导学案008指数与指数函数

指数与指数函数

考纲要求

1.了解指数函数模型的实际背景．

2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．

4.知道指数函数是一类重要的函数模型. 考情分析

1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．

2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．

3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题的形式出现. 教学过程

基础梳理

1．根式 (1)根式的概念

如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若 ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n

a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)根式的性质

①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号n

a 表示．

②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的

n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n

a 表示．正负两个n 次方根可以合写为±n

a (a ＞0)． ③⎝ ⎛⎭

⎪⎫

n a n ＝

④当n为奇数时，n

a n＝；

当n为偶数时，n

a n＝ |a|＝

⎩

⎨

⎧a a≥0

－a a＜0

.

⑤负数没有偶次方根．

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正整数指数幂：a n＝a·a·…·a n个 (n∈N*)；

②零指数幂：a0＝1(a≠0)；

③负整数指数幂：a－p＝1

a p

(a≠0，p∈N*)；

④正分数指数幂：a m

n

＝

n

a m(a＞0，m、n∈ N*，且n＞1)；

⑤负分数指数幂：a－m

n

＝

1

a

m

n

＝

1

n

a m

(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的性质

①a r a s＝ (a＞0，r、s∈Q)

②(a r)s＝ (a＞0，r、s∈Q)

③(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

y＝a x a＞10＜a＜1 图象

定定义域R

值域

性质过定点

1．(教材习题改编)化简[(－2)6]

1

2

－(－1)0的结果为 ( )

A ．－9

B ．7

C ．－10

D ．9

2．(2011·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6

的值为( )．

A ．0 B.

33

C ．1 D. 3

3．(2012·洛阳模拟)函数y ＝lg(1－x )的定义域为A ，函数y ＝3x 的值域为B ， 则A ∪B ＝ ( )

A ．(0,1)

B ．(1,3)

C ．R

D ．∅

4．若函数f (x )＝

1

2x

＋1

，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )． A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值

D ．单调递增有最大值

5．(2011·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

15log 30.3，则( )．

A ．a ＞b ＞c

B ．b ＞a ＞c

C ．a ＞c ＞b

D ．c ＞a ＞b

________.

典例分析

考点一 、指数幂的化简与求值

【例1】►化简下列各式(其中各字母均为正数)．

(1)

a 23·

b －1－12·a －12·b 13

6

a ·

b 5

；

(2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12. 变式1. 计算：

(1)0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2791

2－()2－10；

(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1

2

·4ab －1

3

0.1－2

a 3

b －3

12

.

：

化简结果要求

(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；

(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；

(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂．

考点二、指数函数的性质

【例2】►已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x

－1＋12·x 3(a ＞0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的奇偶性；

(3)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． 变式2. 设f (x )＝

e －x a

＋

a e －x

是定义在R 上的函数．

(1)f (x )可能是奇函数吗？

(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性．

：

(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f (－x )±f (x )，

f x f －x

来判断．