郑州大学历届微积分试题(含答案)

2
(
)
八． （共 10 分）设函数
2 ⎧ y x , (x, y ) ≠ (0,0 ), ⎪ 4 ⎪ 2 . f (x, y ) = ⎨ + y x ⎪ ⎪ ⎩0, (x, y ) = (0,0 ).
试问函数 f (x, y ) 在 (0,0 )点是否连续；偏导数是否存在，若存在，求出偏导数。 解： lim f (x, y ) 不存在，从而， f (x, y ) 在 (0,0 )点处不连续。
n==(FxFyFz)=( 2 3, 2 3, 2 3 )
切平面方程 ( x − 3) + ( y − 3) + ( z − 3) = 0 四、 （5 分） 设函数 u（x,y） ，v（x,y）由下述方程组 ⎧ xu 2 + yv 2 = 0 ⎨ ⎩ xu − yv = 1
' x
所确定,求偏导数 u x ，v x
六。 （共 10 分）
] 解：因为 ∫ [e + f (x )]ydx − f (x )dy 与路径无关，所以， ∂[(e + f (x ))y ] ∂[− f (x )] = ， f (x ) + f (x ) = − . 此为一阶线性微分方程。
x L
∫ [e
1 已知 f (0) = − , 求 f (x ) ，使曲线积分 2
f
⎛ y ⎞⎤ 。 ⎜− ⎟⎥ 2 2⎜ ⎟ ⎝ x ⎠⎥ ⎦
/
∂z = ∂y
(x )
y
/
y
y ⎞⎤ ⎛ y⎞ y⎡ ⎛ f ⎜ x − y, ⎟ + x f ⎜ x − y, ⎟ ⎢ x⎠ ⎝ x ⎥ ⎣ ⎝
2
/
=
x
y
⎠⎦
/ y⎞ y⎡ ⎛ ln x. f ⎜ x − y, ⎟ + x ⎢ f .(− 1) + x⎠ ⎝ ⎣ 1
/ x
f (0,0) = 0; 同理， f (0,0) = 0.
九。 （共 8 分） 设三角形的边长分别为 a, b, c ，其面积为 S ，试求该三角形内一点到三边距 离之乘积的最大值。 解：任取三角形内一点 P ，设其距三边的距离分别为 x, y, z ，则有
1 1 1 ax + by + cz = S ⇒ ax + by + cz = 2S . 2 2 2
2
≤ 2⎞ ⎟, 取上侧。记 Ω 为由 S , S 1 . 所围成的区域。 ⎠
2π
∫∫ + ∫∫ = ∫∫∫[(8z + 1) − 4 z − 4 z ]dv = ∫∫∫ dv = ∫
S
S1
Ω
Ω
0
dθ ∫ rdr ∫
0
2
3
1+
r
2
dz = 2π ∫ r 2 − r dr = 2π
0
2
(
2
)
故 ∫∫ = 2π − ∫∫ = 2π − ∫∫ 2 1 − 3 dxdy = 2π −(− 32π ) = 34π . S D S1
计算 ∫∫ | (8 z + 1)xdxdy − 4 yzdzdx + 2 1 − z dxdy,
2 S
(
)
其中 S 是曲面 z = 1 + x + 分的下侧。
2
y
2
≤1 z =
x y
2
+
2
介于平面 z = 1 和平面 z = 3 之间部
2 解：补充平面 S 1 : z = 3, ⎛ ⎜x + ⎝
y
u 2 + 2uv ' u2 , vx = 两端对 x 求导解， u = 2ux + 2vx 2uy + 2vy ∂2z x 五、 （5 分）设函数 z = f ( x, ), 其中f具有连续的二阶偏导数, 求 2 y ∂x
六、 （5 分）
计算∫∫ xdxdy,其中D是由抛物线y = 3 − x 2与直线y = 1 + x围成的闭区域
十三、 （10 分）(最优价格问题) 假设某电视机厂的生产处于平衡状态： 即生产量等于销售量。 把产量记为
x，再记一台电视机的生产成本为 C，销售价格为 P。根据市场预测，销量 x 与
销售价格 P 有下述关系：x=Me-aP,其中 M，a 都是正的常数，同时，生产部门对
C=C0－klnx,(x≥1),其中 C0、 k 都是正的常数。 产量 x 和单机成本 C 有下述测算：
2002 级 微积分(理工)课程试题答案（A 卷）
二、 （5 分） 设u =
z x2 + y2 zy x +y
2
, 求全微分du 1 x + y2
2
du = −
zx x +y
2 2
dx −
2
dy +
dz
三、 （5 分）求球面 x2+y2+z2 =9 上点( 3 , 3 , 3 )处的切平面方程 解：F（x,y,z）= x2+y2+z2 -9
2
;
5．曲线 x = t , y = − t , z = t 在 t = −1 处的切线方程为 6．设 C 是折线 y = 1− | 1 − x | (0 ≤ x ≤ 2 ) ，则 ∫ yds =
C
x +1 y +1 z +1 = = . 1 2 3
2
____________ . 2
根据上述条件，销售价格 P 为多少时，可使该厂获得最大利润。 （提示：利润＝（P－C）x ） 郑州大学 2003 级 高等数学（下） 理工 课程试题 （A 卷）
一．计算题（每小题 6 分，共 30 分）
1 微分方程 y − 2 y − 3 y = 0 的通解。
解：原微分方程的特征方程为 r 2 − 2r − 3 = 0 。 r1 = −1, r 2 = 3. 所以，原方程的通解为 y = c1 e + c2 e .
