解析函数的高阶导数(1)
解析函数的高阶导数 ppt课件
1)2
dz
C 1 (z2e z1)2dzC 2 (z2e z1)2dz
ez
ez
C1 (z2 1)2 dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
• •
(221i)!(zezi)2
(1 i)ei 2
,
zi
C1 i
o
C 2 i
C
x
同理可 C2 (得 z2ez1)2dz
(1i)ei 2
,
于是 C
z00在 z1内 , n1,
ez cosz
z 1 z2 dz
2i(ezcozs)
1!
z0
2 i[ e zcz o e s zsiz]n2i. z 0
例3 求积分 z1eznzdz. (n为整)数
解
(1)n0,
ez zn
在z
1上解,析
由柯西－古萨基本定理得
z
1
ez zn
dz
0;
(2)n1, 由柯西积分公式得
(51)!
z1
5i ; 12
(2)函(数 z2ez1)2在 C内z的 i处不, 解析 在C内以 i为中心作一个C 正 1, 向圆周
以i为中心作一个正 C2,向圆y 周
则函数ez (z21)2
在由 C,C1,C2
围成的区域, 内解析
• •
C1 i
o
C 2 i
C
x
根据复合闭路定理
C
ez (z2
二、主要定理
定理3.9
设函数 f (z)在简单闭曲 C所线围成的区 D内域
解析在 ，DDC连续，则函数 f (z)的各阶导函数
在区域 D内解析对， D内任意一z,有 点
解析函数的高阶导数
• 一．解析函数的高阶导数 • 二、解析函数的等价概念
第三章 复变函数的积分
一．解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这不同于实变函数. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间 上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.
z0 的简单闭曲线.
解 当点z0位于C的外部时， 由柯西定理得 I 0
当点z0位于C的内部时， 由高阶导数公式得
I
2i
2!
(z4
z 2 )|z
z0
i (12z 2
2)
|zz0
2i(6z02 1)
第三章 复变函数的积分
1
例5 求复积分 C (z2 1)2 dz 的值，其中Ｃ：|z|>1的正向圆周．
常遇到一种函数，称为调和函数，调和函数与解析
函数关系密切.
定义 如果二元实变函数φ (x,y) 在区域D内具有二阶
连续偏导数，
并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y 2
0,
则称φ (x,y) 为D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
例1. 证明φ (x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
证明
当n=0 时即为柯西积分公式
解
1
1
(z 2 1)2 [( z i)( z i)]2
在C内的z=±i 处不解析.
C
(z2
1 1) 2
dz
C
[( z
1 i)( z
i)]2
dz
1
1
C1
C2
y
(z C1( z
复变函数与积分变换第五版习题解答
复变函数与积分变换第五版答案目录练 习 一...............................1 练 习 二...............................3 练 习 三...............................5 练 习 四...............................8 练 习 五..............................13 练 习 六..............................16 练 习 七..............................18 练 习 八..............................21 练 习 九 (24)练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i iii 524321----； 解：i i i i 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31-解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12解：i i+12)4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i2332++- 解：i i 2332++-2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
柯西积分公式与高阶导数公式
dz
(n 1,2,3, ),
高阶导数公式
C z0
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意: a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
进行, f (z0
则
)f2(1πzi 0C
)f (z)
z z0
1
dz.
2
i
C
f (z) (z z0 )2
dz,
(1) 解析函数是否存 在各阶导数?
f (z0 )
21
2 i C
f (z) (z z0 )3 dz,
(2) 导数运算可否在 积分号下进行?
f
(n)(z0 )
C
(
z
f
(z0z))nC1是d定Dz内,理分2.6段设光函滑数(或f可(z)求在长单)
z
z3 1 2 (z 1)4
dz
2i [z3 3!
1]
z1
C的2内i部. 区域,
则f (z)在z0处
f(n)(z0 )n!2 i
f (z) C (z z0 )n1
二、高阶导数公式
由 Cauchy积分公式 , 解析函数的积分表达式为
z0
是定D内理的2.5一个设点f (,z)C是是单任连意f通一(区z条域0含)D上z0 的在2解内1析部i函区C数域,zf(
z) z0
dz.
