第二章 ,第二节 可测集合

c c i =1 i =1 i =1
n
n
n
= m ([ 0 ,1] − ∪ Ai ) = m ([ 0 ,1]) − m ( ∪ Ai )
c c i =1 i =1
n
n
≥ 1 − Σ m ([0,1] − Ai )
i =1
n
= 1 − Σ (1 − mA i ) = Σ mA i − ( n − 1) > 0
从而m T = m (T ∩ E ) + m (T ∩ E )
* c
∗
∗
即E为可测集。
∀T ⊂ R ,有m T = m (T ∩E) + m (T ∩E )
n * c
∗
∗
注: (1)根据外测度的次可加性，E可测的充 要条件是 ∀T ⊂ R n ,
有m∗T ≥ m∗ (T ∩ E ) + m* (T ∩ E c ).
例如:设An = (n, +∞)(n = 1, 2, ), 则{ An }是渐缩的,但是 ∀n, m( An ) = ∞而m(lim An ) = m(∅) = 0,因此
n →∞
m(lim An ) ≠ ∞ = lim m( An ).
n →∞ n →∞
∑
i =1
∞
| Ii | ≤ m*E + ε
即：用一列开矩体“近似”替换集合E
次可数可加性(即使Ａn两两不交)
m ( ∪ An ) ≤
* n =1 ∞
∑
∞
n =1
m An
*
1. 可测集的定义
若∀T ⊂ R , 有m T = m (T ∩ E) + m (T ∩ E )
n
∗
∗
*
c
（Caratheodory条件） ，则称E为Lebesgue可测集， 此时E的外测度称为E的测度，记作 mE
n→ ∞ n =1
∞
∞
若 An是递增集列， lim A n = ∪ A n
n→ ∞ n =1
n =1
∪ A n = A1 ∪ ( A 2 − A1 ) ∪
∞
∪ ( A n − A n −1 ) ∪
( a ) 证 明 : 因 为 lim A n =
n→ ∞
∪
∞
An , 所 以 可 测 .
n→ ∞
n =1
n→ ∞ n =1 ∞
令 Fn = A N \ An 则 n > N , An ⊂ A N , 下 用 两 种 方 法 来 计 算 m (∪ Fn ) :
n =1 ∞
一 方 面 , m ( ∪ Fn ) = m ( A N \ ∩ An ) = m ( A N ) − m ( ∩ An )
n =1 n =1 n =1
n =1
所 有 的 Fn 互 不 相 交 ,
他 们 每 个 满 足 m ( F n ) = m ( A n ) − m ( A n − 1 ).
∞ ∞ n→ ∞ n =1 n =1
因 此 m ( lim A n ) = m ( ∪ A n ) = m ( ∪ F n ) = =
∑
∞
n =1
m ( Fn )
若 Ai两两不交，则（测度的可数可加性）
m (∪ Ai ) =
i=1 ∞
∑
∞
i=1
m Ai
若 A,B可测，A ⊂ B, mA < +∞, 则有可减性 m ( B − A) = mB − mA 事实上, B = A ∪ B \ A, 且 A ∩ B \ A=∅ , 所以 m ( B ) = mA + m ( B \ A), 移项即可得证.
* i =1 i =1
∗
∗
∞
∞
从而 m T = m ( T ∩ ( ∪ A i )) + m ( T ∩ ( ∪ A i ) c )
* i =1 i =1
∗
∞
∞
例：设[0,1]中可测集A1,A2 , … ,An 满足条件 则 n 必有正测度。 ∩ Ai
i=1
∑ mA > n − 1
i =1 i
n
证明： m ( ∩ Ai ) = m ((( ∩ Ai ) ) ) = m ([ 0 ,1] − ( ∩ Ai ) c )
m* (1) + m* (2) = m* (T ∩ A ∩ B c ) + m* (T ∩ A ∩ B) = m* (T ∩ A), m* (3) + m* (4) = m* (T ∩ Ac ∩ B) + m* (T ∩ Ac ∩ B c ) = m* (T ∩ Ac ).
