无限脉冲响应数字滤波器的设计
数字信号处理第三版西科大课后答案第6章
λp=1,
s
s p
4
(4) 求阶数N和ε。
N arch k 1
arch s
k 1
100.1as 1 100.1ap 1 1456.65
N arch 1456.65 3.8659 arch 4
为了满足指标要求， 取N=4。
100.1ap 1 0.2171
(3) 求归一化系统函数G(p)
3.2361p 1
或
G( p)
1
( p2 0.618 p 1)( p2 1.618 p 1)( p 1)
当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：
p ejπ
1 2
2k 1 2N
k
k 0,1, 2,3, 4
再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为
G( p) 4 1
( p pk )
p1
ch0.5580 sin
π 8
j
ch0.5580 cos
π 8
0.4438
j1.0715
3π
3π
p2 ch0.5580sin 8 j ch0.5580 cos 8 1.0715 j0.4438
p3
ch0.5580 sin
5π 8
j
ch0.5580 cos
5π 8
1.0715
j0.4438
fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB，
阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。
解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求：
p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB
(2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图 5.1.5中高通到低通频率转换公式②， λp=1, λs=Ωp/Ωs， 得到
6无限脉冲响应数字滤波器的设计
p=2fp=104(rad/s)， α p=2dB
s=2fs=2.4×104(rad/s)， α s=30dB
(2Nk) ss确pp 定22滤l11gll00g波g0ff00ps...101k器aa2pssspp4的k2N2=s.s11pp4阶数022l.N11g000l20fgf004ps...10212aa2.ps4422k.N114sspp40.2.220l511g2,00l40fgf002ps...取1021Naa2.ps4N422为.1145540.2.052, 42N 5
N
4.25, N 5
lg 2.4
(3) 求极点
j 3 j 3
s0 sP00e5e ,5 ,
p e s s e e , , j 12k1 20 20N
j 3j 3 55
k
sP11
j 4
s1e5e
j 45s2Ps22
eje,j
,
s1 s1
j 4j 4
e e5 5
s2
e j ,
j 6j 6
FIR滤波器设计方法 (1)采用的是窗函数设计法和频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。
6.2 模拟滤波器的设计
理论和设计方法相当成熟，有若干典型的模拟滤波器可以选
择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤
波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波 器都有严格的设计公式、现成的曲线Ha和H(jΩa (图)jΩ)表供设计人HH员aa (j使ΩΩ)) 用。
j 1 2 k1
p e 归一化极点 k
2 2N
第5章无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计方法
|ω|≤ωp
在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即
| H ( e jω ) |≤ δ 2
ωs≤|ω|≤π
式中，ωp, ωs分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是 数字域频率。幅度响应在过渡带（ωs-ωp）中从通带平滑地下降 到阻带，过渡带的频率响应不作规定。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.2 滤波器的技术指标 理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的， 其单位脉冲响 应从-∞延伸到+∞， 因此，无论用递归还是非递归方法， 理想滤 波器是不能实现的， 但在概念上极为重要。 一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的 允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图5-2（称容限图）所 示， 频率响应有通带、 过渡带及阻带三个范围（而不是理想的 陡截止的通带、阻带两个范围）。图中δ1为通带的容限，δ2为阻 带的容限。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
无限长单位脉冲响应（IIR） 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR） 数字滤波器的设计方法
5.1 基本概念 5.2 IIR滤波器设计的特点 滤波器设计的特点 5.3 常用模拟低通滤波器的设计方法 5.4 用脉冲响应不变法设计 用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器 数字滤波器 5.5 用双线性变换法设计IIR数字滤波器 用双线性变换法设计 数字滤波器 5.6 设计 设计IIR滤波器的频率变换法 滤波器的频率变换法 5.7 Z平面变换法 平面变换法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.3 FIR型滤波器和 型滤波器 型滤波器和IIR型滤波器 型滤波器和 数字滤波器按单位脉冲响应h(n)的时域特性可分为无限长脉 冲响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限长脉冲响应 FIR（Finite Impulse Response）滤波器。 IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字滤 波器的差分方程为
