二维拉普拉斯方程的分离变量法

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二维拉普拉斯方程的边值问题

(33)
将(33)代入方程(30),分离变量得
X ''( x) Y ''( y)
X(x) Y( y)
其中是常数。因此我们得到两个常微分方程
2
X ''(x) Y ''( y)
X (x) Y (y)
X ''(x) X (x) 0, (34) Y ''( y) Y ( y) 0, (35)
1 2 a0
(an cos n
n1
bn sin n )r0n
f ( ),
(0 2 ),
16
u(r0 , )
1 2
a0
(an
n1
cos n
bn
sin n )r0n
f ( ),
(0 2 ),
由傅里叶级数理论，知
an r0n
2
2
2
f ( ) cosnd
0
(n 0,1, 2, ),
bn r0n
求板内稳恒状态下的温度分布规律。我们用 u(x, y) 来表示板上点 (x, y) 处的温度，即
1
解下列定解问题：
uu(xxx,0)uyy
0 (0 x f (x), u(x,b)
a, 0 y g(x),
b),
u(0, y) 0, u(a, y) 0.
(30) (31) (32)
应用分离变量法，设 u(x, y) X (x)Y (y),
其通解为
R0 (r) C0 ln r D0 ,
其中C0 , D0 是任意常数。只有当 C0 0 时，函数 R0
才满足有界性条件 | R(0) | .
因此，当 0 时，问题(42) 的解为 R0 (r) D0.

二维拉普拉斯在极坐标下的形式

二维拉普拉斯在极坐标下的形式二维拉普拉斯方程简介什么是拉普拉斯方程拉普拉斯方程是一个偏微分方程，用于描述二维空间中的稳态分布。

它起源于数学物理领域，在各个科学领域都有广泛的应用，如电场、流体力学等领域。

拉普拉斯方程在二维空间中的一般形式为：∇2u=∂2u∂r2+1r∂u∂r+1r2∂2u∂θ2=0其中∇2=u rr+1r u r+1r2uθθ，u为待求函数，r为极径，θ为极角。

极坐标下的二维拉普拉斯方程拉普拉斯方程的形式取决于所选用的坐标系。

在极坐标下，二维拉普拉斯方程的形式可以简化为：1 r ∂u∂r+1r2∂2u∂θ2=0这个方程描述了在极坐标下的二维稳态分布。

其中第一项表示径向扩散，第二项表示角向扩散。

这两个项的和为零，表示在稳态下，没有外部源的情况下，物理量不随时间变化。

坐标变换与二维拉普拉斯方程的转换在某些情况下，为了简化问题求解，我们可以通过坐标变换将二维拉普拉斯方程转换到其他坐标系下。

比如，将二维拉普拉斯方程转换到极坐标系下，可以得到上述的极坐标下的二维拉普拉斯方程。

对于任意一个坐标系，我们可以利用链式法则将二维拉普拉斯算子在不同坐标系之间进行转换。

具体的变换公式如下：∇2u=1ℎ1ℎ2…ℎn(∂∂u1(ℎ2ℎ3…ℎnℎ1∂u∂u1)+∂∂u2(ℎ3ℎ4…ℎnℎ1ℎ2∂u∂u2)+⋯+∂∂u n(1ℎ1ℎ2…ℎn−1∂u∂u n))这里，u=u(u1,u2,…,u n)是一个变量的多元函数，ℎ1,ℎ2,…ℎn是坐标系的比例因子。

对于极坐标系，比例因子可以表示为ℎ1=1，ℎ2=r。

将这些值代入坐标变换公式中，即可得到极坐标下的二维拉普拉斯方程。

二维拉普拉斯方程的求解方法分离变量法二维拉普拉斯方程的求解方法非常丰富，其中一种常用的方法是分离变量法。

这种方法基于二维拉普拉斯方程的线性性质，将待求函数表示为一系列分离变量的乘积形式，然后将其代入方程，并使得方程两边的系数都等于常数，从而得到一个由常数所确定的一维方程。

