y ＝k （x ﹣4）与曲线y 有公共点，则k 的取值范围为___________．【练】若过定点M （﹣1，0）且斜率为k 的直线与圆x 2＋y 2＋4x ﹣5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是___________．【变】（1）若关于x 的方程3x b +=只有一个解，则实数b 的取值范围是____________．（2）曲线1x 与直线45y kx k =-+有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是____________． A ．53(,]124B ．78(,]243C ．8[,)3+∞D ．72(,)(,)243-∞+∞ （3）若曲线221:20C x y x +-=与曲线2:()0C y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(B ．(，0)(0⋃C ．[D ．(-∞，⋃，)+∞【例5】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）yx； （2）14y x --； （3）736xy +； （4）y x -；（5）23x y +；（6）22x y +；（7）221014x x y y -+-．【练】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）14y x --； （2）23x y +； （3）221014x x y y -+-． （4）若对任意的x ，y 有20x y m ++≥，求m 的取值范围．【变】（1）已知实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝4，则3x 2＋4y 2的最大值为________．（2）设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________．【拓】（1）已知实数x ，y 满足方程22220x y x y ++-=，则||||x y +的最大值为( )A ．2B ．4C ．D ．2+（2）已知实数x ，y 满足221x y +≤，340x y +≤，则32x x y ---的取值范围是( )A ．[1，4]B ．19[17，4]C ．[1，11]3D ．19[17，11]3（3）设点(,)P x y 是圆22:2230C x x y y ++--=上任意一点，若|2|||x y x y a --+-+为定值，则a 的值可能为( ) A ．4- B ．0C ．3D ．6【例6】设P 为直线0x y -=上的一动点，过P 点做圆22(4)2x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值_______________．【练】（1）在平面直角坐标系xOy 中，过圆221:()(4)1C x k y k -++-=上任一点P 作圆222:1C x y +=的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k =_______________．（2）已知点P 为直线1y x =+上的一点，M ，N 分别为圆221:(4)(1)4C x y -+-=与圆222:(2)1C x y +-=上的点，则||||PM PN -的最大值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7【变】（1）已知两点A (0，－3)，B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为____________．（2）过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．（3）已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为____________．（4）已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2﹣2x ﹣2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为___________．（5）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A ，(1,1)B -，点P 为圆22(4)4x y -+=上任意一点，记OAP ∆和OBP ∆ 的面积分别为1S 和2S ，则12S S 的最小值是____________．【例7】（1）已知|M 1M 2|＝2，点M 与两定点M 1，M 2距离的比值是一个正数m ．试建立适当坐标系，求点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形．（直接翻译）（2）已知点P 在圆221x y +=运动，点M 的坐标为(2,0)M ，Q 为线段PM 的中点，则点Q 的轨迹方程为_______________．（设坐标转移）（3）由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为_______________．（几何法）（4）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2﹣6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．（消参法）【练】（1）自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为____________．（2）已知3AB =，动点P 满足2PA PB =，那么PAB ∆的面积的最大值为_______________．（3）在圆228x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是_______________．（4）已知动圆P 与圆M ：（x ＋1）2＋y 2＝16相切，且经过M 内的定点N （1，0）．试求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程．【拓】（1）过定点(3,2)P 任作一直线与圆2242110x y x y +---=相交于A 、B 两点，A 和B 两点处的切线相交于M ，求点M 的轨迹方程．（2）已知圆224x y +=，(1,1)B 为圆内一点，P ，Q 为圆上动点，若90PBQ ∠=︒，则线段PQ 中点的轨迹方程为____________________．（3）已知直线:l y x b =+与圆22:(1)1C x y ++=相交于A ，B 两点，点P 在l 上，且||||2PA PB ⋅=.当b 变化时，求点P 的轨迹方程.【例8】在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，－3)，若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在一点M 满足|MA |＝2|MO |，则实数a 的取值范围是_______________．