基于MATLAB的IIR数字滤波器设计与仿真
基于MATLAB的IIR数字滤波器设计与仿真一、概述在现代数字信号处理领域中，数字滤波器扮演着至关重要的角色。
其通过对输入信号的特定频率成分进行增强或抑制，实现对信号的有效处理。
无限脉冲响应（IIR）数字滤波器因其设计灵活、实现简单且性能优良等特点，得到了广泛的应用。
本文旨在基于MATLAB平台，对IIR数字滤波器的设计与仿真进行深入研究，以期为相关领域的研究与应用提供有益的参考。
IIR数字滤波器具有无限长的单位脉冲响应，这使得其在处理信号时能够展现出优秀的性能。
与有限脉冲响应（FIR）滤波器相比，IIR滤波器在实现相同性能时所需的阶数更低，从而减少了计算复杂度和存储空间。
在需要对信号进行高效处理的场合，IIR滤波器具有显著的优势。
MATLAB作为一款功能强大的数学软件，提供了丰富的函数和工具箱，使得数字滤波器的设计与仿真变得简单而高效。
通过MATLAB，我们可以方便地实现IIR滤波器的设计、分析和优化，从而满足不同应用场景的需求。
本文将首先介绍IIR数字滤波器的基本原理和特性，然后详细阐述基于MATLAB的IIR数字滤波器的设计方法和步骤。
接着，我们将通过仿真实验验证所设计滤波器的性能，并对其结果进行分析和讨论。
本文将总结IIR数字滤波器设计与仿真的关键技术和注意事项，为相关领域的研究人员和工程师提供有益的参考和启示。
1. IIR数字滤波器概述IIR（Infinite Impulse Response）数字滤波器是数字信号处理中常用的一类滤波器，它基于差分方程实现信号的滤波处理。
与FIR （Finite Impulse Response）滤波器不同，IIR滤波器具有无限长的单位脉冲响应，这意味着其输出不仅与当前和过去的输入信号有关，还与过去的输出信号有关。
这种特性使得IIR滤波器在实现相同的滤波效果时，通常具有更低的计算复杂度，从而提高了处理效率。
IIR滤波器的设计灵活多样，可以根据不同的需求实现低通、高通、带通和带阻等多种滤波功能。
用脉冲响应不变法设计数字滤波器精选文档
用脉冲响应不变法设计数字滤波器精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-皖西学院《数字信号处理》课程设计报告题目用脉冲响应不变法设计数字滤波器学院信息工程学院专业通信工程专业班级（*** ）班学生姓名陈* 孙**指导教师吴**二 0一二年十二月前言《数字信号处理》课程设计是在学生完成数字信号处理和MATLAB结合后的基本实验后开设的，本课程设计的目的是为了让学生综合数字信号处理和MATLAB并实现一个较为完整的小型滤波系统。
这一点与验证性的基本实验有本质性的区别。
开设课程设计环节的主要目的是通过系统设计、软件仿真、程序安排与调试、写实习报告等步骤，使学生初步掌握工程设计的具体步骤和方法，提高分析问题和解决问题的能力，提高实际应用水平。
IIR数字滤波器具有无限宽的冲激响应，与模拟滤波器相匹配，所以IIR滤波器的设计可以采用在模拟滤波器设计的基础上进一步变换的方法。
其设计方法主要有间接设计法、直接设计法和最大平滑滤波器设计方法。
间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。
其设计步骤是：先设计过度模拟滤波器得到系统函数，然后将其按某种方法转换成数字滤波器的系统函数。
这是因为模拟滤波器的设计方法已经成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图表和曲线供查阅；另外还有一些优良的滤波器可供我们使用。
直接法直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。
FIR数字滤波器的单位脉冲响应应是有限长序列。
它的设计问题实质上是确定能满足要求的转移序列或脉冲响应的常数问题，它不能采用间接法，设计方法主要有窗函数法、频率采样法和等波纹最佳逼近法等。
目录第1章绪论课程设计的目的及意义电子信息工程专业的培养目标是具备电子技术的基本理论和应用技术，能从事电子、信息、通信、电信等领域的工作，具有高素质、宽口径、创新晋升的专业人才。
对本专业学生的培养要进行工程素质培养、拓宽专业口径、注重基础和发展潜力。
实验五IIR滤波器的设计与信号滤波
实验五IIR滤波器的设计与信号滤波IIR滤波器，即无限脉冲响应滤波器（Infinite Impulse Response Filter），是一类数字滤波器，其输出依赖于输入信号和先前的输出信号。
相比于有限脉冲响应滤波器（FIR Filter），IIR滤波器具有更少的延迟和更高的效率。
本实验将介绍IIR滤波器的设计原理以及在信号滤波中的应用。
IIR滤波器的设计是通过对传递函数进行分析和设计实现的。
传递函数H(z)可以通过差分方程来表示，其中z是时间变量的复数变换。
一般而言，IIR滤波器的传递函数分为分子多项式和分母多项式两部分，它们都是z的多项式。
例如，一个简单的一阶低通滤波器的传递函数可以表示为：H(z)=b0/(1-a1z^(-1))其中b0是分子多项式的系数，a1是分母多项式的系数，z^(-1)表示滤波器的延迟项。
IIR滤波器的设计方法有很多种，其中一种常用的方法是巴特沃斯滤波器设计。
巴特沃斯滤波器是一种最优陡峭通带和带外衰减的滤波器。
设计巴特沃斯滤波器的步骤如下：1.确定滤波器的阶数：阶数决定了滤波器的复杂度和频率特性。
一般而言，阶数越高，滤波器的效果越好，但计算和实现的复杂度也越高。
2.确定通带和带外的频率特性：根据应用需求，确定滤波器在通带和带外的频率响应。
通带的频率范围内，滤波器应该具有尽可能小的幅频特性，带外的频率范围内，滤波器应该具有尽可能高的衰减。
3.根据阶数和频率特性计算巴特沃斯滤波器的极点：巴特沃斯滤波器的极点是滤波器的传递函数的根。
根据阶数和频率特性，可以使用巴特沃斯极点表来获取滤波器的极点。
4.将极点转换为差分方程：利用极点可以构造差分方程，定义IIR滤波器的传递函数。
除了巴特沃斯滤波器设计方法，还有其他IIR滤波器设计方法，例如Chebyshev滤波器、椭圆滤波器等。
每种设计方法都有其独特的优点和适用范围，可以根据具体需求选择适合的设计方法。
在信号滤波中，IIR滤波器可以用于实现多种滤波效果，例如低通滤波、高通滤波、带通滤波和带阻滤波等。
fir数字滤波器设计流程
