科学与工程计算2011-12上学期试题

学院_______________学号 姓名

课程代码：11-000003-102-17 课程名称：科学与工程计算

一、 （10分）考虑下面对流-扩散方程

2212 0<1,0 (,0)=() 0<1(0,)(t), 0 (1,)(), 0

u u u x t t x x u x f x x u t g t u t g t t ⎧∂∂∂+=<>⎪∂∂∂⎪⎪<⎨⎪=>⎪=>⎪⎩ 请写出一个无条件稳定的二阶精度的差分格式。

二、 （10分）考虑下面对流方程

1()02(,0)()

u u x t x u x f x ∂∂⎧+-=⎪∂∂⎨⎪=⎩ 请写出迎风格式。

三、 （15分）讨论扩散方程22u u t x

∂∂=∂∂ 的差分格式

1111121()22n n n n n n j j j j j j u

u u u u u h

τ++-+--+-+= 的稳定性。 四、 （15分）考虑对流方程

0u u t x

∂∂+=∂∂ 的差分格式 111011n n n n j j j j u C u C u C u +--+=++

试确定差分格式中的系数101,,C C C -，使得此格式具有尽可能高的精度。

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课程代码：11-000003-102-17 课程名称：科学与工程计算

五、（30分）考虑下面两点边值问题

221, 0<<1 (0)=0,(1)=0d u x dx u u ⎧-=⎪⎨⎪'⎩

（1）（8分）写出Galerkin 变分形式与Ritz 变分形式。

（2）（7分）在二次函数空间中，计算变分问题的近似解。

（3）（10分）对区间[0，1]二等分，即 01210,,12

x x x === ， 对此划分用线性元求近似解。

（4）（5分）原问题中把左边界条件改为(0)1,u =其他不变，重复（3）。

六、（20分）考虑扩散方程

22u u t x

∂∂=∂∂ 的差分格式

111111112(2)(1)(2)

n n n n n n n n j j j j j j j j u u u u u u u u h θθτ++++-+-+--++--+=

确定θ 的值使得格式的截断误差为 22()O h τ+,并讨论此时格式的稳定性.