【练】在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存 在点M ，使||2||MA MO =，则圆心C 的横坐标的取值范围为( ) A ．12[0,]5B ．[0，1]C ．12[1,]5D ．12(0,)5【变】（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:30l x y +-=和圆22:()8M x y m +-=，若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l的距离为，则实数m 的取值范围是_______________．（2）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -、(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是( ) A ．[3，7] B ．[4，6]C ．[3，6]D ．[4，7]（3）已知圆22:1O x y +=，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为_______________．（4）在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( ) A ．5B ．3CD．（5）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在圆222(3)(4)(0)x y r r -+-=>上，满足2240PA PB +=，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是_______________．22:()(4)1M x a y a -+-+=M P P O A B 60APB ∠=︒a【例9】已知当a R ∈且1a ≠时，圆2222(2)20x y ax a y +-+-+=总与直线l 相切，则直线l 的方程是___________．【练】已知：正数m 取不同的数值时，方程222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=表示不同的圆，求：这些圆的公切线（即与这些圆都相切的直线）的方程．【变1】（1）已知直线2:2(1)440l mx m y m +---=，若对任意m R ∈，直线l 与一定圆相切，则该定圆方程为_______________．（2）当实数m 变化时，不在任何直线2mx ＋（1－m 2）y －4m －4＝0上的所有点（x ，y ）形成的图形的面积为_______________．【变2】无论a 如何变化直线sin cos 10x y αα++=总和一个定圆相切，则该定圆方程为_______________．【例10】已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．48(,)99B ．24(,)99C ．(2,0)D ．(9,0)【变1】已知圆M （M 为圆心）的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线 l 上，过P 点作圆M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ． （1）若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；（2）求证：经过A 、P 、M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【变2】已知圆O 过点A (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． （1）求圆O 的方程；（2）若EF 、GH 为圆O 的两条相互垂直的弦，垂足为N （1，22），求四边形EGFH 的面积的最大值； （3）已知直线l ：y ＝12x －2，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究直线CD 是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由．【变3】已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A （3，0），且与圆O 相切． （1）求直线l 1的方程；（2）设圆O 与x 轴相交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′．求证：以P ′Q ′为直径的圆C 总经过定点，并求出定 点坐标．【家庭作业】1、过点(3,4)P -作圆22(1)2x y -+=的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为( ) A ．220x y +-=B ．210x y --=C ．220x y --=D ．220x y ++=2、圆C 的方程为221x y +=，(,2)P x ．过P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B 两点．则APB ∠最大为( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒3、已知直线1:360l x y +-=与圆心为(0,1)M ，半径为的圆相交于A ，B 两点，另一直线2:22330l kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为( )A ．B ．C ．1)D ．1)4、在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( )A ．5B ．3CD ．5、已知关于x 2ax =-有且只有一个解，则实数a 的取值范围为_______________．6、已知实数x ，y 满足22430x x y -++=，则21x y x ++-的取值范围是_______________． 7、设圆22:(1)1C x y -+=，过点(1,0)-作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．8、在平面直角坐标系xOy 中，直线:420l kx y k ---=，k R ∈，点(2,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点P 满足条件2PA PB =，求实数k 的取值范围．9、设实数x 、y 满足方程：2286210x y x y +--+=． （1）当3x ≠时，求12y P x +==-的取值范围； （2）求2S x y =-的最大值与最小值；（3）求2210226T x y x y =+-++的最大值与最小值．10、已知点(0,4)A ，点P 在直线20x y -=上运动．以线段AP 为直径作一个圆，求该圆恒过的定点坐标．11、已知圆22:4C x y +=，点P 为直线280x y --=上的一个动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，求证直线AB 恒过点.。