fir数字滤波器设计流程英文回答：Designing a FIR (Finite Impulse Response) digitalfilter involves several steps. I will explain the processin detail below.1. Specify the filter requirements: The first step isto clearly define the desired characteristics of the filter. This includes the filter type (low-pass, high-pass, band-pass, or band-stop), cutoff frequencies, passband ripple, stopband attenuation, and any other relevant specifications.For example, let's say I want to design a low-pass FIR filter with a cutoff frequency of 1 kHz, a passband rippleof 0.1 dB, and a stopband attenuation of 60 dB.2. Choose a filter design method: There are various methods available for FIR filter design, such as windowing, frequency sampling, and least squares. The choice of methoddepends on the desired filter characteristics and design constraints.Continuing with our example, I decide to use the windowing method for simplicity.3. Select a window function: In windowing, a window function is applied to the ideal impulse response of the filter to obtain a finite-length impulse response. Commonly used window functions include Hamming, Hanning, and Blackman.In our case, I choose the Hamming window function.4. Determine the filter length: The length of thefilter determines the trade-off between frequencyresolution and time-domain performance. Longer filters provide better frequency resolution but require more computational resources.To determine the filter length, I use a formula that takes into account the desired cutoff frequency and thewindow function.5. Generate the ideal impulse response: Using the desired filter characteristics and the determined filter length, I generate the ideal impulse response of the filter. This is done by applying the appropriate mathematical equations or algorithms.In our example, I generate the ideal impulse responseof the low-pass filter.6. Apply the window function: The next step is to apply the selected window function to the ideal impulse response. This is done by multiplying the window function with the ideal impulse response.For our low-pass filter, I multiply the Hamming window function with the ideal impulse response.7. Normalize the filter coefficients: The filter coefficients are normalized to ensure that the filter response meets the desired specifications. This istypically done by dividing the coefficients by the sum of their absolute values.In our case, I normalize the filter coefficients to ensure the passband ripple and stopband attenuation are within the specified limits.8. Implement the filter: Finally, the designed filter can be implemented in hardware or software for signal processing applications. This involves programming thefilter coefficients into a digital signal processor (DSP) or using a software library for FIR filtering.In conclusion, the process of designing a FIR digital filter involves specifying the filter requirements, choosing a design method, selecting a window function, determining the filter length, generating the ideal impulse response, applying the window function, normalizing the filter coefficients, and implementing the filter.中文回答：设计一个有限脉冲响应（FIR）数字滤波器涉及多个步骤。
