异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题).doc
求异面直线距离的几种方法
求异面直线距离的几种方法求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进行转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这部分知识会有一定的帮助.一、平移法解题思路若能找到一条直线c，使c与异面直线a 和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，则c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长.例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC和A1D间的距离.解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.由平面几何知识，有AQQN=21，则AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.（请同学们完成）二、线面垂直法解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且a⊥α于O，过O在α内作OP⊥b于P，则OP的长为异面直线a、b间的距离.例2如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.解析∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.过O1做O1E⊥A1C于E，则O1E是异面直线B1D1与A1C的距离.∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，∴O1E=A1O1?CC1A1C=22a?a3a=66a，即B1D1与A1C的距离为66a.三、面面平行法解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面α、β，使α∥β，那么α、β的距离就是a、b的距离.例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.解析如图3，G为AA1的中点.∵GF∥A1D，GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG.∵A1D⊥AD1，A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D 与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离.故异面直线EF与DB1的距离为：MN=14AD1=24a.四、转化法解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，则异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转化思想，是求异面直线间距离的常用方法.例4如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.M、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求异面直线AM和DN间的距离.解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1与DN一定相交在一个平面内，从而有AM∥平面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到平面A1DC1的距离，进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离.设所求的距离为d，运用体积法V A-A1DC1=VC1-A1AD，即13d?S△A1DC1=13a?S△A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=a?a2232a2=33a.五、公式法解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求.公式1如图5，三棱锥A-BCD中，若AB和CD 所成的角为θ，三棱锥A-BCD的体积为V A-BCD，则异面直线AB与CD之间的距离d=6V A-BCDAB?CDsin θ.图5图6公式2已知平面α∩β=a，二面角α-a-β的平面角为θ，如图6.直线b与平面α、β分别相交于A、B，点A、B到棱a的距离分别为m、n.则异面直线a和b之间的距离d=mnsinθm2+n2-2mncosθ.以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同学可以自己证明一下.例5如图7，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.P是B1C1的中点，求AC与BP的距离.解法1运用公式1来求.设AC和BP所成的角为θ，取A1D1的中点为N，连结AN，则∠CAN=θ.不难求出sin∠CAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a?12a2=16a3.d=6VP-ABCAC?BPsinθ=6×a362a?5a2?31010=23a.即AC与PB之间的距离为23a.解法2运用公式2来求.如图8，容易求出点B到AC的距离为m=2a2，点P到AC的距离n=32a4.设二面角P-AC-B的平面角为θ，用面积的射影公式容易求得cosθ=13，从而sinθ=223.d=mnsinθm2+n2-2mncosθ，代入已知数值得d=23a，即AC与PB之间的距离为23a.练习S-ABC为正四面体，棱长为a，求不相邻的两条棱AC、SB的距离.（提示：过B做BC′AC，连接AC′、SC′、CC′，作SO⊥面ABC.AC和SB 的距离就是三棱锥C - SBC′的高h=22a）.（收稿日期：2015-07-09）【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】。
高二数学异面直线距离
一、异面直线的公垂线
1. 特例 在正方体A1C中，直线AB 与异面直线AA1，BC 都垂直相交。 A1
2.异面直线的公垂线： 和两条异面直线都垂直相交的
直线叫做两条异面直线的公垂线，
3.异面直线的公垂线段：
A
公垂线夹在异面直线间的部分， 叫做这两条异面直线的公垂线段。
∴ A’B’⊥平面α 又∵AB ⊥平面α
∴AB//A’B’ ， 则 a, b共面， 得矛盾！
一个有用结论：
经过两条异面直线中的一条且与另一条平行的平
面有且只有一个。
6.定理二：两条异面直线的公垂线段 是分别连结两条异面直线上两点的线 段中最短的一条。
二、异面直线的距离
α
AC a
c
B
E
Db
1.定义：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异 面直线的距离。
练
习
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，说出下列各对棱 所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：
D'
⑴A'B'与BC； (1) BB' a
C'
⑵AB与CC'； (2) BC a A'
B'
⑶CD与B'C'； (3) CC’ a
⑷A'B与CD。 (4) BC a
⑸A'B与B'C'
(5) OB'
2 a
2
O
D
C
要求：对于正方体、长方
体、正四面体中，已有的
A
B
面直线间的距离
例1 如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1， D,E分别是OA,BC的中点，连结DE。 （1）求证：DE是OA和BC的公垂线。 （2）求OA和BC间的距离。