高考数学真题汇编 4：方程 理 试题
高考数学真题汇编 4：方程理试题
本文档将为您提供一些高考数学方程理论部分的真题试题。
以
下是一些典型的高考数学方程试题，供您参考和练。
第一部分：一元一次方程
1. 已知方程 $3x - 7 = 2x + 1$，求解此一元一次方程并给出结果。
2. 某商品的原价为$x$元，现在打七折出售，售价为630元，
求$x$的值。
3. 解方程 $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = x - 5$，给出$x$的解。
第二部分：一元二次方程
1. 求解方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$，给出所有解。
2. 若方程 $2x^2 + kx + 8 = 0$ 的解为$x = 3$ 和$x =
\frac{2}{3}$，求$k$的值。
3. 解方程 $4x^2 + 8x + 3 = 0$，给出所有解。
第三部分：其他方程
1. 解方程 $\sqrt{x} + \sqrt[3]{x} = 5$，求出所有$x$的解。
2. 若方程 $2^x + 2^{-x} = 2$ 的解为$x = 1$ 和$x = -1$，求另一组解。
3. 解方程 $2^x + 3 \cdot 2^{-x} = 3$，给出$x$的解。
以上是一些高考数学方程的典型试题。
希望这些题目对您的练和准备有所帮助。
如果需要更多相关的试题或者有其他问题，请随时告诉我。
祝您学业有成，考试顺利！。
07_2007年高考数学试题知识汇编(直线与圆的方程)
22007年高考数学试题汇编直线与圆的方程重庆文（8）若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72天津文（3） “2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（14）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的方程是 ．30x y += 四川文15、已知O 的方程是2220x y +-=，'O 的方程是228100x y x +-+=，由动点P 向O 和'O 所引的切线长相等，则运点P 的轨迹方程是__________________解析：O ：圆心(0,0)O ，半径r ='O ：圆心'(4,0)O ，半径'r =设(,)P x y ，由切线长相等得222x y +-=22810x y x +-+，32x =． 上海理11、已知圆的方程()2211x y +-=，P 为圆上任意一点（不包括原点）。
直线OP 的倾斜角为θ弧度，OP d =，则()d f θ=的图象大致为_____2sin θ 正弦函数上海文11．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．π022⎛⎤- ⎥⎝⎦，13．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ）Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x山东理（15）与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +---=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．江西理16．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题： Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）B D ， 湖南理11．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ．22(1)(1)2x y -+-=湖北文8．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1B ．C D ．3安徽文(5)若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为(A)-2或2 (B)2321或 (C)2或0 (D)-2或0(9)如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 上,点O 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x =++最小值为 (A)23 (B)154- (C)122- (D)12-2007年高考数学试题汇编线性规划问题1、（2007湖北）设变量x y ，满足约束条件30023x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪-⎩≥，≥，≤≤，则目标函数2x y +的最小值为 ．32-2、（2007福建）已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．[]57-，3、（2007年天津文）设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，则目标函数z ＝2x +4y 的最大值为（ ） （Ａ）10（Ｂ）12（Ｃ）13（Ｄ）14C4、（2007全国I ）下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）y ＝2x －y ＝－1x ＋y ＝4图1Ａ．(02)， Ｂ．(20)-， Ｃ．(02)-， Ｄ．(20)，C5、（2007陕西）已知实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,033,042y x y x y x 则y x z 2+=的最大值为 . 86、（2007重庆）已知23000.x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥，≥则3z x y =-的最小值为 ．9 7、（2007四川）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为A.36万元B.31.2万元C.30.4万元D.24万元 B8、（2007浙江）2z x y =+中的x y ，满足约束条件250300x y x x y -+=⎧⎪-⎨⎪+⎩，≥，≥，则z 的最小值是 ．53- 9、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥目标函数为30002000z x y =+．平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立30052900.x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得100200x y==，．∴点M的坐标为(100200)，．max30002000700000z x y∴=+=（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．10、（2007北京）若不等式组502x yy ax-+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）Ａ．5a<Ｂ．7a≥Ｃ．57a<≤Ｄ．5a<或7a≥C11、（2007安徽）如果点P在平面区域22020210x yx yy-+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，点Q在曲线22(2)1x y++=上，那么PQ的最小值为（）Ａ．321-Ｃ．11A12、（2007江苏）在平面直角坐标系xOy，已知平面区域{(,)|1,A x y x y=+≤且0,0}x y≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A=+-∈的面积为中国数学教育网 info@A．2B．1C．12D．14B。