iir数字滤波器的设计matlab
iir数字滤波器的设计matlab摘要：1.IIR数字滤波器简介2.MATLAB在IIR数字滤波器设计中的应用3.设计实例与分析4.结论正文：一、IIR数字滤波器简介IIR（无限脉冲响应）数字滤波器是数字信号处理中的重要组成部分，其设计方法与模拟滤波器设计密切相关。
在设计IIR数字滤波器时，需要确定采样间隔或采样频率，将数字滤波器的指标转化为模拟滤波器的指标，然后根据模拟滤波器的指标设计模拟滤波器。
最后，通过冲激响应不变法和双线性变换法，将模拟滤波器的冲激响应转化为数字滤波器的冲激响应。
二、MATLAB在IIR数字滤波器设计中的应用MATLAB以其强大的计算和仿真能力，在数字滤波器设计中得到了广泛的应用。
设计师可以利用MATLAB的函数和工具箱，方便地实现IIR数字滤波器的设计、仿真和分析。
三、设计实例与分析以下是一个基于MATLAB的IIR数字滤波器设计实例：1.确定设计指标：通带截止频率为1kHz，阻带截止频率为2kHz，通带波纹小于1dB，阻带衰减大于40dB。
2.利用MATLAB的函数，如freqz、butter等，设计模拟低通滤波器。
3.将模拟滤波器的参数转化为数字滤波器的参数，如采样频率、阶数等。
4.利用MATLAB的函数，如impulse、bode等，对数字滤波器进行仿真和分析。
四、结论通过以上实例，可以看出MATLAB在IIR数字滤波器设计中的重要作用。
它不仅提供了方便的设计工具，还能实时地展示滤波器的性能，大大提高了设计效率和精度。
此外，IIR数字滤波器的设计方法和MATLAB的应用也可以推广到其他数字信号处理领域，如音频处理、图像处理等。
数字信号处理 第6章
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
(6.1.2)
(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2) 式中的H(z)称为N－1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种 数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分 别进行学习。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
s 20 lg
| H (e j0 ) |
j s
dB
(6.1.4b)
p 20 lg | H (e
j p
) | dB
(6.1.5)
s 20 lg | H (e js ) | dB
(6.1.6)
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
当幅度下降到 2 / 2 时，标记ω=ωc，此时 p 3dB，称 ωc为3 dB通带截止频率。ωp、ωc和ωs统称为边界频率， 它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他 类型的滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改 成
拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将Ha(s)按某种方法转
换成数字滤波器的系统函数H(z)。这是因为模拟滤波器的 设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善
的图表和曲线供查阅； 另外，还有一些典型的优良滤波
器类型可供我们使用。直接法直接在频域或者时域中设计 数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助 设计。FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表
示为
p 20 lg
| H (e j0 ) | | H (e
iir数字滤波
iir数字滤波摘要：1.IIR数字滤波器简介2.IIR数字滤波器的设计方法a.模拟滤波器转换为数字滤波器的主要方法b.脉冲响应不变法3.IIR数字滤波器的应用a.语音信号处理b.音频采样与重构4.MATLAB实现IIR数字滤波器设计5.总结与展望正文：一、IIR数字滤波器简介IIR（无限脉冲响应）数字滤波器是一种具有反馈结构的数字滤波器。
它以其较少的计算量和较高的性能优势在数字信号处理领域得到广泛应用。
IIR数字滤波器的设计主要依赖于模拟滤波器的设计，通过将模拟滤波器转换为数字滤波器，可以实现对数字信号的滤波处理。
二、IIR数字滤波器的设计方法1.模拟滤波器转换为数字滤波器的主要方法从模拟滤波器转换为数字滤波器主要有以下几种方法：（1）脉冲响应不变法：这种方法适用于系统函数可以用部分分式分解成单阶极点和滤波器是一个带限系统的情况。
它使数字滤波器的冲击响应等于模拟滤波器的单位冲击响应的采样值，数字滤波器的脉冲响应与模拟滤波器的脉冲响应相似。
2.脉冲响应不变法的设计过程（1）以时间间隔t对模拟滤波器的单位冲击响应进行采样，得到数字滤波器的冲击响应h(n)。
（2）通过Z变换映射，将s平面的左半平面映射为z平面的单位圆内。
因此，一个因果的和稳定的模拟滤波器可以映射成因果的和稳定的数字滤波器。
三、IIR数字滤波器的应用1.语音信号处理：IIR数字滤波器在语音信号处理中具有广泛应用，可以用于去除噪声、增强语音信号等方面的处理。
2.音频采样与重构：在音频采样与重构领域，IIR数字滤波器可以用于对音频信号进行滤波处理，提高音频信号的质量。
四、MATLAB实现IIR数字滤波器设计MATLAB是一款强大的数学计算软件，可以用于实现IIR数字滤波器的设计。
在MATLAB中，可以使用现有的函数和工具箱方便地设计IIR数字滤波器，如zp2tf()、lp2lp()等。
五、总结与展望IIR数字滤波器作为一种重要的数字滤波技术，在实际应用中具有广泛的前景。
【第6章】无限脉冲响应数字滤波器的设计解读
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
式中k=0,1,2,…,(2N-1)
贵州大学计算机科学与信息学院
《 数 字 信 号 处 理 》
2N 个极点均匀分布在半径为 Wc 的圆上，间隔是
2/2N= /N .
