高二数学圆的方程4PPT课件
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圆的一般方程 课件
(－1,5)，(5,5)，(6，－2)得
－5DD＋＋55EE＋＋FF＝＝－－5206，， 6D－2E＋F＝－40，
解得DE＝＝－－24，， F＝－20.
所以圆的方程是 x2＋y2－4x－2y－20＝0.
第四章 4.1 4.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
又圆心在第二象线，所以－D2 <0，即 D>0， 所以DE＝＝－2，4， 所以圆的一般方程为 x2＋y2＋2x－4y＋3 ＝0. [答案] (1)C
第四章 4.1 4.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
规律总结：求圆的方程有以下两种方法． (1)几何法．利用圆的几何性质确定出圆心和半径． (2)待定系数法．大致步骤为： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
第四章 4.1 4.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
5．圆(x－1)2＋(y＋ 3)2＝2 的圆心坐标与半径是( )
A．(1， 3)，2
B．(－1， 3)， 2
C．(1，－ 3)， 2
D．(－1，－ 3)，2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ[答案] C
第四章 4.1 4.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
第四章 4.1 4.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
新知导学 1．圆的一般方程 (1)方程：当 D2＋E2－4F>0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0 叫做圆的一般方程，其中圆心为__C_(_－__D2_，__－__E2_)__，半径为 r ＝_12___D_2_＋__E_2_－__4_F___. (2)说明：方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不一定表示圆．当且 仅当_D_2_＋__E_2_－__4_F_>_0__时，表示圆：当 D2＋E2－4F＝0 时，表示 一个点_(－__D_2_，__－__E2_)__；当 D2＋E2－4F<0 时，不表示任何图形．
2.4.1圆的标准方程课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
上，求此圆的标准方程．
解1：(待定系数法) 设圆C的方程为 ( x a )2 ( y b)2 r 2 ,
由已知条件可得
a b 1 0
2
2
2
(1
a
)
(1
b
)
r
， 解得a 3, b 2, r 5.
2
2
2
(2
a
)
(
2
b
)
r
∴圆心为C的圆的标准方程为( x 3)2 ( y 2)2 25.
问题1 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，
圆就唯一确定了．
由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得
到圆的方程．
新知探究一：圆的标准方程
问题2 在平面直角坐标系中，如何确定圆的方程呢？
y
设圆心A(a,b)和圆上动点M(x,y),半径为r.
A(1,1)
x
•
B(2,-2)
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0
上，求此圆的标准方程．
解3： ∵ A(1,1),B(2,-2)
3 1
2 1
线段AB的中点D( , ), k AB
3.
2 2
2 1
∴AB的垂直平分线方程为
y
l
•
A(1,1)
x
O
•
•
B(2,-2)
习题小结
圆的标准方程的两种求法
解1：(待定系数法) 设圆C的方程为 ( x a )2 ( y b)2 r 2 ,
由已知条件可得
a b 1 0
2
2
2
(1
a
)
(1
b
)
r
， 解得a 3, b 2, r 5.
2
2
2
(2
a
)
(
2
b
)
r
∴圆心为C的圆的标准方程为( x 3)2 ( y 2)2 25.
问题1 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，
圆就唯一确定了．
由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得
到圆的方程．
新知探究一：圆的标准方程
问题2 在平面直角坐标系中，如何确定圆的方程呢？
y
设圆心A(a,b)和圆上动点M(x,y),半径为r.
A(1,1)
x
•
B(2,-2)
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0
上，求此圆的标准方程．
解3： ∵ A(1,1),B(2,-2)
3 1
2 1
线段AB的中点D( , ), k AB
3.
2 2
2 1
∴AB的垂直平分线方程为
y
l
•
A(1,1)
x
O
•
•
B(2,-2)
习题小结
圆的标准方程的两种求法
高二数学圆的方程4
相 切
有 且 只 有 一 方程组有且 个公共点 只有一个实 d = r △=0 根
相 离
没有公共点
方程组无实 根
d>r
△<0
练习：
判定直线l：3x +4y－12=0 与圆C：(x-3)2 + (y-2)2=4的位置关系
代数法： 3x +4y－12=0 d r
(x-3)2 + (y-2)2=4
消去y得：25x2-120x+96=0
2 5 ( x 3) ∴所求切线方程为 y 5
即2x 5 y 6 0
例2.求由下列条件所决定圆x2+y2=4的切线方程. (3)斜率为-1 解：(3)设圆的切线方程为
y x b
2
代入圆的方程，整理得 2 x2 2bx b2 4 0 ∵直线与圆相切 2b 4 2 b2 4 0
k PR
3 7 21 , k PQ , k PA 2 2 20
21 3 7 所以, k 或 k 20 2 2
例2.求由下列条件所决定圆x2+y2=4的切线方程. (1)经过点 P ( 3,1)
解:(1)
( 3) 1 4
2
∴点
P( 3,1) 在圆上，
故所求切线方程为
3x y 4
方程组有两解 两个交点Biblioteka 相交=0<0
方程组有一解
方程组无解
一个交点
无交点
相切
相离
直线与圆的位置关系的判定 几何方法
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
d>r d=r d<r
判定方法 位置 关系 相 交 图形 几 何特 征 有两个公共 点 方程特征 几 何 代数 法 法 △>0
圆的方程 课件 高二 人教A版(精品)
C
[解析] 设圆心 的坐标为 ，圆的半径为 ，因为圆心 在直线 上，所以 。因为 ，所以 ，解得 , ,所以 。所以方程为 。
二、易错题
4.（错用点与圆的位置关系致误）若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是( )A. B. C. 或 D.