2021年高考数学一轮复习《圆的方程》精选练习(含答案)
2021年高考数学一轮复习《圆的方程》精选练习一、选择题1.若圆x 2＋y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y ＋a=0的距离为22，则a 的值为( ) A.-2或2 B.0.5或1.5 C.2或0 D.-2或0 2.圆x 2+y 2=1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )A.1B.4C.5D.63.当a 为任意实数时，直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A.(x-1)2+(y+2)2=5 B.(x+1)2+(y+2)2=5 C.(x+1)2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y-2)2=5 4.圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（ )A.B.C. D.25.如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限， 那么l 的斜率的取值范围是（ ）A 、[0，2]B 、[0，1]C 、1[0]2，D 、1[0]3， 6.圆x 2+y 2+4x+2=0与直线l 相切于点(-3,-1)，则直线l 的方程为( )A.x-y+4=0B.x+y+4=0C.x-y+2=0D.x+y+2=0 7.若直线x-y=2被圆(x-a)2＋y 2=4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A.-1或 3B.1或3C.-2或6D.0或4 8.直线3x ＋4y=b 与圆x 2＋y 2-2x-2y ＋1=0相切，则b 的值是( )A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或129.圆x 2＋y 2-4x ＋6y-12=0过点(-1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m-n=( )A.10-27B.5-7C.10-33D.5-223 10.若PQ 是圆x 2＋y 2=9的弦，PQ 的中点是A(1,2)，则直线PQ 的方程是( )A.x ＋2y-3=0B.x ＋2y-5=0C.2x-y ＋4=0D.2x-y=0 11.圆x 2+y 2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为( )A 、223B 、4-223C 、4+223 D 、012.若圆x 2＋y 2-4x ＋2y ＋m=0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB=90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于( )A.1B.-3C.0D.213.已知两点A(-1,0)，B(0,2)，点P 是圆(x-1)2+y 2=1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( ) A.2，)54(21- B.)54(21+，)54(21- C.5，4-5 D.)25(21+，)25(21-) 14.点P(4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1 15.已知M(2,1),P 为圆C:x 2+y 2+2y-3=0上的动点,则|PM|的取值范围为( )A.[1,3]B.[22-2,22+2]C.[22-1,22+1]D.[2,4]16.圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0关于直线ax －by ＋3=0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b最小值是( )A.2 3B.203C.4D.163二、填空题17.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是________.18.当动点P 在圆x 2＋y 2=2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________. 19.已知圆C 的圆心位于直线2x-y-2=0上，且圆C 过两点M(-3,3),N(1,-5),则圆C 的标准方程为 .20.圆x 2＋y 2＋2x ＋4y-3=0上到直线x ＋y ＋1=0的距离为2的点有________个.21.在满足(x-3)2+(y-3)2=6的所有实数对(x,y)中,xy的最大值是 22.已知圆的方程为x 2＋y 2-6x-8y=0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________.23.已知A 是射线x ＋y=0(x≤0)上的动点，B 是x 轴正半轴的动点，若直线AB 与圆x 2＋y 2=1相切，则|AB|的最小值是________．24.过点P(－1，1)作圆C ：(x －t)2＋(y －t ＋2)2=1(t∈R)的切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →的最小值为________． 三、解答题25.在平面直角坐标系中，曲线y=x 2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x-y+a=0交于A,B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，求a 的值.26.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45=0上任意一点，且点Q(－2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m ，n)，求n －3m ＋2的最大值和最小值.27.已知圆C ：(x-3)2+(y-4)2=4，直线l 1过定点A(1，0)． (1)若l 1与圆相切，求l 1的方程；(2)若l 1与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x+2y+2=0的交点为N.