杨辉三角

这就是著名的斐波那契数列
……
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则在兔子繁殖问题中从上而 下的一列数1，1，2，3，5， 8，13，„，正好是刚生的 兔子，第一个月后的兔 子．第二个月后的兔了，第 三个月后的兔子，„个月后 的兔子的对数． 我们把满足条件:a1=a2=1,an+2=an+1+an的数列{an}称为斐波 那契数列.其通项公式为: 1 1 5 n 1 5 n an [( ) ( ) ]. 2 2 5 由条件中的递推式知,斐波那契数列中的各项均是 整数,那么你能否证明满足 1 1 5 n 1 5 n 的数列{an}的各项均是整数? an 5 [( 2 ) ( 2 ) ]
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5.“杨辉三角”与“莱布尼茨三角形”
1 r Cn 地换成 (n 1)Cnr ,得到一个只 将杨辉三角中的每个数
有单位分数组成的三角形,称为莱布尼茨三角形,莱布 尼茨三角形又许多性质，这里仅介绍一条 1
每行的数字都等于左右“两足”的数字和
1 1 1 r r r 1 (n 1)Cn (n 2)Cn 1 (n 2)Cn 1
C C
r r
r r 1
C
r r 2
... C
r n 1
C
r 1 n
(n>r)
结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上到左下)上前n个数字 的和，等于第m+1条斜线上第n个数
即
C C
r r
r r 1
C
r r 2
... C
r n 1
C
r 1 n
(n r )
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1 5
1 6
1 2
1
1 2
1 3 1 4
1 6
1 30
1 20
1 12 1 60
1 30
1 12 1 60
1 3
1 20
1 4
1 30
1 5
1 6
注：莱布尼兹(Gottfriend Wilhelm Leibniz,16461716)是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理 学家和哲学家,一个举世罕见的科学天才。
本积
《 九 章 算 术 》 杨 辉
商实
平方 立方
三乘
四乘 五乘
《详解九章算法》中记载的表
１ １ １ 1 1 1 5 4 10 …… 1 1
r 1
１ ２ １ 3 6 10 4 5 1
杨辉三角与 二项式定理
3
1 1
c
1 n
1 n 1
c
2 n
2 n 1
…
Leabharlann Baidu
c
c
…
c c r cn
n 1
r n 1
新课教学 4.“杨辉三角”与“纵横路线图”
“纵横路线图” 是数学中的一类有趣的问题，中小学的 数学中时有出现,图1是某城市的一部分街道图，纵横各有 五条路如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那 么有多少种不同的走法？我们把图1稍加转动，使A在正上 方，B在正下方，然后在图1的交叉点标上相应的杨辉三角 数，其数阵就是图2的菱形数表． 有趣的是，B处位置所对应 的杨辉三角数，正好就是本 题的答案70． 杨辉三角中的数，都是一些 组合数，这些数无论在初等 数学或高等数学中，都有着 广泛的应用．关于它的性 质．则是重要的数学分支— —“组合数学”的研究对象 .