若 当 Ai 为 两 两 不 交 时 , ∪ Ai 可 测 已 证 明 , 则 通
∗ ∗ c ∗ k=1 k=1 ∗ = ∑[m (Ik ∩E) + m (Ik ∩E )] ≤ ∑| Ik |<mT +ε,令ε →0,即得证 . ∗ ∗ c k=1 k=1 ∞ ∞
∞
∞
2.Lebesgue可测集的性质
（a）集合E可测（即 ∀T ⊂ R n , 有m∗T = m∗ (T ∩ E) + m* (T ∩ E c ) ）
⇔ ∀A ⊂ E , B ⊂ E c , 有 m ∗ ( A ∪ B ) = m ∗ ( A ) + m * ( B )
证明：(充分性） ∀T
⊂R
c
n
令A = T ∩ E , B = T ∩ E ,从而
m ∗ (T ) = m ∗ ( A ∪ B ) = m ∗ ( A ) + m * ( B ) = m ∗ (T ∩ E ) + m ∗ (T ∩ E c ).
证明：∀T ⊂ R
n
有m∗T ≤ m∗ (T ∩ ( A ∪ B )) + m* (T ∩ ( A ∪ B )c ) ≤ (m (1) + m (2)) + (m (3) + m (4))
* * ∗ ∗
= m* ((1) ∪ (2)) + m∗ ((3) ∪ (4)) ( B可测) = m (T ∩ A) + m (T ∩ A ) ( A可测)
i =1
从而 m T ≥
∗
∑
i =1
∞
m (T ∩ Ai ) + m (T ∩ ( ∪ Ai ) )
* c i =1 ∞ * ∞ i =1 i =1
∗Fra Baidu bibliotek
∞
(*)
≥ m (T ∩ ( ∪ Ai )) + m (T ∩ ( ∪ Ai ) c )
另外显然有
∗
m T ≤ m (T ∩ ( ∪ Ai )) + m (T ∩ ( ∪ Ai ) c )
不 妨 设 所 有 的 m ( A n ) < ∞ ( 否 则 会 有 m ( lim A n ) = lim m ( A n ) = ∞ , 此 时 定 理 显 然 成 立 ).
n→ ∞
令 F n = A n \ A n − 1及 A0 = ∅ , 则 为 ∪ An =
n =1
∞
∪
∞
Fn , 并 且
∑
∞
n =1
[ m ( A n ) − m ( A n − 1 )] = lim m ( A n ).
n→ ∞
( b ) 证 明 : 因 为 lim A n = ∩ A n , 所 以 可 测 .
n→ ∞ n =1
∞
若 存 在 N 使 m ( AN ) < ∞ , 则 m ( lim A n ) = m ( ∩ A n ) ≤ m ( A N ) < ∞ .
第二章 测度理论
第二节 可测集合
Lebesgue外测度(外包)
m E = in f { ∑ | I i | : E ⊂ ∪ I i 且 I i 为 开 矩 体 }
∗ i =1 i =1 ∞ ∞
∀ ε > 0 , ∃ 开区间列 { I i }, 使得 E ⊂ ∪ I i 且 m * E ≤
i =1
∞
* * c
= m* (T )
从而m∗T = m∗ (T ∩ ( A ∪ B)) + m* (T ∩ ( A ∪ B)c )
这里集合(1)是指 T ∩ A ∩ B c , 这里集合(2)是指 T ∩ A ∩ B, 这里集合(3)是指 T ∩ Ac ∩ B, 这里集合(4)是指 T ∩ Ac ∩ B c .