求证：AM •AN 为定值．28.已知M为圆C：x2＋y2-4x-14y＋45=0上任意一点，点Q的坐标为(-2,3)．(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)求|MQ|的最大值和最小值；(3)求M(m，n)，求的最大值和最小值．29.如图，在平面直角坐标系内，已知点A(1,0)，B(-1,0)，圆C的方程为x2+y2-6x-8y+21=0，点P为圆上的动点．(1)求过点A的圆C的切线方程．(2)求∣AP∣2+∣BP∣2的最大值及此时对应的点P的坐标．答案解析30.C ； 31.B ； 32.C ； 33.A 34.A 35.B 36.D ； 37.D ； 38.A ； 39.B ； 40.C ； 41.B ；42.B43.答案为：A ；44.答案为：B ；依题意,设P(x,y),化圆C 的一般方程为标准方程得x 2+(y+1)2=4,圆心为C(0,-1),因为|MC|=22>2,所以点M(2,1)在圆外,所以22-2≤|PM|≤22+2,故|PM|的取值范围为[22-2,22+2].45.答案为：D ；解析：由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0知，其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2=9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0关于直线ax －by ＋3=0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3=0，∴a ＋3b=3(a ＞0，b ＞0)， ∴1a ＋3b =13(a ＋3b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b =13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2 3a b ·3b a =163，当且仅当3b a =3ab ，即a=b 时取等号，故选D.46.答案为：1+3；47.答案为：(x-1.5)2+(y-0.5)2=0.5.48.答案为：(x-1)2+y 2=25. 49.答案为：3； 50.223+51.答案为：206;解析:点(3,5)在圆内，最长弦|AC|即为该圆直径，∴|AC|=10，最短弦BD ⊥AC ，∴|BD|=46，S 四边形ABCD =0.5AC|·|BD|=206.52.答案为：2＋22；解析：设A(－a ，a)，B(b ，0)(a ，b ＞0)，则直线AB 的方程是ax ＋(a ＋b)y －ab=0.因为直线AB 与圆x 2＋y 2=1相切，所以d=ab a 2＋（a ＋b ）2=1，化简得2a 2＋b 2＋2ab=a 2b 2， 利用基本不等式得a 2b 2=2a 2＋b 2＋2ab≥22ab ＋2ab ，即ab≥2＋22，从而得|AB|=（a ＋b ）2＋a 2=ab≥2＋22，当b=2a ，即a=2＋2，b=4＋22时，|AB|的最小值是2＋2 2.53.答案为：214；解析：圆C ：(x －t)2＋(y －t ＋2)2=1的圆心坐标为(t ，t －2)，半径为1，所以PC=（t ＋1）2＋（t －3）2=2（t －1）2＋8≥8，PA=PB=PC 2－1，cos ∠APC=AP PC ，所以cos ∠APB=2⎝ ⎛⎭⎪⎫AP PC 2－1=1－2PC 2，所以PA →·PB →=(PC 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2PC 2=－3＋PC 2＋2PC 2≥－3＋8＋14=214，所以PA →·PB →的最小值为214.54.解：55.解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45=0，可得(x －2)2＋(y －7)2=8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r=2 2.又|QC|=2＋22＋7－32=42＞2 2. 所以点Q 在圆C 外，所以|MQ|max =42＋22=62， |MQ|min =42－22=2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设n －3m ＋2=k ，则直线MQ 的方程为y －3=k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3=0， 因为直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， 所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.56.解：57.解：58.解：。
高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0=y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．例2求半径为4，与圆042422=---+y某y某相切，且和直线0=y相切的圆的方程．例3求经过点)5,0(A，且与直线02=-y某和02=+y某都相切的圆的方程．例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被某轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y某l：的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆422=+y某O：，求过点()42，P与圆O相切的切线．例6两圆0111221=++++FyE某Dy某C：与0222222=++++FyE某Dy某C：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．例7、过圆122=+y某外一点)3,2(M，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。