chap2-4a拉普拉斯方程：分离变量法

方便；位置坐标用 (r,θ ,φ ) 表示
z P
θ φ x
r ∈[0, ∞)
θ ∈[0, π ] φ ∈[0, 2π ]
y
7
2）球坐标系下，Laplace方程的形式：
z
∇2ϕ = 0
ϕ = ϕ(r,θ ,φ )
θ y
φ
x
1 r2
∂ ∂r
(r2
∂ϕ ) + ∂r
1 r2 sinθ
∂ ∂θ
(sin θ
任意一点处的电势满足
∫ ϕ (P)− ϕ0
=
−
PG O E0
G ⋅ dl
∫ 或者
ϕ (P ) − ϕ0
=
G −E0 ⋅
G
PG dl
OG
= −E0 ⋅ x
GP x Oθ
16
ϕ (P ) − ϕ 0
=
G −E0
⋅
G x
GP x
Oθ
均
匀
电
如果选原点处的电势为零电势点，则场
ϕ
(P)
=
G −E0
⋅
G x
=
§4 拉普拉斯方程分离变量法
1
1、此类边值问题的特点： ① 如果在考察的自由电荷只出现在区域的边界
上（以面电荷的形式）；区域内不存在自由电荷； ② 区域内的电势满足方程：
∇2ϕ = 0 ——方程称为拉普拉斯（Laplace）方程
2
∇2ϕ = 0 2、求解方法：分离变量法 ① 求满足特定边界条件的拉普拉斯方程的解。 ② 区域边界上的电荷将通过边界条件反映出来。
P ϕ内 θ ϕ外
35
1）球内区域
ϕ内
=
− ε
3ε 0 + 2ε0

数学物理方法-14.3 分离变量法-laplace

t
R c1e c 2 e
nt
nt
c1 r c 2 r
n
n
r 2 R(r ) rR(r ) R(r ) 0 R( R0 )( ) f ( )
求R(r)
2
将固有值问题的特征值 n , n 0,1,2, 代入上式，
r 2 R(r ) rR(r ) n 2 R(r ) 0
其解是（Euler方程）
n
R0 C0 n 0
n
R0 0 ( ) C0 B0
u0(r, θ)
Rn C n r Dn r
n 1,2,
Rn Cn r
当r0时，r-n∞。但，r＝0处的温度不可能为无限大，所以，必须强加条件|R(0)|<∞，即令Dn=0 u n ( r , θ) n
• • • •
'' ( ) ( ) 0 ( ) ( 2 ) 周期边界条件 (1)当 0 时，方程的通解为 ( ) Ae Be 式中A与B是任意常数。这样的函数不满足周期性条件。 ( ) B0 ， (2)当 0 时， 0是特征值。 (3)当 0 时, ( ) A cos( ) B sin( ) 只有当取整数时，对所有 θ才满足周期 2 边界条件。特征值是 n , n 1,2,
0
f(x)
a
x
二维拉普拉斯方程的边值问题
• 矩形区域上的Laplace方程边值问题
2u 2u 2 2 0 (0 x a,0 y b) x y u (0, y ) 0, u (a, y ) 0 u ( x,0) f ( x), u ( x, b) g ( x)

分离变量法(二维拉普拉斯方程)

3） λ > 0 方程的通解为
Φ (θ ) = A cos λθ + B sin λθ
A 和 B 为任意常数，要满足周期为 2π ，则
λ = n (n = 1, 2, )
2
于是 Φ n (θ ) = An cos nθ + Bn sin nθ
将 λ = n 2 代入问题（6）的方程，得欧拉方程：
r R′′ + rR′ − n R = 0 它的通解为：
uxx + uyy = 0 (0 < x < a,0 < y < b),
(*)
(1)
u ( x , 0 ) = f ( x ) , u ( x , b ) = g ( x ) , (2)
u ( 0, y ) = u ( a , y ) = 0.
(3)
解：变量分离形式的试探解 u ( x ,
y ) = X ( x )Y ( y )
1 ⎧ an＝ n ⎪ π r0 ⎪ 其中 ⎨ ⎪ bn＝ 1 n ⎪ π r0 ⎩
∞
∫ ∫
2π
0 2π
f (ϕ ) cos nϕ dϕ (n=0,1,2, f (ϕ )sin nϕ dϕ (n=1,2, ).
),
0
至此，定解问题（1）－（2）得到解决。
将 an , bn 代入得
u ( r,θ ) =
1 ∴ u ( r ,θ ) = 2π
∫
2π
0
r −r f (ϕ ) 2 2 dϕ (r < r0 ) r0 + r − 2r0 r cos(θ − ϕ )
2 0 2
这个公式称为圆域内的泊松公式。
作业3：求解下述定解问题

