高考数学试题汇编圆的方程

第二节圆的方程
高考试题
考点一求圆的方程
1.(2009年辽宁卷,理4)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )
(A)(x+1)2+(y-1)2=2
(B)(x-1)2+(y+1)2=2
(C)(x-1)2+(y-1)2=2
(D)(x+1)2+(y+1)2=2
解析:由题意可设圆心坐标为(a,-a),
解得a=1,故圆心坐标为(1,-1),
半径
所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
答案:B
2.(2010年广东卷,理12)已知圆心在x轴上,y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是. 解析:设圆心坐标为(a,0),且a<0,由题意得
∴a=-2.
∴圆的方程为(x+2)2+y2=2.
答案:(x+2)2+y2=2
3.(2010年新课标全国卷,理15)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆的方程为.
解析:由题意知A、B两点在圆上,
∴直线AB的垂直平分线x=3过圆心.
又圆C与直线y=x-1相切于点B(2,1),
∴k BC=-1.
∴直线BC的方程为y-1=-(x-2),
即y=-x+3.
y=-x+3与x=3联立得圆心C的坐标为(3,0),
∴
∴圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
答案:(x-3)2+y2=2
考点二直线与圆的位置关系的判定与应用
1.(2013年天津卷,理4)已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的1
2
,则其体积缩小到原来的
1
8
;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=1
2
相切.
其中真命题的序号为( )
(A)①②③ (B)①② (C)①③ (D)②③
解析:由球的体积比等于半径比的立方,①为真命题;平均数相等,但标准差不一定相等,②为假命题;由(0,0)到x+y+1=0距离
,即直线与圆相切,③为真命题.故选C. 答案:C
2.(2012年陕西卷,理4)已知圆C:x 2
+y 2
-4x=0,l 是过点P(3,0)的直线,则( ) (A)l 与C 相交 (B)l 与C 相切 (C)l 与C 相离
(D)以上三个选项均有可能 解析:将点P 的坐标代入圆的方程, 得32
-4³3=-3<0,
∴点P(3,0)在圆内. ∴过点P 的直线l 定与圆相交. 答案:A
3.(2012年重庆卷,理3)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x 2
+y 2
=2的位置关系一定是( )
(A)相离
(B)相切
(C)相交但直线不过圆心 (D)相交且直线过圆心 解析:直线y=kx+1恒过定点(0,1),而02
+12
<2, ∴定点(0,1)在圆x 2
+y 2
=2内,
故直线y=kx+1一定与圆相交. 又圆心(0,0)不满足方程y=kx+1, ∴直线与圆相交但不过圆心. 答案:C
4.(2013年山东卷,理9)过点(3,1)作圆(x-1)2
+y 2
=1的两条切线,切点分别为A 、B,则直线AB 的方程为( )
(A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0
(C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0
解析:由图知切点A(1,1),圆心坐标C(1,0), 所以k CM =
1031--=1
2
. 易证CM ⊥AB,所以k AB =-2.故选A. 答案:A
5.(2012年天津卷,理8)设m,n ∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2
+(y-1)2
=1相切,则m+n 的取值范围是( )
(B)(-∞∪∞)
(D)(-∞∪∞)
解析:圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0=1,
所以m+n+1=mn ≤
14
(m+n)2
,
所以m+n ≥m+n ≤ 答案:D
6.(2011年重庆卷,理8)在圆x 2
+y 2
-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为( )
解析:圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,由圆的性质可知最长弦
最短弦BD恰以E(0,1)为中点,设点F为其圆
心,坐标为(1,3).
故
,∴
∴S四边形ABCD=1
2
AC²
答案:B
7.(2013年江西卷,
理9)过点
引直线l与曲线A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线
l的斜率等于( )
(C)
解析:
画出直线l与曲线的示意图(如图),设直线l的斜率为k,
则直线l的方程为△OAB的高也即原点
到直线l的距离
,
求得
则S△OAB
≤
22
2
2(1)
2
1
k k
k
+-
+
=1
2
²
2
2
1
1
k
k
+
+
=
1
2
,
,
即k=时,S△OAB面积最大,由题意知
k<0,故
答案:B
8.(2010年江苏卷,9)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.
解析:由题意可知,当圆上有四个点到直线的距离为1时,圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.
∵
=
13 c
,
∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).
答案:(-13,13)
9.(2013年江苏卷,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,
解得点C(3,2),
于是切线的斜率必存在.
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3.
由题意,=1,
解得k=0或k=-3 4 ,
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2)因为圆心在直线y=2x-4上,
所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
设点M(x,y),
因为MA=2MO,
化简得x2+y2+2y-3=0,
即x2+(y+1)2=4,
所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,
所以圆C与圆D有公共点,
则|2-1|≤CD≤2+1,
即1 3.
整理,得-8≤5a2-12a≤0.
由5a2-12a+8≥0,
得a∈R;
由5a2-12a≤0,
得0≤a≤12 5
.
所以点C的横坐标a的取值范围为[0,12
5
].
考点三圆与圆的位置关系的判定与应用
1.(2013年重庆卷,理7)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
解析:如图所示,
点C1关于x轴的对称点C′1(2,-3),
则(|PC1|+|PC2|)min=|C′1C2|
所以(|PM|+|PN|)min
故选A.
答案:A
2.(2012年江苏卷,12)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.
解析:圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).
由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,
≤2.
整理,得3k2-4k≤0,
解得0≤k≤4 3 .
故k的最大值为4 3 .
答案:4 3
3.(2009年四川卷,理14)若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是.
解析:由题意知OA⊥O1A,
在Rt△OO1A中1
∴|OO1|=5,
∴由|OO1|²1
2
|AB|=|OA|²|O1A|,
得|AB|=2=4.