练习：1．求过点(3,1)M，且与圆22(1)4某y-+=相切的直线l的方程．2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y某y某相切的直线的方程为3、已知直线0125=++ay某与圆0222=+-y某某相切，则a的值为.类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:=--y某l被圆042:22=--+y某y某C截得的弦AB 的长.例9、直线0323=-+y某截圆422=+y某得的劣弧所对的圆心角为例10、求两圆0222=-+-+y某y某和522=+y某的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323=-+y某和圆422=+y某，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线m某y+=与曲线24某y-=有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.例13圆9)3()3(22=-+-y某上到直线01143=-+y某的距离为1的点有几个？练习1：直线1=+y某与圆)0(0222>=-+aayy某没有公共点，则a的取值范围是练习2：若直线2+=k某y与圆1)3()2(22=-+-y某有两个不同的交点，则k的取值范围是.3、圆034222=-+++y某y某上到直线01=++y某的距离为2的点共有（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个4、过点()43--，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆()()42122=++-y某C：有公共点，如图所示．类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例14、判断圆02662:221=--++y某y某C与圆0424:222=++-+y某y某C的位置关系，例15：圆0222=-+某y某和圆0422=++yy某的公切线共有条。
高中数学圆的方程典型例题(含答案)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
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第二节圆的方程高考试题考点一求圆的方程1.(2009年辽宁卷,理4)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )(A)(x+1)2+(y-1)2=2(B)(x-1)2+(y+1)2=2(C)(x-1)2+(y-1)2=2(D)(x+1)2+(y+1)2=2解析:由题意可设圆心坐标为(a,-a),解得a=1,故圆心坐标为(1,-1),半径所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案:B2.(2010年广东卷,理12)已知圆心在x轴上,y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是. 解析:设圆心坐标为(a,0),且a<0,由题意得∴a=-2.∴圆的方程为(x+2)2+y2=2.答案:(x+2)2+y2=23.(2010年新课标全国卷,理15)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆的方程为.解析:由题意知A、B两点在圆上,∴直线AB的垂直平分线x=3过圆心.又圆C与直线y=x-1相切于点B(2,1),∴k BC=-1.∴直线BC的方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3.y=-x+3与x=3联立得圆心C的坐标为(3,0),∴∴圆C的方程为(x-3)2+y2=2.答案:(x-3)2+y2=2考点二直线与圆的位置关系的判定与应用1.(2013年天津卷,理4)已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18;②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;③直线x+y+1=0与圆x2+y2=12相切.其中真命题的序号为( )(A)①②③ (B)①② (C)①③ (D)②③解析:由球的体积比等于半径比的立方,①为真命题;平均数相等,但标准差不一定相等,②为假命题;由(0,0)到x+y+1=0距离,即直线与圆相切,③为真命题.故选C. 答案:C2.(2012年陕西卷,理4)已知圆C:x 2+y 2-4x=0,l 是过点P(3,0)的直线,则( ) (A)l 与C 相交 (B)l 与C 相切 (C)l 与C 相离(D)以上三个选项均有可能 解析:将点P 的坐标代入圆的方程, 得32-4³3=-3<0,∴点P(3,0)在圆内. ∴过点P 的直线l 定与圆相交. 答案:A3.(2012年重庆卷,理3)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是( )(A)相离(B)相切(C)相交但直线不过圆心 (D)相交且直线过圆心 解析:直线y=kx+1恒过定点(0,1),而02+12<2, ∴定点(0,1)在圆x 2+y 2=2内,故直线y=kx+1一定与圆相交. 又圆心(0,0)不满足方程y=kx+1, ∴直线与圆相交但不过圆心. 答案:C4.(2013年山东卷,理9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A 、B,则直线AB 的方程为( )(A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0(C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0解析:由图知切点A(1,1),圆心坐标C(1,0), 所以k CM =1031--=12. 易证CM ⊥AB,所以k AB =-2.故选A. 答案:A5.(2012年天津卷,理8)设m,n ∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n 的取值范围是( )(B)(-∞∪∞)(D)(-∞∪∞)解析:圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0=1,所以m+n+1=mn ≤14(m+n)2,所以m+n ≥m+n ≤ 答案:D6.(2011年重庆卷,理8)在圆x 2+y 2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为( )解析:圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,由圆的性质可知最长弦最短弦BD恰以E(0,1)为中点,设点F为其圆心,坐标为(1,3).故,∴∴S四边形ABCD=12AC²答案:B7.(2013年江西卷,理9)过点引直线l与曲线A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( )(C)解析:画出直线l与曲线的示意图(如图),设直线l的斜率为k,则直线l的方程为△OAB的高也即原点到直线l的距离,求得则S△OAB≤2222(1)21k kk+-+=12²2211kk++=12,,即k=时,S△OAB面积最大,由题意知k<0,故答案:B8.(2010年江苏卷,9)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.解析:由题意可知,当圆上有四个点到直线的距离为1时,圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.∵=13 c,∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).答案:(-13,13)9.(2013年江苏卷,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3.