极坐标与参数方程题型及解题方法(学生版)

极坐标与参数方程题型与方法归纳

1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化

极坐标与直角坐标的互相转化

（2）

{参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3)

{

利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）参数方程与普通方程的互化

化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）

例1、方程2222

t t t t x t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆

练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数）

222sin cos ....cos 1sin x t x tgt x t x A B C D y t y tg t y t y t

===⎧⎧⎧⎧=⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎩⎩⎩⎩

练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .

（2）极坐标与直角坐标的互化

利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直角坐标为(),x y ，

它的极坐标为(),ρθ，则222

c o s s i n x y x y y tg x ρρθρθθ⎧=+=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩

或；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.

例2、极坐标方程2

4sin 52θρ⋅=表示的曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线

练习1、

已知直线的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝

⎭，则极点到该直线的距离是

练习2、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为（ ）

A ．201y y +==2x 或

B ．1x =

C ．201y +==2x 或x

D ．1y =

练习3、点M

的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）

A ．(2,)3π

B ．(2,)3π-

C ．2(2,)3π

D ．(2,2),()3

k k Z ππ+∈

（3）、参数方程与直角坐标方程互化

例题3：已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θ

θsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．

（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

练习1、坐标系与参数方程.

已知曲线C ：θ⎩⎨⎧θ

+=θ+=(sin 21cos 23y x 为参数，0≤θ<2π)， （Ⅰ）将曲线化为普通方程；

（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．

（4）利用参数方程求值域

例题4、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上求一点，使它到直线2C

：12(112

x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。

练习1、在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（θ∈R ）的圆心为(,)P x y ，求2x y -的取值范围。

练习2、已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线L 的参数方程是⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=,54253t y t x （t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求MN 的最大值.

（5）直线参数方程中的参数的几何意义

例5、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=

，

①写出直线l 的参数方程;

②设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.

练习1、求直线415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩

（为参数t

）被曲线)4πρθ=+所截的弦长.

（6）、参数方程与极坐标的简单应用

参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.

例6、已知ABC ∆的三个顶点的极坐标分别为55623A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭，，，，，,判断三角形ABC 的三角形的形状，并计算其面积.

练习1、如图，点A 在直线x=5上移动，等腰△OPA 的顶角∠OPA 为120°（O ，P ，A 按顺时针方向排列），求点P 的轨迹方程.

课堂练习

1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）

A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩

B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x t t y t

=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）

A ．21(0,)(,0)52、

B ．11(0,)(,0)52、

C ．(0,4)(8,0)-、

D ．5(0,)(8,0)9

、 3．直线12()2x t t y t

=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ） A ．125 B

4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2

4()4x t t y t

⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5