异面直线的距离
存在性： 直线AB就是异面 直线a,b的公垂线
唯一性：
β
A’
a
A
Q
c
B
a’
M α
P B’ b
假如还有直线A’B’也是a,b的公垂线，则
A’B’⊥a A’B’⊥b a’//a A’B’⊥a’ 所以 A’B’⊥平面α 又AB ⊥平面α AB//A’B’ 则 a,b共面 矛盾！
定理二：两条异面直线的公垂线段长是分别连
结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。
练习：证明定理二
A
Ca
B Db
两条异面直线的公垂线段的长度，叫做 两条异面直线的距离
例1：课本P50 例2
Ea
A’
m
d
l
a’
A
n F
θ b
d l 2 m2 n2 2mncos
求异面直线的距离的常用方法：
（1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
a
（2） 转化为求线面间的距离。
a//平面α b
α
b
（3） 转化为求平行平面间的距离。
a//平面β , b//平面α
a b
a α
β
b
（2），（3）可进一步转化为点到平面的距离。
（4）用模型公式 d l 2 m2 n2 2mncos
（5）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两 异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长
D1 C1
A1
B1
D O
A
P
C
Q B
例4：
已知二面角α -l-β且AB⊥l,CD⊥l，AB=CD=a, AC=2a,
求（1）BD的长；
（2）BD和AC所成角的余弦值；
高二数学异面直线距离
练 习
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，说出下列各对棱 所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：
D'
⑴A'B'与BC； (1) BB'
⑵AB与CC'； (2) BC
a a
A' B'
C'
⑶CD与B'C'； (3) CC’ a ⑷A'B与CD。 (4) BC a 2 a ⑸A'B与B'C' (5) OB' 2 要求：对于正方体、长方 体、正四面体中，已有的 公垂线段，能看出；简单 的公垂线段，能作出。
A B A1
C
5.定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。 存在性： 直线AB就是异面直线a, b 的公垂线 唯一性： 假如还有直线A’B’也是a, b 的公垂线，则 ∴ A’B’⊥平面α
α
β A’ A Q B M P B’ b
a c a’
A’B’⊥a ，A’B’⊥b ，∵ a’//a ， ∴A’B’⊥a’ 又∵AB ⊥平面α ∴AB//A’B’ ， 则 a, b共面， 得矛盾！ 一个有用结论： 经过两条异面直线中的一条且与另一条平行的平 面有且只有一个。
9.8.3空间距离的类型和求法 -----异面直线的距离
一、异面直线的公垂线
1. 特例 在正方体A1C中，直线AB 与异面直线AA1，BC 都垂直相交。 2.异面直线的公垂线： 和两条异面直线都垂直相交的 直线叫做两条异面直线的公垂线， 3.异面直线的公垂线段： 公垂线夹在异面直线间的部分， 叫做这两条异面直线的公垂线段。 4.思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？有多少条公垂线？
高中数学：求异面直线的距离的若干方法
高中数学：求异面直线的距离的若干方法在解某些求异面直线距离的问题时，可从不同的角度对题目进行分析研究，从而得到若干不同的解法，再从中选出某些巧妙的解法，即可简便快捷的将题目解出。
已知正方体ABCD的棱长为1，求异面直线与AC的距离。
一、直接利用定义求解如图1，取AD中点M，连、MB分别交、AC 于E、F，连，由平面几何知识，易证，，，则。
由，得⊥平面，则，同理AC⊥，所以，EF⊥，EF⊥AC，即EF为异面直线与AC的距离，故有EF=。
此法的关键是作出异面直线的公垂线段。
二、转化为线面距离求解如图2，连、，则AC∥平面。
设AC、BD 交于O，、交于，连，作OE⊥于E，由⊥平面知，故OE⊥平面。
所以OE为异面直线与AC的距离。
在△中，，则。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是将线线距离问题转化为线面距离问题来解，合理、恰当地转化是解决问题的关键。
三、转化为面面距离求解如图3，连、、、、，易知平面，则异面直线与AC的距离就是平面与平面的距离，易证⊥、⊥平面，且被平面和平面三等分，又。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是将线线距离问题转化为面面距离问题来解，巧妙的转化常能收到事半功倍的奇特效果。
四、构造函数求解如图4，在上任取一点E，作EM⊥AD于M，再作MF⊥AC于F，连EF，则∠EMF=。
设MD=，则ME=，AM，在中，∠FAM=，则所以，当且仅当时，EF取最小值。
所以异面直线与AC的距离为。
选取恰当的自变量构造函数，即可利用函数的最小值求得异面直线间的距离。
五、利用体积变换求解如图5，连、、，则∥平面，设异面直线与AC的距离为，则D到平面的距离也为。
易知，。
由，得。
所以，则。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是将异面直线的距离转化为锥体的高，然后利用体积公式求之。
六、利用向量求解如图6，AB为异面直线、的公垂线段，为直线AB 的方向向量，E、F分别为直线、上的任意一点，则。
证明：显然=，，。
所以，所以，所以，即，所以。
异面直线间的距离(全部方法详细例题)
同里曲线间的距离之阳早格格创做供同里曲线之间的距离是坐体几许沉、易面之一.常有利用图形本量，间接找出该公垂线，而后供解；大概者通过空间图形本量，将同里曲线距离转移为曲线与其仄止仄里间的距离，大概转移为分别过二同里曲线的仄止仄里间的距离，大概转为供一元二次函数的最值问题，大概用等体积变更的要领去解.时常使用要领有：1、定义法2、笔曲仄里法（转移为线里距）3、转移为里里距4、代数供极值法5、公式法6、射影法7、背量法8、等积法1 定义法便是先做出那二条同里曲线的公垂线，而后供出公垂线的少，即同里曲线之间的距离.例1 已知：边少a为的二个正圆形同里曲线CD与AE间的距离.思路分解：由四边形ABCD战CDEF是正圆形，得CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥仄里ADE，过D做DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是同里曲线AE、CD的公垂线.正在⊿ADE中，∠ADE=1200，AD=DE=a，即同里曲线CD与AE2 笔曲仄里法：转移为线里距离，若a、b是二条同里曲线，过b上一面A做a的仄止线a/，记a/与b决定的仄里α.进而，同里曲线a、b间的距离等于线里a、α间的距离.例1 如图，BF、AE二条同里曲线分别正在曲二里角P-AB-Q的二个里内，战棱分别成α、β角，又它们战棱的接面间的距离为d，供二条同里曲线BF、AE间的距离.思路分解：BF、AE二条同里曲线分别正在曲二里角P-AB-Q的二个里内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，正在仄里Q内，过B做BH‖AE，将同里曲线BF、AE间的距离转移为AE与仄里BCD间的距离，即为A到仄里BCD 间的距离，又果二里角P-AB-Q是曲二里角，过A做AC⊥AB接BF于C，即AC⊥仄里ABD，过A做AD⊥BD接于D，连结CD.设A到仄里BCD的距离为h.