15全等三角形的判定(3)
全等三角形判定(ASA和AAS)
D
或∠A=∠D （AAS）
E
或 AC=DF （SAS）
知识梳理: 三角形全等判定方法3
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全
等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
A
D
∠A=∠D （已知 ）
AB=DE（已知 ）
∠B=∠E（已知 ）
A_B_=_A__’__C_ （ 已知 ）
∠_B__=_∠__C__ （ 已知 ）
∴△A_B_E__≌△A_’__C_D（ ASA）
B
ED C
考考你
1、如图：已知AB∥DE，AC∥DF， BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。
AD B EC F
证明：∵ BE=CF(已知)
∴BC=EF(等式性质)
∵ AB∥DE AC∥DF (已知)
∵∠1＝ ∴∠1＋ 即∠BAC＝
∠DAE 在△ABC和△ADC 中
C＝E（已知） BAC＝DAE（已证
∴
）
△ABC≌△ADE （AAS）
AB＝AD（已知）
5、在△ABC中，AB=AC，
A
AD是边∠BBACC上的的角中平线分，线证。明： ∠求B证A：D=BD∠C＝ACDD
B
DC
证明：∵AD是B∠CB边AC上的的角中平线分线（已知）
C
F
A
BD
E
例1 、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE和 △ACD全等吗？为什么？
A 证明: 在△ABE与△ACD中
D
E
∠B=∠C （已知） AB=AC （已知）
∠A= ∠A （公共角）
B
15.2三角形全等的判定(3)
15.2 三角形全等的判定第1课时（共6课时）总第30课时15.2 三角形全等的判定（三）教学目标1、探索全等三角形的“边边边”的判定方法。
2、能运用“边边边”的判定方法进行三角形全等的判定。
过程与方法1、通过动手画图、实验来理解好掌握“边边边”的判定方法。
2、通过对“边边边”的判定方法的应用，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3、通过对几何图形的观察培养学生的识图和作图能力。
情感、态度和价值观1、通过实际操作，来判定两个三角形全等，来锻炼学生的动手能力；2、通过带领学生观察生活中的问题，使学生感受全等三角形在现实生活中的应用价值，通过自主学习发展学生的创新意识和能力。
重点难点重点掌握全等三角形“边边边”的判定方法。
难点“边边边”的判定方法的探究过程和书写格式教学准备教师准备投影仪、多媒体课件等学生准备圆珠笔、刻度尺、铅笔、橡皮等教学方法问题教学法等教学进程一、创设情境，导入新知师：前面我们都学习了哪些判定两个三角形全等的定理？生甲：边角边。
生乙：角边角。
师：很好。
这节课我们继续学习关于三角形全等的判定定理。
二、共同探究，获取新知师：请同学们任意作一个△ABC，再画一个△A/B/C/，使△ABC和△A/B/C/三边对应相等，即使AB＝A/B/，B/C/＝BC，CA＝C/ A/。
学生作图，教师巡回指导。
师：你画出的△ABC和△A/B/C/一定全等吗？学生剪下来，比较是否全等。
生：全等。
让学生充分交流后，在教师的引导下通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等。
三、合作交流，深化理解教师多媒体课件出示课本例图：师：我们为什么在预制的木门框（或木窗框）上加两根木条，晃动的椅子腿与坐板间钉一根木条呢？学生交流、讨论。
生：为了让它稳定结实。
师：为什么这样就会稳定、结实呢？生：这样就构成了三角形，三角形具有稳定性。
师：三角形为什么具有稳定性呢？生：因为只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定。
1.5三角形全等的判定(3)
BC=3cm,∠B=45° ,∠C=60°
结论： 有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个 三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）
有两个角和这两个角的夹边对应相等的
两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）
A D
B
C
E
F
几何语言：在△ABC和△DEF中 ∠ A=∠D ∵ AB=DE ∠B=∠E ∴ △ABC≌△DEF(ASA）
1.5三角形全等的判定（3）
垂直于一条线段，并且平分这条线 段的直线叫做这条线段的垂直平分线， 简称中垂线。 线段垂直平分线上的点到线段两端点 的距离相等。
议一议
B A 小明踢球时不慎把一块三 角形玻璃打碎为两块,他是否可 以只带其中的一块碎片到商店 去,就能配一块与原来一样的三 角形玻璃呢?如果可以,带哪块 去合适呢?为什么?