6.2 拉普拉斯方程的分离变量法

)
QN =
U1 (1 − e
2 Nπa b
)
Nπ a b
将前式改写为
PN e
Nπ a b
+QN e
− Nπ a b
Nπ a b
= U 1e
减后式，得
(e
Nπ a b
−e
) PN = U1 e
Nπ a bBiblioteka PN = U1 (ee
Nπ a b
Nπ a b
−e
−
Nπa b
)
PN =
U1 (1 − e
− 2N π a b
YZ
∂2X ∂2 Y ∂2 Z + ZX + XY =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
（6-2-4）
方程的两侧同除以 XYZ ，得
1 ∂2 X 1 ∂ 2 Y 1 ∂ 2Z + + =0 X ∂x 2 Y ∂y 2 Z ∂y 2
每一项只能是常数。即
（6-2-5）
观察方程（6-2-5）：第一项只跟 x 有关，第二项只跟 y 有关，第三项只跟 z 有关。因此
例题：计算均匀介质区域中电位分布。基本方程：∇ 2 u = 0 ，边界条件：u
y = 0, y = b
=0，
u
x =0
= U1 sin
Nπ y ， u b
x =a
= U 2 sin
Mπ y b
y = 0, y = b
解：根据方程，解 u ( x, y ) 可以包括（6-2-21）中的所有项。根据边界条件 u 可以确定解中不含 ( A sin kx + B cos kx )(Ce ky + De − ky ) 和 ( S + Tx)(U + Vy ) 。

第二章第三节拉普拉斯方程分离变量法

3 cos 5 cos
2
1
2
3 cos

例题一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带
电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。解：以球心为原点建立球坐标系，导体壳外和壳内的电势均满足方程 2 0 ，问题具有球对称性，电势不依赖于角度θ和φ。设导体壳外和壳内的电势分别为
1 a
2 c
b R d R ， ( R R3 ) ， ( R2 R R1 )
边界条件为：（1）内导体接地 2
（2）整个导体球壳为等势体 2
R R1
1
R
0 1
Q
R R3
R R2
（3）球壳带总电荷Q，因而

R R3

1 R

bn r
n 1
Pn cos

n0
外
r R0
内
r R0
E 0 R 0 P1 cos

bn R
n 1 0
Pn cos
n0

c n R 0 Pn cos
n

n0
内

c n r Pn cos
n

n0
外 E 0 rP1 cos
n 1
cn R0
n 1 b n
R0
n2

0
nc n R 0
n 1
其解为： b n c n 0
n
1
P
内

§3拉普拉斯方程分离变量法

28
设球半径为R0，球外为真空（图2-5）。这问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0 方向的轴线，取此轴线为极轴。
29
介质球的存在使空间分为两均匀区域（1）球外；（2）球内，均没有自由电荷，因此电势
都满足拉普拉斯方程 2 0 。 1：代表球外的电势， 2：球内的电势，则
程的通解为：
38
(A0 B0 ln r)(C0 D0 )
( A r B r )(C cos D sin )
39
A0 (C0 D0 ) A r (D sin ) 40
考虑这些条件后，电势可以重写为：
V Anrn sin n.（3.30）
n
要确定待定常量 A n ，还必须用某一大曲面包围着电场存在的区域，并给定这曲面上的
§3拉普拉斯方程分离变量法
• 我们知道静电场标势所满足的泊松方程为：
2
• 其特解之一为： 1 (x ')dV
4 V r
• 有限区域分布电荷，选无限远处电势为零时的解。
1
• 对一般情况，设泊松方程的解为：
'
1
4
V
(x
r
')dV
• 则， 2 ' 0
• 泊松方程的解为拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解
两区域的通解为：
30
31
32
33
34
35
36
实际上：导体ε ，上例题取极限也可得到。例4 导体尖劈带电势V，分析它的尖角附近的电场。
37
解用柱坐标系。取 z 轴沿尖边。设尖劈以外的空间，即电场存在的空间为 0 ≤ θ ≤ 2π−α（α
为小角）。因不依赖于z ，柱坐标下的拉氏方

拉普拉斯方程的解

拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程是一种常见的偏微分方程，它在物理、工程和数学领域中具有广泛的应用。