A
[解析] 设圆心为 ，半径为 ，圆 被 轴分成两部分的弧长之比为 ，则其中劣弧所对圆心角为 ，由圆的性质可得 ，又圆被 轴截得的弦长为4，所以 ，所以 。变形为 ，即 在双曲线 上，易知双曲线 上与直线 平行的切线的切点为 ，此点到直线 的距离最小。设切线方程为 ，由
类型二 与圆有关的轨迹问题
【例2】（1） 平面内到两定点 ， 的距离之比等于常数 （ 且 ）的动点 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。已知 , , ，则点 的轨迹围成的平面图形的面积为( )A. B. C. D.
B
[解析] 设 ，由 ，得 , , ， ，则点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以所求面积 。
2.（微考向2）已知点 为圆 上一点， 为圆心，则 （ 为坐标原点）的取值范围是( )A. B. C. D.
C
[解析] 将圆 的方程 化为 ，所以圆心 的坐标为 。所以 。而 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 ,即 。因此 ，从而 （ 为坐标原点）的取值范围为 。故选C。
2.点与圆的位置关系 平面上的一点 与圆 之间存在着下列关系：
（1） 在_______，即 在圆外；
（2） 在_______，即 在圆上；
（3） 在_______，即 在圆内。
圆外
圆上
圆内
小题·微演练
一、基础题
1.圆 的圆心坐标是( )A. B. C. D.
[解析] 由题意可设点 的坐标为 ，因为满足 ，由两点间的距离公式可得 ，即 ，所以 即为点 的轨迹方程。故选B。
[解析] 设圆心 的坐标为 ，圆的半径为 ，因为圆心 在直线 上，所以 。因为 ，所以 ，解得 , ,所以 。所以方程为 。
二、易错题
4.（错用点与圆的位置关系致误）若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是( )A. B. C. 或 D.
A
[解析] 设圆心为 ，半径为 ，圆 被 轴分成两部分的弧长之比为 ，则其中劣弧所对圆心角为 ，由圆的性质可得 ，又圆被 轴截得的弦长为4，所以 ，所以 。变形为 ，即 在双曲线 上，易知双曲线 上与直线 平行的切线的切点为 ，此点到直线 的距离最小。设切线方程为 ，由
类型二 与圆有关的轨迹问题
【例2】（1） 平面内到两定点 ， 的距离之比等于常数 （ 且 ）的动点 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。已知 , , ，则点 的轨迹围成的平面图形的面积为( )A. B. C. D.
B
[解析] 设 ，由 ，得 , , ， ，则点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以所求面积 。
2.（微考向2）已知点 为圆 上一点， 为圆心，则 （ 为坐标原点）的取值范围是( )A. B. C. D.
C
[解析] 将圆 的方程 化为 ，所以圆心 的坐标为 。所以 。而 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 ,即 。因此 ，从而 （ 为坐标原点）的取值范围为 。故选C。
2.点与圆的位置关系 平面上的一点 与圆 之间存在着下列关系：
（1） 在_______，即 在圆外；
（2） 在_______，即 在圆上；
（3） 在_______，即 在圆内。
圆外
圆上
圆内
小题·微演练
一、基础题
1.圆 的圆心坐标是( )A. B. C. D.
[解析] 由题意可设点 的坐标为 ，因为满足 ，由两点间的距离公式可得 ，即 ，所以 即为点 的轨迹方程。故选B。
圆的标准方程课件高二上学期数学人教A版选择性
合作探究
方程 ① ， ② ③
是圆的方程吗？ 提 示 ： ① 是圆的方程，其中，圆心（-a, -b）,半径r.
