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[精选]【测绘课件】测量平差--资料
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二、矩阵的转置
对于任意矩阵Cmn:
c11 c12 c1n
C
c21
c22
c2n
mn
cm1
cm2
cmn
将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。
用：
c11 c21 cn1
CT c12
c22
cn
2
评定测量成果的质量
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测量平差产生的历史
最小二乘法产生的背景 18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未 知数的最佳估值？
最小二乘的产生
1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘 1806年，A.M. Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。《决定彗星轨道的 新方法》 1809年， C.F.GUASS，《天体运动的理论》
地图制图与地理信息系统工程
课程安排
前修课程：高数、几何与代数、概率与 数理统计
课程分两个学期进行： 第二学年上学期：3学分 第三学年下学期：2学分
后续课程：测绘数据的计算机处理、控 制测量、近代平差
教学方式与内容
讲授为主，例题、习题相结合。 内容：本学期主要讲前五章的内容。 参考书目：
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误差：测量值与真值之差
由于误差的存在，使测量数据之间产生
矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛
盾，或者说是将误差分配掉，因此称为
平差。
(
)实际
180
( )理论 180
测量平差公式
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载测量平差公式地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容闭合导线坐标计算闭合导线计算式根据外业观测的边长、夹角和方位角以及其中一个导线点的坐标，结合平差计算，来推算其余各导线点的坐标。
设对闭合导线n个内角分别进行了观测，各个符号精度要求的观测值为，并对闭合多边形的n个边长分别进行了测量，各个符号精度要求的观测值为；其中一个导线点的坐标为；确定其余各个导线点的坐标x,1 角度闭合差的计算也调整（1）实测角度闭合差的计算闭合导线n个实测内角的和不等于其理论值（n-2）*180,其差称为角度闭合差以表示：(2)实测角度闭合差检核角度闭合差校核是将实测角度闭合差也同级导线角度闭合差的容许值，按各级导线测量主要技术要求比较，以确定角度综合限差是否满足要求。
这里角度综合限差采用图根导线数据，即=40。
（3）角度闭合差的调整若≤，则可以进行角度闭合的调整，否则，应分析情况重测。
角度闭合差的调整原则是，将以相反的符号平均分配到各个观测角中，即各点改正数为式=／n计算时，根据角度的取位的要求，改正数可凑整到1″、6″、10″.若不能均分，一般情况下，因短边角引起的误差较大，因此给短边角的夹角多分配一点，使各角改正数的总和也反号的闭合差相等，即2、推算各边的坐标方位角推算各边的坐标方位角目的是为了计算坐标增量。
推算方法根据起始方位角及改正后的转折角，按式依次推算出各边的坐标方位角。
或式中：----------第i条边的正方位角---------第i+1条的正方位角--------分别为第i-1条边与第i条边间所夹的左右角。
在推算过程中，如果算出＞360°，则应减去360°如果算出的＜0°，则应加上360°为了发现推算过程中的差错，最后必须推算至起始边的坐标方位角，看其是否与已知值相等，以此作为计算校核。
(完整word版)测量平差经典试卷含答案
一、填空题（每空2分，共20分）1、最优估计量应具有的性质为 、 和 最优估计量主要针对观测值中仅含 误差而言。
2、间接平差中，未知参数的选取要求满足 、 。
3已知条件平差的法方程为024322421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡k k ，则PV V T = ，μ= ， 1k p = ，2k p = 。
4、已知某平差问题，观测值个数为79，必要观测量个数为35，则按间接平差进行求解时，误差方程式个数为 ，法方程式个数为 。
5、已知某平差问题观测值个数为50，必要观测量个数为22，若选6个独立参数按具有参数的条件平差进行求解，则函数模型个数为 ，联系数法方程式的个数为 ；若在22个独立参数的基础上，又选了4个非独立参数按具有条件的参数平差进行求解，则函数模型个数为 ，联系数法方程式的个数为 。
6、条件平差中条件方程的个数等于________________,所选参数的个数等于_______________。
7、已知真误差向量1⨯∆n 及其权阵P ，则单位权中误差公式为 ，当权阵P 为 此公式变为中误差公式。