的分段光如滑(或果可求各长阶) Jor导dan数曲线存, 则在, 并且导数运算可在积分号下
柯西积分公式
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i
C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0
2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0
第二讲 柯西积分公式高阶导数
应用解析函数有任意阶导数，可以证明 柯西定理的逆定理， 莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续， 并且对于 D 内的任一条简单闭曲线 C ，我们
有
C
f ( z )dz 0
那么f(z)在区域D内解析。
小结：本章五个定理都是为积分计 算服务
1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点 的积分。 2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个 奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式). 3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有 多个奇点的积分。 4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。
定理3.9 设f(z) 在以简单闭曲线C所围成的区域D
.
内解析. 在 阶导数，且
f
( n)
D D C上连续，则f(z)在D内有任意
n! (z) 2i
f ( ) ( z )
n1
C
d ( n 1,2,3,...)
1 (注：f ( z ) 2i
f ( ) d ) C z
1 2
2
0
f ( z0 Re )d
i
说明：一个解析函数在圆心处的值 等于它在圆周上的平均值.
推论2 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C 1、 C 2 围成的二连通
C2在C1 区域 D内解析， 并在曲线 C1、C2上连续，
z0为D内一点，则 的内部， 1 f (z) 1 f (z) f ( z0 ) dz dz 2i C z z0 2i C z z0
f ( z )不是常数， 则在区域 D内 f z 没有最大值。
推论1在区域 D内的解析函数， 若其模在区域
D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数.
函数的高阶导数与泰勒展开
函数的高阶导数与泰勒展开函数的高阶导数和泰勒展开是微积分中重要的概念和工具。
高阶导数描述了函数在不同阶数上的变化率，而泰勒展开则能够将一个函数近似表示为一组无穷阶的多项式。
一、函数的高阶导数函数的导数可以理解为函数变化的速率。
一阶导数描述了函数变化的一阶特征，而高阶导数则进一步描述了函数的更高阶特征。
在数学符号中，函数f的n阶导数可以表示为fn(x)，其中x为自变量。
高阶导数可以通过重复对函数进行求导得到。
例如，f的二阶导数f''(x)可以通过对一阶导数f'(x)再次求导得到。
具体而言，f''(x)是f'(x)的导数。
二、泰勒展开泰勒展开是一种将函数近似表示为多项式的方法。
它基于函数在某一点附近的导数值来构建多项式。
泰勒展开的公式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(a)表示函数在点a处的函数值，f'(a)表示函数在点a处的一阶导数值，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数值，以此类推。
泰勒展开可以通过截断多项式的无穷级数来得到一个有限项级数，用有限项级数逼近原函数。
在实际应用中，一般取近似项为三阶或四阶，以保证精度和计算效率。
三、函数的高阶导数与泰勒展开的应用函数的高阶导数和泰勒展开在数学和物理学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 最值问题：通过求函数的高阶导数，可以找到函数的驻点和拐点，从而帮助解决最值问题。
例如，求一个函数在某个区间上的最大值或最小值。
2. 函数逼近：通过使用泰勒展开，可以将一个复杂的函数近似为一个简单的多项式函数，从而简化计算，并提高计算效率。
这在数值计算和数值模拟中特别有用。
3. 常微分方程：高阶导数为描述常微分方程提供了基础。
§3.6—解析函数的高阶导数
1 1 2 3 2i 1 ( z 2) z dz ( z 2) 2 3 2 dz 2 ! z ( z 2 ) C1 C2
z 0
例4
设函数 f ( z ) 在单连通域 B 内连续, 且对于
C
B 内任何一条简单闭曲线C 都有 f ( z )dz 0, 证明 f ( z ) 在 B 内解析. (莫雷拉Morera定理) 证明： 在 B 内取定一点z0 , z 为 B 内任意一点 , 依题意可知
( 3) n 1, 根据公式 f ( n ) ( z0 )
2i;
n! f (z) dz 2i C ( z z0 )n1
2i ez 2i z ( n 1 ) . (e ) n dz z 0 ( n 1)! z ( n 1)! z 1
14
§ 3.6
1 f (z) dz C 2i ( z z0 )( z z0 z )
=I
1 f (z) 1 zf ( z ) d z dz 2 2 2i C ( z z0 ) 2i C ( z z0 ) ( z z0 z )
z f ( z ) 1 1 zf ( z ) ds I dz 2 2 C 2 z z0 z z0 z 2 C ( z z0 ) ( z z0 z )
