信息光学第一章

§1-5 二维傅里叶变换
三、从傅里叶级数到傅里叶变换
写成两部分对称的形式:
G( f ) g ( x) exp( j 2 fx)dx


g ( x) G( f ) exp( j 2 fx)df


这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换
§ 1-5 二维傅里叶变换
四、定义及存在条件
f0
1
t
展开系数
a0
t
2
t
0
g ( x)dx
an
t
2来自百度文库
t
0
g ( x) cos( 2nf 0 x)dx
bn
t
2
t
0
g ( x) sin( 2nf 0 x)dx
零频分量、基频、谐频、频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开
§1-5 二维傅里叶变换
二、指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t，可以在(-,+ )展 为指数傅里叶级数:
傅里叶-贝塞尔变换
当 f(x,y)具有圆对称性，即仅是半径r的函数： f(x,y)= g( r, ) = g (r). 依据F.T.定义:
0
G( , f ) rg (r ) exp[ j 2r cos( f )]d d r
振幅谱 位相谱
描述了各频率分量的相对幅值和相移。
§1-5 二维傅里叶变换
五、广义 F.T.
对于某些不符合狄氏条件的函数，求F.T.的方法。
对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T.
例: g(x,y)=1，在(-, + )不可积
可定义: g(x,y)=lim 则

(3)
1. 当且仅当 f *(-x)= f(x) ，相关才与卷积相同。一般情况下， 相关运算与卷积运算的区别: f(x)要取复共轭 运算时f(x) 不需折叠 2. 互相关不满足交换律 rfg(x)=f(x) ★g(x) ≠ g(x) ★ f(x) = rgf (x) 相关计算要严格注意两个函数的顺序，以及哪个函数取复共轭。 由(3)式直接推论得:
g ( x) df g ( x) exp( j 2 fx)dx exp( j 2 fx)

展开系数或频率 f 分量的权重, G( f ), 相当于分立情形的Cn
由于t ∞ 相邻频率间隔: 1/t 0，写作df， 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 求和积分

1 j 2 f x
(e
jtf x
e
jtf x
重要推论: 则
根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义:
t
{rect(x)} =sinc(fx) {rect(x/t)rect(y/t)} =t2sinc(tfx)sinc(tfy)
sin(tf x ) ) t sinc(t f x ) fx
a0 c0 , 2
an jbn cn , 2
c n
an jbn 2
§1-5 二维傅里叶变换
三、从傅里叶级数到傅里叶变换
函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t，可以展为傅里叶级数:
g ( x) Cn 1
n
C
t 2 2

n
exp( j 2 n x)
§1-4 相关
二、自相关
当 f (x)=g(x)时，互相关变为复函数f(x)的自相关，定义为
rff ( x) f ( x)★ f ( x) f ( ) f * ( x)d


或：
rff ( x) f ( x)★ f ( x) f ( ' x) f ( ' )d '
*

由(4)式立即可得:
rff(x)= rff*(-x)
复函数的自相关函数是厄米函数 (实部为偶函数，虚部为奇函数) 实函数的自相关为实偶函数
§1-4 相关
二、自相关
由(3)式:
rff ( x) f ( ) f *[( x )]d f ( x) f * ( x)
G( , f ) d rg (r , ) exp[ j 2r cos( f )]dr
0 0 2
则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：
g (r , ) d G( , f ) exp[ j 2r cos( f )]d
0 0
2

§1-5 二维傅里叶变换
§1-5 二维傅里叶变换
极坐标下的二维傅里叶变换
则在极坐标中:
F ( cosf , sin f ) d f (r cos , r sin ) exp[ j 2r cos( f )]rdr
0 0 2
令:
G( , f ) F ( cosf , sin f ) g (r , ) f (r cos , r sin )
0 x0 x 1
rfh(x0)阴影部分的面积
x0 0
x
卷积与相关的结果不同
互相关的物理含义
rfg x, y f x, y ★g x, y
1. 互相关是两个信号之间存在 多少相似性的量度。 2. 两个完全不同、毫无关系的 信号，对所有位置，它们互 相关值为零。 3. 两个信号在一些部位存在相 似性，在相应位置上就存在 非零的互相关。

f ( )h( x )d
性质：
§1-4 相关
信息处理中的重要运算
一、互相关
考虑两个复函数 f (x)与g (x)，定义：
rfg ( x) f ( x)★g ( x) f * ( ) g ( x )d (1)


为函数f(x)与g(x)的互相关函数。 作变量替换 x+ = ’, 则
§1-5 二维傅里叶变换
四、定义及存在条件
f ( x, y) F ( f x , f y ) exp[j 2 ( f x x f y y)dfx df y


