无限脉冲响应数字滤波器的设计

一、由Ha(s)求相应的H(z)
设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激 响应是ha(t) Ha ( s) LT [ha (t )] 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式
的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表
示：
Ai (6.3.1) s si i 1 式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏 H a ( s)
H ( z)
i 1
N
Ai 1 e siT z 1
(6.3.4)
二、S平面和Z平面之间的映射
H a ( s) h(n)e snT h(n) z n
n n
^
z esT
H ( z ) z esT
上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变
换之间的映射关系可用下式表示：
6.3 用脉冲响应不变法设计IIR 数字低通滤波器
为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转 换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍 是因果稳定的。 (2) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，
s 平面的虚轴映射 z 平面的单位圆，相应的频率之间成
线性关系。
ze
sT
(6.3.6)
(6.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这
种映射关系。设
s j z re j
按照(6.3.6)式，得到:
re j e T e jT
因此得到:
r e T T
(6.3.10)
我们由三方面说明这个关系
σ=0,r=1 σ<0,r<1 σ>0,r>1 另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成
6.1 数字滤波器的基本概念
1. 数字滤波器的分类 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响 应分类，可以分成无限脉冲响应 (IIR) 滤波器和有限脉
冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：
H ( z)

N 1 n 0
M
1 ak z k
k 1
r 0 N
br z r
1.巴特沃斯低通滤波器的设计方法
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2用下 式表示：
1 H a ( j) 1 ( )2 N c
2
(6.2.6)
2、切比雪夫滤波器
切比雪夫滤波器有两种类型：
切比雪夫Ⅰ型滤波器的特点是在通带内有等波纹变化，阻 带内单调下降。
切比雪夫Ⅱ滤波器的特点是在通带内单调下降，阻带内有 等波纹变化。
si nt ha (t ) Ae u (t ) i i 1 N
N
变换得到ha(t)：
(6.3.2)
式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，
采样间隔为T，得到：
si nT h(n) ha (nT ) Ae u(nT ) i i 1 N
(6.3.3)
对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：
6.4 用双线性变换法设计IIR数字 低通滤波器
正切变换实现频率压缩：
2 1 tan( 1T ) T 2
H ( z ) h(n ) z n
低通
H (e j )
2π
π
高通
0
π H (e j )
2π

2π
π
带通
0
π H (e j )

2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
2π

2π
π
0
π
2π

理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
2 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。 假设数字滤波器的传输函数H(e jω)用下式表示：
（设采样周期为 ）
将系统函数 用部分分式法展开
4 8 1 1 H (s) ( ) 5 3 s 0.5 s 2 2 s s 1 2
模拟滤波器的极点 S1=-0.5,S2=-2 因此，相应数字滤波器的系统函数为
8 1 1 H ( z) ( ) 3 1 e 0.5Ts z 1 1 e 2Ts z 1
且与上述两种滤波器相比，过渡带的下降斜度更大。
一般来说，对于指定的滤波器指标（阶数与波纹），椭 圆滤波器能以最低的阶数实现。椭圆滤波器的幅频响 应平方函数如下：
H ( j)
2
Jacobian椭圆函数
1 1 U ( ) c
2 2 N
通带波纹0.3dB、阻带波纹10dB的椭圆低通滤波器幅频响应平方函数
H (e j ) H ( e j ) e j ( )
如图所示。滤波器的主要性能指标（以低通滤波器为例）如下： （1）频带：包括通带、过渡带、阻带。 （2）误差：通带和阻带误差
H (e j )
1 p 1 1 p
过 渡 带 通带 阻带
p s
s
0


3. 数字滤波器设计方法概述
2 M )T T
esT e T e jT e T e
j (
, M 为任意整数
z=esT,s平面与z平面之间的映射关系
图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象
例
若模拟滤波器的系统函数为
H ( s)
2s s 5s 6
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
试用脉冲响应不变法求相应的数字滤波器的系统函数。
IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。 IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是 借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是： 先设计模拟滤波器得到传输函数 Ha(s)，然后将Ha(s)按 某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。
6.2 模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟， 且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯 (Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭 圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波 器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人 员使用。
波纹系数为0.5dB的切比雪夫Ⅰ低通滤波器的幅频响应平方函数
阻带衰减10dB的切比雪夫Ⅱ低通滤波器的幅频响应平方函数
切比雪夫Ⅰ滤波器与巴特沃兹滤波器过渡带的比较
在具有相同阶数 的情况下，切比雪夫滤波器与巴特沃兹 滤波器相比，具有较窄的过渡带
3、椭圆滤波器 椭圆滤波器的特点是幅度频率响应在通带和阻带内均为 等波纹的。