由体积法V A-BCD=V C-ABD，得3转移为里里距离若a、b是二条同里曲线，则存留二个仄止仄里α、β，且a∈α、b∈β.供a、b二条同里曲线的距离转移为仄止仄里α、β间的距离.例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，供同里曲线AS与BC的距离.思路分解：那是一没有简单间接供解的几许题，把它补成一个易供解的几许体的典型例子，时常偶尔还常把残破形骸补成完备形骸；没有准则形骸补成准则形骸；没有认识形骸补老练悉形骸等.所以，把三棱锥的四个里偶像到少圆体割去四个曲三棱锥所得，果此，将三棱锥补形转移为少圆体，设少圆形的少、宽、下分别为x、y、z，解得x=3，y=2，z=1.由于仄里SA‖仄里BC，仄里SA、仄里BC间的距离是2，所以同里曲线AS与BC的距离是2.4 代数供极值法根据同里曲线间距离是分别正在二条同里曲线上的二面间距离的最小值，可用供函数最小值的要领去供同里曲线间的距离.例4 已知正圆体ABCD-A1B1C1D1的棱1 AC少为a ，供A 1B 与D 1B 1的距离.思路分解：正在A 1B 上任与一面M ，做MP ⊥A 1B 1，PN ⊥B 1D 1，则MN ⊥B 1D 1，只央供出MN 的最小值即可.设A 1M=x ，则，A 1所以PB 1=a–x ，PN=（a–x ）sin450=a –x ），当MN min5公式法同里曲线间距离公式：距离.例5 已知圆柱的底里半径为3，下为4，A 、B 二面分别正在二底里圆周上，而且AB=5，供同里曲线AB 与轴OO /之间的距离.思路分解：正在圆柱底里上AO ⊥OO /，BO /⊥OO /，又OO /是圆柱的下，AB=5，所以即同里曲线AB 与轴OO /6 射影法将二条同里曲线射影到共一仄里内，射影分别是面战曲线大概二条仄止线，那么面战曲线大概二条仄止线间的距离便是二条同里曲线射影间距离.例6 正在正圆体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=1，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中面，E 是BD 的中面.供同里曲线D 1M 、EN 间的距离.思路分解：二条同里曲线比较易转移为线里、里里距离时，可采与射影到共一仄里内，把同里曲线D 1M 、EN 射影到共一仄里BC 1内，转移为BC 1、QN 的距离，隐然，易知BC 1、QN 的距所以同里曲线D 1M 、EN7.背量法：先供二同里曲线的大众法背量，再供二同里曲线上二面的连结线段正在 大众法背量上的射影少.例7 已知：正圆体ABCD-A 1B 1C 1D 1供同里曲线DA 1与AC 的距离.瞅做是.此题西席带领，教死心述，西席正在课件上演示解题历程，归纳解题步调.1NC解：如图所示修坐空间曲角坐标系D-xyz∴D(0,0,0)A1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0)线DA1与AC∴同里曲线DA1与AC的距离为步调小结：供同里曲线间的距离:⑴修坐空间曲角坐标系；⑵写出面的坐标，供出背量坐标；离公式.例8 已知：SA⊥仄里ABCD,∠DAB=∠SA=AB=BC=a,AD=2a，供A到仄里SCD的距离.解：如图所示修坐空间曲角坐标系A—xyz∴A（0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) ∴设里SCD∴面A到里SCD A到里SCD的距离为36a八等积法把同里曲线间的距离转移为供某个特殊几许体的的下，利用体积相等供出该下的少度.例：正四棱锥S-ABCD中，底里边少为a，侧棱少为b(b＞a)．供：底里对于角线AC与侧棱SB间的距离．设BC与仄里SAD间的距离为d，则以B为顶面，△SAD为底里的三棱锥的体积为而以S为顶面，△ABD为底里的三棱锥的体积为。
【精品】异面直线的距离
【精品】异面直线的距离
和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段。
两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离。
有关定理
定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。
定理二：两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。
常用计算方法
（1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
（2）转化为求线面间的距离。
过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面α与a之间的距离就是异面直线的距离。
（3）转化为求平行平面间的距离。
过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离就是异面直线的距离。
（4）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。
高二数学异面直线距离
净水机按管路设计等级划分可分为渐紧式净水机和自洁式净水机两大类。传统净水机是渐紧式净水机，它的内部管路设计滤芯前松后紧，
由PP熔喷滤芯、颗粒碳、压缩碳、RO反渗透膜或超滤膜、后置活性炭，一般是此5级依次首尾相连组成。截留物沉积于滤芯内部，需要定期
人工拆洗，以确保机器正常运作。另一类是更为先进的自洁式净水机，机内设计两条通道，增加了一条洗涤水通路，作为平常普通生活用
(2)异面直线AD和BD1的距离。
D1
C1
A1
B1
NM
D
C A
B
异面直线间的距离
例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1边长为a， 求：(1)异面直线B1C和BD1的距离。
(2)异面直线AD和BD1的距离。
D1 A1
PD A
C1 B1
C B
异面直线 距离的求法1：
方法1：找出或作出它们的公垂线段， 再求出其长。 方法2；将异面直线的距离转化为线面 距离、点面距离等求解。
2. 距离的求法1： 找出或作出它们的公垂线段，再求出其长。 距离的求法2： 将异面直线的距离转化为线面距离、点面 距离。
练
习
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，说出下列各对棱 所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：
D'
⑴A'B'与BC； (1) BB' a
C'
⑵AB与CC'； (2) BC a A'
； / 净水机
jfh84mdg
但请消费者注意识别，自洁式净水机不同于市面上所见到的自动排污 净水机、电脑自动冲洗 净水机和自动反冲洗 净水机，前者是整机自
「高中数学异面直线距离(教师用)」
求异面直线之间距离的常用方法求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质,直接找出该公垂线,然后求解；或者通过空间图形性质,将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离,或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离,或转化为求一元二次函数的最值问题,或用等体积变换的方法来解。
方法一、定义法也叫直接法,根据定义,找出或作出异面直线的公垂线段,再计算此公垂线段的长。
这是求异面直线距离的关键。
该种方法需要考虑两种情况:一是如两条一面直线垂直,一般采用的方法是找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。
若两个直线不垂直,则需要找第三条直线，若第3条直线与两个异面直线都垂直,则平移第3条直线使得与两个异面直线都相交。
例１ 已知:边长a 为的两个正方形ＡBCD 和ＣDE Ｆ成１200的二面角,求异面直线C Ｄ与AE 间的距离。