c i =1 i =1 ∞ ∞
即可测集类关于差，余，有限交和可列交， 有限并和可列并，以及极限运算封闭； 若A ∩ B = Φ，则∀T ⊂ R n
有m∗ (T ∩ ( A ∪ B )) = m∗ (T ∩ A) + m* (T ∩ B )
注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得
可测集类关于差，余，有限交和可数交， 有限并和可数并，以及极限运算封闭；
i =1 ∞
过 令 B n = A n − ∪ Ai 可 把 一 般 情 形 转 化 为 两
i =1
n −1
两 不 交 情 形 ; 通 过 取 余 即 可 证 明 ∩ Ai 可 测 。
i =1
∞
下面证明若A i 两两不交，则
m (∪ Ai ) =
i=1
∞
∑
∞
证明：∀T ⊂ R n，有
m ∗T = m ∗ (T ∩ ( ∪ A i ) + m * (T ∩ ( ∪ A i ) c )
(2)E可测的充要条件是对任意的开矩体I,。
| I |≥ m ( I ∩ E ) + m ( I ∩ E ).
* c
∗ ∗ 证明:只需证充分性.显然当mT =∞,C −条件成立,不妨设mT <∞.
∗
∗ 则对任意的ε > 0, 存在T的L覆盖 Ik }使得∑| Ik |<mT +ε, { k=1
∞
因此,m (T ∩E) + m (T ∩E ) ≤ ∑m (Ik ∩E) + ∑m∗(Ik ∩Ec )
E T∩E T∩Ec Ec
注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集， 但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。
例：零测集E必为可测集
证明：T ⊂ R ∀
∗ ∗
n
有m T ≤ m (T ∩ E ) + m (T ∩ E )
* c
≤ m∗ ( E ) + m* (T ) ≤ m* (T )
(必要性)令 T = A ∪ B m ∗ (T ) = m ∗ ( A ∪ B )
= m ∗ (( A ∪ B ) ∩ E ) + m * (( A ∪ B ) ∩ E c ) = m ∗ ( A ) + m ∗ ( B ).
（b）若A,B, Ai 可测，则下述集合也可测
A , A ∪ B , A ∩ B , A − B , ∩ Ai , ∪ Ai
∞
∞
∞
= m ( A N ) − m ( lim A n );
n→ ∞
另 一 方 面 , 由 于 { Fn } 渐 张 , m ( ∪ F n ) = lim m ( F n ) = lim [ m ( A N ) − m ( A n )] = m ( A N ) − lim m ( A n ).
n =1 n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞ ∞
i =1 i =1
n
n
单调可测集列的性质 (a) 若An是递增的可测集列，则
m(lim An ) = lim mAn
n →∞ n →∞
(b) 若An 是递减的可测集列且
n →∞ n →∞
mA1 < +∞
则m(lim An ) = lim mAn
lim A n = ∩ A n 注：若 An是递减集列，
证明：由可测集的定义：∀ T ⊂ R
∗ ∗ *
n
有m T = m (T ∩ A) + m (T ∩ A )
c
易知Ac可测 若 A ∪ B 可测已证明，则易知
A ∩ B = ( Ac ∪ B c )c
A − B = A ∩ Bc
也可测。
B 下面证明若A,B 可测， 则 A ∪ B 可测 A
(2) (1) (3) (4) Ｔ
于 是 , m ( A N ) − m ( lim A n ) = m ( A N ) − lim m A n .
n→ ∞ n→ ∞
上 式 两 边 同 减 去 m ( A N )即 得 到 所 需 的 结 论 .
注 : ( b ) 中 的 条 件 “ 若 存 在 N 使 m ( A N ) < ∞ ”不 能 去 掉 . ,
i =1 n i =1 ∞ n n
i=1
m Ai
∞
从而∪ Ai可测,
i =1 ∞ i =1
≥ m (T ∩ ( ∪ A i ) + m (T ∩ ( ∪ A i ) c )
* i =1 i =1 ∞
∗
并用T = ∪ Ai 代 入（*）式， 即得结论
=
∗
∑
n
i =1
m ∗ (T ∩ A i ) + m * (T ∩ ( ∪ A i ) c )