二、计算题（每题2分，共20分）1、条件平差的法方程等价于：A 、0=+W K Q KB 、0=+W Q K WC 、0=+W P K WD 、0=+W P K K答:______2、水准测量中，10km 观测高差值权为8，则5km 高差之权为：A 、2B 、4C 、8D 、16答:______3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆3112P ，则2L p 为：A 、2B 、3C 、25D 、35答:______4、间接平差中，L Q ˆ为：A 、TA AN 1- B 、A N A T1-C 、T A AN P11--- D 、A N A P T 11---答:______5、观测条件是指:A)产生观测误差的几个主要因素:仪器,观测者,外界条件等的综合B)测量时的几个基本操作:仪器的对中,整平,照准,度盘配置,读数等要素的综合 C)测量时的外界环境:温度,湿度,气压,大气折光……等因素的综合. D)观测时的天气状况与观测点地理状况诸因素的综合答:______ 6、已知观测向量()L L L T=12的协方差阵为D L =--⎛⎝ ⎫⎭⎪3112,若有观测值函数Y 1=2L 1，Y 2=L 1+L 2，则σy y 12等于？(A)1/4 (B)2 (C)1/2 (D)4 答:_____ 7、已知观测向量()L L L T=12的权阵P L =--⎛⎝ ⎫⎭⎪2113,单位权方差σ025=,则观测值L 1的方差σL 12等于:(A)0.4 (B)2.5 (C)3 (D)253答:____ 8、已知测角网如下图,观测了各三角形的内角,判断下列结果,选出正确答案。
《测量平差》学习辅导
《测量平差》学习辅导第一章测量平差及其传播定律一、学习要点（一）内容：测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。
（二）基本要求：1．了解测量平差研究的对象和内容；2．掌握偶然误差的四个概率特性；3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；4．了解权的定义与常用的定权方法；5．掌握协方差传播率。
（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。
（四）难点：协方差、协因数传播率二、复习题（一）名词解释1．偶然误差2．系统误差3．精度4．单位权中误差（二）问答题1．偶然误差有哪几个概率特性?2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?（三）计算题σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，dσ。
σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s三、复习题参考答案 （一）名词解释1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。
4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。
（二）问答题1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。
2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则定义：22ip σσ=，称为观测值L i 的权。
(整理)测量平差
测量平差一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。
人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。
测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。
2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
①观测值线性函数的方差： 函数向量：Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为：ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D TXZYTXYZTXZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵t×n×n ×t×n T n XX t t ZZ K D K D =③非线性的协方差传播T XX ZZ K KD D =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。
权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i iiP ,...,2,1220==σσi P 为观测值i L 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。
②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。
确定一组权时，只能用同一个0σ，令0σσ=i ，则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。
凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。
权为1的观测值，称为单位权观测值。
无论20σ取何值，权之间的比例关系不变。
③ ⅰ.水准测量的权NC P h =式中，N 为测站数。
SC P h =式中，S 为水准路线的长度。
ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中，i S 为丈量距离。