§3.6 解析函数的高阶导数
一、问题的提出 二、主要定理
三、典型例题
四、小结与思考
1
§ 3.6
一、问题的提出
解析函数的高阶导数
(1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同? 问题的解答 (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分
复变函数和积分变换习题解答
练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i ii i 524321----； 解：i ii i 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12解：i i+12 )4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z=1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周,11==z z 又因321z z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
解析函数的高阶导数
z∈C
1 取 Δz < d , 则有 2
2 < z − z0 − Δz d 1
ML ( L — C 的长度） ∴ I < Δz 3 πd 显然， lim I = 0 , 从而有
两边在积分号下对 z 0求导得 f (z) 1 f ' ( z0 ) = dz 2 ∫ C 2π i ( z − z 0 )
2! f (z) f " ( z0 ) = dz 3 ∫ 2π i C ( z − z 0 ) n! f (z) ( n) f ( z0 ) = ( n = 1,2, n+1 dz ∫ 2πi C ( z − z0 )
1 I = 2π
∫
C
Δ zf ( z ) dz 2 ( z − z 0 − Δ z )( z − z 0 )
1 ≤ 2π
∫
Δz f ( z ) z − z0 − Δz z − z0
2
C
ds
∵ f ( z )在C上解析， ∴ f ( z )在C上连续 则∃M , ∂ f ( z ) ≤ M , d = min z − z0
)
以下将对这些公式的正确性加以证明。
定理
解析函数 f ( z )的导数仍为解析函数 , n! ( z0 ) = 2π i
它的 n 阶导数为 f
(n)
∫
f (z) ( z − z0 )
n+1
C
dz
( n = 1, 2,
)
其中 C 为在 f ( z )的解析区域 D 内围绕 z 0的 ∀ − 正向简单闭曲线 , 而且它的内部 ⊂ D .
柯西积分公式 解析函数的高阶导数公式
分可化为定积分来计算； 3）对于解析函数的积分，可通过牛顿—莱布尼兹公式计
算； 4）对于沿封闭曲线的积分，往往以柯西积分定理，复合
闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式等 为工具。
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
C 内的任一点，则
fБайду номын сангаас
(z)
1
2 i
C
f
( )d
z
。
证明：z C
，令 F( )
f ( ) z
1
1） 2i
sin z
z 4 z dz ，2）
z
2
ez dz z 1
。
例 4：计算 I
zi 1 2
1 dz z(z2 1)
。
sin z
例 5：计算 I C
z
2
4 1
dz
,其中：
1） C
:
z
1
1 2
，2） C
:
z
1
1 2
，3） C :
z
2.
二、高阶导数公式
d
注 1.解析函数的导数仍是解析函数。
注 2. 析不在于通过积分求导，而是通过
求导来求积分，即
C
(
z
f
(z z0
) )
n1
解析函数高阶导数
解析函数高阶导数
一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。
从概念上讲，高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法是行不通的。
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
从概念上讲，高阶导数计算就是连续进行一阶导数的计算。
因此只需根据一阶导数计算规则逐阶求导就可以了，但从实际计算角度看，却存在两个方面的问题：
（1）一是对抽象函数高阶导数计算，随着求导次数的增加，中间变量的出现次数会增多，需注意识别和区分各阶求导过程中的中间变量。
（2）二是逐阶求导对求导次数不高时是可行的，当求导次数较高或求任意阶导数时，逐阶求导实际是行
不通的，此时需研究专门的方法。
3.4解析函数的高阶导数
∫C
π5i cos πz 2πi dz = (cos πz )( 4 ) z == − ; 12 ( z − 1)5 (5 − 1)!
ez ( 2) 函数 2 内有两个奇点： 在 C 内有两个奇点： z = ± i ． y 2 ( z + 1) 1 C i 在 C 内作正向圆周 C1 : z − i = , 2 1 o C 2 : z + i = . 根据复合闭路定理 −i C 2 z z e e z e ( z + i )2 ( z − i )2 ∫C ( z 2 + 1)2 dz = ∫C1 ( z − i )2 dz + ∫C dz 2 (z + i) ′ ′ z z 2πi e 2πi e = ( z + i )2 + ( 2 − 1)! ( z − i )2 ( 2 − 1)!
z0 在C 内, g ( z0 ) = 2(6 z0 + 1)π i .