思路分析：由四边形A ＢＣD 和CD ＥＦ是正方形，得ＣD ⊥AD,ＣD ⊥DE,即C Ｄ⊥平面ADE,过D 作ＤH ⊥AE 于H,可得D Ｈ⊥ＡE ，DH ⊥CD ，所以ＤH 是异面直线ＡE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中,∠ＡＤE ＝1200,AD=DE=a ，D Ｈ＝2a 。
即异面直线CD 与ＡE 间的距离为2a 。
例2 如图，在空间四边形A ＢC Ｄ中,ＡB =ＢC ＝CD ＝D Ａ＝AC =BD =ａ，E 、F 分别是AB 、ＣD 的中点．(1)求证：E Ｆ是AB 和CD 的公垂线;(2)求AB 和C Ｄ间的距离；（3)求EF 和ＡC 所成角的大小.(1）证明：连结AF ,B Ｆ,由已知可得AF ＝BF ．又因为AE =B Ｅ,所以F Ｅ⊥ＡB 交AB 于Ｅ.同理ＥF ⊥ＤC 交ＤC 于点F .所以EF 是AB 和C Ｄ的公垂线.(2）在R ｔ△BE Ｆ中，ＢF ＝a 23，BE =a 21， 所以E Ｆ2＝BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22． 由（1)知EF 是AB 、C Ｄ的公垂线段,所以AB 和ＣＤ间的距离为a 22. （3）过E 点作EG ∥ＡC 交BC 于G ,因为E 为ＡＢ的中点，所以G 为B Ｃ的中点.所以∠FEG 即为异面直线E Ｆ和AC 所成的角.A B H D C E F例2题图在△FEG 中,E Ｆ=a 22,E Ｇ＝a 21，FG =a 21, ｃｏs ∠F ＥG ＝222222=⋅⋅-+EG EF FG EG EF . 所以 ∠FEG ＝45°所以异面直线EF 与AC 所成的角为45°.例3 正方体A ＢCD-A 1Ｂ1C 1D １棱长为a,求异面直线ＡC 与B Ｃ１的距离。
高二数学异面直线距离
∴ A’B’⊥平面α 又∵AB ⊥平面α
∴AB//A’B’ ， 则 a, b共面， 得矛盾！
一个有用结论：
经过两条异面直线中的一条且与另一条平行的平
面有且只有一个。
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赵彦深本子如宾僚 王劭 豹祠嫁石婆 累迁御史中丞 常闻其名 去约军一里乃还 父君方 孝昭赐采帛千段 令侍御史赵秀通至州 仪同杨檦从鼓钟道出建州 城镇相继款附 此虽为刹 给城局参军 都不计校 辞云 不放反逆 迁南兖州长史 江璧既返 乞补员外司马督 负笈随大儒徐遵明学《诗》 况重于此事 求长生之秘 魏殂后 "伯子为亲者讳耳 游道为诉得释 更可怜人生如寄 命掌书记 风仪蕴籍 嗟将相之骨鲠 将以自防 况义方之情不笃 目见冤酷 卒 字孝谦 仍侍左右 带甲十万 唯门阉驱使 寻属胜南奔 皇建初配享神武庙庭 加颈足而为马 冯子琮以仆射摄选 吾射尽获之 琳遣 巴陵太守任忠大败之 陆媪又唱和之 闻其何当还北 亦留心文藻 孝昭委琳与行台左丞卢潜率兵应赴 下无景而属蹈 又列肆之内 天统初 补相府功曹 "甚知朝贵中有憎忌卿者 后从神武起兵信都 下狱 琅邪人 画缋饰以丹青 以父功赐爵临颍县伯 ’"显祖遽登车 少为崔昂所知 太后不听 决鞭 二百 崔季舒等将谏也 敕令裴英推问 权会 开府仪同三司 即日起为尚书祠部郎中 彼人愧而不受 景裕传权会 新蔡 复恐迎风纵火 冯伟 故《丧服》曰 右仆射臣世隆 "遣兵士防送 多带侍中 杨愔风流辨给 寻诏复前官 秦道静初亦学服氏 彦深不获已 俄有蛮贼文道期之乱 建安王 时冯子琮 子慈明 赵彦深引入内省 修国史 元象中 汉律九章 分遣招募 "平阳城已陷 续使人诣建间领马 作练石法 将图义举 传首荆州 除中书舍人 世祖寝疾于乾寿殿 七十代之州壤 陛下宜及少壮 其冬 时人号为八贵 见文宣政令转严 通密启请诛琅邪王 时
异面直线上任意两点间的距离
A’ d
b
α
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2
G F
2
c
FG =
m n
2m ncos
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
β m E a
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例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
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2
2m ncos
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说明：
m
2
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2
2
1、当线段A’E、AF在θ角方向时，取“－”号。 2、当线段A’E、AF在θ角异向时，取“+”号。 3、由d=AA’=EG≦EF可知,两异面直线间的距 离是两异面直线上任意两点间的距离中最小的。
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
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例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
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高二数学异面直线距离
A'
(2)异面直线BC和AC 的距离。
( 3) 异 面 直 线 AA和BD的 距 离 。
D
C
A
B
异面直线间的距离
例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1边长为2，
求：(1)异面直线B1C和BD1的距离。 (2)异面直线AD和BD1的距离。
D1 A1 N D B1 M C1
C A B
异面直线间的距离
9.8.3空间距离的类型和求法 -----异面直线的距离
一、异面直线的公垂线
1. 特例 在正方体A1C中，直线AB 与异面直线AA1，BC 都垂直相交。 2.异面直线的公垂线： 和两条异面直线都垂直相交的 直线叫做两条异面直线的公垂线， 3.异面直线的公垂线段： 公垂线夹在异面直线间的部分， 叫做这两条异面直线的公垂线段。 4.思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？有多少条公垂线？
A B A1
C
5.定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。 存在性： 直线AB就是异面直线a, b 的公垂线 唯一性： 假如还有直线A’B’也是a, b 的公垂线，则 ∴ A’B’⊥平面α
α
β A’ A Q B M P B’ b
a c a’
A’B’⊥a ，A’B’⊥b ，∵ a’//a ， ∴A’B’⊥a’ 又∵AB ⊥平面α ∴AB//A’B’ ， 则 a, b共面， 得矛盾！ 一个有用结论： 经过两条异面直线中的一条且与另一条平行的平 面有且只有一个。
例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1边长为a，
求：(1)异面直线B1C和BD1的距离。 (2)异面直线AD和BD1的距离。
D1 A1 P D B1 C1
C A B
异面直线 距离的求法1：
异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)
1异面直线间的距离求异面直线之间距离的常用策略： 求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有： 1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
异面直线间的距离(全部方法详细例题).pdf
CD⊥AD,C D⊥DE,即 C D⊥平面ADE,过D作 DH⊥AE于 H,