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6.华罗庚与杨辉三角的研究 华罗庚（1910-1985）是一位具有世界声誉 的数学家，我国进入世界著名数学行列最 杰出的代表。撰写10部专著、200篇论文和 10余部科普著作。由于他的贡献，有许多 定理、引理、不等式与方法等都用他的名 字命名．在他的科普著作《从杨辉三角谈 起》中，对杨辉三角的构成，提出了许多 有趣的看法． 杨辉三角是数学之花，是中国古代数学得伟大成就。它有许多 有趣的性质和用途。本节课所介绍的几个问题不过只是管中窥 豹而已。同学们有兴趣的话可以找相关得专著来看。
… …
c
n 3 n 1
c
n 2 n 1
1
c
n2 n
c
n 1 n
1
( 求证：a b)
n
C a C a b ... C a b ... C b
0 n n
0 k k 1 k 1 1 k
k 1
1 n 1 1 n
r nr r n
n n n
1)当n=1时，左边＝a+b, 右边＝a+b 所以等式成立． 证明： 2）假设当n=k时等式成立，即
r n
C
n! r !g n r )! (
2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等 于它肩上的两个数字相加，也就是 C r C r 1 C r
3）杨辉三角具有对称性
C C
r n
n
n 1
n 1
n r n
4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项 式系数即
(a b) C a C a b ... C a b ... C b
2.斐波那契“兔子繁殖问题”
中世纪意大利 数学家斐波那 契(Fibonacci) 的传世之作《 算术之法》中 提出了一个饶 有趣味的问题：假定一对刚出 生的兔子一个月就能长成大兔 子，再过一个月就开始生下一 对小兔子，并且以后每个月都 生一对小兔子．设所生一对兔 兔子繁殖问题也可以从杨辉 子均为一雄一雌，且均无死 三角得到答案： 亡．问一对刚出生的小兔一年 1，1，2，3，5，8，13，21， 内可以繁殖成多少对兔子？ ? 34，．．．
新课教学 3. 杨辉三角与高尔顿钉板
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色 ) 向容 器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到 第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落， 如是，一直下跌，最终小球落入底层， 根据具体区域获得奖品。试问:哪边的 奖品会比较高档？
分析：弹子从每一通道通过时可能情况是：它 选择左右两通道可能性是相等的，而其他任一 个通道的可能情形，应等于它左右肩上两个通 道的可能情形的和。可以设想，第1层只有１ 条通道，通过的概率是: 1；第2层有２条通道， 每条通过的概率依次是:1/2,1/2；第3层有3个 通道，每条通过的概率从左到右依次 是:1/4,2/4,1/4；第4层各通道通过的概率从 左到右依次是:1/8,3/8,3/8,1/8；照这样计算 第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率 将是多少？
C a C a b ... C a b ... C ab
k
Ck0 a k b L Ckr a k r br 1 ... Ckk 1abk Ckk bk 1
k－1 k
r 1 k r b 1 k
1 = Ck0 a k +1 + (Ck Ck0 )a k b +...+ (Ckr +1 Ckr )a k r bb+1 +
n 0 n n
1 n 1 1 n
r nr r n
1 n
n n n
n
5）所有项的二项式系数之和
c c
0 n
... cn 2
n
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观察杨辉三角的图形，组成它的 数有什么排列规律么？
1. 斜行规律： 第一条斜线上：
C 61 1+1+1+1+1+1=6
第二条斜线上：
C 62 1+2+3+4+5=15 C 63 第三条斜线上： 1+3+6+10=20 4 第四条斜线上： 1+4+10=15 C 6
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“概率三角形”
1 1
1 2
1 1 4 8
2 3 4
8
1 2 1 3 4 8
1 8
通过研究可以发现第n行各概率的 分子正是杨辉三角中的数，而分母 是2 n.
英国数学家高尔顿则通过设计这样一个实验证实，如果放 入大量得球的话其最后呈现的曲线总是雷同的，也就是说 落入格中的概率分布趋向稳定。
服从正态分布
(a b) C a C a b ... C a b ... C b
k
则当n=k+1时， (a b)
0 k 1 k 1 k k
(a b) k (a b)
k k
r k r r k
k k k
1 (Ck0 a k Ck a k 1b1 ... Ckr a k r b r ... Ckk )(a b)
新课教学 如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行
1
1 1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
从第三 个数起， 任一数 都等于 前两个 数的和;
第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
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◎第1条斜线
1＋1＋1＋ ．．．＋1＝ ◎第2条斜线 1＋2＋3＋ ．．．＋ C ◎第3条斜线 1＋3＋6＋ ．．．＋C
1 Cn
1 ＝ n 1
2 ＝ n 1
C
2 n
3 Cn
4 Cn
3 ◎第4条斜线 1＋4＋10＋ ．．．＋ C n 1 ＝
...+ (C C
k k
)ab + C b
k
k k +1 k
利用组合数的重要性质可得
1 1 1 (a b)k 1 Ck01a k 1 Ck 1a k b1 ... Ckr1 a k r b r 1 ... Ckk1 b k 1
前课复习 杨辉三角的基本性质 1）表中每个数都是组合数， 第n行的第r+1个数是