它描述了一个无源无汇的平稳场，这意味着场在空间中没有任何源或汇。

拉普拉斯方程的解可以用于研究许多问题，如电势、温度、流体力学等。

拉普拉斯方程的一般形式如下：= 0，其中是拉普拉斯算符，是待求解的函数。

这个方程表示函数的二阶偏导数之和等于零。

在二维情况下，拉普拉斯算符为 = /x + /y。

在三维情况下，拉普拉斯算符为 = /x + /y + /z。

对于给定的边界条件，可以求解拉普拉斯方程的解。

求解拉普拉斯方程的方法有很多，其中一种常见的方法是使用分离变量法。

这种方法假设解可以表示为一系列单一变量的乘积，然后将这些分离变量带入方程进行求解。

在二维情况下，可以使用分离变量法将拉普拉斯方程转化为两个常微分方程。

例如，可以将解表示为两个单独变量的乘积：(x,y) =X(x)Y(y)，然后将其带入拉普拉斯方程进行求解。

通过适当选择边界条件，可以得到特定问题的解。

在三维情况下，使用分离变量法将拉普拉斯方程转化为三个常微分方程。

例如，可以将解表示为三个单独变量的乘积：(x,y,z) =X(x)Y(y)Z(z)，然后将其带入拉普拉斯方程进行求解。

同样地，通过适当选择边界条件，可以得到特定问题的解。

拉普拉斯方程的解具有一些重要的性质。

首先，拉普拉斯方程的解是唯一的，这意味着给定边界条件下只有一个解。

其次，拉普拉斯方程的解通常具有良好的光滑性，即在解的定义域内具有连续的偏导数。

这个特性使得拉普拉斯方程的解在物理和工程领域中更加有用。

总之，拉普拉斯方程是一个重要的偏微分方程，它在许多领域中都有广泛的应用。

求解拉普拉斯方程的方法有很多，其中一种常见的方法是使用分离变量法。

拉普拉斯方程的解具有唯一性和光滑性等重要性质。

二维拉普拉斯方程的基本解

二维拉普拉斯方程的基本解一、引言二维拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，广泛应用于物理、工程等领域。

本文将介绍二维拉普拉斯方程的基本解，包括定义、性质及求解方法。

二、定义二维拉普拉斯方程是指以下形式的偏微分方程：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=0$$其中，$u=u(x,y)$是未知函数，$x,y$是自变量。

三、性质1. 线性性：二维拉普拉斯方程是线性偏微分方程，即满足叠加原理。

2. 均匀性：若$u=u(x,y)$是二维拉普拉斯方程的解，则$cu=cu(x,y)$也是其解，其中$c$为任意常数。

3. 最大值原理：设$D$为平面上一个有界区域，如果在$D$内有一个点$(x_0,y_0)$使得在该点处的函数值最大（或最小），则该函数在整个区域内的函数值都不会超过（或低于）该点处的函数值。

4. 无穷远边界条件：当$x^2+y^2\rightarrow \infty $时，解趋近于常数。

四、求解方法1. 分离变量法假设$u(x,y)=X(x)Y(y)$，则可以将二维拉普拉斯方程化为两个一维的常微分方程：$$\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-\lambda$$其中，$\lambda$为常数。

然后分别解出$X(x)$和$Y(y)$，再将其乘起来即可得到原方程的解。

2. 用格林函数求解格林函数是指满足以下条件的函数$G(x,y;x_0,y_0)$：（1）在$x\neq x_0$或$y\neq y_0$时，它满足二维拉普拉斯方程；（2）在$x=x_0$且$y=y_0$时，它满足以下边界条件：$$G(x,y;x_0,y_0)=\begin{cases}1 & \text{$x=x_0$, $y=y_0$}\\0 & \text{其他情况}\end{cases}$$利用格林函数可以求出任意一个边值问题的解。

拉普拉斯方程分离变量法

第24讲分离变量法第4章介质中的电动力学（4） §4.4 拉普拉斯方程分离变量法以上两节给出静电问题的一般公式，并说明静电学的基本问题式求解满足给定边界条件的泊松方程的解。

只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具体情况不同而有不同的解法。

在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。

例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜内部，电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。

这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其它自由电荷分布。

因此，如果我们选择这些导体表面作为区域V 的边界，则在V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ，因而泊松方程化为比较简单的拉普拉斯（Laplace ）方程20ϕ∇= （4.4---1）产生这电场的电荷都分布于区域V 的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来。