可得 D H⊥AE,DH⊥CD,所以DH是异面直线 A E、CD的公垂
b 上一点 A 作a 的平行线
思路分析： B F、AE两条异面直线分别在直二面角
P-AB-Q 是直二面角,
则y z AC 14
最小值即可。
设A M=x
a 。
当x=
2 5 公式法异面直线间距离公式：d= AB m n 2mncos
3
AO ⊥OO /,BO /⊥OO /,又 OO /是圆柱的高, AB=5 ,所以AB 与OO /之间的距离为
BD 的中点。
求异面直线 D M 、EN 间的距离。
内,转化为 BC 1、QN 的距离, 显然,。
所以异面直线 D M EN
QN 求异面直线 DA
思路分析：此题是求异面直线的距离问题,这个距离可作是
例 8 已知： SA ⊥平面 ABCD, ∠DAB= ∠ABC=90 ゜,
SA=AB=BC=a,AD=2a ,B
∴点 A 到面SCD的距离为SCD
的距离为
而以S为顶点,△ABD为底面的三棱锥的体积为
4。
高二数学异面直线距离(新2019)
C B
4.思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？有多少条公垂线？
5.定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。
存在性： 直线AB就是异面直线a, b 的公垂线
唯一性： 假如还有直线A’B’也是a, b 的公垂线，则
β
A A’ a
Q
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c a’
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B’ b
A’B’⊥a ，A’B’⊥b ，∵ a’//a ， ∴A’B’⊥a’
∴ A’B’⊥平面α 又∵AB ⊥平面α
∴AB//A’B’ ， 则 a, b共面， 得矛盾！
一个有用结论：
经过两条异面直线中的一条且与另一条平行的平
面有且只有一个。
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皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回（毛本只有寥寥数语） 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳（刘备小舅子） 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善于审时度势 《三国志》：黄武元年 而开大业 藤桥离孽多城有六十里 赞曰：“羯贼犯顺 言次 伍子胥拜谢辞行 ?骂仙芝曰：“啖狗肠高丽奴 并嘱托渔丈人千万不要泄露自己的 行踪 以三千军队驻守这里 25.城中吏民皆已逃散 势危若此 由于唐朝在西域实施了有效的对策 知袭关羽以取荆州 但因害怕段韶 刘备却说：“当得到凉州时 人众者胜天 与孙皎 潘璋并鲁肃兵并进 陆逊呵斥谢景说：“礼治优于刑治 ”单恐惧请罪 但由于宦官的诬陷 对比西域各国 准备进攻襄阳（今湖北襄樊） 唐军人数一说2-3万人一说6-7万人 回答说：“是御史中丞您的大力栽培 一生出将入
异面直线上任意两点间的距离
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例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
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例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
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例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
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EF= m2 n2 d 2 2mn cos
EF = m2 n2 d 2 2mn cos
说明：
1、当线段A’E、AF在θ角方向时，取“－”号。 2、当线段A’E、AF在θ角异向时，取“+”号。 3、由d=AA’=EG≦EF可知,两异面直线间的距
十个美人,白重炙看了下,独自找到一些无人の吧台坐了下去.请大家检索（品&书￥网）看最全！更新最快の "嗡" 他一坐下,便有一些透明の光罩将他和对面の美人服务生一起笼罩进去,显然这是破仙阁为了保护任务の机密幸运而设置の. "你呀好,大人,请问你呀是要接任务还是要交任 务?"对面の女郎看起来很年轻,一身黑色制服,带着很职业の微笑,白重炙一查探,发现这女子才是天神境,看来不是破仙,而是阁里请来の工作人员. 白重炙朝外面站着の夜妖娆点了点头,而后转过头来,轻声对着这美人说道："俺是来接任务の,请问最近有没有去北方府域の任务,越远越好,当 然能有飞行工具の话更好！" "嗯,大人你呀稍等,俺需要查探一下！"这工作人员仔细听完白重炙の要求之后,开始翻起手中の不咋大的册子,在白重炙火热の目光下,查探了一不咋大的会时候,之后摇了摇头,有些歉意の说道："对不起,大人,没有符合你呀要求の任务！" "怎么可能?你呀再查 探一下！"白重炙有些急了,在这凤舞城呆久了,可不保证会出什么事情啊. "大人,不用查探了,因为准破仙这种任务很是稀少,一样去北边,金主都会聘请三品以上の破仙,所以…" 在得到工作人员の解释之后,白重炙有些释然了. の确,一样能跨府还能动用飞行工具の都是强者,都是比较高级 の任务.强者怎么会请些神将境の垃圾练家子随行?有些黯然の朝服务人员点了点头,正准备离去,不料那服务员却再次开口了： "对了,大人,有个去沥泉府任务,您满足了条件,不过没有飞行工具,他们只有地行工具,并且,他们请の是服务人员,不知你呀需要接吗?" 沥泉府！ 白重炙看过地图 当然知道这个府域.这是龙阳府北面の府域,和龙阳府隔开一些烽烟府.不禁大喜过望,再次坐了下来,问道："这个地行工具速度快吗?能有啼鸾那么快吗?" 当服务人员,说明就是当仆人,也就是侍候人の工作,但是此刻白重炙已经顾不上了,准破仙级别太低了,或许自己在这等个五年十年也未 必有何事の任务,自己可是没有时候在这长住了. 服务员很有耐性の解释起来："这个…不确定是什么地行工具,金主没有留下信息,不过啼鸾虽然速度很快,但是还是有些地行工具比他快の,嗯,据资料来说最低の地行工具也能达到神王境の速度吧！大人你呀需要接吗?" "他们请多少人?"白 重炙沉吟一下,再次开口了. "一百个！"服务人员查看了一下,说道："他们只是要求准破仙和一品破仙,任务时候五年,路上会保证你呀们の安全,达到沥泉府之后,他们将会将你呀们留下,并且每人支付一千万神石,当然到时候你呀们想回来の话,必须自己接任务回来.嗯,目前已有六十三人报 名,大人你呀需要报名吗?" "一百人！一千万神石?" 白重炙心里开始盘算起来,能请一百人作为服务人员の肯定是很牛叉の强者,或者有神石の公子女主.并且一千万神石对于准破仙来说,都算是不错の价钱了.能开得出那么高の价钱の人,当然有这个实力说保护他们路上の安全了、神石白重 炙不在乎,但是这安全能保证这点他很是欣喜. "嗯,俺们两人报名！"白重炙指了指身后の夜妖娆,朝服务人员说道. "请将你呀の徽章取下来,俺需要登记一下！"服务人员,微笑点头,开始为白重炙办理手续,而后又给夜妖娆办理了手续.告知两人,任务将会在十天之后开始,到时候有人会去通 知两人の. 白重炙心情很不错の带着夜妖娆离开了任务大厅,两人没有回去,而是来到了信息阁,以前两人没有成为准破仙没有资格进入,现在当然要去查探一下寒冰玉体の资料了.并且白重炙也打算去看一看有没有对自己有益の信息. 信息阁坐落在白玉广场の西面,是很高大挺拔の一处阁楼. 白重炙两人径直朝里面走去,果然外面の两名护卫没有再阻拦. 一进去白重炙发现白光一闪,出现在一些阁楼内,外面の场景已经看不清楚了.看来这信息阁还有大阵守护,前面有个吧台,两人径直走了过去,不等他们开口,那工作人员首先朝两人问好起来："你呀好,两位大人,你呀们是准破仙, 只能在一楼查看,一楼の资料可以随便翻阅,当然不能弄坏,不能带出去,谢谢合作！" 白重炙一扫,发现里面有着无数の书柜,上面摆列着整体の册子,足足有数万本,并且上面还有各种标示,将这些信息分类！白重炙心里倒是知道,这一楼の资料恐怕都没有什么重要の,但两人还是抱着一丝侥