由题意,=1,解得k=0或k=-3 4 ,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1 3.整理,得-8≤5a2-12a≤0.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤12 5.所以点C的横坐标a的取值范围为[0,125].考点三圆与圆的位置关系的判定与应用1.(2013年重庆卷,理7)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )解析:如图所示,点C1关于x轴的对称点C′1(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C′1C2|所以(|PM|+|PN|)min故选A.答案:A2.(2012年江苏卷,12)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.解析:圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,≤2.整理,得3k2-4k≤0,解得0≤k≤4 3 .故k的最大值为4 3 .答案:4 33.(2009年四川卷,理14)若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是.解析:由题意知OA⊥O1A,在Rt△OO1A中1∴|OO1|=5,∴由|OO1|²12|AB|=|OA|²|O1A|,得|AB|=2=4.答案:44.(2009年天津卷,理14)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为则a= .解析:x 2+y 2+2ay=6,x 2+y 2=4,两式相减得y=1a. 联立221,4,y ax y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩消去y 得x 2=2241a a -(a>0),∴解得a=1. 答案:1模拟试题考点一 求圆的方程1.(2012北京顺义三模)已知圆C 关于y 轴对称,经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C 的方程为( ) (A)(x2+y 2=43 (B)(x2+y 2=13 (C)x 2+(y2=43 (D)x 2+(y2=13解析:∵圆C 关于y 轴对称, ∴圆心在y 轴上,因为圆被x 轴分成两段弧长之比为1∶2, 故被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3, 设圆心(0,a),半径为r, 则rsinπ3=1,rcos π3=|a|, 解得即a=所以圆的方程为x 2+(y2=43. 答案:C2.(2013山东临沂高三期末)与直线x=3相切,且与圆(x+1)2+(y+1)2=1相内切的半径最小的圆的方程是( ) (A)(x-12)2+(y+1)2=254(B)(x-12)2+(y-1)2=254(C)(x-12)2+(y-1)2=52(D)(x-12)2+(y+1)2=52解析:设圆心(a,b),由题意可知a<3,∵圆与直线x=3相切,∴圆的半径为3-a,又圆与(x+1)2+(y+1)2=1相内切,即(a+1)2+(b+1)2=(2-a)2,整理得a=13-16b2-13b.半径r=3-a=3-13+16b2+13b=16b2+13b+83.∴当b=-13126⨯=-1时,半径r取到最小值52,此时a=1 2 .即圆心坐标为(12,-1),半径是52,圆的方程为(x-12)2+(y+1)2=254.答案:A考点二直线与圆的位置关系的判定及应用1.(2013山东德州高三联考)已知点P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是( )解析:由平面几何知识可知,S四边形PACB=|CA|²|PA|,又圆的圆心C为(1,1),半径r=1,设P(x,y),则3x-4y+11=0,又∴当|PC|最小时,|PA|最小,S四边形PACB最小,而|PC|的最小值为C(1,1)到直线3x-4y+11=0的距离,即|PC|min∴|PA|min∴S四边形PACB.答案:C2.(2013江苏南通高三第一次调研)已知直线y=ax+3与圆C:x2+y2+2x-8=0相交于A、B两点,点P(x0,y0)在直线y=2x上,且PA=PB,则x0的取值范围是.解析:圆C:x2+y2+2x-8=0的圆心C的坐标为(-1,0),半径r=3.∵直线与圆相交,<3,整理得4a 2+3a>0, 解得a>0或a<-34. ∵PA=PB,∴PC 与直线y=ax+3垂直, ∴0021x x +=-1a, 整理得x 0=-121a +, 由a>0或a<-34得-1<x 0<0或0<x 0<2. 答案:(-1,0)∪(0,2)考点三 圆与圆的位置关系的判定与应用1.(2012银川一模)若圆C 1:x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R)与圆C 2:x 2+y 2-2by-1+b 2=0(b ∈R)外切,则a+b 的最大值为( )(C)3解析:圆C 1的圆心坐标(-a,0),半径是2; 圆C 2的圆心坐标是(0,b),半径是1.=3, 即a 2+b 2=9.∴(a+b)2=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2)=18,当且仅当a=b=时取等号. ∴a+b 的最大值为答案:D2.(2011苏州调研)已知圆x 2+y 2=m 与圆x 2+y 2+6x-8y-11=0相交,则实数m 的取值范围是 .解析:圆x 2+y 2=m 的圆心(0,0),圆x 2+y 2+6x-8y-11=0的圆心(-3,4),半径r=6,由题意得解得1<m<121. 答案:(1,121)综合检测1.(2013合肥三模)若函数y=x 2-m nx+1n 的图象在点M(0,1n )处的切线l 与圆C:x 2+y 2=1相交,则点P(m,n)与圆C 的位置关系是( ) (A)P 在圆内 (B)P 在圆内或圆外 (C)P 在圆上 (D)P 在圆外解析:y ′=2x-mn , ∴k 切线=y ′|x=0=-m n.切线方程为y-1n=-mn(x-0),即mx+ny-1=0.∵l与圆相交,即m2+n2>1.∴点P(m,n)在圆外.答案:D2.(2013广东广州高中毕业班综合测试)直线截圆(x-2)2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是( )(A)π6(B)π3(C)π2(D)2π3解析:圆心(2,0)到直线的距离d=22=1,∴弦长∴劣弧所对圆心角为120°.答案:D3.(2012广东广州二模)已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).若过点M有且只有一条直线与圆O相切,则切线方程为. 解析:∵过点M有且只有一条直线与圆O相切,∴M(1,a)在圆x2+y2=4上,即1+a2=4,解得a=.当∴k OM∴k切线切线方程为即当时OM∴k切线切线方程为即答案y-4=0或。