2
小结与思考
高阶导数公式是复积分的重要公式. 高阶导数公式是复积分的重要公式 它表明了 解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的 解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的 结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别. 结论 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别 高阶导数公式
2! f (ζ ) dζ , 再继续一次得 f ′′(z) = 2π i ∫C 3 (ζ − z)
( n)
依次下去可推测 f
或改写为 f
( n)
n! f (ζ ) (z) = ∫C (ζ − z)n+1 dζ , 2π i
n! f (z) (z0 ) = ∫C (z − z )n+1 dz (z0在C内部) 2π i 0 (n = 1,2,L ).
解析函数的高阶导数
证 (1) 任取正数r 2 , (注意 f (z) 在| z | 2 上的性态不知
道) 则函数 f (z) 在| z | r
内解析由，高阶导数公式有
f (0) 1
2πi
|z| r
f (z) z2
dz
,
| f (0)|
1 2πi
|z| r
f (z) z z z2
dz
,
| f (0)| 1
|z| r |z|
1
2π
|z| r
| z |2
1 (2 | z |)
ds
1 2πr , 2πr
|
f (0)|
1 2πr2(2 r)
2πr 1,
证
(1) | f (0)| 1 2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds ,
(2) | f (0)|
1 2πr2(2 r)
2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds,
证
(1) | f (0)| 1 2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds ,
(2) 由| f (z) z | 1 , 有 |2 z|
| f (0)| 1
2π
|z| r
| z |2
1 |2 z|
ds
1 2π
1 ds
，
z f (z) 在 | z | 2
f (z)
内解析；
证 (3) 根据柯西积分公式有
1
(z f (z) ) dz 2πi 1 (z f (z) )
πi |z| 1
第二讲、原函数、柯西积分公式及其推论
作为柯西积分公式的特殊情形，我们有如下 的平均值公式。
定理五：如果函数 f ( z ) 在圆| z z0 | R 上解析，则
1 2 i f ( z0 ) f ( z Re )d 0 0 2 即 f ( z ) 在圆心z0 的值等于它在圆周上的值的平均数。
3、解析函数的高阶导数公式 1 f ( ) d 形式地在等号两 对柯西积分公式 f ( z ) C 2i z 边对 z 求导(右边对积分号内的被积函数关于 z 求导)，得
Cr 所以， 存在正向闭曲线C r :| z z0 | r ， 使得
D 内。 含在C 内，以C , C r 为边界的区域含在
D z0
Cr 且 z :| z z0 | r ， | f ( z ) f ( z0 ) | C 1 dz 2i 得 又由闭路变形原理及 C r z z 0 f ( z0 ) f (z) f (z) dz dz C dz, 2if ( z0 ) C r C r z z0 z z0 z z0
1 i ln z 0 内，计算 1 dz 。
1 i ln z dz 1
z
1 2 1 i 1 2 ( ln 2 i ) 2 2 2 2 4
1 2 2 ln 2 i ln 2 8 32 8
2、柯西积分公式
1! f ( ) f ( z ) d C 2 2i ( z ) n! f ( ) ( n) f (z) d 重复n 次可得 C n 1 2i ( z ) 事实上，我们对解析函数确有如下定理 定理六(高阶导数公式)： 解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数，
1 2
2i z iz dz [( )] 2i | 0 C1 2 2 zi 3 zi 1! ( z i ) (z i) (z i)
解析函数的高阶导数
例2：求
C
cos z
(z −1)5
dz的值，其中C为正向圆周：z
=r
1.
解：函数
cos=
1，
C
cos z
(z −1)5
=
dz
f
(z)
=
2 i
4!
(cos
z)(4)
|z =1
=
2 i
4!
4
cos
z
|z=1
=
−
5
12
i.
小结：
1、高阶求导公式；
C
(
f ( )
− z)n+1
d
,
定理2（高阶求导公式）解析函数������(������)的导数仍为解析函数，
它的n阶导数为：
f
(n)
(z0 )
=
n!
2 i
C
(z
f −
(z) z0 )n+1
dz,
n
=
1,
2
高阶求导公式
其中������为在������ ������ 解析区域������内的围绕������0的任意一条简单正向
闭曲线且它的内部全含于������.
说明： (1)一个解析函数的导数仍为解析函数.
(2)如果������ ������ 在简单闭曲线������所围成的区域内及������上解析，
那么公式仍然成立;
(3)应用高阶求导公式计算积分：
f (z) C (z − z0 )n+1
dz
=
2 i
n!
f
(n) (z0 ).
