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《测量平差》

学习辅导

第一章测量平差及其传播定律

一、学习要点

（一）内容：

测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。

（二）基本要求：

1．了解测量平差研究的对象和内容；

2．掌握偶然误差的四个概率特性；

3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；

4．了解权的定义与常用的定权方法；

5．掌握协方差传播率。

（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。

（四）难点：协方差、协因数传播率

二、复习题

（一）名词解释

1．偶然误差

2．系统误差

3．精度

4．单位权中误差

（二）问答题

1．偶然误差有哪几个概率特性?

2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?

（三）计算题

σ的量测中误 1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，d

σ。

差σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s

三、复习题参考答案

（一）名词解释

1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。

2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。

3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。

4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。

（二）问答题

1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的

概率相同；④偶然误差的数学期望为零。

2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数

0σ，则定义：220

i

p σσ=，称为观测值L i 的权。权与方差成正比。常用的定

权方法有距离丈量的权，水准测量高差的权，同精度观测值的算术平均值的权，导线测量角度闭合差的权，三角高程测量高差的权。 （三）计算题

解：S=500d=500×23.4=11700mm=11.7m 最后写成：S=11.7±0.1m

第二章 平差数学模型与最小二乘原理

一、学习要点 （一）内容：

必要观测元素定义；多余观测个数；平差的数学函数模型及最小二乘原理（条件平差、间接平差、附有参数的条件平差、附有条件的间接平差）；函数模型线性化。 （二）基本要求：

1．了解平差的基本概述及目的；

2．了解平差的数学模型与最小二原理平差的基本概念。 （三）重点：测量平差的数学模型和最小二乘原理 （四）难点：最小二乘原理 二、复习题 （一）名词解释 1．必要观测元素

2．最小二乘原理 （二）问答题

1．简单概述测量平差的任务？

2．请简要列出四种基本平差方法的数学模型。 三、复习题参考答案 （一）名词解释

1．必要观测元素：把能够唯一的确定一个几何模型所必要的元素称为必要观测元素。

2．最小二乘原理：由极大似然估计求得的V 值满足条件：

min =PV V T ，此即最小二乘原理。

（二）问答题

1．答：测量平差的任务主要有两个：求观测值的平差值和衡量评查结果的精度。

2．答：四种基本平差模型如下 条件平差：)(,00A AL W W A +-==-?其中 间接平差： d L l l X B -=-=?其中,。

附有参数的条件平差：0),(0=-+?+-=W X B A A AL W 附有限制条件的间接平差：0,,=--=?-=W X C l X B d L l 。

第三章 条件平差

一、学习要点

（一）内容：条件平差的原理；利用最小二乘原理求解法方程；条件方程列立（水准网、三角网及测边网）；精度评定（单位权中误差、平差值协

因数、平差值函数的协因数）；附有参数的条件平差的平差原理与精度评定。

（二）基本要求：

1．了解条件平差原理及方法，掌握条件平差的计算步骤；

2．了解条件平差的精度评定；

3．了解附有参数的条件平差的相关概念知识；

（三）重点：条件平差与附有参数的条件平差原理与精度评定，条件方程；（四）难点：平差原理，精度评定

二、复习题

（一）问答题

1．简述条件平差的计算步骤。

2．精度评定包括哪些内容？

（二）计算题

三角形三个内角作同精度的的观测，得观测值：L1=42°12′20″，L2= 78°09′09″，L3=59°38′40″。试按条件平差求三个内角的平差值。

三、复习题参考答案

（一）问答题

1．答：（1）根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r。

(2)根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式，法方程的

个数等于多余观测数r。

(3)解算法方程，求出联系数K值。

(4)将K 值代入改正数方程式，求出V 值，并求出平差值

(5)为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。

2.答：精度评定包括单位权方差20σ)

和单位权中误差0σ)

的计算、平差值

函数)(L f F )=的协因数FF Q 及其中误差F σ)

的计算等。

（二）计算题

解：本题有一个条件式，其平差条件为0180321=?-++L L L )

))，以

i

L ?及i i i v L L +=的值代入上式得条件方程09321=+++v v v 式中"=?-++=9180)(321L L L w ，条件方程用矩阵表示为[]09111321=+????

?

?????v v v ，即A=[]111。因为观测值精度相同，设其权1321===p p p ，则观测值的权阵P 为单位阵，即P=I 。故法方程为31===-T T aa AA A AP N ,法方程为

093=+a k ，解得3-=a k ,带入改正数计算公式得[]T

333"-"-"-===K A K QA V T T ，可见，各角的改正数为平均分配其闭

合差，由此可得各角平差值为????