为了形成稳定的滤波器，2N个极点中只取 s平面
左半面的N个极点构成Ha(s).
若W=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1，则
a p 10lg H a ( jW p ) ; a s 10lg H a ( jW s )
Wc称为3dB截止频率，且
2
2
2 20 lg H a ( jW c ) 3dB
低通滤波器的幅度特性
贵州大学计算机科学与信息学院
当幅度下降至 0.707 时， w=wc ，
3dB截止频率.
ap=3dB. 称 wc 为
贵州大学计算机科学与信息学院
《 数 字 信 号 处 理 》
3.数字滤波器设计方法
IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法不同.
IIR 滤波器设计方法是借助于模拟滤波器的设计
方法进行的.
IIR 滤波器的设计步骤是：首先设计模拟滤波器
《 数 字 信 号 处 理 》
第六章 IIR数字滤波器的设计
贵州大学计算机科学与信息学院
《 数 字 信 号 处 理 》
主要内容
数字滤波器的基本概念 模拟滤波器的设计 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 数字高通、带通、带阻滤波器的设计
贵州大学计算机科学与信息学院
得到传输函数 Ha(s) ，然后将 Ha(s) 按某种方法转 换成数字滤波器的系统函数H(z).
无限脉冲响应数字滤波器的设计
a
27
只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即：
Ha(j)0
| |
T
s 2
才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响 应，而不产生混叠失真，即
H(ej)Haj T ,||<
但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后 就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时 数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。
17
a
18
a
19
例 已 知 通 带 截 止 频 率 fc=5kHz ， 通 带 最 大 衰 减 Rp=2dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz ， 阻 带 最 小 衰 减 As=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
解 (1) 求阶数N
Nlg(1 1 0 0 0 0 ..1 1 R A s p 1 1)/2lg( sp t)4.25 , 取 N5
c p / 2N 100.1Rp 1 c s / 2N 100.1As 1
总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据技术指标Ωp,Rp,Ωst和As，求出滤波器的阶数N。 (2)确定滤波器极点。 (3)确定系统函数Ha(s)。
a
16
表 巴特沃斯归一化低通滤波器参数
查P370 表7.2 7.3a7.4
设计方法: 先设计模拟低通滤波器，再通过频率变换的方法将低通滤波 器转换为其它类型的滤波器。
a
7
H a (jΩ)
H a (jΩ)
低通
高通
0
Ω0
Ω
H a (jΩ)
H a (jΩ)
数字信号处理--第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计
1 0 0.1a p 1 k sp 1 0 0.1as 1 0 .0 2 4 2
sp
2 2
fs fp
2.4
N lg 0.0242 4.25, N 5 lg 2.4
2019/10/17
数字信号处理
(2) 按照(6.2.12)式，其极点为
j3
s0 e 5 ,
滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2(Ω)表示：
A2()Ha(j)2 12C1N 2( p)
(6.2.19)
2019/10/17
数字信号处理
2019/10/17
图6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性
数字信号处理
式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的 程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp称为通带截止频率。 令λ=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率。CN(x)称为N阶切 比雪夫多项式，定义为
数字信号处理
2019/10/17
数字信号处理
2019/10/17
数字信号处理
例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减 αp=2dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz ， 阻 带 最 小 衰 减 αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
解 (1) 确定阶数N。
(6.2.3) (6.2.4)
以上技术指标用图6.2.2表示。图中Ωc称为3dB截止 频率，因 H a (j c ) 1 /2 , 2 0 lg H a (j c ) 3 d B
2019/10/17
数字信号处理
2019/10/17
图6.2.2 低通滤波器的幅度特性
数字信号处理
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
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H (e j ) H ( e j ) e j ( )
如图所示。滤波器的主要性能指标（以低通滤波器为例）如下： （1）频带：包括通带、过渡带、阻带。 （2）误差：通带和阻带误差
H (e j )
1 p 1 1 p
过 渡 带 通带 阻带
p s
s
0
3. 数字滤波器设计方法概述
ze
sT
(6.3.6)
(6.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这
种映射关系。设
s j z re j
按照(6.3.6)式，得到:
re j e T e jT
因此得到:
r e T T
(6.3.10)
我们由三方面说明这个关系