复变函数与积分变换
沈阳工业大学理学院
Cauchy积分公式和高阶导数公式
14
e C1 ( z 2 1)2 dz C1 z i 2i e ( 1 i ) e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i z
z
e ( z i )2 2 dz (z i)
z
y
C1 i
C
x
o
C2
i
e (1 i )e i 同理可得 dz , 于是 2 2 C 2 ( z 1) 2 z i i e (1 i )e (1 i )e C ( z 2 1)2 dz 2 2 i i (1 i )( e ie ) (1 i )2 (cos 1 sin1) 2 2 i (sin 1 cos 1). 15
如果f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内 解析，在C上连续，那么柯西积分公式仍 然成立.
6
用柯西积分公式计算积分：
z0
C
C
f (z) dz 2πif ( z0 ) （） z z0
需注意： (1) 识别积分类型(是否具有（*）式左端特征). (2) 所求积分是否满足定理的条件.
7
例
关于Cauchy积分公式的意义: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. （这是解析函数的一个重要特征） (2) 公式给出了一种表示解析函数的方法,而且给 出了解析函数的一个积分表达式.
(这是研究解析函数各种局部性质的有力工具)
(3) 公式提供了一种计算积分的方法.
5
z0
C
注：
在 C 内以 i 为中心作一个正向圆周 C1 , 以 i 为中心作一个正向圆周 C2 , z e 则函数 2 2 在由 C , C1 , C 2 ( z 1)
考研高阶导数公式
考研高阶导数公式
摘要：
1.考研高阶导数公式的概述
2.高阶导数的求解方法
3.实例解析
4.总结
正文：
【1.考研高阶导数公式的概述】
在考研数学中，导数公式是非常重要的一部分，尤其是高阶导数公式。
高阶导数指的是函数的导数的导数，即函数的二阶导数、三阶导数等。
求解高阶导数公式对于理解函数的性质和解决实际问题有着重要的意义。
【2.高阶导数的求解方法】
求解高阶导数公式的方法主要有以下几种：
（1）莱布尼兹公式：莱布尼兹公式是求解高阶导数的基本公式，可以用来求解任意阶数的导数。
（2）求导法则：根据导数的求导法则，可以求解一些常见的高阶导数。
（3）泰勒公式：泰勒公式可以用来求解函数的任意阶导数。
【3.实例解析】
以函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 为例，我们可以求解其二阶导数和三阶导数。
（1）二阶导数：根据莱布尼兹公式，可以得到f"(x) = 3x^2 + 4x - 3，再次对f"(x) 求导，即可得到f""(x) = 6x + 4。
（2）三阶导数：对f""(x) 求导，可以得到f"""(x) = 6。
【4.总结】
高阶导数公式在考研数学中占据重要地位，理解高阶导数的求解方法，能够帮助我们更好地理解函数的性质和解决实际问题。
工程数学复习题
工程数学复习题一、单项选择题 1.设i z i z 26,2121+-=-=，,则21z z +的幅角为【D 】 A.2π- B.2πC.0D.π 2.常数1的傅氏变换为【C 】8.t 3sin 的拉氏变换为【D 】A.31-sB.s 1C.92+s sD.932+s 9.若函数)(z f 在0z 不连续，则【D 】A.)()(lim 00z f z f z z =→B.[]0)()(lim 00=-→z f z f z z C.)()(lim 000z f z z f z =∆+→∆ D.[]0)()(lim 00≠-→z f z f z z10.幂级数∑∞=0)3(n n z 的收敛半径是【B 】 A.1B.31C.0D.3 11.函数z e 在00=z 展开成的泰勒级数是【A 】 A.∑∞=0!n nn z B.∑∞=++-011)1(n n n n z00z z →00→z z C.)()(lim 000z f z z f z =∆+→∆ D.)()(lim 00z f z f z z ≠→ 17.若)(z f ,)(z g 在单连域G 内解析且0)(≠z g ，C 为G 内任意一条闭曲线，则[]=⎰Cdz z g z f )(/)(【A 】 A.0B.)0(/)0(2g if π C.i π2 D.π218.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在0z 点解析的充要条件是【C 】A.),(),,(y x v y x u 在0z 点可微B.在0z 点xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, C.在0z 点),(),,(y x v y x u 可微且xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, D.)(z f 在0z 点可导 19.3)(z z f =在z 平面上【C 】25.设)(z f 在区域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线,0z 是C 内的一点，则积分()=-⎰C dz z z z 503【B 】 A.!42i π B.0 C.i π2 D.2i π 26.z z z z f cos sin )(+=在z 平面上【C 】A.可导不解析B.连续不可导C.处处解析D.有奇点27.幂级数在收敛圆内(A)A.可以积分任意次B.必发散C.可能收敛,可能发散D.非绝对收敛28.t 6cos 的傅氏变换为【B 】A.[])6()6(--+ωδωδπB.[])6()6(-++ωδωδπC.[])6()6(--+ωδωδπjD.[])6()6(-++ωδωδπj29.函数)1ln(z +在00=z 展开成的泰勒级数是【B 】34.1-=z 是函数323)1()1()(-+=z z z z f 的【A 】 A.