因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解。

（4.4---1）式的通解可以用分离变量法求出。

先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。

最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系。

这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。

球坐标用（R ，θ，φ）表示，R 为半径，θ为极角，φ为方位角。

拉氏方程在球坐标系中的通解为1.(,,)()(c o s )c o sn mnm nm n n n mb R a R P m R ϕθφθφ+=+∑ 1,()(c o s )s i nn mnm nm n n n md c R P m R θφ+++∑ （4.4---2）式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。

P m n （cos θ）为缔和勒让德（Legendre ）函数。

若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ不依赖于方位角φ，这情形下通解为 1()(c o s ),n nn n n nb a R P Rϕθ+=+∑ （4.4---3） P n （cos θ）为勒让德函数，a n 和b n 由边界条件确定。

二维场与r和θ有关拉普拉斯方程的分离变量法

文章标题：深度解析二维场中的拉普拉斯方程分离变量法在物理学和工程学领域中，二维场中的拉普拉斯方程及其解决方法一直是一个重要的研究课题。

本文将从分离变量法的角度出发，深入探讨二维场中与 r 和θ 有关的拉普拉斯方程，帮助读者更全面理解该主题。

1. 引言二维场中的拉普拉斯方程是描述了场的二阶偏微分方程，通常用于描述电场、磁场、温度场等问题。

本文将聚焦于二维场中的拉普拉斯方程分离变量法，探讨如何利用 r 和θ 这两个坐标变量来解决该问题。

2. 深入理解分离变量法分离变量法是一种常见的解偏微分方程的方法，其核心思想是假设多元函数可以表示为各个变量的乘积，从而将多元偏微分方程转化为一元方程的组合。

在二维场中，拉普拉斯方程可以表示为Δu=0，其中Δ是拉普拉斯算子。

我们将通过分离变量法来解决这一问题。

3. r 和θ 的引入在二维场中，通常采用极坐标系来描述场的分布情况。

在极坐标系中，每个点可以用 r 和θ 两个坐标来表示， r 表示点到原点的距离，而θ 表示点的极角。

通过引入 r 和θ，我们可以将二维场中的拉普拉斯方程转化为一些关于 r 和θ 的方程，进而简化问题的求解。

4. 拉普拉斯方程的分离变量在引入了 r 和θ 后，我们可以假设场的解u(r,θ) 可以表示为两个分别只依赖 r 或θ 的函数的乘积，即u(r,θ)=R(r)Θ(θ)。

将这个假设代入拉普拉斯方程中，可以得到一些关于 R(r) 和Θ(θ) 的方程，通过求解这些方程，我们可以得到场在 r 和θ 方向上的分布情况。

5. 解的形式与特性分析通过求解得到的 R(r) 和Θ(θ)，可以得到场的一些重要的特性，比如场的分布形式、场的角谱分布情况等。

这些特性对于研究二维场中的物理现象具有重要的意义，同时也为后续的应用提供了重要的参考。

6. 总结与展望本文通过对二维场中与 r 和θ 有关的拉普拉斯方程分离变量法进行了全面的介绍和分析，希望读者可以通过本文更深入地理解该主题。

拉普拉斯方程的完整求解

拉普拉斯方程的完整求解△u=0其中△是拉普拉斯算子，表示空间坐标的二阶导数之和。

如果对二维空间来说，拉普拉斯算子可以表示为：△=∂²/∂x²+∂²/∂y²如果对三维空间来说，拉普拉斯算子可以表示为：△=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²接下来我们将分别介绍二维和三维情况下的拉普拉斯方程的求解方法。

一、二维情况下的拉普拉斯方程求解。

在二维空间中，拉普拉斯方程的解可以用解析函数来表示。

由于存在解析函数的特性，我们可以采用分离变量法求解。

假设解为u(x,y)=X(x)Y(y)，将其代入方程可得：X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0将上式两边同时除以X(x)Y(y)，得到：X''(x)/X(x)+Y''(y)/Y(y)=0由于等式两边的第一项仅依赖于x，第二项仅依赖于y，所以它们必须都等于一个常数，记为-k²（k是常数），即：X''(x)/X(x)=-k²Y''(y)/Y(y)=k²对于上面的两个常微分方程，我们可以分别求解。