答案:4
4.(2009年天津卷,理14)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为则a= .
解析:x 2
+y 2
+2ay=6,x 2
+y 2
=4,
两式相减得y=
1a
. 联立221,4,y a
x y ⎧
=⎪⎨⎪+=⎩
消去y 得x 2
=22
41
a a -(a>0),
∴
解得a=1. 答案:1
模拟试题
考点一 求圆的方程
1.(2012北京顺义三模)已知圆C 关于y 轴对称,经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C 的方程为( ) (A)(x
2+y 2=43 (B)(x
2+y 2=13 (C)x 2
+(y
2=4
3 (D)x 2
+(y
2=13
解析:∵圆C 关于y 轴对称, ∴圆心在y 轴上,
因为圆被x 轴分成两段弧长之比为1∶2, 故被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π
3
, 设圆心(0,a),半径为r, 则rsin
π3=1,rcos π
3
=|a|, 解得
即a=
所以圆的方程为x 2
+(y
2=43
. 答案:C
2.(2013山东临沂高三期末)与直线x=3相切,且与圆(x+1)2
+(y+1)2
=1相内切的半径最小的圆的方程是( ) (A)(x-12
)2+(y+1)2=254
(B)(x-12
)2+(y-1)2
=254
(C)(x-
12)2+(y-1)2
=52
(D)(x-1
2
)2+(y+1)2=
5
2
解析:设圆心(a,b),由题意可知a<3,∵圆与直线x=3相切,
∴圆的半径为3-a,
又圆与(x+1)2+(y+1)2=1相内切,
即(a+1)2+(b+1)2=(2-a)2,
整理得a=1
3
-
1
6
b2-
1
3
b.
半径r=3-a=3-1
3
+
1
6
b2+
1
3
b=
1
6
b2+
1
3
b+
8
3
.
∴当b=-
1
3
1
2
6
⨯
=-1时,半径r取到最小值
5
2
,
此时a=1 2 .
即圆心坐标为(1
2
,-1),半径是
5
2
,
圆的方程为(x-1
2
)2+(y+1)2=
25
4
.
答案:A
考点二直线与圆的位置关系的判定及应用
1.(2013山东德州高三联考)已知点P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是( )
解析:由平面几何知识可知,S四边形PACB=|CA|²|PA|,
又圆的圆心C为(1,1),半径r=1,
设P(x,y),则3x-4y+11=0,
又
∴当|PC|最小时,|PA|最小,S四边形PACB最小,
而|PC|的最小值为C(1,1)到直线3x-4y+11=0的距离,
即|PC|min
∴|PA|min
∴S四边形PACB.
答案:C
2.(2013江苏南通高三第一次调研)已知直线y=ax+3与圆C:x2+y2+2x-8=0相交于A、B两点,点P(x0,y0)在直线y=2x上,且PA=PB,则x0的取值范围是.
解析:圆C:x2+y2+2x-8=0的圆心C的坐标为(-1,0),
半径r=3.
∵直线与圆相交,
<3,
整理得4a 2
+3a>0, 解得a>0或a<-
34
. ∵PA=PB,∴PC 与直线y=ax+3垂直, ∴
0021x x +=-1
a
, 整理得x 0=-
1
21
a +, 由a>0或a<-
3
4
得-1<x 0<0或0<x 0<2. 答案:(-1,0)∪(0,2)
考点三 圆与圆的位置关系的判定与应用
1.(2012银川一模)若圆C 1:x 2
+y 2
+2ax+a 2
-4=0(a ∈R)与圆C 2:x 2
+y 2
-2by-1+b 2
=0(b ∈R)外切,则a+b 的最大值为( )
(C)3
解析:圆C 1的圆心坐标(-a,0),半径是2; 圆C 2的圆心坐标是(0,b),半径是1.
=3, 即a 2
+b 2
=9.
∴(a+b)2
=a 2
+b 2
+2ab ≤2(a 2
+b 2
)=18,
当且仅当a=b=
时取等号. ∴a+b 的最大值为
答案:D
2.(2011苏州调研)已知圆x 2
+y 2
=m 与圆x 2
+y 2
+6x-8y-11=0相交,则实数m 的取值范围是 .
解析:圆x 2+y 2
=m 的圆心(0,0),
圆x 2
+y 2
+6x-8y-11=0的圆心(-3,4),半径r=6,
由题意得
解得1<m<121. 答案:(1,121)
综合检测
1.(2013合肥三模)若函数y=x 2
-m n
x+1n 的图象在点M(0,1n )处的切线l 与圆C:x 2+y 2
=1相交,则点P(m,n)与圆C 的位置关系是( ) (A)P 在圆内 (B)P 在圆内或圆外 (C)P 在圆上 (D)P 在圆外
解析:y ′=2x-m
n , ∴k 切线=y ′|x=0=-
m n
.
切线方程为y-1
n
=-
m
n
(x-0),
即mx+ny-1=0.
∵l与圆相交,
即m2+n2>1.
∴点P(m,n)在圆外.
答案:D
2.(2013广东广州高中毕业班综合测试)直线截圆(x-2)2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是( )
(A)π
6
(B)
π
3
(C)π
2
(D)
2π
3
解析:圆心(2,0)到直线的距离d=2
2
=1,
∴弦长
∴劣弧所对圆心角为120°.
答案:D
3.(2012广东广州二模)已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).若过点M有且只有一条直线与圆O相切,则切线方程为. 解析:∵过点M有且只有一条直线与圆O相切,
∴M(1,a)在圆x2+y2=4上,
即1+a2=4,解得a=.
当
∴k OM
∴k切线
切线方程为
即
当时OM
∴k切线
切线方程为
即
答案y-4=0或。