大物电磁学第三章习题静电场中的电介质

第三章 练习题
一、选择题
1、［ C ］关于D r
的高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？
(A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D r
为零．
(B) 高斯面上D r 处处为零，则面内必不存在自由电荷． (C) 高斯面的D r
通量仅与面内自由电荷有关．
(D) 以上说法都不正确．
2、［ D ］静电场中，关系式 0D E P ε=+r r r
(A) 只适用于各向同性线性电介质． (B) 只适用于均匀电介质． (C) 适用于线性电介质． (D) 适用于任何电介质．
3、［ B ］一导体球外充满相对介电常量为r ε的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为
E ，则导体球面上的自由电荷面密度0σ为：
(A)0E ε. (B) E ε. (C) r E ε . (D) 0()E εε- .
4、［ A ］一平行板电容器中充满相对介电常量为r ε的各向同性的线性电介质．已知介质表面极化电荷面密度为σ'±，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：
(A)
0σε'． (B) 0r σεε'． (C) 02σε'． (D) r
σε'
． 5、［ B ］一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电
场强度为0E r ，电位移为0D r
，而当两极板间充满相对介电常量为r ε的各向同性的线性电介
质时，电场强度为E r ，电位移为D r
，则
(A) 0
0,r E E D D ε==r r
r r ． (B) 00,r E E D D ε==r r r r
．
(C) 00,r r E E D D εε==r r r r ． (D) 00,E E D D ==r r r r
．
6、 [ C ]一空气平行板电容器，两极板间距为d ，充电后板间电压为U 。

然后将电源断开，在两板间平行地插入一厚度为d/3的与极板等面积的金属板，则板间电压变为
（A ）3U . (B)1
3U . (C) 23
U . (D U .
7、［ B ］一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种各向同性、均匀电介质，则电场强度的大小E 、电容C 、电压U 、电场能量W 四个量各自与充入介质前相比较，增大(↑)或减小(↓)的情形为
(A) E ↑，C ↑，U ↑，W ↑． (B) E ↓，C ↑，U ↓，W ↓． (C) E ↓，C ↑，U ↑，W ↓． (D) E ↑，C ↓，U ↓，W ↑．
8、［ B ］真空中有“孤立的”均匀带电球体和一“孤立的”的均匀带电球面，如果它们的半径和所带的电荷都相等．则它们的静电能之间的关系是 (A) 球体的静电能等于球面的静电能. (B) 球体的静电能大于球面的静电能. (C) 球体的静电能小于球面的静电能.
(D) 球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能． 9、［ B ］如图所示, 一球形导体，带有电荷q ，置于一任意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能量将
(A) 增大． (B) 减小． (C) 不变． (D) 如何变化无法确定．
10、[ D ]图示为一均匀极化的各向同性电介质圆柱体，已知电极化强度为P ϖ
，圆柱体表面上束缚电荷面密度0σ'=的地点是图中的
(A) a 点． (B) b 点． (C) c 点． (D) d 点．
二、填空题
1、分子的正负电荷中心重合的电介质叫做无极分子电介质，在外电场作用下，分子的正负电荷中心发生相对位移，电介质的这种极化形式叫：____ __极化。