② 不是. ③ 当m>0时，是圆的方程；
当m=0时，表示一个点； 当m<0时, 不是圆的方程.
合作探究
例1 求圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点，
是否在这个圆上.
分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就 可以得到这个点是否在圆上.
因为A，B是圆上两点，所以 所以
即 a-3b-3=0 ②
由①②可得 a=-3, b=-2. 所以圆心C的坐标为（-3，-2）
半径
所以，圆的标准方程是 .
合作探究
例3 已知圆心为C的圆经过A（1，1） B（2，-2）两点，且圆心C在直线 l: x-y+1=0 上， 求此圆的标准方程. 解法2： 设线段AB的中点为D. 由A，B两点的坐标为
提示： （1） （2） （3） （4）
课堂练习
4 判断点A（m，4）与圆 的位置关系是 （ ）
D
A.圆内
B.圆上
C. 圆外
D.圆上或圆外
课堂练习
5 △AOB的定点坐标分别是A（4，0），B（0，3），O（0，0）， 求它的外接圆的方程。
提示：
课堂总结
1 圆的标准方程
2点与圆的位置关系 3求圆的标准方程的方法：
待定系数法 几何法
圆心（a, b），半径r
板书设计
1 圆的标准方程 2点与圆的位置关系 3求圆的标准方程的方法
两两相减，得
得
代入 ， 得 所以，△ABC的外接圆的标准方程是 .
合作探究
例2 △ABC的三个顶点分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求
2.4.2圆的一般方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(3) 解出a, b, r或D, E, F, 得到标准方程或一般方程.
巩固练习
1、若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4
为半径的圆，则F＝______.
2、已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心
C(5,0)，则圆C的半径r＝_____.
3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值
解3： 线段OM 1的垂直平分线方程为
1
1
y ( x ),即x y 1 0.
2
2
线段OM 2的垂直平分线方程为
y 1 2( x 2),即2 x y 5 0.
x y 1 0
联立方程
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
新授课
第二章 直线和圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
温故知新
两要素：圆心 A(a,b)
半径 r
圆
的
标
准
方
程
( x a ) ( y b) r .
2
2
2
点与圆的位置关系
几何法
求圆的标准方程
三条件
待定系数法
与圆有关的最值问题
思想方法
类比法
坐标法
代数法
数形结合
新知探究
思考：一般地, 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后，会得出怎样的形式？
2
2
2
2
表示以(
)为圆心，
以
,
>0，
D
E
4F为半径的圆.
D +E -4F
巩固练习
1、若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4
为半径的圆，则F＝______.
2、已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心
C(5,0)，则圆C的半径r＝_____.
3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值
解3： 线段OM 1的垂直平分线方程为
1
1
y ( x ),即x y 1 0.
2
2
线段OM 2的垂直平分线方程为
y 1 2( x 2),即2 x y 5 0.
x y 1 0
联立方程
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
新授课
第二章 直线和圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
温故知新
两要素：圆心 A(a,b)
半径 r
圆
的
标
准
方
程
( x a ) ( y b) r .
2
2
2
点与圆的位置关系
几何法
求圆的标准方程
三条件
待定系数法
与圆有关的最值问题
思想方法
类比法
坐标法
代数法
数形结合
新知探究
思考：一般地, 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后，会得出怎样的形式？
2
2
2
2
表示以(
)为圆心，
以
,
>0，
D
E
4F为半径的圆.
D +E -4F
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第二讲一第2课时圆的参数方程
y＝1＋2tt2，
1 所以 y＝(1－x2)2，y2＝1－x2，
所以 x2＋y2＝1.
答案：D
4．已知圆的普通方程 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，则它 的参数方程为__________________．
解析：由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，
得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.