对第一个方程，可得到：X(x) = Ae^(kx) + Be^(-kx)对第二个方程，可得到：Y(y) = Ccos(ky) + Dsin(ky)将X(x)和Y(y)代回原方程，得到解为：u(x,y) = (Ae^(kx) + Be^(-kx))(Ccos(ky) + Dsin(ky))其中A、B、C、D都是常数，通过边界条件可以确定它们的值。

二、三维情况下的拉普拉斯方程求解。

在三维空间中，拉普拉斯方程的求解方式可以类似于二维情况，通过分离变量法得到解析函数。

假设解为u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)，将其代入方程可得：X''(x)Y(y)Z(z)+X(x)Y''(y)Z(z)+X(x)Y(y)Z''(z)=0将上式两边同时除以X(x)Y(y)Z(z)，得到：X''(x)/X(x)+Y''(y)/Y(y)+Z''(z)/Z(z)=0同样地，等式两边的第一、第二、第三项都只依赖于x、y、z，所以它们必须都等于一个常数，分别记为-k²（k是常数），即：X''(x)/X(x)=-k²Y''(y)/Y(y)=-k²Z''(z)/Z(z)=k²对于上述的三个常微分方程，我们可以分别求解。

2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法

d2 f d 2g d 2h gh 2 fh 2 fg 2 0 dx dy dz
然后用fgh 除上式，得
f " g " h" 0 f g h
令
f" k x2 f
g" 2 k y g
h" k z2 h
知分离变数间有关系为
2 2 kx ky kz2 0
分离变数 kx 、k y 、 kz 与变量无关，且不可全为实数或虚数。
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 2 dx 2 d g ( y) 2 k y g ( y) 0 2 dy d h( z ) 2 k z h( y ) 0 2 dz
这样，将拉普拉斯方程的求解问题分解为三个分别仅与x、 y、z变量有关的常微分方程组的求解，以下以与x有关的微分方程为例，说明当分离变数取不同值时的特征解。
f ( x) a2e
或
x x
b2e
x x
f ( x) a3 sinh x x b3 cosh x x
e x ex sinh( x) 2
e x ex cosh(x ) 2
e e sin(x ) 2i
ix
ix
e ix e ix cos(x ) 2
2
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 的特征解有： 2 dx
当
kx 0 时，则Fra bibliotek2 xf ( x) a0 x b0
f ( x) a1 sin kx x b1 cos kx x
时，则
当 k 0 时，则当
2 x
k 0, kx ix (x 0)

分离变量法求解齐次方程和齐次边界的拉普拉斯方程的边值问题 2

（3）当 >0时，方程的通解为
的通解为
利用叠加原理，得
令
代入边界条件，得
由傅里叶级数知
因此解得
题目3：解第一边值问题
分离变量代入泛定方程得
由边值问题得
对应的特征值和特征函数为
此时式变为
其通解为
利用叠加原理得方程的解为
由非齐次边界条件得
由此可得
则
带入原方程得所求解为
题目4：解Neumann问题
解：应用分离变量法，设
由边界条件（2）得，这样就得到边值问题
固有值及固有函数为
将代入另一个常微分方程求得它的通解为
这样就得到方程（1）满足边界条件（2）的一系列特解
由于方程（1）和边界条件（2）都是线性齐次的，因而函数
依然满足原方程，应用边界条件（3）和傅里叶系数公式得
求得
参考文献：
第一段题目1改自[例4.2.5, P96]；
其中 .
下面给出Байду номын сангаас述等式的证明。
从上式得到的公式
于是
，
对上式两端积分
.
则有
将（4）应用到（3）中去，有
.
这就是圆域上Neumann内问题的解
●2. 解三维齐次方程的拉普拉斯方程的边值问题：
考虑立方体内的稳态温度分布问题
设u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z),
代入方程得
两边同除XYZ得
因为右边是Z的函数，左边是x,y的函数，若两边相等，必须有
分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件
的拉普拉斯方程的边值问题
33 隋沆锐34 程文博29袁盼盼
分离变量法又称fourier级数法，是求解数学物理定解问题问题的一种最普遍最基本的方法之一。从数学的角度来说，其基本的思想是降低自变量的维数，把偏微分方程问题设法变成能解的常微分问题。