4．交换积分次序： I = ∫ dy ∫ f (x, y )dx 。
⎧ y ≤ x ≤ 1, 解：积分区域 D : ⎨ . ⎩0 ≤ y ≤ 1
C
则 I = ∫ dx ∫ f (x, y )dy.
1 x 0 0
5．求 ∫ yds ，其中 C 是折线段 y = 1− | 1 − x |, (0 ≤ x ≤ 2 ).
=
2S 2S 2S ,y = ,z = . 3a 3b 3c
故V max =
8S
3
27 abc
.
2004 级 高等数学（下） 理工 课程试题
郑州大学
二．填空题（每小题 4 分，共 36 分）
1 曲线 y = 2. lim
x →0 y →2
x (1 − x ) 在点（1，0）处的曲率为
2
2.
x+ y−2 x +1 − 3 − y
，
x →0 2 y=
. lim f (x, y ) = lim x x x +x x
x →0 4
1 = . 2
所以，
lim f (x, y ) 不存在。
x →0 y →0
（二） 。因为 lim 所以，
/ x
Δx → 0
0−0 f (0 + Δx,0 ) − f (0,0) = lim = 0. ， x → 0 Δx Δx
2
2 ⎛ ⎜x + ∫∫ ⎝ S
y +z
2π 0
2
2
⎡ 2 ⎞ ⎟dS = ∫∫ ⎢ x + ⎠ ⎢ D ⎣
⎤ 2⎞ ⎥ 2 ⎛ + + y ⎜ x y ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦
2dxdy = 2 2 ∫∫ ⎛ ⎜x + ⎝ D
2
⎟dxdy y⎞ ⎠
2
Байду номын сангаас
= 2 2 ∫ dθ ∫
1
0
r rdr =
2
2π .
微积分（下）理工共 52 页 第 3 页
=
___________ .
2
3.设 u =
x
y
z , 则 du |
(1, 2 , 2 )
= 4dx + dz
_____________ .
微积分（下）理工共 52 页 第 5 页
4．设 u = xy cos z , 则在点 (2,−1,0 ) 处 div (gradu ) =
2 3
_________ .
⎟dS . y +z ⎞ ⎠
2 2 2
解：S 向 xoy 平面上的投影区域为 D : x +
∂z = ∂x x ∂z , = 2 ∂y y , dS =
y
2
2
≤ 1. 由 S : z =
2dxdy.
x +y
2
2
，
x +y
2
x +y
2
2
⎛ ∂z ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠
2
2
⎛ ∂z ⎞ +⎜ ⎟ dxdy = ⎜ ∂y ⎟ ⎝ ⎠
+ f (x ) ydx − f (x )dy 与路径无关，其中 f (x ) 可微。
x L
x
/
∂y
∂x
e
x
1 2x − dx x dx −x ⎛ ⎞ 由公式其通解为 f (x ) = e ∫ ⎡ ∫ − e e∫ dx + C ⎤ = e ⎜ − e + C ⎟ 。 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ 2 ⎠ 1 1 x 代入初始条件 f (0) = − , 得：C=0.故 f (x ) = − e . 2 2 七。 （共 10 分）