令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，
θ， θ
θ∈0，π2都表示同一圆．(
)
(4)圆的参数方程为xy＝＝2－si2n＋θ2cos
θ， (θ
为参数)，则
圆心坐标为(－2，0)．( )
x＝5sin 解析：(1)参数方程
θ， 消参后得到
x2＋y2＝
y＝5cos θ
25 ， 可 以 表 示 圆 ， 不 过 此 时 参 数 θ 的 几 何 意 义 与
审题指导：(1)先将圆的参数方程化为普通方程，然 后和直线方程联立方程组，解得交点的直角坐标，再化为 直角坐标．
(2)利用点到直线的距离公式求出距离，然后利用三 角函数知识求最值或结合圆的性质求最值．
[规范解答] (1)直线 l：y＝x＋4，圆 C：x2＋(y－2)2
＝4，(1 分)
y＝x＋4，
4
x＝4cos 的圆，而
y＝4sin
θθ，θ∈0，π2表示以原点为圆心，半径
为 4 的圆的一部分，故不正确．
(4)由圆的参数方程知圆心为(－2，0)，故正确． 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．圆(x－1)2＋y2＝4 上的点可以表示为( ) A．(－1＋cos θ，sin θ) B．(1＋sin θ，cos θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ) 解析：由圆的方程知圆心为(1，0)，半径为 2，故由
圆的标准方程ppt课件
M3 (3,3)是否在这个圆上。(课本85页）
解：圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是
y
M3
（ − ) + ( + ) =
把点M1（5，-7）代入圆得
把点M2（-2，-1）代入圆得
把点M3（3，3）代入圆得
（5-2)2+(-7+3)2=25，M1在圆上
（-2-2)2+(-1+3)2=20<25，M2在圆内
课堂小结
回顾两点间的距离公式
B（x2 ,y2）
定点到定点的距离
A（x1 ,y1）
知识回顾
知识探究
例题剖析
课堂小结
巩固练习
圆心（0，0）
圆心（0，0）
圆心（a，b）
半径 1
半径 r
半径 r
1
p(x ,y)
r
p(x ,y)
(a,b)
( − ) +( − ) =
( − ) +( − ) =
y
O
圆的标准方程的特点
1、明确给出了圆心坐标和半径；2、确定圆的
标准方程必须具备三个独立条件，即a、b、r。
3、是关于x,y的二元二次方程。
M（x,y)
A
（a,b)
x
知识回顾
例题剖析
知识探究
巩固练习
课堂小结
例1、 求圆心A（2,-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，-7），M2 (-2,-1)，
P={M| |MA|=r},
y
根据两点间的距离公式，点M的坐标（x,y)满足的条件可以表示为
（ − ） + ( − )
= r
两边平方，得
解：圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是
y
M3
（ − ) + ( + ) =
把点M1（5，-7）代入圆得
把点M2（-2，-1）代入圆得
把点M3（3，3）代入圆得
（5-2)2+(-7+3)2=25，M1在圆上
（-2-2)2+(-1+3)2=20<25，M2在圆内
课堂小结
回顾两点间的距离公式
B（x2 ,y2）
定点到定点的距离
A（x1 ,y1）
知识回顾
知识探究
例题剖析
课堂小结
巩固练习
圆心（0，0）
圆心（0，0）
圆心（a，b）
半径 1
半径 r
半径 r
1
p(x ,y)
r
p(x ,y)
(a,b)
( − ) +( − ) =
( − ) +( − ) =
y
O
圆的标准方程的特点
1、明确给出了圆心坐标和半径；2、确定圆的
标准方程必须具备三个独立条件，即a、b、r。
3、是关于x,y的二元二次方程。
M（x,y)
A
（a,b)
x
知识回顾
例题剖析
知识探究
巩固练习
课堂小结
例1、 求圆心A（2,-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，-7），M2 (-2,-1)，
P={M| |MA|=r},
y
根据两点间的距离公式，点M的坐标（x,y)满足的条件可以表示为
（ − ） + ( − )
= r
两边平方，得
2.4.1圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上.
把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25 的左边，
得(-2-2)2+(-1+3)2=20,左右两边不相等，
点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上
2、点与圆的位置关系
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),
5
( x 2) y 9
2
2
4.与圆有关的最值问题
(1).若P(x，y)为圆C上任意一点，圆外定点A，点P(x，y)到圆外定点A的距离d的最大值 CA rFra bibliotek最小值
CA r
例5.若P(x，y)为圆C(x＋4)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最
大值和最小值．
[提示] 原点到圆心C(－4,0)的距离d＝4，圆的半径为2，故圆上
A.点P在圆内
B.点P在圆外
B
C.点P在圆上
)
D.不确定
(2)已知点 M(5 +1, )在圆(x-1)2+y2=26 的内部,则 a 的取值范围是
解析:(1)因为(m2)2+52=m4+25>24,所以点 P 在圆外.
≥ 0,
(2)由题意知
(5 + 1-1)2 + ( )2 < 26,
定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的因素：圆心和半径
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
（圆心定位，半径定型）
思考2
在平面直角坐标系中，
已知圆心为A(a,b),半径为r,你能推导出圆的方程吗？
把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25 的左边，
得(-2-2)2+(-1+3)2=20,左右两边不相等，
点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上
2、点与圆的位置关系
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),
5
( x 2) y 9
2
2
4.与圆有关的最值问题
(1).若P(x，y)为圆C上任意一点，圆外定点A，点P(x，y)到圆外定点A的距离d的最大值 CA rFra bibliotek最小值
CA r
例5.若P(x，y)为圆C(x＋4)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最
大值和最小值．
[提示] 原点到圆心C(－4,0)的距离d＝4，圆的半径为2，故圆上
A.点P在圆内
B.点P在圆外
B
C.点P在圆上
)
D.不确定
(2)已知点 M(5 +1, )在圆(x-1)2+y2=26 的内部,则 a 的取值范围是
解析:(1)因为(m2)2+52=m4+25>24,所以点 P 在圆外.