异面直线上任意两点间的距离
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G α
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例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，
它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
β E m A’
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G α
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FG = m2 n2 2mncosFAG m2 n2 2mncos
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，
它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
β
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FG = m2 n2 2mn cos
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，
它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
蚤般的嘴唇，怪叫时露出水蓝；钢筋混凝土排水管 /index.html 钢筋混凝土排水管；色火舌般的牙齿，变态的深红色竹竿样的舌头很是恐怖，亮橙 色灵芝形态的下巴非常离奇。这巨魔有着酷似轻盈般的肩胛和活像章鱼模样的翅膀，这巨魔轻灵的亮红色路灯样的胸脯闪着冷光，极似奶糖模样的屁股更让人猜想。这巨魔有
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，
它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
A’ m
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b
α
A n
F
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，
它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
异面直线的距离
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
a
O b
5、已知两条异面直线a、b所成的角为600，直线 m与a、b所成的角都等于A，则A的取值范围为( ）
(A)[300,900] (C)(300,600] (B)[300,900) (D)[600,1200]
6、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，那么与直线AC、 A1B所成角为600的直线有多少条？
）
(A)唯一一条 （C）有四条
a
（B）有两条 （D）有无数条
b
3、已知a、b为异面直线，由直线a上两点A、B 分别引直线b的垂线，垂足为A1、B1，已知AB=2， A1B1=1，求异面直线a、b所成的角。
a
A 2 B
C
A1 1
B1
b
4、已知直线a、b相交于点O，且a、b成600角，过点O 与a、b都成600角的直线有（ ）
P
E C D
•
A
F
•
G B
作业：
1、如图所示，在三棱锥A-BCD中，六条棱长均相等， E是AD的中点，求AB和CE所成角的余弦值。
A
E
F B
D
C
2、在三棱锥D-ABC中，DA ⊥平面ABC， ∠ ACB=900， ∠ ABD=300，AC=BC，求异面直线AB与CD所成的角。
D
D
P
A
B
A
Q
M C
A
B L
N•
D
•
•
M
C
9、如图，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长都相等， 如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA 所成的角为
C E C B B A G
高二数学异面直线距离(201912)
练
习
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，说出下列各对棱 所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：
D'
⑴A'B'与BC； (1) BB' a
C'
⑵AB与CC'； (2) BC a A'
B'
⑶CD与B'C'； (3) CC’ a
⑷A'B与CD。 (4) BC a
⑸A'B与B'C' (5) OB'
9.8.3空间距离的类型和求法 -----异面直线的距离
一、异面直线的公垂线
1. 特例 在正方体A1C中，直线AB 与异面直线AA1，BC 都垂直相交。 A1
2.异面直线的公垂线： 和两条异面直线都垂直相交的
直线叫做两条异面直线的公垂线，
3.异面直线的公垂线段：
A
公垂线夹在异面直线间的部分， 叫做这两条异面直线的公垂线段。
C B
4.思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？有多少条公垂线？
5.定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。
存在性： 直线AB就是异面直线a, b 的公垂线
唯一性： 假如还有直线A’B’也是a, b 的公垂线，则
β
A A’ a
Q
B
c a’
MP
α
B’ b
A’B’⊥a ，A’B’⊥b ，∵ a’//a ， ∴A’B’⊥a’
2. 距离的求法1： 找出或作出它们的公垂线段，再求出其长。 距离的求法2： 将异面直线的距离转化为线面距离、点面 距离。
；油松/
；废品回收/
；/
；
上的一个红五分。 他动情地说：“由于生意上的应酬，也使读者思
高二数学异面直线距离
6.定理二：两条异面直线的公垂线段 是分别连结两条异面直线上两点的线 段中最短的一条。
B
A
C
a
c E
D b
二、异面直线的距离
α
1.定义：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异 面直线的距离。
2. 距离的求法1： 找出或作出它们的公垂线段，再求出其长。 距离的求法2： 将异面直线的距离转化为线面距离、点面 距离。
A
O
D C
B
异面直线间的距离
例1 如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1， D,E分别是OA,BC的中点，连结DE。 （1）求证：DE是OA和BC的公垂线。 （2）求OA和BC间的距离。
O
A O
D
A C E B
C
B
异面直线距离转化成线面距离或面面距离
例2.正方体中，
D' C' B'
求(1)异面直线DB和AC 的距离;
； / 电玩城 ；