数理方程第二章圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题-3

将非齐次边界条件（2）代入形式解（3）：
R( 0 )( ) f ( )
（6）
上式无法分离成关于R和的两个独立的边界条件，不能分别构成关于R和的常微分方程的定解问题！
下一步如何进行？
深圳大学电子科学与技术学院
寻找物理上的边界条件：
1. ( , ) 和 ( , 2 ) 在物理上代表同一个点，具有相同的温度:
0
A cos
1 u 1 2u 2 2 0 0 0 2
(1) (2)

0
u A cos
0
( 0 2 )
深圳大学电子科学与技术学院
0 ( 2 ) ( )
(7)
(8)
(9)
R R R 0
2
R(0)
(10)
至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而条件(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条件一样，最后再去考虑。
深圳大学电子科学与技术学院
求解角向定解问题： 1. 0：(7)的通解
一般解:
a0 n u ( , ) an cos n bn sin n 2 n1
a0 an 1
2
f ( ) A cos

A cos d 0
0 2
bn
1
2 n 0

A cos sin n d 0
0
1
0n
A cos cosn d
(10)为欧拉方程，其通解为
为了保证 R(0) ，必须取 d n 0 (n 0, 1, 2,)
R0 ( ) c0 ( n 0)

拉普拉斯方程的解——分离变量法

∵
∫ sin
0
b
0 mπy nπy sin dy = b b b / 2
b
n ≠ m b = δ mn sin x （正交归一性） n=m 2
∴
∞ mπy b dy = C n δ mn = C m b / 2 ∑ ∫0 b 2 n =1 b m πy 2 2V b mπ C m = ∫ V sin dy = ⋅ sin y ′dy ′ b 0 b b mπ ∫0 4V （m = 奇数） 2V mπ =[ [ − cos y ′] 0 = mπ mπ （m = 偶数） 0 ∞ 4V 1 mπy − mπx / b sin e ϕ ( x, y ) = ∑ b π m =1,3,5L m
S
∂ϕ 2 ∂n
表面无自由电荷。 V
S
z=l
O y
四．应用实例（习题课）
1．两无限大平行导体板，相距为 l ，两板间电势差为 V (与 x, y , z 无关)，一板接地，求两板间的电势 ϕ 和 E 解：（1）边界为平面，故应选直角坐标系下板接地 ϕ
S1
r
x
= 0 ，为参考点
（2）定性分析：由于在 z = l 处， ϕ = V 常数，可考虑 ϕ 与 x, y 无关。（3）列出方程并给出解：在 0 < z < l 区域，（ 4） ∇ ϕ = 0
(ϕ (r = a ) ≡ 0) ）。
选柱坐标系：对称性分析： ① 导体为圆柱，柱上电荷均匀分布， ϕ 一定与 θ 无关。 ② 柱外无电荷，电力线从面上发出后，不会终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿 er 方向，可认为 ϕ 与 z 无关，
y r θ o z x
r

拉普拉斯方程及其解法

拉普拉斯方程及其解法拉普拉斯方程是一个经典的偏微分方程，它的形式为：∇²u=0其中，u表示待求的函数，∇²表示Laplace算子，表示二阶偏导数的和。

拉普拉斯方程在各个领域中都有着重要的应用，如电场、热传导、流体力学等。

在数学上，对于二维或三维函数的拉普拉斯方程，其解法有许多种，其中最常用的为分离变量法与格林函数法。

一、分离变量法分离变量法在解决二维及三维拉普拉斯方程中具有广泛的适用性，它的基本思想是将多维问题化为一系列单变量问题的组合。

假设拉普拉斯方程的解可以表示为三维函数的乘积形式：u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)则将这个表达式代入拉普拉斯方程中，可以得到以下三个方程：X''(x)/X(x)+Y''(y)/Y(y)+Z''(z)/Z(z)=0由于每个方程都与坐标变量无关，因此可以将它们分别表示为常微分方程的形式：X''(x)/X(x)=λ1，Y''(y)/Y(y)=λ2，Z''(z)/Z(z)=λ3上述三个方程中的参数λ1、λ2、λ3为方程的本征值，它们的取值将直接影响到解的形式。

当λ1、λ2、λ3为常数时，可以将三个方程的通解写成以下形式：X(x)=Acos(α1x)+Bsin(α1x)，Y(y)=Ccos(α2y)+Dsin(α2y)，Z(z)=Ecos(α3z)+Fsin(α3z)其中，A、B、C、D、E、F为任意常数，α1、α2、α3为根据本征值计算出来的常数。