≥ 0,
(2)由题意知
(5 + 1-1)2 + ( )2 < 26,
定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的因素：圆心和半径
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
（圆心定位，半径定型）
思考2
在平面直角坐标系中，
已知圆心为A(a,b),半径为r,你能推导出圆的方程吗？
圆的一般方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册
2.3.2 圆的一般方程
作者编号：、32200
学习目标
1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的 坐标和半径的大小. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
作者编号：、32200
新知导入
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 圆心C(a，b)，半径r. 试一试：把(x-a)2+(y-b)2=r2展开，会得到怎样的式子？
作者编号：、32200
课堂小结 根据本节课所学，回答下列问题： 1.圆的一般方程是什么？ 2.待定系数法求圆的方程的步骤有哪些？
作者编号：、32200
作者编号：、32200
新知学习
例1:下列各方程是否表示圆?若表示圆，求其圆心和半径.
(1)x2+y2+2xy=0; (3)2x2+2y2-3x+4y+6=0;
(2)x2+y2-4x=0; (4)x2+y2+2ax=0(a∈R).
解:(1)∵方程x2+y2+2xy=0中含有xy这样的项，∴不能表示圆. (2)由方程可知D=-4，E=F=0， ∵D2+E2-4F=D2=16>0，∴方程表示圆. ∵-D2=2，-E2=0，∴圆心为(2，0)，半径r= D2+E42−4F=2.
当λ=0时，方程②只有一组解
x
y
30,故原方程表示一个点(3,0)；
当λ＞0且λ≠1时，原方程表示一个圆心在点
3
, 1
0
，半径为
3
1
的圆.
作者编号：、32200
当堂检测
1.(多选)关于圆x2＋y2－4x－1＝0，下列正确的是(ABC ) A.关于点(2，0)对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称
作者编号：、32200
学习目标
1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的 坐标和半径的大小. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
作者编号：、32200
新知导入
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 圆心C(a，b)，半径r. 试一试：把(x-a)2+(y-b)2=r2展开，会得到怎样的式子？
作者编号：、32200
课堂小结 根据本节课所学，回答下列问题： 1.圆的一般方程是什么？ 2.待定系数法求圆的方程的步骤有哪些？
作者编号：、32200
作者编号：、32200
新知学习
例1:下列各方程是否表示圆?若表示圆，求其圆心和半径.
(1)x2+y2+2xy=0; (3)2x2+2y2-3x+4y+6=0;
(2)x2+y2-4x=0; (4)x2+y2+2ax=0(a∈R).
解:(1)∵方程x2+y2+2xy=0中含有xy这样的项，∴不能表示圆. (2)由方程可知D=-4，E=F=0， ∵D2+E2-4F=D2=16>0，∴方程表示圆. ∵-D2=2，-E2=0，∴圆心为(2，0)，半径r= D2+E42−4F=2.
当λ=0时，方程②只有一组解
x
y
30,故原方程表示一个点(3,0)；
当λ＞0且λ≠1时，原方程表示一个圆心在点
3
, 1
0
，半径为
3
1
的圆.
作者编号：、32200
当堂检测
1.(多选)关于圆x2＋y2－4x－1＝0，下列正确的是(ABC ) A.关于点(2，0)对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称
2.4.2 圆的一般方程课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册(共28页PPT)
1 2
D2 E2 4F 为半径的圆；
圆的一般方程
（2）当 D2
E2
4F
0 时，方程（1）只有实数解 x
D 2
，
y
E 2
，它表示一个点
D 2
,
E 2
；
（3）当 D2 E2 4F 0 时，方程（1）没有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2 E2 4F 0 时，方程（2）表示一个圆，我们把方程（2）叫做圆 的一般方程.
由于点 B 的坐标是 (4,3) ，且 M 是线段 AB 的中点，
所以 x x0 4 ， y y0 3 .