可去奇点B.本性奇点C.二级极点D.三级极点35.若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在000iy x z +=连续，则【C 】A.),(y x u 在),(00y x 不连续B.),(y x v 在),(00y x 不连续C.),(y x u ，),(y x v 在),(00y x 均连续D.)()(lim 00z f z f z z ≠→ 36.10的拉氏变换为【A 】 A.s10B.js 10C.)(10s πδ D.)(101s js πδ+ 37.函数z cos 在00=z 展开成的泰勒级数是【D 】 A.∞nz B.∞+-1)1(n n z 0000C.)()(lim 00z f z f z z =→ D.)()(lim 00z f z f z z ≠→ 43.1=z 是函数323)1()1()(--=z z z z f 的【A 】 A.可去奇点B.本性奇点C.二级极点D.三级极点44.设i z i z 22,5221+-=-=，,则=+2155z z 【A 】A.i 15-B.i 15C.i 55+D.i 55-、45.幂级数∑∞=0!n nn z 的收敛半径是【B 】A.1B.+∞C.0D.246.下列说法正确的是【A 】A.若)(z f 在0z 某个邻域内处处可导，则)(z f 在0z 处解析B.若)(z f 在0z 不解析，则)(z f 在0z 处不可导A.31-sB.s 1C.92+s sD.932+s 52.幂级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛042n n z 的收敛半径是【D 】A.4B.21C.0D.2 53.z z f sin )(=在z 平面上【C 】A.可导不解析B.连续不可导C.处处解析D.有奇点 54.t 0sin ω的傅氏变换为【C 】A.[])()(00ωωδωωδπ--+B.[])()(00ωωδωωδπ-++C.[])()(00ωωδωωδπ--+jD.[])()(00ωωδωωδπ-++j 55.)(z f ,)(z g 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条闭曲线，则⎰0061.函数z sin 在00=z 展开成的泰勒级数是【C 】A.∑∞=0!n nn z B.∑∞=++-011)1(n n n n z C.∑∞=++-012)!12()1(n n nn z D.∑∞=-02)!2()1(n n n n z62.z e z f =)(在z 平面上【C 】A.可导不解析B.连续不可导C.处处解析D.有奇点63.常数3的傅氏变换为【C 】A.)(6ωδB.)(2ωπδC.)(6ωπδD.)(1ωπδω+j 64.下列说法正确的是【B 】A.若)(z f 在0z 处可导，则)(z f 在0z 处解析[]=+⎰Cdz z g z f )()(【A 】 A.0B.)0(2if π C.i π2 D.π270.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在000iy x z +=连续的条件是【C 】A.),(y x u 在),(00y x 连续B.),(y x v 在),(00y x 连续C.),(y x u ，),(y x v 均在),(00y x 连续D.),(y x u ，),(y x v 均不在),(00y x 连续71.t 3cos 的拉氏变换为【C 】 A.31-s B.s 1C.92+s s D.932+s 72.)(z f 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条闭曲线，则积分=⎰Cdz z f )(【A 】A.0B.)0(2if π C.i π2 D.π273.幂级数∑∞)2(n z 的收敛半径是【B 】8.10的幅角为【0】9.函数)(z f 在0z 点可导，)(z f 在0z 点必【连续】10.连续函数的和、差、积仍然是【连续函数】11.若函数)(z f 在10=z 处可导，则)()(02z f z z f '-在0z 点的导数为【)1(f '-】 12.=⎰z z d 10【1/2】13.=⎰z z d cos 20π【1】 14.设51)(ze zf z-=，则0=z 是)(z f 的【4级】极点 15.2t 的拉氏变换为【32s 】 16.1的拉氏变换为【1/s 】30.设3cos sin 2)(zz z z f -=，则0=z 是)(z f 的【3级】极点 31.t e 的拉氏变换为11-s 32.级数∑∞=-0)2(n n z 的收敛半径为【1/2】33.)(t δ的拉氏变换为【1】34.设 ,2,1,=+=n ib a n n n α，若∑∞=1n n α收敛，则∑∞=1n n α【收敛】35.1+2i 的模为5 36.=]0,1[Re 3z s 【0】 37.m t 的拉氏变换为【1!+m s m 】 ∞49.1+i 的幅角为【4π】 50.设 ,2,1,=+=n ib a n n n α，则∑∞=1n n α收敛的必要条件是0lim =∞→n n α三：名词解释 1.调和函数如果二元实函数),(y x H 在区域D 内具有二阶连续的偏导数，并且满足拉普拉斯方程0=∆H ，则称),(y x H 为区域D 内的调和函数。
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一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高 阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通 过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数 在这区间上是否连续也不一定,更不要说它 有高阶导数存在了.