σ=0,r=1 σ<0,r<1 σ>0,r>1 另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成
H ( z)
i 1
N
Ai 1 e siT z 1(6.3.4)源自二、S平面和Z平面之间的映射
H a ( s) h(n)e snT h(n) z n
n n
^
z esT
H ( z ) z esT
上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变
换之间的映射关系可用下式表示：
6.3 用脉冲响应不变法设计IIR 数字低通滤波器
为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转 换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍 是因果稳定的。 (2) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，
s 平面的虚轴映射 z 平面的单位圆，相应的频率之间成
线性关系。
（设采样周期为 ）
将系统函数 用部分分式法展开
4 8 1 1 H (s) ( ) 5 3 s 0.5 s 2 2 s s 1 2
模拟滤波器的极点 S1=-0.5,S2=-2 因此，相应数字滤波器的系统函数为
8 1 1 H ( z) ( ) 3 1 e 0.5Ts z 1 1 e 2Ts z 1
2 M )T T
esT e T e jT e T e
j (
, M 为任意整数
z=esT,s平面与z平面之间的映射关系
图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象
例
若模拟滤波器的系统函数为
H ( s)
2s s 5s 6
2
试用脉冲响应不变法求相应的数字滤波器的系统函数。
6.1 数字滤波器的基本概念
1. 数字滤波器的分类 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响 应分类，可以分成无限脉冲响应 (IIR) 滤波器和有限脉
冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：
H ( z)
N 1 n 0
M
1 ak z k
k 1
r 0 N
br z r
且与上述两种滤波器相比，过渡带的下降斜度更大。
一般来说，对于指定的滤波器指标（阶数与波纹），椭 圆滤波器能以最低的阶数实现。椭圆滤波器的幅频响 应平方函数如下：
H ( j)
2
Jacobian椭圆函数
1 1 U ( ) c
2 2 N
通带波纹0.3dB、阻带波纹10dB的椭圆低通滤波器幅频响应平方函数
1.巴特沃斯低通滤波器的设计方法
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2用下 式表示：
1 H a ( j) 1 ( )2 N c
2
(6.2.6)
2、切比雪夫滤波器
切比雪夫滤波器有两种类型：
切比雪夫Ⅰ型滤波器的特点是在通带内有等波纹变化，阻 带内单调下降。
切比雪夫Ⅱ滤波器的特点是在通带内单调下降，阻带内有 等波纹变化。
si nt ha (t ) Ae u (t ) i i 1 N
N
变换得到ha(t)：
(6.3.2)
式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，
采样间隔为T，得到：
si nT h(n) ha (nT ) Ae u(nT ) i i 1 N
(6.3.3)
对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：
一、由Ha(s)求相应的H(z)
设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激 响应是ha(t) Ha ( s) LT [ha (t )] 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式
的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表
示：
Ai (6.3.1) s si i 1 式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏 H a ( s)
IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。 IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是 借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是： 先设计模拟滤波器得到传输函数 Ha(s)，然后将Ha(s)按 某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。
6.2 模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟， 且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯 (Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭 圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波 器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人 员使用。
6.4 用双线性变换法设计IIR数字 低通滤波器
正切变换实现频率压缩：
2 1 tan( 1T ) T 2
波纹系数为0.5dB的切比雪夫Ⅰ低通滤波器的幅频响应平方函数
阻带衰减10dB的切比雪夫Ⅱ低通滤波器的幅频响应平方函数
切比雪夫Ⅰ滤波器与巴特沃兹滤波器过渡带的比较
在具有相同阶数 的情况下，切比雪夫滤波器与巴特沃兹 滤波器相比，具有较窄的过渡带
3、椭圆滤波器 椭圆滤波器的特点是幅度频率响应在通带和阻带内均为 等波纹的。
H ( z ) h(n ) z n
低通
H (e j )
2π
π
高通
0
π H (e j )
2π
2π
π
带通
0
π H (e j )
2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
2π
2π
π
0
π
2π
理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
2 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。 假设数字滤波器的传输函数H(e jω)用下式表示：