2
2
于是有 x0 2x 4 ， y0 2y 3 .①
点 M 的轨迹方程是指点 M 的坐标 x, y 满足的关系式.轨迹是指点在运动变化 过程中形成的图形.在解析几何中，我
因为点 A 在圆 (x 1)2 y2 4 上运动，
分析：如图，点 A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，点 A 的坐标满 足方程 x 1 2 y2 4 .建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以利用点 A 的坐 标所满足的关系式得到点 M 的坐标满足的关系式，求出点 M 的轨迹方程
例题来了
解：如图，设点 M 的坐标是 (x, y) ，点 A 的坐标是 (x0, y0 ) .
y
A (x1，y1)
B (x2，y2) M (x，y)
O
x
求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：根据题目中的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点 的坐标，并找出动点坐标的关系式.
（2）代入法（相关点法）：若动点 P x, y 随着圆上的另一动点Q x1, y1 运动而运 动，且 x1, y1 可用 x，y 表示，则可将点 Q 的坐标代入已知圆的方程，即动点 P 的 轨迹方程.
2.4.2圆的一般方程课件高二上学期数学人教A版选择性
(1)依题意设出待定系数方程; (2)列出关于待定系数的方程（组）; (3)解方程（组）得出系数，写出所求方程. 注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
圆心
半径
由于a, b, r均为常数
令 2a D,2b E, a2 b2 r 2 F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
思考
(x 1)2 ( y 2)2 4 (x 1)2 ( y 2)2 0 (x 1)2 ( y 2)2 1
配方可得：
探究新知
圆的一般方程: 说明：
(x 3)2 (y 3)2 1
2
2
注意：“轨迹”与“轨迹方程”的区别.
课堂小结
2.一般方程
配方 展开
标准方程
3.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程; ②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
4.轨迹方程的求法：待定系数法、相关点法
谢 谢！
不是 不是
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0
不是
D D
典例剖析
例1 判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径. 分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数. 解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20, ∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,
圆心
半径
由于a, b, r均为常数
令 2a D,2b E, a2 b2 r 2 F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
思考
(x 1)2 ( y 2)2 4 (x 1)2 ( y 2)2 0 (x 1)2 ( y 2)2 1
配方可得：
探究新知
圆的一般方程: 说明：
(x 3)2 (y 3)2 1
2
2
注意：“轨迹”与“轨迹方程”的区别.
课堂小结
2.一般方程
配方 展开
标准方程
3.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程; ②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
4.轨迹方程的求法：待定系数法、相关点法
谢 谢！
不是 不是
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0
不是
D D
典例剖析
例1 判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径. 分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数. 解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20, ∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,
2.4.1圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2
2
2
2.点与圆的位置关系（难点)
3.求圆的标准方程的方法：（重点）
① 直接法（利用几何性质）
作业：教材88页习题2.4
② 待定系数法
2、3、4题
必备知识 自主学习
3
关键能力 互动探究
课时规范训练
学习目标
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标
准方程．(重点)
2.由圆的标准方程写出圆心坐标及半径，并会求圆的标准方程．(难点)
4
必备知识 自主学习
关键能力 互动探究
课时规范训练
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
圆心坐标，半径
确定一个圆
必备知识 自主学习
5
课时规范训练
关键能力 互动探究
圆心A(a,b)，半径为r，圆上任意
y
一点M(x,y)满足 |MA|=r，即
O
A
x
r
M
两边同时平方，得
(x - a)2+(y - b)2= r2
必备知识 自主学习
6
关键能力 互动探究
课时规范训练
必备知识 自主学习
知识点一
圆的标准方程
必备知识 自主学习
1
关键能力 互动探究
课时规范训练
课堂导入
圆是一切平面图形中最美的图形。
——毕达哥拉斯
生活中关于
圆的例子
钟表、自行车轮、摩天轮、圆月......
如果建立一个平面直角坐标系,那么圆的
方程该如何表示?
2
必备知识 自主学习
2.4
关键能力 互动探究
课时规范训练
2
2
2.点与圆的位置关系（难点)
3.求圆的标准方程的方法：（重点）
① 直接法（利用几何性质）
作业：教材88页习题2.4
② 待定系数法
2、3、4题
必备知识 自主学习
3
关键能力 互动探究
课时规范训练
学习目标
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标
准方程．(重点)
2.由圆的标准方程写出圆心坐标及半径，并会求圆的标准方程．(难点)
4
必备知识 自主学习
关键能力 互动探究
课时规范训练
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
圆心坐标，半径
确定一个圆
必备知识 自主学习
5
课时规范训练
关键能力 互动探究
圆心A(a,b)，半径为r，圆上任意
y
一点M(x,y)满足 |MA|=r，即
O
A
x
r
M
两边同时平方，得
(x - a)2+(y - b)2= r2
必备知识 自主学习
6
关键能力 互动探究
课时规范训练
必备知识 自主学习
知识点一
圆的标准方程
必备知识 自主学习
1
关键能力 互动探究
课时规范训练
课堂导入
圆是一切平面图形中最美的图形。
——毕达哥拉斯
生活中关于
圆的例子
钟表、自行车轮、摩天轮、圆月......