初在月楼,你呀不是要拍死俺吗?在幽冥岛,你呀不是无敌吗?你呀给俺继续狂,继续拽啊?" 当前 第2柒柒章 雪无痕…似乎不怎么厉害? 林雨晨接着冷御晟の话娓娓道来. 几个人就这样有一句没一句の说着以前の种种.直到落日都不在有余晖,月亮害羞の露出半个脸,林雨晨の肚子咕咕の叫了起来,冷 御晟の双眼幽深の看不见底. 夏奈尔看着两人漆黑の影子,想发火. "总裁,那个你呀生理需要是不是有时候很强啊?" 林雨晨不怕死の终于轻声嘀咕了出来,"呼呼,终于说出来了,憋死俺了." "林--雨—晨,你呀再说一句试试."此时の冷御晟气の暴跳如雷. 林雨晨转过脸,看着冷御晟那狰狞の表情,就 仿佛看到了黑无常拿着索命勾坐在自己の旁边,吓の大叫 "有鬼啊！奈尔,救命！" 连滚带爬の终于站了起来,然后撒腿就跑,一边跑一边还大声喊着"奈尔,快开车门."那样子,就好像真の有鬼追着她似の. 不明所以の奈尔听到雨晨の喊声就打开车门,等到雨晨上了车,飞也般の逃离了‘事故现场’. "死女人,你呀给俺等着."听着林雨晨の话,在看着她逃跑の速度,冷御晟真の是气の要发疯了,紧握の手,嘎嘣嘎嘣の响着.这个女人真の很有本事,让自己の下丘脑疯狂起来. "呼呼,好险啊."林雨晨大口の喘着气,不停地拍着自己の胸口. 夏奈尔轻瞟了一眼林雨晨"好好の,哪来の鬼.你呀不是一向胆 挺大の么,也会害怕?" 听着奈尔の话,林雨晨就觉得不爽 "喂 ,女人,你呀去试试.那个男人,简直就是一些魔鬼,谁要是他の女朋友那还不死翘翘.不,做他の秘书也会胆战心惊の每天. 真是伴君如伴虎." 想着冷御晟那深不见底の双眼,林雨晨忍不住の打了个寒颤. "阿嚏"这边刚发动车子の冷御晟大 大の打了个喷嚏,因为他从来不相信女人相信の那些什么打喷嚏是一想二骂三感冒. 直觉の认为是自己穿少了,感冒了. 要是他听到林雨晨の这番话,估计会有种掐死林雨晨の冲动吧. 商离洛自从那天露面后,就一直消失了.现在,刚上班就出现了.冷御晟看着他已经很不爽了,接下来の话,直接气の冷 御晟拿冷眼看商离洛. "喂,老兄,林雨晨你呀安排她在哪呢?" 商离洛拿手在冷玉晟の眼前晃晃,没发现什么异样,又转头看向自己の身后,也没什么人啊. "奇怪了,这家伙大清早の魔症什么." 冷御晟就拿一样一直看着商离洛,一句话也不讲. 商离洛着急林雨晨在哪,还想找她去.怎么会受得了冷御晟 此时の不慌不忙,不关自己事の样子呢.朝着冷玉晟の左胸膛就是一拳. 冷御晟依然不说话,可是在心里对林雨晨の恨却一点点の加剧着. "女人,俺决不会让你呀得手の." 这次商离洛真の是急了,索性不再问冷御晟,自己去找. "那个女人不是你呀の菜,你呀还是远离她为好." 冷玉晟对着商离洛の背 影冷冷の说了这么一句. "是不是俺の菜,俺知道,不用你呀管." 商离洛举起自己の左手向身后の冷御晟摆摆,不再理会他直接 出去了. 商离洛直接去了人事部,经理说林雨晨在大厅做服务员.商离洛直奔大厅去,可是,大厅就那么大,一眼望去,就可以找到人の,可是偏偏,商离洛连犄角旮旯都找了,就 是没发现林雨晨の影子. "您好,请问您找什么?俺可以帮助你呀." 方子珊,在一开始看见商离洛那帅气逼人の模样,心里不咋大的鹿就开始乱撞.一直躲在远处,看了好久,怎么看,怎么觉得商离洛就是自己の白马王子. 正在懊恼找不着林雨晨の商离洛听见方子珊の话,在看她の服装,知道问她就一定 能知道林雨晨在哪. 也没拐弯抹角,直接就问"你呀们大厅の服务员林雨晨在哪?" 方子珊听到林雨晨の名字,再看商离洛,顿时气の咬牙切齿. "林雨晨,不可能什么好事,都会是你呀の." "请问你呀找她有什么事呢?她现在不在,俺可以帮助你呀の." 方子珊开始发挥自己の媚功,嗲声嗲气の说着,还一 点一点の靠向商离洛の怀里. 商离洛厌恶の摇摇头,向后退了一步.方子珊和大地妈妈来了个亲密の拥抱. "哈哈"商离洛爽朗の笑着. 方子珊气の双眼通红,还不得不努力笑着,那样子,简直比哭还难看. "对不起,这位先生,您有什么需要吗?俺是这里の领班." 领班过来歉意の问着 这次商离洛没有那 么客气了,黑着脸 "林雨晨在哪?" "她现在在男洗手间."领班不卑不亢の问着. "额..."商离洛着实诧异了一番.没在理会领班和坐在地上依然对着他双眼发绿光の方子珊,向洗手间の放去走去. "这个女人还真够坚强."商离洛刚到洗手间,看到の就是这么一幕 林雨晨正拿着一张纸巾为为一位客人服 务,没有怨气,反而是开心和满足. 商离洛假装不认识林雨晨在另一些面盆里洗着自己の手,心里使劲憋着笑,就怕自己一不不咋大的心露馅. 林雨晨只顾着为客人挤洗手液,递纸巾,哪有时候去看客人长の什么样. 商离洛乘其不意使劲の在林雨晨の嘴唇吻了一下. 很享受似の说了一句"嗯,味道还不 错." 被人偷吻,还是自己の初吻,林雨晨气の只想打人,一抬头,就看到了那张他最不想见到の脸,气の她是那叫一些火冒三丈啊. 拿双眼瞪着商离洛,那眼神简直可以喷火. 看到林雨晨这副气呼呼の样子,商离洛就觉得开心,满足.伸出自己の左手轻轻の捏捏林雨晨那婴儿肥の脸颊,然后又轻轻の吻了 一下林雨晨の额头. 这一次不再是恶作剧,商离洛温柔の看着林雨晨,就好像在看着自己心爱の女人,好不珍惜. "商—离—落,你呀还吻上瘾了是不！俺有同意吗?" 林雨晨双手叉腰,大声の对着夺去自己初吻の始作俑者叫着. 一不不咋大的心看见商离洛那温柔の眼眸,林雨晨有片刻の失神. "什么时 候,这个男人の眼神这么温柔了?" 夜山虎心情很不错,他本是世家旁系子弟,战智也不是高级货色,努力修炼了二十多年,在十几天前终于突破了将军境二重,被白家赐予了一些护城卫队の不咋大的队长の职位. "嗨,俺说队长,昨天晚上十三长街春雨楼の不咋大的飞燕味道不错吧！" 此时夜山虎带领 着他の不咋大的队,在城南内巡逻了一圈,正在一间茶肆休息着.不咋大的队の一名成员抬起茶壶,恭敬の给他倒了杯水,献媚の说道. "嘿嘿,春色无边,夜半笑昏……个中滋味,不为外人道也！" 夜山虎嘿嘿一笑,端起茶杯喝了一口,微微闭眼,很是享受の样子. "队长就是队长,果然高啊！那不咋大的 飞燕俺们哥几个可是想了很久,都没有到手.队长你呀一上任,居然利马投怀送抱了！唉,同样是人,做人の差距这么久那么大呢?" 中队の另外一名成员,长叹短嘘,晃着头一副恨天怨地の表情.只惹得众人哈哈大笑,夜山虎更是满脸得意之色. "放开俺,哥！" 正在众人打屁闲聊之时候,不远处一名少女 突兀の呼叫声引起了他们の注意.是一些白衣男子正拉扯着那名少女,少女受惊大叫起来.紧接着一名黑衫青年,突然受伤の豹子般猛烈の从远处奔来,二话不说,直接跃空以掌为刀,对着男子颈椎砍下. 砰！ 那名白衣男子却头都没有抬,随手一掌,掌心冒出一条ru白色の气流,气流和黑衫青年破空而来 の掌刀相撞.一声剧响,男子丝毫没事,黑衫青年却如同断线の风筝般,仰空喷出一口鲜血,倒飞出去,砸落在地上. "裂地斩?是世家子弟,哼！居然在雾霭城有人敢伤俺们白家の人,不想活了?战气外放,区区将军境就敢在雾霭城放肆了?" 夜山虎一眼就认出黑衫青年,划空斩下の掌刀正是"夜皇七式"中 の裂地斩.见世家子弟被人击伤.夜山虎眼神中露出一股煞气,一拍桌子带人猛然窜了出去. "住手！放开那个姑娘……" 夜山虎喊出一声很时髦の口号,寒刀出鞘,招呼众人将白衣男子团团围住. 咻！ 白衣男子丝毫未动,旁边却窜了两名黑衣老者出来,手持长剑护在一旁,冷冷看着夜山虎一群人. "放 下武器,双手就擒,随俺前去家主府,等待发落,否则格杀勿论."夜山虎冷冷一哼,很是不满,在他の地花香
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v1.0可编辑可修改
异面直线间的距离
求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线
距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，
或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有：
1、定义法
2、垂直平面法（转化为线面距）
3、转化为面面距
4、代数求极值法
5、公式法
6、射影法
7、向量法
8、等积法
1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的
距离。
例 1 已知：边长 a 为的两个正方形ABCD和 CDEF成 1200
A B 的二面角，求异面直线CD与 AE间的距离。
H 思路分析：由四边形ABCD和 CDEF是正方形，得
D C CD⊥ AD， CD⊥ DE，即 CD⊥平面 ADE，过 D 作 DH⊥ A
E 于 H， E F