????

??"'?"'?"'?=??????????+??????????=??????????373859060978171242???321

321321v v v L L L L L L 。

第四章 间接平差

一、学习要点 （一）内容：

间接平差的原理；利用最小二乘原理求解法方程；误差方程列立（水准网、三角网及测边网）；精度评定（单位权中误差、平差值协因数、平差值函数的协因数）。

（二）基本要求；

1．了解间接平差原理及方法，掌握间接平差的计算步骤； 2．了解间接平差的精度评定； （三）重点：间接平差原理，精度评定 （四）难点：间接平差法求平差值，精度评定 二、复习题 （一）计算题

在下图所示的水准网中，A 、B 、C 为已知水准点，高差观测值及路线长度如下： 1h = +1.003m ， 2h = +0.501m ， 3h = +0.503m ， 4h = +0.505m ；

1S =1km ， 2S =2km ， 3S =2km ， 4S =1km 。已知 A H =11.000m ， B H =11.500m ，

C H =12.008m ，试用间接平差法求 1P 及

2P 点的高程平差值。

三、复习题参考答案 （一）计算题

解：1.按题意知必要观测数 t =2，选取 1P 、 2P 两点高程 1?X 、 2?

X 为参数，取未知参数的近似值为

)(003.12101m h H X A =+=、

)(511.1230

2m h H X C =+=，令

2km 观测为单位权观测，则

2,1,1,24321====P P P P 。

2．根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下 代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有 可得 B 、 P 和 l 矩阵如下

3．由误差方程系数 B 和自由项 l 组成法方程 0?=-Pl B x

PB B T T

得

解得 )(7.27.17115112917112115?

?1

21mm x x

??????-=??????-????????=??????-???????--=??????- 4. 解算法方程，求出参数 x

?，计算参数的平差值 x X X ??0+=； 5．由误差方程计算 V ，求出观测量平差值 V h h +=∧

；

第五章 附有限制条件的条件平差

一、学习要点 （一）内容：

附有限制条件的条件平差的原理；利用最小二乘原理求解法方程；误差方程列立；精度评定（单位权中误差、平差值协因数、平差值函数的协因数）；各种误差方法的共性和特性。 （二）基本要求：

1．了解附有条件的间接平差的方法； 2．掌握精度评定。

3．个性及平差结果的统计性质有深刻认识，并能应用其结论分析测量平差问题

（三）重点：附有限制条件的条件平差原理；精度评定 （四）难点：精度评定；对基础方程模型含义的理解。

第六章 误差椭圆

一、学习要点 （一）内容：

点位误差定义；误差曲线及在任意方向上的误差；误差曲线；误差椭圆；误差椭圆图形的绘制；相对误差椭圆参数；E 、F 、Φ的计算。 （二）基本要求：

1．了解点位误差的含义；

2．了解误差椭圆的内容，了解误差椭圆的绘制。

（三）重点：点位误差，位差极大值E 和极小值F,误差椭圆概念及绘制。 （四）难点：误差椭圆的绘制 二、复习题 （一）问答题

何为误差椭圆？误差椭圆绘制需要哪些要素？ （二）计算题

在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即[]11

?T

X X Y =，平差后得到?X 的协因数阵为??0.250.150.150.75XX

Q ??

=????

，且单位权方差220? 3.0cm σ=， （1）计算P 1点纵、横坐标中误差和点位中误差； （2）计算P 1点误差椭圆三要素E E F ?、、；

（3）计算P 1点在方位角为90o 方向上的位差。 三、复习题参考答案 （一）问答题

答：点位误差曲线虽然有许多用途，但它不是一种典型曲线，作

图不太方便，因此降低了它的实用价值。但其总体形状与以E 、F 为长短半轴的椭圆很相似，而且可以证明，通过一定的变通方法，用此椭圆可以代替点位误差曲线进行各类误差的量取，故将此椭圆称点位误差椭圆（习惯上称误差椭圆），E ?、E 、F 称为点位误差椭圆的参数。故实用上常以点位误差椭圆代替点位误差曲线。

为绘制某一点（以第i 点为例）的误差椭圆，必须计算各点误差椭

圆i F E 、、i Ei ?，要计算着三个量，必须知道各点的yi x x i

i

i Q 、、i

i y y x Q Q 以及0?σ。

（二）计算题