参考答案：位移
2、在相对介电常量为r ε的各向同性的电介质中，电位移矢量与场强之间的关系是______ ．
参考答案案：E D r ϖϖεε0=
3、空气的击穿电场强度为 61210V m -⨯⋅，直径为0.10 m 的导体球在空气中时最多能带的
电荷为______________． (真空介电常量12212
08.8510C N m ε---=⨯⋅⋅)
参考答案：75.610C -⨯
4、一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常量为r ε的各向同性均匀电介质，这时两极板上的电荷是原来的______倍；电场强度是原来的 _________倍；电场能量是原来的_________倍． 参考答案： r ε，1，r ε
5、一平行板电容器，充电后切断电源，然后使两极板间充满相对介电常量为r ε的各向同性均匀电介质．此时两极板间的电场强度是原来的_____倍；电场能量是原来的______ 倍． 参考答案：1r ε，1r
6、一空气平行板电容器接电源后，极板上的电荷面密度分别为o σ±，在电源保持接通的情况下，将相对介电常量为r ε的各向同性均匀电介质充满其内．如忽略边缘效应，介质中的场强应为 ． 参考答案：00σε
7、一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质，已知相对介电常量为r ε．若极板上的自由电荷面密度为o σ ，则介质中电位移的大小D =______，电场强度的大小E =______． 参考答案：o σ，0()o r σεε
8、一个半径为R 的薄金属球壳，带有电荷0q ，壳内真空，壳外是无限大的相对介电常量为
r ε的各向同性均匀电介质．设无穷远处为电势零点，则球壳的电势U =____________．
参考答案：00/(4)r q R εεπ
9、一个半径为R 的薄金属球壳，带有电荷0q ，壳内充满相对介电常量为r ε 的各向同性均匀电介质．设无穷远处为电势零点，则球壳的电势U = ________．
参考答案：00/(4)q R επ
10、两个点电荷在真空中相距为1r 时的相互作用力等于它们在某一“无限大”各向同性均匀电介质中相距为2r 时的相互作用力，则该电介质的相对介电常量r ε=__________． 参考答案：2
22
1/r r
11、一空气电容器充电后切断电源，电容器储能W 0，若此时在极板间灌入相对介电常量为r ε 的煤油，则电容器储能变为W 0的_______ 倍．如果灌煤油时电容器一直与电源相连接，则电容器储能将是W 0的____________倍． 参考答案：1r ε， r ε
12、如图一根圆柱形电介质棒被均匀极化，极化强度P ρ
沿轴向.则该电介质A 底面上极化电
荷面密度='σ .
参考答案：-P
二、计算题
1、一平板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度62
0 1.7710C m σ-=⨯，将极板与
电源断开，使一块相对介电常量为8r ε= 的各向同性的线性电介质板充满极板之间，(真空
介电常量12212
08.8510C N m ε---=⨯⋅⋅)计算：
（1）电介质中的电位移D r 、场强E r 和电极化强度P r
的大小.
（2）电介质中任意一点的电场能量体密度e ω.
解：（1）插入电介质后，极板上自由电荷面密度不变，根据关于D ϖ
的高斯定理，可求得极
板间电位移的大小为
620 1.7710/D C m σ-==⨯
由0r D E εε=r r 的关系式得到场强E ϖ
的大小为
r
D
E εε0=
＝2.5×104
V/m
介质中的电极化强度的大小为
620e 0= (1) 1.5510/r P E E C m εχεε-=-=⨯
（2）电介质中任意一点的电场能量体密度
21242230111
8.85108(2.510) 2.210222
e r D E E J m ωεε--=⋅==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯r r
2、空气平行板电容器极板面积20.2S m =，板间距离210d m -=，充电后断开电源，此时
测得两极板之间的电势差3
0310U V =⨯.在两极板之间充满各向同性的均匀电介质后，极板
之间的电压降为310U V =.已知12212
08.8510C N m ε---=⨯⋅⋅。

求：
（1）电介质的相对介电常数（又叫相对电容率）r ε.
（2）电介质中的大小,,D E P r r r
的大小（SI 制）.
(3) 放入电介质前后，该电容器储存的能量之比W W 空气介质。

解：(1) 121000
20.2
8.910 1.810()10
S C F d ε---==⨯⨯=⨯ 1037000 1.810310 5.410q C U C --==⨯⨯⨯=⨯
710
03
5.410 5.410()10
q C F U --⨯===⨯ 10100 5.410 1.8103r C ε--==⨯⨯=
（2） 7
6200 5.410 2.710()0.2
q D C m S σ--⨯====⨯ 3521010()10
U E V m d -=== 【或5010()r D
E V m εε==】
1256200(1)8.910(31)10 1.810()r P E E C m εχεε--==-=⨯⨯-⨯=⨯
（或6-125-62
0 2.7108.91010=1.810)P D E C m ε-=-=⨯-⨯⨯⨯（）
（3） W W 空气
电介质=2
2
100
0100011 5.410322 1.810
Q Q C C C C --⨯⋅
⋅===⨯
3、一半径为R 的各向同性的线性电介质球，相对介电常量为r ε，球内均匀地分布着体密度为0ρ的自由电荷，试证明球心与无穷远处的电势差为
2
000(21)6r r
R U ερεε∞+=
证： 由关于D ρ
的高斯定理int 0q S d D S
=⋅⎰⎰ρρ和E D r ρρεε0=可求得：
球内： r E r
ρ
ρεερ003=
球外： r
e r
R E 2033ερ
=ρ ⎰⎰⎰
∞∞∞+=⋅=R R r r r R r r r E U d 3d 3d 20
3000
0ερεερϖϖ020236ερεερR R r +=()r r R εερ
ε02612+=
4、如图所示，一空气平行板电容器，极板面积为S ，两极板之间距离为d ，其中平行地放有一层厚度为t (t<d)、相对介电常量为r ε的各向同性的线性电介质．略去边缘效应，试求
其电容值。