如果建立一个平面直角坐标系,那么圆的
方程该如何表示?
2
必备知识 自主学习
2.4
关键能力 互动探究
课时规范训练
2.4圆的标准方程课件高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
试求 的取值范围 .
圆的标准方程：
(x-a)²+(y-b)²=r²
圆的标准方程的两种求法： 几何法，待定系数法
求点M 的轨迹方程方法： 建：建立坐标系
设：用坐标表示有关的量 限：限制条件
代：进行有关代数运算 化：化简
小结
判断点与圆的位置关系：
点在圆上d=r(xo-a)²+(yo-b)²=r²
点在圆外 d>r(x₀-a)²+(v₀-b)²<r²
1.求圆心为A(2,-3),半径为5的圆的标准方程，并判断点M(5,-7),N(-2,-1)是 否在这个圆上.
2.已知圆心为C的圆经过A(1,1),B(2,-2) 线l:x-y +1=0 上，求此圆的标准方程.
两点，且圆心C在直
圆的标准方程的两种求法
(1)几何法：它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代 入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程.
设M(x,y)为圆上任意一点
O A就是以下点的集合P={M|MA|=r}.
根据两点间的距离公式
点M的坐标满足的条件可以表示为√(x-a)²+(y-b)²=r, 两边平方，得(x-a)²+(y-b)²=r²
圆的标准方程： (x-a)²+(y-b)²=r²
圆的几何要素：圆 心 (a,b) 半径r
点M(x,y)在OA 上，点M的坐标就满足上述方程； 反过来，若点M 的坐标(x,y)满足上述方程，就说明点M 与圆心A间的距离为r,点 M就 在OA上，这时我们把方程称为圆心为A (a,b),半径为r 的圆的标准方程.
已知点P(1,-1) 在圆(x+2)²+y²=m 的内部，则实数m的取值范围是
圆的标准方程课件高二上学期数学人教A版选择性(4)
3．点与圆的位置关系及判断方法 点 M(m，n)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系的判定方
法如表：
判定方法
位置关系 几何法：用|MC| 代数法：用圆的标准方程来
解析：因为(5 a＋1－1)2＋( a)2＝26a，又点 M 在圆内， 所以 26a<26，且 a≥0，解得 0≤a<1.
答案：[0,1)
规律归纳 判断点 P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系有 几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的
距离与半径比较大小．
对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，
∴xx＋－yy－＝20＝，0， 解之，得yx＝＝11，， 即圆心坐标为(1,1)． ∴圆的半径为 r＝ 02＋[1－－1]2＝2. ∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
题型三、点与圆的位置关系
【例 3】 已知两点 P(3,8)，Q(5,4)，试分别判断点 M(6,3)， N(3,5)在以线段 PQ 为直径的圆上，圆内，还是圆外？
圆的标准方程
知识导学
1．在直角坐标系中，当圆心与半径确定后，圆就 唯一确定了．因此，确定圆的最基本要素是圆心和半径．
2．在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心 A(a，b)， 半径长为 r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
若点 M(x0，y0)在圆上，则点 M 的坐标就适合方程， 即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；反之，若点 M(x0，y0)的坐标 适合方程，这就说明点 M 与圆心的距离为 r，即点 M 在 圆心为 A 的圆上．
解析：由于 32＋42＝25>9，所以点 A 在圆 C 外．
答案：C
4．过点 A(2，－2)、B(－2,2)且圆心在直线 x＋y－2 ＝0 上的圆的方程是( )
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2021
5
高2008级数学教学课件
练习：
判定直线l：3x +4y－12=0
d
与圆C：(x-3)2 + (y-2)2=4的位置关系
r
代数法： 3x +4y－12=0
(x-3)2 + (y-2)2=4
消去y得：25x2-120x+96=0
=1202-100×96=4800>0
所以方程组有两解，直线l与圆C相交
设对称圆圆心为C(a,b)，则
b (4)
a3 a3 b
(1) 4
0
1
a a
b b
7 1
a
b
4 3
2 2
所以，所求圆的方程是(x-4)2+(y+3)2=1
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15
高2008级数学教学课件
例4.已知⊙C:x2+y2-4x-14y+45=0，点Q(-2，3)， 若点P为⊙C上一点，求|PQ|的最值.