ⅲ.等精度观测算术平均值的权CP ii N=式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。
测量平差课后习题答案 张书毕
P点坐标的中误差为： x 0.17m, y 0.06m 将各点值代入函数得： X P 2462.66m,Y P 5842.59m p点坐标为x=2462.66 0.17m,y=5842.59 0.06m
10
.解答：
千米 =
AB
1 1 站 站 0.0075 3m s 0.08
向量 X 1 Y1 X 1
（1） 试求坐标差函数 X X 2 X 1 与 Y Y 2 Y1 的方差—协方差阵； （2） 求两点间边长 S X 2 Y 2 与坐标方位角T arctan(Y / X )的方差 —协方差阵。 解答： （1） 向量 X 1 Y1 X 1 Y 2 T 的协方差阵得
6
d x
.解答： 由题意可知:
S AB cos 1 cos TAB 3
S AB sin 1 sin TAB 3
'' sin 2
d 1
S AB sin 1 cos 2 cos TAB 3
'' sin 2 2
d 2
'' sin 2
1 1 f h H A h1 h2 H B 2 2
P
LL
5 8 1 1 协因数阵Q P LL LL 4 1 8 2 32 Q 0 5 Q D LL 0
2
1 8 5 2 1 1 1 2 4 2 4 8 1 2 5 5 8
2
4
.解答：
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《测量平差》参考答案 Ch1---Ch4
2 1 0 P LL 1 3 1 0 1 2 Q P LL Q Q
测量平差教案范文
测量平差教案范文标题：测量平差教案一、教学目标：1.了解测量平差的概念和作用；2.掌握水准测量、三角测量平差的基本方法；3.熟悉测量仪器的使用和测量数据的处理；4.培养学生的观察力、分析能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1.测量平差的概念与作用2.水准测量平差的基本原理和方法3.三角测量平差的基本原理和方法4.测量仪器的使用和测量数据处理三、教学过程：1.导入：通过提问的方式带领学生回忆前几节课所学的内容，引出测量平差的概念和作用。
2.概念讲解：向学生介绍测量平差的定义和作用，通过实例和图片展示平差的必要性。
3.水准测量平差：a.原理讲解：向学生简要介绍水准测量平差的原理，包括高差测量、高程调整等。
b.方法讲解：详细讲解水准测量平差的基本方法，如：闭合路径法、开闭路径法等。
c.实操演练：组织学生进行水准测量平差的实操演练，让学生亲自操作测量仪器并记录测量数据。
d.数据处理：教导学生如何处理测量数据，包括计算高差、纠正误差等。
4.三角测量平差：a.原理讲解：向学生简要介绍三角测量平差的原理，包括角度观测、距离观测等。
b.方法讲解：详细讲解三角测量平差的基本方法，如：多边形闭合差法、角平差法等。
c.实操演练：组织学生进行三角测量平差的实操演练，让学生亲自操作测量仪器并记录测量数据。
d.数据处理：教导学生如何处理测量数据，包括计算角度、距离、误差的平差等。
5.测量仪器的使用和测量数据的处理：a.仪器使用：向学生介绍常见的测量仪器，如水准仪、全站仪等，指导学生正确使用这些仪器。
b.数据处理：教导学生如何合理、准确地处理测量数据，包括数据整理、误差分析、平差计算等。
四、教学评价：1.实操评估：设计水准测量和三角测量的实操评估，检验学生的操作技能和数据处理能力。
2.论文撰写：要求学生完成一篇关于测量平差的论文，要求包括理论知识、实操经验和结果分析等。
五、教学延伸：1.实地考察：组织学生进行实地考察，应用所学的测量平差方法进行实测实量，加深学生对平差方法的理解和掌握。
第1讲测量平差绪论PDF
多余观测：必要观测以外的观测 必要观测：测量中可确定全部未知量所 需的最少的观测（必需观测） 测距：
观测一次，可确定两点间的距离 实际测量，进行n次测量 必需观测数＝1 多余观测数＝n-1
18
一、测量平差基本概念
2、多余观测（Redundant Observation）
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一、测量平差基本概念
2、多余观测（Redundant Observation）
多余观测：必要观测以外的观测 必要观测：测量中可确定全部未知量所需的 最少的观测（必需观测）
例：
L2 L1
观测任意两个角度，可确定一个三角形 实际测量中，三个内角都观测 必需观测数＝2
L3
多余观测数＝1
17
一、测量平差基本概念
[ pvv ] 最小
V T PV 最小
23
p1 P
p2
pn
一、测量平差基本概念
4. 测量平差（ 测量平差 Adjustment of Observation）
定义：在多余观测的基础上，依据一定的观测模 型，按照最小二乘原理，对观测结果进行合理的 调整，求得一组没有矛盾的最可靠结果，并评定 精度，这种处理方法和过程称为测量平差。
34
3、粗差（Gross error）
定义：由作业人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错称为粗差 原因：操作错误、仪器故障、测量条件异常变化。 特点：没有规律性，单个误差具有离群的特征。 措施：（1）加强观测者的责任心，培养细致的业务作风。 （2）闭合差检验，剔除孤值。 （3）近代平差中的抗差估计、粗差探测等。 经典平差，要求粗差消灭在平差之前。
测量平差测量误差及其传播定律PPT学习教案
§1.3 精度及其衡量指标
二、方差和中误差
1、 方差/ 标准差
真误差的方差：
随机变量与其数学期望之差的平 方的数学期望。观测值的方差：
