高考数学专题复习：两个技术原理与排列组合(人教B版)

＝m！nn！－m！(m、n∈N*，m≤n)． ②组合数性质 Cmn ＝Cnn－m，规定 C0n＝1； Cmn＋1＝Cmn ＋Cnm－1； C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n； Cnn＋Cnn＋1＋Cnn＋2＋…＋Cnn＋m＝Cnn＋ ＋1m＋1.
(ⅰ)Cmn ＝Cnn－m，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数等于 从这 n 个元素中取出 n－m 个元素的组合数．
性质 2 Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1，主要用于含组合数式子的简化和一 些数列求和．
4．排列问题常见的限制条件及对策： (1)有特殊元素或特殊位置； (2)元素必须相邻的排列； (3)元素相邻的排列； (4)元素有顺序限制的排列． 其基本的解题思想方法为：
①对于有特殊元素或特殊位置，一般采用直接法，即先排特殊 元素或特殊位置．
6．求解排列组合应用题，要善于“分析”、“分辨”、“分 类”、“分步”，从多个角度考虑．
先分组后排列，若平均分 m 组，则分法＝取m！法. (4)若干集合中选取元素问题 对比较复杂的在若干集合中选取元素的问题，一般需分类求
解．只要能运用分类思想正确地对所选法分类，又能正确地根据题 目要求合理地考查步骤，就可以顺利地求得解答．在分类时，要注 意做到既不重复也不遗漏．
(5)与排列一样，常见的组合问题分为纯数学题与组合应用题， 组合应用题又分为无限制条件的组合问题和有限制条件的组合问 题．解决组合应用题时常用的方法、技巧与解决排列应用题时的方 法与技巧类似．解组合问题常见的思想方法有：枚举法、直接法、 间接法、隔板法、利用对称思想法等．
或证明时则多用
Amn ＝
n！ n－m
！.
同样，Cmn ＝AAmnmm＝nn－1…m！n－m＋1常用于计算、求值． Cmn ＝m！nn！－m！常用于化简或证明．
性质 1 Cmn ＝Cnn－m(特别地 C0n＝Cnn＝1)，计算 Cmn ，当 m＞n2时， 可改为计算 Cnn－m，从而使运算简化；公式在证明、求和问题中也常 常用到．
3．基本公式
(1)排列数公式
①Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) (连乘形式)
＝n－n！m！ m≤n，n、m∈N*.
(阶乘形式)
②Ann＝n！＝1·2·3…n(自然数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘)．
规定：0！＝1.
(2)组合数公式、组合数的性质 ①组合数公式
Cmn ＝AAmnmm＝nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1n－m2！…n－m＋1
注意 解决有关排列应用题，要注意防止发生以下情况： ①没有仔细审题，盲目套用公式和方法． ②方法正确，但题目中的一些细节考虑不周，出现重复或遗漏情 况．如分类标准不统一． ③不能用公式或常用方法解答时，不会用一一列举的方法来解决．
5．组合问题常见的问题及对策： (1) 在解 组合应 用题 时， 常会遇 到 “ 至少 ”“ 最多 ”“ 含” 等 词，要仔细审题，理解其含义． (2)组合几何图形的题目，一定要注意图形自身对其构成元素的 限制，解决这类问题常用间接法(或说排除法)． (3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组 与组之间只要元素个数相同是不可区分的，而后者则即使两个元素 个数相同，但因人不同，仍然是可区分的．对于这类问题必须遵循
(ⅱ)Cmn＋1＝Cmn ＋Cnm－1. 从 a1，a2…an＋1 这 n＋1 个不同元素中取出 m 个的组合数是 Cmn＋1， 这些组合分两类：一类含 a1，从 a2，a3…an＋1 这 n 个中取出 m－1 个与 a1 组成；一类不含 a1，从 a2，a3…an＋1 这 n 个中取 m 个组成． ∴Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
2．排列、组合的定义 (1)排列：从 n 个不同的元素中，任取 m(m≤n)个不同的元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列． (2)组合：从 n 个不同的元素中，任取 m(m≤n)个不同的元素并 成一组叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (3)排列与组合的区别与联系 排列与组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置 的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后 顺序．不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题， 排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排 列组合问题的基本思维是“先选之，再排队”．
②相邻排列问题，通常采用“捆绑”法．即可以把相邻元素看 作一个整体参与其他元素排列．
③对于元素不相邻的排列，通常采用插空法，即先考虑不受限 制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中．
④对于元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后， 利用规定顺序的实情求结果．
⑤间接法：先求出不考虑限制条件的排列数，再减去不符合条 件的排列数．
考点串串讲
1．两个原理及其区别 分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有 n 类 办法，这 n 类办法之间是互斥的、是独立的，那么求完成这件事情 的方法总数就用分类加法计数原理． 分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问 题．如果完成某件事情有 n 个步骤，而这 n 个步骤缺一不可，当且 仅当依次完成这 n 个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件 事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理． 当然，在解决实际问题时，并不一定是单一的应用分类加法计 数原理或分步乘法计数原理，有时可能同时用到两个计数原理．即 分类时，每类的方法可能运用分步完成，而分步后，每步的方法数 可能会采取分类的思想求方法数．对于同一事件，我们可以做不同 的处理，从而得到不同的解法(但相同的方法数)，这也是检验排列 组合问题的很好方法．
(3)排列数公式、组合数公式各有两种形式：一种是连乘积形式，
另一种是阶乘之商的形式．
组合数的两个性质，在简化计算，证明有关组合数恒等式中有
着重要作用，它们也是推导二项式展开式与二项式系数性质的重要
依据．
排列数公式的两种不同表达形式本质一样，但作用常有不同，
Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)，常用于具体数字计算，在进行字母化简