F(fx , fy)是f(x, y)的频谱函数 x, y, fx , fy 均为实变量， F(fx,fy)一般是复函数, F(fx,fy) =A(fx , fy)e jf (fx,fy)
展开系数Cn 频率为n/t的分量

§1-5 二维傅里叶变换
三、从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t t 2 n t

F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[ j 2 ( f x x f y y)dxdy

极 坐 标 变 换
2 2 r x y x r cos 空域 1 y tan ( x ) y r sin
f 2 f 2 x y f x cosf 频域 1 f y f tan ( f ) f y sin f x


记作: f(x,y)=
-1{F(f
x,fy)}。 显然
-1
{f(x,y)}= f(x,y)
综合可写: f(x,y)
F.T. F.T.-1
F( fx, fy )
f (x , y)和F(fx , fy )称为傅里叶变换对
x (y) 和 fx (fy )称为一对共轭变量，它们在不同的范畴 （时空域或频域）描述同一个物理对象。
常用函数： 矩形函数：rect(x)， 三角函数：Λ(x) 圆域函数：circ(r) 阶跃函数：step(x) 符号函数：sgn(x) sinc(x): sinc(x) 高斯函数：exp(iπx2) 脉冲函数：σ(x) 梳妆函数：comb(x) 定义及性质：
卷积运算： 定义：
g ( x ) f ( x ) h( x )
t
rect(x/t)rect(y/t) {rect(x/t)rect(y/t)}
{g(x,y)}=lim
t
x x {rect( )} rect( ) exp( j 2 f x x)dx t t

t / 2
t / 2
exp( j 2 f x x)dx
t /2 1 exp( j 2 f x x) t / 2 j 2 f x
函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有 有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数
F ( fx , f y )


f ( x, y) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy
为函数f(x,y)的傅里叶变换，记作： F(fx,fy)= {f(x,y)}=F.T.[f(x,y)], 或 f(x,y) F.T. F(fx,fy)

g ( x)
n
c
n
exp( j 2nf0 x), (n 0,1,2... ),
f0
1
t
展开系数
cn
t
1
t
0
g ( x) exp( j 2nf 0 x)dx
零频分量、基频、谐频、频谱等概念 指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表 示方式，一种系数可由另一种系数导出。
1
t
n级谐波频率:n/t
t t
g ( x) exp( j 2 n x)dx
1
相邻频率间隔：1/t
t
1 1 1 t 2 g ( x) t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t 2 n t
f(x,y): 原函数； F(fx,fy): 像函数或频谱函数 傅里叶变换的核: 积分变换: F ( x) f ( ) K ( , x)d

exp(-j2fx)
变换核
§1-5 二维傅里叶变换
四、定义及存在条件
由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:
f ( x, y) F ( f x , f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y
rfg ( x) f ( x)★g ( x) f ( ' x) g ( ' )d ' (2)
*

(1) 和 (2)两个定义式是完全等价的。
互相关是两个函数间存在相似性的量度。
§1-4 相关
一、互相关 与卷积的关系
由(2)式易见：

rfg ( x) f * ( x) g ( )]d g ( x) f * ( x)


若f(x)是实偶函数, 则:rff (x)= f(x)
对于非零复函数f(x)，
*
f(x) , 其自相关就是自卷积
rff (0)>0 为实值 |rff (x)| < rff (0)
证明: 利用施瓦兹不等式
（阅读：吕乃光《傅里叶光学》 P14-15）
自相关函数的物理含义：
自相关函数乃是自变量相差某一 大小时，函数值相关的量度。当 x=y=0 时，自相关计算结果有最 大值。
{g(x,y)}=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d (fx, fy) {1} = d (fx, fy)
按照广义变换的概念可以 得出一系列特殊函数的F.T.
§1-5 二维傅里叶变换
六、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换 （特别适合于圆对称函数的F.T.）
依F.T.定义:
rff 0 rff 0
当函数本身有平移时，改变了逐 点的相似性，自相关模减小。
§1-5 二维傅里叶变换
一、三角傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t，可以在(-,+ )展 为三角傅里叶级数:
a0 g ( x) (an cos 2nf0 x bn sin 2nf0 x), (n 0, 1, 2... ), 2 n1
rfg(x)= rgf*(-x)
(4)
h(x)
1
f(x)
h(x) 1
*
0 x h(-τ) 1
1
★
x
f(x) 1
0
x
0
0
x
f(τ)
1
h(τ-x0) f(x) 1
0 h(x0-τ) 1
x
0
1
τ
f(τ )
1 x0
0
x
h(x0-τ) (x0-τ) 0 τ
0 x0 1
τ
rfh(x)=f(x) ★h(x)
1
g(x)=f(x)*h(x) 阴影部分的面积g(x0)