线代题

一、 选择题 （每小题2分，共10分）

1、

2

、

3、

4、

5、

二、填空题（每小题3分，共15分）

2、 3、设⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=λλλ

001001A ，则)(=

k A

4、 1

11111111)()()()()()()()(,,,,---------+++++++B A D B B A A C B

A B B A A B A n B A B A B A 等于则阶可逆矩阵为设A A A D A A A C A A A B A A A A A A n A n n n n n 2**2**1**1**)()()()()()()()()(,*)2(+-+-====≥则的伴随矩阵是矩阵非奇异阶矩阵设.

)(;,)(;

)(;)().()()(,0,,n D n n C n B A B R A R AB n B A 都等于另一个等于一个小于都小于必有一个等于零的下列结论正确的是和则且阶非零矩阵都是设=.0,0)(.0,0)(.,)0()(.,)0()().

(,===≠-=≠==≠=B A D B A C a B a a A B a B a a A A B A n 时当时当时当时当则必有等价与阶矩阵设)

(,0,,113342211==⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛--=t AB B t A 则且为三阶非零矩阵、设.

)(.)(.)(.)().(,,,,,,A D A C E B E A C B CA A C AB E B n E n C B A ---+=+=为则若阶单位矩阵为阶矩阵均为设.)()(,202040202,2,3,,1=-⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+=-E A B B A AB E B A 则已知阶单位矩阵为均为三阶矩阵设).

(,,,,43214143

432

321

21应满足条件则常数有解若齐次线性方程组a a a a a x x a x x a x x a x x ⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧=+-=+=+-=+

5、设0321321321111

1333

222

=x x x ，则）(=x 三、计算题（1-7小题各5分，8-10小题各10分，共65分） 1、设ij M D ,3

2040103

14324321

=是D 中的ij a 的余子式，.432244342414M M M M +++ 2、设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=145243121A ，用初等变换法求.1-A

3、设A 为3阶方阵，*A 为其伴随矩阵，21=

A 求.5)2(*1A A -- 4、设()()().,1,1,1,,1,1,1,321T T T a a a -=-==ααα问（1）、当a 为何值时，3

21,,ααα为线性相关？

5、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向 量，且T )5,4,3,2(1=η，T )4,3,2,1(32=+ηη，求该方程组的通解.

6、设三阶矩阵A 的两个特征值为3,1，且6=A ，求E A A -+22的值.

7、设3阶矩阵A 的特征值为1,2,2321=-==λλλ，对应的特征向量依次为⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1101p ，

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011,11132p p ，求A .

8、对于方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++.)1(,3)1(,0)1(321

321321λλλλx x x x x x x x x 问λ取何值时，方程组无解，有唯一解，有 无穷多解？当有无穷多解时求其通解.

9、求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8921,1201,1412,3511,321254321ααααα的秩和一个极大

无关组，并将其余向量表示为该极大无关组的线性组合.

10、设已知⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=111α是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a

A 的一个特征向量. (1)确定参数b a ,及特征向量α对应的特征值λ；

(2)问A 能否相似于对角矩阵？并说明理由.

四、证明题（每小题5分共10分）

1、

2、设*η是非齐次线性方程组b Ax =的一个解，r n -ξξξ,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：*η，r n -+++ξηξηξη*,,*,*21 线性无关.

.,,02312-=--A A E A A A n 并求可逆求证满足阶方阵设