2
E{(
E ()) 2 }
E(2 )
2 L
E{( L
E(L))2}
E(2 ) 2 f ()d
（1）
2 L
2
观测值与其对应
的真误差具有相同的方差。
L E(2 )
表征偶然误差
准 确 度 （ Accuracy） ——准 确 度 又称偏 差，是 指观测 值数学 期望与 其真值 之差。
表 征 系统 误差
精 确 度 ——观 测 值 与其真 值的接 近程度 。表征 总误差
测 量 中 的 精 度严格 意义讲 是指精 密度。 精 密 度 等 价 于精确 度？
第14页/共97页
0.5，0.9, 1.1，1.3, 1.4，2.0
w
1.1 1.3 2
1.2"
第21页/共97页
§1.3 精度及其衡量指标
几点说明：
1. 按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差、、ρ，只有当 m 观测值个数相当多时，结果才比较可靠。
2. 当观测值个数有限时，中误差 比平均误差、或然误差更能反
m
测量平差测量误差及其传播定律PPT课件
会计学
1
§1.1 测量误差及其分类
一、真值和真误差
三 角 形 内 角 闭合差 : 三 角 形 闭 合 差的真 误差:
W L1 L2 L3 180
W W 0 W
双 次 观 测 较 差：
d L L
双 次 观 测 较 差的真 误差：
d L L 0 d
《测量平差》 学习辅导
《测量平差》学习辅导第一章测量平差及其传播定律一、学习要点（一）内容：测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。
（二）基本要求：1．了解测量平差研究的对象和内容；2．掌握偶然误差的四个概率特性；3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；4．了解权的定义与常用的定权方法；5．掌握协方差传播率。
（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。
（四）难点：协方差、协因数传播率二、复习题（一）名词解释1．偶然误差2．系统误差3．精度4．单位权中误差（二）问答题1．偶然误差有哪几个概率特性?2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?（三）计算题σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，dσ。
σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s三、复习题参考答案 （一）名词解释1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。
4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。
（二）问答题1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。
2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则定义：220ip σσ=，称为观测值L i 的权。
测量平差基础参考资料教程文件
测量平差基础参考资料第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、怎样学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地掌握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行复习，只有这样才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章主要说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容以及本课程的任务。
第二章误差分布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。
重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；对于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
测量平差教案第二章
a
b
a
b
S
a
b
A
中心投影
B
A
B
正射投影
测量平差教案第二章
摄影比例尺（1：m）：
l
1:m=l:L=f:H
f
S
f -- 摄影机主距
H -- 平均高程面的航摄高
H
度，航高
摄影比例尺要根据测绘地形图的精
L
度或获取地面信息的需要确定。
（表2-2）
测量平差教案第二章
航空摄影：
航带设计:
按航带设计要求， 确保像片质量的前 提下飞行。
选择框标连线的交点 p为原点，框标连线 为x’,y’轴，航线方向为x’轴的正轴。
测量平差教案第二章
2、像平面直角坐标系(o-xy)： ❖ 像片的像主点o为原点，x、y轴分别平行于
框标坐标系的x’、y’轴。 ❖ 距f，P在称o为-x摄y中影的机坐的标内：方x位0,y元0，素及。摄影机的主
y y’ y
测量平差教案第二章
数码航摄仪：
❖ 传统航摄像机使用胶片作为记录信息的载体,通 过对航片进行高精度扫描获取数字影像;
❖ 数码航摄像机使用光敏元件作为成像器件,将光 学信号转换成数字信息,直接获取数字影像。
❖ 第20 届 ISPRS，国际著名公司展出数码航摄像 机。
❖ 数码航摄像机的推出与成功应用,已成为航空摄 影测量的又一个里程碑。
面、镜箱体 ❖ 暗箱：存放摄影材料
