导数的概念(二)—瞬时速度

课 题： 3．1导数的概念（二）—瞬时速度

教学目的：

1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义.

2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．

3.理解足够小、足够短的含义

教学重点：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度.

教学难点：理解物体的瞬时速度的意义

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

我们物理中学习直线运动的速度时，已经学习了物体的瞬时速度的有关知识，现在我们从数学的角度重新来认识一下瞬时速度

教学过程：

一、复习引入：

１．曲线的切线

如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线

2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：

因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即

tan α=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x 0x

∆ 二、讲解新课：

1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.

2. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：

要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.

当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了.

我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s =s (t )，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：

位移为Δs =s (t 0+Δt )－s (t 0)(Δt 称时间增量)

平均速度t

t s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.

现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度

瞬时速度t

t s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(lim lim 0000 所以当Δt →0时，平均速度的极限就是瞬时速度三、讲解范例：

例1物体自由落体的运动方程s =s (t )=

21gt 2，其中位移单位m ，时间单位s ，g =9.8 m/s 2. 求t =3这一时段的速度.

解：取一小段时间［3，3+Δt ］，位置改变量Δs =21g (3+Δt )2－21g ·32=2

g (6+Δt )Δt ，平均速度2

1=∆∆=t s v g (6+Δt )

瞬时速度m/s 4.293)(2

1lim lim 00==∆+==→∆→∆g t t g v v t t 由匀变速直线运动的速度公式得v =v 0+at =gt =g ·3=3g =29.4 m/s

例2已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，

(1)当t =2，Δt =0.01时，求t

s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求t

s ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度. 分析：Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，

t s ∆∆即平均速度，当Δt 越小，求出的t

s ∆∆越接近某时刻的速度. 解：∵t

t t t t t s t t s t s ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)32(3)(2)()(22=4t +2Δt ∴(1)当t =2，Δt =0.01时，t

s ∆∆=4×2+2×0.01=8.02 cm/s (2)当t =2，Δt =0.001时，t

s ∆∆=4×2+2×0.001=8.002 cm/s (3)v =0

0lim lim →∆→∆=∆∆t t t s (4t +2Δt )=4t =4×2=8 cm/s 四、课堂练习：

1.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s

t

∆→∆∆为（ ）

Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度

2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s =s (t )=t 2(位移单位：m ，时间单

位：s)，求小球在t =5时的瞬时速度

解：瞬时速度v =22

00(5)(5)(5)5lim lim t t s t s t t t

∆→∆→+∆-+∆-=∆∆ 0

lim t ∆→=(10+Δt )=10 m/s. ∴瞬时速度v =2t =2×5=10 m/s.

3.质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，求质点M 在t =2时的瞬时速度.

解：瞬时速度v =t

t t s t s t t ∆+⋅-+∆+=∆-∆+→∆→∆)322(3)2(2lim )2()2(lim 2200 =0

lim →∆t (8+2Δt )=8 cm/s. 点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景

五、小结 ：这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式瞬时速度v =t t ∆→∆ 六、课后作业： 1. 七、板书设计（略）

八、课后记：