d=r
直线与圆相交
d<r
2021/3/14
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4
位置 关系
相 交
图形
相 切
相 离
2021/3/14
高2008级数学教学课件
几 何特 征
有两个公共 点
方程特征
判定方法
几 何 代数 法法
方程组有两 个不同实根 d<r △>0
有且只有一 方程组有且
个公共点
只有一个实 d = r △=0 根
没有公共点 方程组无实 d>r △<0 根
解:(2)直线l的方程为：y-(-1)=2(x-1)
圆心M到直线l的距离d= 5 5
故弦|AB|= 2 22 ( 5)2 2 95
5
5
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9
高2008级数学教学课件
例1. 过点P(1,-1)的直线l与圆M:(x-3)2+(y-4)2=4 （3）若圆的方程加上条件x≥3，直线与圆有且
∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离等于半径
| 3k | 2 k 2 5
1 k2
5
∴所求切线方程为 y 2 5 (x 3)
5
ห้องสมุดไป่ตู้
即2x 5y60
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13
高2008级数学教学课件
例2.求由下列条件所决定圆x2+y2=4的切线方程. (3)斜率为-1
解：(3)设圆的切线方程为 y xb
只有一个交点，求直线的斜率的取值范围. 解:(3)如图R（3，2），Q（3，6）
kPR3 2,kPQ7 2,kPA2 20 1
所 以 ,k21或3k7 20 2 2
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10
高2008级数学教学课件
例2.求由下列条件所决定圆x2+y2=4的切线方程. (1)经过点 P ( 3 ,1)
几何法，代数法 2.线段与圆弧的位置关系：
数形结合思想，运动变化观点(平移、 旋转、放缩)
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课堂练习
<<教材>> P.81
练习1.2
书面作业
高2008级数学教学课件
<<教材>>
P. 82
习题7.7– 10.11
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高2008级数学教学课件
例1. 过点P(1,-1)的直线l与圆M:(x-3)2+(y-4)2=4 （1）当直线和圆相切时，求切线方程和切线长。
解：（1)若直线l的斜率存在，
设l的方程：y-(-1)=k(x-1) 即 kx-y-k-1=0
因为直线与圆相切，
所以圆心M到直线l的距离d=r，即
B
•C •P
A
|QA||PQ||QB|
•
Q
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高2008级数学教学课件
例5.已知圆x2+y2y+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0相交于P、 Q两点，若PQ⊥OQ(O是原点)，求m的值.
y
P Q
x O
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高2008级数学教学课件
课堂小结： 1.直线与圆的位置关系：
Ax+By+C=0 由方程组： (x-a)2+(y-b)2=r2
mx2+nx+p=0（m≠0）
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
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高2008级数学教学课件
直线与圆的位置关系的判定 几何方法
直线与圆相离
d>r
直线与圆相切
|3k4k1|2解k得 21
1k2
20
若直线l的斜率不存在,则其方程为:x=1满足要求
故所求切线方程为21x-20y-41=0或x=1
在直角三角形PMA中，有|MP|= 29 ，R=2
所以切线长|PA|= ( 29)222 5
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8
高2008级数学教学课件
例1. 过点P(1,-1)的直线l与圆M:(x-3)2+(y-4)2=4 (2)若直线的斜率为2，求直线被圆截得的弦AB的长。
代入圆的方程，整理得 2x22bxb240
∵直线与圆相切 2 b 2 4 2b 2 4 0
b2 2
∴所求切线方程为 xy2 20
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14
高2008级数学教学课件
例3.求圆(x-3)2+(y+4)2=1关于直线x+y=0对称的 圆的方程.
解:圆(x-3)2+(y+4)2=1的圆心是C(3,-4)
解:(1) ( 3)2 14
∴点 P ( 3 ,1) 在圆上，
故所求切线方程为 3x y 4
2021/3/14
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12
高2008级数学教学课件
例2.求由下列条件所决定圆x2+y2=4的切线方程.
(2)经过点 Q (3, 0 )
解:(2) 32024, 点 Q 在 圆 外 。
设切线方程为 yk(x3) 即 kxy3k0
7.64圆的方程 (四)
高2008级数学教学课件
直线与圆的位置关系种类
种类: 相离切交(没一二有个交点)
相交(一个交点)
相交(二个交点)
2021/3/14
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高2008级数学教学课件
直线与圆的位置关系的判定 代数方法
直线方程l：Ax+By+C=0 圆的方程C：(x-a)2+(y-b)2=r2
2021/3/14
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练习：
高2008级数学教学课件
判定直线l：3x +4y－12=0
与圆C：(x-3)2 + (y-2)2=4的位置关系
d
几何法：
r
圆心C（3，2）到直线l的距离
d=
|334212| 1
32 42
因为r=2,d<r所以直线l与圆C相交
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
2021/3/14