吉林大学研究生数值计算方法期末考试样卷

1.已知

ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8 329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差

2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值

3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值

(1)

(2)

3()1(2)(2)(3)

310

N x x x x x x x

=+--+--

4.给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton 插值多项式,并由此计算f(0.596)的值

解：

5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值

6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。

(a)

(b)

7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形

求积公式计算积分2

1

4

dx

x+

⎰

所需的步长h，

使得精度达到

5 10-。

8.求A、B使求积公式

⎰-+-++-≈1

1)]

21

()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的

代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求⎰

=2

1

1

dx

x I (保留四位小数)。

9.已知

分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3

x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。

10.已知

求)(x f 的二次拟合曲线)(2

x p ，并求)0(f '的近似值。

11.已知x sin 区间[0.4

，0.8]的函数表

如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。 12. 利用矩阵的LU 分解法解方程组

⎪⎩

⎪

⎨⎧=++=++=++20

53182521432321321321x x x x x x x x x 。 13.已知下列实验数据

试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

14. 取节点1,5.0,02

1

===x x x ,求函数x

x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式)(2

x P ,并估计误差。 15. 数值积分公式形如

⎰'+'++=≈1

)1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高；（2）设]1,0[)(4

C x f ∈，推导余项公式

⎰-=1

)

()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。

16. 已知数值积分公式为：

)]

()0([)]()0([2

)(''20

h f f h h f f h

dx x f h

-++≈⎰λ，

试确定积分公式中的参数λ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 17. 以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton 插值方法：差分表：

18用复化Simpson 公式计算积分

()⎰=1

0sin dx x x I 的近似值，要求误差限为

5

105.0-⨯。

19. 取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分

2

201

12+⎰dx x 的近似值（保留4位小数）。

20.确定求积公式

(

)(

)(1

1158059f x dx f f f -⎡⎤≈++⎣

⎦⎰ 的代数精度，它是Gauss 公式吗？

21·. 给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及

二次插值计算54.0ln 的近似值。

22.给出

900,cos ≤≤x x 的函数表，步长

)60/1(1='=h ，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求x cos 近似值时的总误差界。

23. 求一个次数不高于4次的多项式)(x P ，使它满足0)0()0(='=P P ，1)1()1(='=P P ，1)2(=P 。 24.. 给定数据表：5,4,3,2,1=i ，

求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 25.如下表给定函数：4,3,2,1,0=i ，

试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。

26. 用最小二乘法求一个形如2bx

a

y+

=的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

27.观测物体的曲线运动，得出以下数据：

28. 单原子波函数的形式为

bx

ae

y-=，试

按照最小二乘法决定参数a和b，已知数据如下：

29. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

（1）⎰+10

2

4dx

x

x ；

30. 用矩阵的直接三角分解法求解方程组：

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7173530103421101002014321x x x x 。