将上述三个方程的通解带入原式，经过简单分析、代数变换，可以得到二维或三维拉普拉斯方程的解。

二、格林函数法另一种常用的解法为格林函数法。

在一定条件下，基于格林函数的方法能够得到更加简单和结构精细的解，因此在应用中有着广泛的应用。

假设存在格林函数G(x,y)，它有以下特性：①G(x,y)满足拉普拉斯方程，即∇²G(x,y)=δ(x-x0,y-y0)。

拉普拉斯方程分离变量法

n
Bnm r n1
) Pnm
(cos
)
cos( m )
n,m
(Cnmr n
Dnm r n1
)Pnm (cos
) sin(
m )
这里Pnm (cos ) 为缔合勒让德（Legendre)函数
对于具有轴对称的问题，m=0 (取此轴为极轴）
且
(r,
)
n0
( Anr n
Bn r n1
)Pn
(cos
)
势的解：
1
2
B r
C
Q
4 0 r
D r
Q1
4 0 r
Q1
4 0 R1
Q1
4 0 r
(r R3) (R1 r R2 )
导体球上的感应电荷为
0 r R1
2
r
r 2d
0
r R1
r
Q1
4 0
(1 r
1 R1
)
r
2
d
0
r R1
Q1
4 0
1 r2
r 2d
Q1
[例2]介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场中E0，球外为真空。求电势分布。
由（5）式得
B 4
D 4
Q
0
即
BD Q
(13)
4 0
将（13）式代入（12）式，即得
D Q ( 1 1 1 )
4 0 R3
R1 R2 R3
令
Q
Q1
R3
(
1 R1
1 R2
1 R3
)
因此得到：
A 0,
B Q Q1
40 40

拉普拉斯方程的解分离变量法

参考点主要根据电荷分布是有限还是无限
2．分析对称性，分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解
- 14 -
王正斌电动力学
第二章静电场
3．根据具体条件确定常数
（1）外边界条件：电荷分布有限 ϕ ∞ = 0
边界条件和边值关系是相对的。
导体边界可视为外边界，ϕ 给定，或给定总电荷 Q，或给定σ S
2
Z
dz 2
+ γZ
=
0
α +β +γ =0
一般令 α = −k12
β
=
−
k
2 2
γ
= k12
+
k
2 2
= k2
X (x) = Aek1x + Be−k1x Y ( y) = Ce k2 y + De−k2y Z (z) = E sin kZ + F cos kZ
若考虑了某些边界条件（有限边界）
令 ϕ (r,θ ) = f (r)g(θ )
d
2 g(θ dθ 2
)
+ν
2
g(θ
)
=
0
1 r
d dr
(r
df dr
)
−
ν r
2 2
f (r) = 0
解： g(θ ) = a1 sinνθ + a2 cosιθ f (r) 有两个线性无关解 rν 和 r −ν 。
单值性要求 ϕ (0) = ϕ (2π ) ，ν 只能取整数，令ν = n （正整数）
∵ z
王正斌电动力学
第二章静电场
它们分别满足 ∇ 2ϕ1 = 0 ∇ 2ϕ 2 = 0 。解为：

二维拉普拉斯方程的分离变量法

二维拉普拉斯方程的边值问题

二维拉普拉斯在极坐标下的形式

chap2-4a拉普拉斯方程：分离变量法

数学物理方法-14.3 分离变量法-laplace

分离变量法(二维拉普拉斯方程)

6.2 拉普拉斯方程的分离变量法

第二章第三节拉普拉斯方程 分离变量法

§3拉普拉斯方程分离变量法

拉普拉斯方程的解

二维拉普拉斯方程的基本解

拉普拉斯方程分离变量法

二维场与r和θ有关拉普拉斯方程的分离变量法

拉普拉斯方程的完整求解

2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法

分离变量法求解齐次方程和齐次边界的拉普拉斯方程的边值问题 2

数理方程第二章 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题-3

拉普拉斯方程的解——分离变量法

拉普拉斯方程及其解法

拉普拉斯方程分离变量 法

拉普拉斯方程的解分离变量法

第二章第三节拉普拉斯方程分离变量法

数理方程第二章圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题-3

拉普拉斯方程分离变量法