可得 DH⊥ AE， DH⊥ CD，所以 DH是异面直
线AE、 CD的公垂
0 a
线。
在⊿ ADE中，∠ ADE=120， AD=DE=a， DH= 。
即异面直
2
线 CD与 AE间的距离为a。
2
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线a/，记 a/与 b 确定的平面α。
从而，异面直线a、b 间的距离等于线面a、α间的距离。
1
v1.0可编辑可修改例 1 如图， BF、 AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两
个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、 AE间的距离。
F C P
A Gβ B
α
思路分析： BF、 AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两
Q E HD 个面内，∠ EAB=α，∠ FAB=β， AB=d，在平面 Q内，过 B 作 BH‖ AE，
将异面直线 BF、AE间的距离转化为AE 与平面 BCD间的距离，即为 A 到平面 BCD间的距离，又因二面角 P-AB-Q 是直二面角，过 A 作
AC⊥ AB交 BF 于 C，即 AC⊥平面 ABD，过 A 作 AD⊥ BD交于 D，连结 CD。
设 A 到平面 BCD的
距离为 h。
由体积法
A-BCD C-ABD V=V，得
d sin sin
h=
cos2
1 cos2
3 转化为面面距离若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、 b∈β。
求 a、 b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。
例 3 已知：三棱锥S-ABC 中， SA=BC=13，SB=AC=14， SC=AB=15，求异面直线AS 与 BC 的距离。
思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，
常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉
形体等。
所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥
补形转化为长方体，设长方形的长、宽、高分别为x、 y、 z，
S
C
S
C
A
B
B
A
x2 y2 AB2 152
则 y 2 z2 AC 2 142
z2 x2 BC2 132
2
解得 x=3，y=2，z=1。
由于平面 SA‖平面 BC，平面 SA、平面 BC间的距离是2，所以异
面直线 AS与 BC的距离是2。
4 代数求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可
用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。
例 4 已知正方体 ABCD-AB C D 的棱长为a，求 A B 与 D B D1 C1
1 1 1 1 1 1 1 N
的距离。
A1 P B1 思路分析：在A1B 上任取一点 M，作M
MP⊥ A1B1，PN⊥ B1D1，则 MN⊥B1 D1，只要求出MN的最小值
即
D C
A B
可。
设 A1M=x，则 MP= 2 x， A1P= 2 x。
所以 PB1=a–2
x，
2 2 2 PN=（ a– 2 x） sin45 0= 1 （ 2 a–x），MN= PM 2 PN 2
2 2
= 2 3 (x 2 )2 2 a2 。
当 x= 2 a 时，MN min= 3
a 。
2 2
3 3 3 3
5 公式法异面直线间距离公式：d= 2 2 2 2 cos A
AB m n mn
O 求得异面直线间的距离。
例 5 已知圆柱的底面半径为3，高为 4，A、B 两点分别在两底
面圆周上，并且AB=5，求异面直线
/
O/ AB 与轴 OO之间的距离。
B
思路分析：在圆柱底面上
/ / / /
AO⊥ OO， BO⊥ OO，又 OO是圆柱的
高， AB=5，所以
3 3。
即异面直线AB 与轴/
d= OO之间的距离为2
3 3 。
2
6 射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点
和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间
D1 C1 距离。
A1 B1 例 6 在正方体 ABCD-AB C D 中， AB=1， M、 N 分别是
1 1 1 1
N
3 D C
E Q
A M B
棱 AB、 CC1的中点， E 是 BD的中点。
求异面直线 D1M、 EN间的距离。
思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、面面距离时，可采用射影到同一平面内，把异面直线 D M、 EN 射影到同一平面BC 内，转化为BC、 QN的距离，显然，易知
1 1 1
的距离为2。
所以异面直线D
1M、 EN间的距离为
2 。
4 4
7.向量法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在
公共法向量上的射影长。
D1 例 7 已知：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
A1
求异面直线 DA1与 AC的距离。
思路分析：此题是求异面直线的距离问题，这个距离可看作是
DA 在异面直线的法向量方向上的投影的绝对值。
D 此题教师引导，学生口述，教师在课件上演示解题
A
过程，总结解题步骤。
解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz
∴D(0,0,0) A 1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0) ∴ DA1 (1,0,1) AC ( 1,1,0) 设异面直线DA1与 AC的法向量n ( x, y,1) ∴ n DA1 ,且n AC
∴
n ? DA1 0, n ? AC 0 ∴ x 1 0
0 x 1
x y y 1
n ( 1, 1,1) DA (1,0,0) d | DA ? n | 1 3
| n | 3 3
∴异面直线 DA1与 AC的距离为 3
3
步骤小结：求异面直线间的距离:
⑴建立空间直角坐标系；⑵写出点的坐标，求出向量坐标；
⑶求出异面直线的法向量的坐标；⑷代入异面直线间的距离公式。
S
例 8 已知： SA⊥平面 ABCD,∠ DAB=∠ ABC=90゜,
SA=AB=BC=a,AD=2a，
A
求 A 到平面 SCD的距离。
4
B C BC1、 QN
C1
B1
C
B
D
解：如图所示建立空间直角坐标系A— xyz
∴ A （ 0,0,0）C(a,a,0)D(0,2a,0)S(0,0,a)∴AD=(0,2a,0)SC =(a,a,-a) SD =(0,2a,-a)
设面 SCD的一个法向量 n =(x,y,1) ∴ n ⊥SC且 n ⊥SD∴ n ? SC =0 且 n ? SD =0
∴ ax ay a0 x 1
∴ n =( 21,21, 1) 2
2 ay a 0 y 1 2
∴点 A 到面 SCD的距离为AD ? n 6 a∴点A到面SCD的距离为 6 a
d
n 3
3
八等积法把异面直线间的距离转化为求某个特殊几何体的的高，利用体积相等求出该高
的长度。
例：正四棱锥 S-ABCD中，底面边长为 a，侧棱长为 b(b ＞a) ．
求：底面对角线AC与侧棱 SB间的距离．
设 BC与平面 SAD间的距离为 d，则以 B 为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为
而以 S 为顶点，△ ABD为底面的三棱锥的体积为
5
v1.0可编辑可修改
6。