重视解题后的反思

重视解题后的反思促进学生思维发展

沾益县菱角三中刘卜昌

【摘要】:孔子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆”。美籍匈牙利数学家乔治·波利亚也说：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”。解题后的反思不仅能巩固所学知识，而且能促使学生积累基本经验，促进思维的发展。本文以教学案例的分析为切入点，通过解题后不同环节的反思，促进学生思维的严密性、完整性、灵活性、广阔性和变通性思维品质的发展。

【关键词】: 解题反思思维发展

孔子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆”。学生思维能力的培养发展是初中数学的一个重要教学目标，作为一名数学教师不仅要向学生传授数学知识，培养基本技能，更要让学生养成思考问题的习惯，培养学生思考问题的能力。当前不少学生解答数学题时，在获得答案后就终止，注重的是解题结果的正确与否，不对解题的过程进行反思，解题活动只停留在表面，往往事倍功半。如果在每一次解题后都能对整个过程作自我评价、自我反思，探讨成功的经验或失败的教训，那么不仅可以促使学生积累基本经验，强化基础知识和基本技能，而且能促使学生的思维发展，收到事半功倍之效果。

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚也说：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”。解题后的反思不仅能巩固所学知识，而且能促进学生思维的发展。因此数学教师平时应培养学生注重解题后的反

思，以训练提高学生的思维能力。下面结合教学实践，谈几点认识。

一、反思解题失误，提高思维的严密性

学生解题时会出现种种失误，产生失误的根源往往是知识的零散及思维过程的不严密造成的。解题后教师应引导学生总结应该注意的方面：数学符号的处理是否恰当，数字的计算是否准确，解题过程中是否有疏漏和错误的地方，答案是否与题中隐含条件相抵触，是否有其他可能情况，是否会掉入命题者所设置的陷阱等。

例1、已知关于x 的一元二次方程.0)2(4

122=+--m x m x 问是否存在正数m ，使方程的两实根的平方和等于224？若存在，求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由。

解：假设存在正数m ，使方程的两实根21x x 、满足2242221=+x x ，由根与系数的关系得)2(421-=+m x x ，2214m x x =⋅，2122122212)(x x x x x x ⋅-+=+，即16（m-2）2-8m 2=224，解之得：m 1=10、m 2=-2（不满足m 为正数这一条件，舍去）。

许多同学会认为，到此处解题已完备，大功已告成，只要把不满足条件的-2舍去而取10，便可说明假设存在了，便不愿意或不想去想当m=10时，是否满足条件而盲目下结论造成解题失误。

事实上，当m=10时，原方程为：01008412=+-x x ，其判别式0361004

14)8(2<-=⨯⨯--=∆，0<∆，原方程无实根，何谈两实根平方和等于224？故不存在这样的正数m ，使关于x 的一元二次方程0)2(4

122=+--m x m x 的两个实根的平方和等于224。

只要在平时解题时多加反思，做到细心审题，认真检查，养成全面考

虑问题的习惯，就能有效地避免解题过程中的疏漏，克服思维的片面性，养成严谨缜密的思维品质，提高解题能力。

二、反思解题思路，提高思维的完整性

由于学生的智力差异，总有部分学生对解题的思路不求甚解，因此教师要积极引导学生回顾和整理解题思路，概括解题思想，使解题过程清晰化、思维条理化。

例2、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD。

求证：∠B=∠C，∠A=∠ADC。

因为要证明角相等，学生会依据“等边对等角”、

“三角形全等”等定理证明，而本题是一个梯形，缺少

运用上述定理所需的条件。学生通过各种尝试活动，获得

问题解答以后，教师要求学生回顾解题思路，在反思过程中，应强调证明的关键是什么。通过学生的讨论和总结得到证明的关键是将梯形转化为三角形或平行四边形，即过D作DE∥AB，交BC于点E，把等腰梯形转化为□ABED和等腰△DEC，经过这样的概括，解题思路就有条理了。此时学生根据上述归纳的证题思路很容易想出另一种添辅助线的方法，即分别从A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，把梯形分成两个直角三角形和一个矩形。

三、反思解题方法，提高思维的灵活性

学生在解题时经常会出现解题思路狭窄、方法单一等缺陷，这是学生思维灵活性差的表现，也是学生的思维创造性水平不高的表现。因此教师

应引导学生注重反思自己的解题方法，想一想本题是否还有其它解法，比较哪种解法较为简捷，进一步拓宽学生解题思路，培养思维的灵活性。

例3

D B

BMD ∠

+∠=

，求证：AB//CD.

BM

交CD 于E

，只需证出BED

B ∠=∠即可证明

AB//CD.

，只需证出0180

=∠+∠

CDB ABD ，即可证明AB//CD.

证法三：作MN//CD ，再证

MN//AB ，即可证明AB//CD.

M

作

，只需证出AB EF ⊥，即可证明AB//CD.

上面的一题四证，既巩固训练了平行线判定的四种基本方法，又有利于开阔学生思路，发展学生的求异思维，提高思维的灵活性和解题能力。

四、反思题目变式，提高思维的广阔性

在平时课堂教学中，教师应引导学生多角度、多方位地对数学原题进行改造，改变问题的条件或结论，改变其形式或内容而构造出充满生机的“新题”，在对题目的改造变化中，要保证其本质属性不变而非本质属性不常规。这样，既培养学生理解问题和解决问题的能力，又起到了提高学生思维能力、深化学生思维的作用。

例4、（1）变换叙述方式的变式，例：21-的相反数是 ，变式为相反数是2

1-的数是 。

（2）变换或部分变换问题条件或结论的变式。例：求证三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半。变式为：求证三角形的中位线所截割出的三角形与原三角形的面积之比是1：4。

（3）由特殊到一般或由一般到特殊的变式。例：直线y=2x+8经过 象限；可依次变式为直线y=ax+8(a>0)经过 象限；直线y=ax+c(a>0，c<0)经过 象限；直线y=ax+c(a>0)经过 象限；直线y=ax+c 经过 象限。这是特殊到一般的变式，反之则为一般到特殊的变式。

（4）图形的变式。例：学生作出图1底边上的高后，可变式为：作出图2-6的高。