测量平差教案第二章
2、摄影机分类：
普通摄影机：
为生活娱乐而设计。 镜箱和暗箱连为一体。
量测用摄影机：
为摄影测量目的而设计制造。
航空摄影机、 摄影经纬仪。
❖
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《测量平差》学习辅导第一章测量平差及其传播定律一、学习要点（一）内容：测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。
（二）基本要求：1．了解测量平差研究的对象和内容；2．掌握偶然误差的四个概率特性；3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；4．了解权的定义与常用的定权方法；5．掌握协方差传播率。
（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。
（四）难点：协方差、协因数传播率二、复习题（一）名词解释1．偶然误差2．系统误差3．精度4．单位权中误差（二）问答题1．偶然误差有哪几个概率特性?2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?（三）计算题σ的量测中误 1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，dσ。
差σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s三、复习题参考答案（一）名词解释1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。
4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。
（二）问答题1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。
2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则定义：220ip σσ=，称为观测值L i 的权。
权与方差成正比。
常用的定权方法有距离丈量的权，水准测量高差的权，同精度观测值的算术平均值的权，导线测量角度闭合差的权，三角高程测量高差的权。
（三）计算题解：S=500d=500×23.4=11700mm=11.7m 最后写成：S=11.7±0.1m第二章 平差数学模型与最小二乘原理一、学习要点 （一）内容：必要观测元素定义；多余观测个数；平差的数学函数模型及最小二乘原理（条件平差、间接平差、附有参数的条件平差、附有条件的间接平差）；函数模型线性化。
（二）基本要求：1．了解平差的基本概述及目的；2．了解平差的数学模型与最小二原理平差的基本概念。
（三）重点：测量平差的数学模型和最小二乘原理 （四）难点：最小二乘原理 二、复习题 （一）名词解释 1．必要观测元素2．最小二乘原理 （二）问答题1．简单概述测量平差的任务？2．请简要列出四种基本平差方法的数学模型。
三、复习题参考答案 （一）名词解释1．必要观测元素：把能够唯一的确定一个几何模型所必要的元素称为必要观测元素。
2．最小二乘原理：由极大似然估计求得的V 值满足条件：min =PV V T ，此即最小二乘原理。
（二）问答题1．答：测量平差的任务主要有两个：求观测值的平差值和衡量评查结果的精度。
2．答：四种基本平差模型如下 条件平差：)(,00A AL W W A +-==-∆其中 间接平差： d L l l X B -=-=∆其中,。
附有参数的条件平差：0),(0=-+∆+-=W X B A A AL W 附有限制条件的间接平差：0,,=--=∆-=W X C l X B d L l 。
第三章 条件平差一、学习要点（一）内容：条件平差的原理；利用最小二乘原理求解法方程；条件方程列立（水准网、三角网及测边网）；精度评定（单位权中误差、平差值协因数、平差值函数的协因数）；附有参数的条件平差的平差原理与精度评定。
（二）基本要求：1．了解条件平差原理及方法，掌握条件平差的计算步骤；2．了解条件平差的精度评定；3．了解附有参数的条件平差的相关概念知识；（三）重点：条件平差与附有参数的条件平差原理与精度评定，条件方程；（四）难点：平差原理，精度评定二、复习题（一）问答题1．简述条件平差的计算步骤。
2．精度评定包括哪些内容？（二）计算题三角形三个内角作同精度的的观测，得观测值：L1=42°12′20″，L2= 78°09′09″，L3=59°38′40″。
试按条件平差求三个内角的平差值。
三、复习题参考答案（一）问答题1．答：（1）根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r。
(2)根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r。
(3)解算法方程，求出联系数K值。
(4)将K 值代入改正数方程式，求出V 值，并求出平差值(5)为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。
2.答：精度评定包括单位权方差20σ)和单位权中误差0σ)的计算、平差值函数)(L f F )=的协因数FF Q 及其中误差F σ)的计算等。
（二）计算题解：本题有一个条件式，其平差条件为0180321=︒-++L L L )))，以iL ˆ及i i i v L L +=的值代入上式得条件方程09321=+++v v v 式中"=︒-++=9180)(321L L L w ，条件方程用矩阵表示为[]09111321=+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡v v v ，即A=[]111。