解：设两个极板上的自由电荷面密度分别为为0σ和0σ-。

应用关于D ρ
的高斯定理
int 0q S d D S
=⋅⎰⎰ρ
ρ,可得两极板之间的电位移大小为
0σ=D
再由E D ρ
ρ~的关系E D r ρρεε0=知，空气中和介质中的电场强度大小分别为
000εσ=
E （空气中）， r
E εεσ00
= （介质中） 两极板之间的电势差为
()t t d Et t d E U r εεσεσ0000
0)(+-=
+-=()[]t d r r r
εεεεσ-+=100 电容器的电容为
()t
d S
U
S
C r r r εεεεσ-+=
=
100
【解法二】 看成二个电容串联：
t
d S
C -=
01ε， t
S
C r εε02=。

()t
d S C C C C C r r r εεεε-+=+=
10212
1
5、如下左图所示．一平行板电容器，极板间距离为d=10cm ，其间有一半充以相对介电常量
10=r ε的各向同性的线性电介质，其余部分为空气。

当两极间电势差为100 V 时，试分别
求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量。

解：如上右图，设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为1D ϖ、2D ϖ和1E ϖ、2E ϖ
，
则
12U E d E d == (a) 101D E ε= (b)
202r D E εε= (c)
联立解得
100021==
=d
U
E E V/m 29101C/m 1085.8-⨯==E D ε；28202C/m 1085.8-⨯==E D r εε
方向均相同,由正极板垂直指向负极板．
6、一导体球带电荷C Q 0.1=，放在相对介电常量为5=r ε 的无限大各向同性的线性电介质中．求介质与导体球的分界面上的束缚电荷Q '。

解：导体球处于静电平衡时，其电荷均匀分布在球面上．以r ()r R ≥为半径作一同心高斯
球面S ．按D ϖ
的高斯定理，可求出介质内半径r 的同心球面S 上各点电位移的大小
22
,4,,()4S
Q
D ds Q r D Q D r R r
ππ⋅===
≥⎰⎰
r r
Ò即 介质与导体球的分界面上各点的电场强度大小为
2
004R
R r
r D Q E R εεπεε=
=
电极化强度的大小为
02
1
(1)(1)
4R r R r
Q
P E R εεεπ=-=-
极化电荷面密度为：
2
1()(1)4R n R r R r Q P e P e P R σεπ'=⋅=⋅-=-=--r r
分界面上的束缚电荷为
21
4(1)0.8r
Q R Q C πσε''==--
=-
7、半径为R 的介质球，相对介电常量为r ε、其自由电体荷密度)1(0R r -=ρρ，式中0ρ为常量，r 是球心到球内某点的距离．试求： (1) 介质球内的电位移和场强分布．
(2) 在半径r 多大处场强最大？
解：(1) 在介质中，取半径为r '→r '＋d r '的同心薄壳层，其中包含电荷
()r r R r V q ''π'-==d 4/1d d 20ρρ()
r R r r ''-'π=d /4320ρ
取半径为r 的同心球形高斯面，应用D ϖ
的高斯定理，
⎰'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'π=πr
r R r r D r 03202
d 44ρ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-π=R r r 434430ρ 2034r r D R ρ⎛⎫
⇒=- ⎪⎝⎭
则介质内半径为r 的球面上各点的电位移为：
2034r r r D De e R ρ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
v ，
（r e 为径向单位矢量） 介质内半径为r 的球面上各点的电位移为：
()0/r E D εε=r r 20034r r r r e R ρεε⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
(2) 对()E r 求极值
0231d d 00=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=R r r E
r
εερ 得2
3
r R =，且因220d E dr <，所以： 2
3
r R =
处E 最大． 8、 三个电容器如图联接，其中C 1 = 10×10-6
F ，C 2 = 5×10-6
F ，C3 = 4×10-6
F ，当A 、B 间电压U =100 V 时，试求： (1) A 、B 之间的电容.
（2）当C 3被击穿时，在电容C 1上的电荷和电压各变为多少？
解：(1) A 、B 之间的电容为
F C C C C C C C 63
213
211016.3)(-⨯=+++=
(2) 当C 3被击穿时,`1C 上电压升到V U 100=，电荷为
C U C Q 31110-==
9、绝对介电常数为r ε均匀无限大的各向同性电介质中，有一半径为R 的金属球，金属球所带自由电荷为0Q 。

求静电场的总能量。

解：利用高斯定理及对称性分析，可以求出电介质中的电位移D ρ和电场强度E ρ
分别为：
r e r Q D 2
004πε=
ρ
，r e r Q E 2
004πε=
ρ )(R r ≥
金属球内的电位移D ρ和电场强度E ρ
均为零。

球内外电场的能量密度分别为：
01=e ω （R r <） 4
22
02
322r
Q E
D e επω=⋅=ρρ （R r >） 无论在球内还是球外，均取同心球壳为体元：
dr r d 24πτ=
则电场的总能量为：
2
0120124R e e e R
Q W d d d R ωτωτωτπε∞
=⋅=⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰电场存在的空间
2020.3.12。