分部积分法(二)

微积分II Calculus II

§6.1 不定积分的概念和性质§6.2 积分基本公式

§6.3 换元积分法

第六章

不定积分§6.4 分部积分法

6.4 分部积分法（二）

(cos )x e x dx

'=−⎰cos x e xdx

+⎰(sin )x e x dx

'+⎰ sin x e xdx −⎰()1sin cos 2x e x x C =−+sin x e xdx ⎰cos x e x =−sin x e x +cos x e x =−于是

sin x e xdx ⎰cos x e x =−一例题讲解

例

在用分部积分法求不定积分时,常出现如下情形:

()()() (1)f x dx g x k f x dx k =+≠⎰⎰()f x dx ⎰1

().1g x C k =+

−说明

sec (tan )x x dx '=⎰2sec tan x xdx −⎰()2sec tan sec sec 1x x x x dx =−−⎰sec tan x x =3sec tan sec ln sec tan x x xdx x x =−++⎰()1

sec tan ln sec tan 2x x x x C =+++3sec xdx

⎰2sec sec x xdx =⋅⎰()3sec tan sec sec x x x x dx

=−−⎰3sec xdx ⎰例

说明

解2, x t =2t te dt =⎰()21t e t C =−+()21x e x C

=−+ 2dx tdt

=, x t =令x e dx ⎰2()t t e dt

'=⎰2()t t te e dt =−⎰x

e dx ⎰

sin 1cos x x dx x ++⎰22cos 2dx

x

=⎰tan 2x x =22cos 2x dx x =⎰2sin 2cos 2

x dx x +⎰(tan )2x x dx '=⎰2

2sin cos 222cos 2x x dx

x

+⎰tan 2x dx −⎰tan 2x

dx +⎰tan 2x

x C =+

2(1)x xe dx e +⎰2(1)x x x de e =+⎰11x xd e =−+⎰11

11x x x dx

e e =−⋅+++⎰111x x

x x x e e dx e e +−=−+++⎰111x

x x x e dx e e =−+−++⎰ln(1)1x

x x x e C e =−+−+++