因为观测值精度相同，设其权1321===p p p ，则观测值的权阵P 为单位阵，即P=I 。
故法方程为31===-T T aa AA A AP N ,法方程为093=+a k ，解得3-=a k ,带入改正数计算公式得[]T333"-"-"-===K A K QA V T T ，可见，各角的改正数为平均分配其闭合差，由此可得各角平差值为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡"'︒"'︒"'︒=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡373859060978171242ˆˆˆ321321321v v v L L L L L L 。
第四章 间接平差一、学习要点 （一）内容：间接平差的原理；利用最小二乘原理求解法方程；误差方程列立（水准网、三角网及测边网）；精度评定（单位权中误差、平差值协因数、平差值函数的协因数）。
（二）基本要求；1．了解间接平差原理及方法，掌握间接平差的计算步骤； 2．了解间接平差的精度评定； （三）重点：间接平差原理，精度评定 （四）难点：间接平差法求平差值，精度评定 二、复习题 （一）计算题在下图所示的水准网中，A 、B 、C 为已知水准点，高差观测值及路线长度如下： 1h = +1.003m ， 2h = +0.501m ， 3h = +0.503m ， 4h = +0.505m ；1S =1km ， 2S =2km ， 3S =2km ， 4S =1km 。
已知 A H =11.000m ， B H =11.500m ，C H =12.008m ，试用间接平差法求 1P 及2P 点的高程平差值。
三、复习题参考答案 （一）计算题解：1.按题意知必要观测数 t =2，选取 1P 、 2P 两点高程 1ˆX 、 2ˆX 为参数，取未知参数的近似值为)(003.12101m h H X A =+=、)(511.12302m h H X C =+=，令2km 观测为单位权观测，则2,1,1,24321====P P P P 。
2．根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下 代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有 可得 B 、 P 和 l 矩阵如下3．由误差方程系数 B 和自由项 l 组成法方程 0ˆ=-Pl B xPB B T T得解得 )(7.27.17115112917112115ˆˆ121mm x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 4. 解算法方程，求出参数 xˆ，计算参数的平差值 x X X ˆˆ0+=； 5．由误差方程计算 V ，求出观测量平差值 V h h +=∧；第五章 附有限制条件的条件平差一、学习要点 （一）内容：附有限制条件的条件平差的原理；利用最小二乘原理求解法方程；误差方程列立；精度评定（单位权中误差、平差值协因数、平差值函数的协因数）；各种误差方法的共性和特性。
（二）基本要求：1．了解附有条件的间接平差的方法； 2．掌握精度评定。
3．个性及平差结果的统计性质有深刻认识，并能应用其结论分析测量平差问题（三）重点：附有限制条件的条件平差原理；精度评定 （四）难点：精度评定；对基础方程模型含义的理解。
第六章 误差椭圆一、学习要点 （一）内容：点位误差定义；误差曲线及在任意方向上的误差；误差曲线；误差椭圆；误差椭圆图形的绘制；相对误差椭圆参数；E 、F 、Φ的计算。
（二）基本要求：1．了解点位误差的含义；2．了解误差椭圆的内容，了解误差椭圆的绘制。
（三）重点：点位误差，位差极大值E 和极小值F,误差椭圆概念及绘制。
（四）难点：误差椭圆的绘制 二、复习题 （一）问答题何为误差椭圆？误差椭圆绘制需要哪些要素？ （二）计算题在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即[]11ˆTX X Y =，平差后得到ˆX 的协因数阵为ˆˆ0.250.150.150.75XXQ ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且单位权方差220ˆ 3.0cm σ=， （1）计算P 1点纵、横坐标中误差和点位中误差； （2）计算P 1点误差椭圆三要素E E F ϕ、、；（3）计算P 1点在方位角为90o 方向上的位差。
三、复习题参考答案 （一）问答题答：点位误差曲线虽然有许多用途，但它不是一种典型曲线，作图不太方便，因此降低了它的实用价值。
但其总体形状与以E 、F 为长短半轴的椭圆很相似，而且可以证明，通过一定的变通方法，用此椭圆可以代替点位误差曲线进行各类误差的量取，故将此椭圆称点位误差椭圆（习惯上称误差椭圆），E ϕ、E 、F 称为点位误差椭圆的参数。
故实用上常以点位误差椭圆代替点位误差曲线。
为绘制某一点（以第i 点为例）的误差椭圆，必须计算各点误差椭圆i F E 、、i Ei ϕ，要计算着三个量，必须知道各点的yi x x iii Q 、、ii y y x Q Q 以及0ˆσ。
（二）计算题（1）ˆˆˆ1.52x y p cm cm σσσ===，， . （2） 1.540.79E E cm F cm ϕ==o o =74.5或254.5，，（3）90ˆ 1.5cm ψσ==o测量平差模拟试题一一、填空题（10×2分）1． 、 、 是引起测量误差的主要来源。