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶
(n)(z)
n!
2 i
C
(
f ( )
z)n1
d
)
高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.
C
f (z) dz 2 i
(z z0 )n1
n!
f (n) (z0 )
例1 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = r >
1.
c osz
ez
1)
C
(z
1)5
C
f (z) (z z0 )2
d
z
再利用同样的方法去求极限:
lim f (z0 Δ z) f (z0 )
Δ z0
Δz
便可得
f
(z0 )
2! 2πi
C
f (z) (z z0 )3
d
z
依此类推, 用数学归纳法可以证明:
f (n) (z0 )
n! 2πi
C
(
z
f
(z) z0 )n1
d
z
(f
f (z0
Δ z)
1 2πi
C
f (z)
z z0 Δ z d z
f (z0 Δ z) f (z0 ) 1
f (z)
dz
Δz
2 π i C (z z0 )(z z0 Δ z)
因此
1
2πi
C
f (z) (z z0 )2
dz
f (z0
Δ z) Δz
f (z0 )
1 2πi
导数为:
f
(n) (z0 )
n! 2πi
C
(z
f (z) z0 )n1
d
z
(n 1, 2,
)
其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任 何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于D.
[证] 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形,
即
f
(z0 )
1 2πi
C
f (z) (z z0 )2
|
1 d
,
d
z0
d
D
|
|
z z0 Δ z || z
1
2
z z0 Δ z | d
z0 ,
| |I
|Δ |
z | 1 2π
, 2 C |z
| Δ z || z0 |2|
f z
(z) | z0
d
s Δ
z
|
|
Δ
z
|
ML πd3
这就证得了当 Dz0时, I0.
这就证得了
f
(z0 )
1 2πi
1
2
| Δ z || f (z) | d s C | z z0 |2| z z0 Δ z |
f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) |
M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则d/2,因此
C
|
z
z0
|
d,
|
z
1 z0
C
f (z) (z z0 )2
d
z
1 2πi
C
(z
f (z) z0 )(z z0
Δ
z)
d
z
1
Δ zf (z)
dzI
2 π i C (z z0 )2 (z z0 Δ z)
现要证当Dz0时I0, 而
| I | 1 2 π
C
Δ zf (z) d z (z z0 )2 (z z0 Δ z)
d
z
按定义
f (z0 )
lim
Δ z0
f
( z0
Δ z) Δz
f
(z0 ) ,
因此就是要证
1
f (z) d z f (z0 Δ z) f (z0 )
2 π i C (z z0 )2
Δz
在Δ z 0时也趋向于零.
按柯西积分公式有
f
(z0 )
1 2πi
C
f (z) z z0
d z.
C z
其中C: |ζ|=2,取
|z|≠2,计算
(1) f (3 5i); (2) f (1 i).
ez
2)
dz
C (z2 1)2
C1
C2
C1 CC12
C
C2
ez
ez
(z i)2 dz (z i)2 dz
C1 (z i) 2
C2 (z i)2
i
2
i
(
z
ez i)
2
z i
(z
ez i)2
zi
2 sin(1 )
4
例2 设 正向，
f (z) 3 2 6 5d ,
d
z;
2)
C
(z2
1) 2
d
z
cosz
[解] 1) 函数(z 1)5
在C内的z=1处不解析, 但c
osz在C内却是处处解析的. 由高阶导数公式，
| C
cosz
(z 1)5
dz
2i (cosz)(4)
(5 1)!
5i .
z 1
12
由多连通域Cauchy和高阶 导数Cauchy公式，可解：