西安电子科技大学数值分析

题目要求
1. 编制条件如图所示，用差分法求区域内的电压值。

0v
10v
0v
0v
0v
0v
解：由题意，我们将不规则部分补全，并进行等效处理，如下图结果所示，图示给出的是对整体补全后做3*3 的有限差分结果，当然网格化点数可以根据需要做改变，这里只是体现方法，故只取了 9 个点。

8
7
6 a11o a12=10v o-inf
5
4 a21o a22=0v o a23=0v
3
2 a31o a32o a33
1
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
根据拉普拉斯 5 点差分原理，可知得到关于电压变量 a
(i, j 1, 2, 3) 的
i , j
方程如下：
4a 1,1 a 2,1
10;
a 1,1 4a 2,1 a 3,1 0; a 2,1 4a 3,1 a 3,2 0; a 3,1 4a 3,2 a 3,3 0; a 3,2 4a 3,3
0.
4 1 0 0 0 10 1 4 1 0
0 0 写成矩阵的形式： Ax b ; 其中， A 0 1 4 1
0 ， b 0 。

0 0 1 4
1 0
编写程序可以求得
0 0
1 4
a , a , a , a , a , 2.679
0.718
0.192
0.0513 0.013
2. 在区域一边有个源，边界为 PML 边界，用 FDTD 法求所研究区域的场分布。

建模说明：二维 TE 波在空间传播，采用 PML 边界吸收，点辐射源验证。

FDTD 基本差分方程
Yee 采用矩形网格进行空间离散，将每个节点进行编号，节点的编号和其空 间坐标位置按照下面的方式对应起来
()(),,,,i j k i x j y k z =∆∆∆ (2-1) 而该点的任意函数()x,y,z,F t 在时刻n t ∆的值可以表示为：
()(),,,,,n F i j k F i x j y k z n t =∆∆∆∆ (2-2)
式中x ∆、y ∆、z ∆分别为沿,,x y z 方向上离散的空间步长，t ∆是时间步长。

Yee 采用中心差分来代替对时间和空间的微分，具有二阶精度 ()()()()()
2
,,1/2,,1/2,,n n n F i j k F i j k F i j k x x x
ο∂+--=+∆∂∆ （2-3）
()()()()(
)
1/21/22
,,,,,,n n n F i j k F i j k F i j k t t t ο+-∂-=+∆∂∆ (2-4)
按照式（2-3）和式（2-4），由Maxwell 得差分方程如式（2-5）和式（2-6），其它场量差分格式与此类似。

()()()()()()()()()
11/2,,121/2,,11/2,,1/2,,1/2,,1/2,,1/2,,1121/2,,21/2,,n n x x i j k t i j k t E i j k E i j k i j k t i j k t i j k i j k i j k σεσσεεε++∆-
+∆+=⨯++⨯+∆+∆+++++
()()()()1/21/21/21/21/2,,1/21/2,,1/21/2,1/2,1/2,1/2,n n n n y y z z H i j k H i j k H i j k H i j k y z ++++⎡⎤
++-+-++-+--⎢⎥
∆∆⎢⎥⎣⎦
（2-5）
()()()()()()()()()
1/21/2,1/2,1/212,1/2,1/21
,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2112,1/2,1/22,1/2,1/2n n x x i j k t i j k t H i j k H i j k i j k t i j k t i j k i j k i j k ρμρρμμμ+-++∆-
++∆++=⨯+++⨯
++∆++∆++++++++
()()()(),1/2,1,1/2,,1,1/2,,1/2n n n n y y z z E i j k E i j k E i j k E i j k z y ⎡⎤
++-+++-+-⎢⎥∆∆⎢⎥⎣⎦
（2-6）
在Yee 的差分格式里，每个网格上各场分量的新值依赖于该点在前一时间步长时刻的值及该点周围邻近点上另一场量的场分量早半个时一间步长时刻的值。

因此，在任一给定时刻，场分量的计算可一次算出一个点，或者采用p 个并行处理器一次算p 个点(并行算法)。

通过这些基本算法，逐个时间步长对模拟区域各网格点的电磁场交替进行计算，在执行适当的时间步数后，即可获得需要的时域数值结果，称这种差分格式为蛙跳格式。

1.4
50
1.2
1
100
0.8
150
0.6
0.4
200
0.2
250
50
100 150 200 250
-0.2
图中给出了当入射波为 TE 波时，所研究区域（2-D ）的磁场分布情况。

3.矩量法程序
<1>矩量法（Method of Moments, MoM ）是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法，对求解微分方程和积分方程均适用。

<2>矩量法包括如下三个基本过程：
（1）离散化过程 主要目的是将算子方程化为代数方程，具体步骤是：①在算子L 定义域内适当的选择一组线性无关的基函数n f ；②将待求函数f 表示为该组基函数的线性组合；③利用算子的线性，将算子方程化为代数方程。

（2）取样检测过程 主要目的是将求解代数方程的问题转化为求解矩阵方程的问题。

基本步骤是：①在算子L 的值域内适当的选择一组线性无关的权函数m W ；②将m W 与代数方程取内积进行N 次抽样检验；③利用算子的线性和内积的性质，将
N 次抽样检验的内积方程化为矩阵方程。

（3）矩阵求逆过程
具体过程如下：
算子方程：()
()()
22
','''4''a b
a b
x y dx dy U x x y y ρπε
--=-+-⎰
⎰
，其中U 为常数
将研究区域D 分成N 个单元n S ，2244a a
b b N N
=⇒=
，b 为单元边长 取()(),1,,n n f x y x y S =∈，其余为零
采样函数：()()m m m w x x y y δδ=--
1
N
n n n a f ρ==∑，带入算子方程，求内积。

即
()()()()()(),221
''4''n n n n a
b
x b y b
mn m n m m a b x b y b
L w L f x x y y dx dy dxdy U x x y y δδπε++----⎡⎤
⎢⎥==--=⎢⎥-+-⎣
⎦
⎰⎰⎰⎰
,m m g w U U ==
[][][]mn n m LA G L a g =⇒=
[]()()()()
()()()()()()()()
()()()()1,11,21312,12,22323,13,2333,1,23,,,,,,,,,,,,n n mn n m m m m n w L f w L f w L f w L f w L f w L f w L f w L f L w L f w L f w L f w L f w L f w L f w L f w L f ⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
[]123n n a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，[]123m m g g g g g ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。