四、试一试
1、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE 和 △ACD全等吗？为什么？ A 证明: 在△ABE与△ACD中 D D E ∠B=∠C （已知）
∵ B B C C
AB=AC （已知）
∠A= ∠A （公共角） ∴ △ABE ≌△ACD （ASA）
试一试：
如图,已知∠1=∠2, ∠3=∠4，求证：
⊿ABC≌⊿ABD
解：∵∠3=∠4 （ 已知 ） ∴∠ABC=∠ABD（ 等角的补角相等 ） 2 B 4 A 1 3 在⊿ABC和⊿ABD中， ∠1=∠2 （ 已知 ∵ ∠ABC=∠ABD ∴ ⊿ABC≌⊿ABD （ ）
D
C
AB=AB （ 公共边 ）
ASA
）
变式1：如图，EF//BC,AF=DC, ∠A=∠D，求证：AB=DE.
E F A B C D
《三角形全等的判定(3)》名师课件
问题探究
课堂小结
随堂检测
难点知识▲
探究二：利用“角边角”“ 角角边”条件判定两个三角形全等
活动2
大胆猜想,探究三角形全等的“角角边”的条件.
三角形全等的判定： 有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 . （简称“角角边”、“AAS”）
用符号语言表达:
在 △ ABC和 △ A’B’C’中
换一块完全一样的玻璃，他从打碎的三块玻璃中选一块带
到玻璃店，小明的想法可行吗？若可行，你认为小明应该 拿哪块玻璃去呢？为什么？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一：探索“角边角”条件的内容 活动3
大胆操作，探究三角形全等的“角边角”的内容.
请用尺规、量角器和剪刀，完成下面的探究. 先任意画一个 △ ABC，再画一个△ A′B′C′，使A′B′＝AB，
理由如下：∵∠BAC＝90°，
BD⊥AN， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°， 在 △ABD和△CAE中， ∠ABD＋∠BAD＝90°，
BDA＝AEC ABD＝CAE AB＝CA
∴BD＝AE，AD＝CE ∵DE＝AE－AD，
∴∠CAE＝∠ABD.
∵BD⊥AN，CE⊥AN， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°
AB A ' B ' BAC B ' A ' C ' AC A ' C '
∴△ABC ≌△A’B’C’（SAS）
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一：探索“角边角”条件的内容 活动2
整合旧知，探究三角形全等的“角边角”条件的内容.
一天，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块，为了
三角形全等的判定(3)
∴ ∴ △ADC ≌△AEB（AAS）． AC =AB． B C
课堂练习
P41:
练习1,练习2
课堂小结
（1）本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？ 分别是什么？它们之间有什么共同点和区别？ （2）本节课学习的两种方法能否用“两角一边相等， 则三角形全等” 来代替？
B C E F
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三 角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
应用“ASA” 判定方法，解决实际问题
问题3 如图，小明、小强一起踢球，不小心把一 块三角形的装饰玻璃踢碎了，摔成了3 块，两人决定赔 偿．你能告诉他们只带其中哪一块去玻璃店，就可以买 到一块完全一样的玻璃吗？
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ 可以简写成“角边角”或“ASA”）．
适时引申，探究“AAS”判定方法
问题2 解答下面问题，你能获得什么结论？如图， 在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D，∠B =∠E，BC =EF， △ABC 与△DEF 全等吗？你能利用“ASA”证明你的 A D 结论吗？
布置作业
习题12.2第4、5、11、12题．
P40:例4
即时练习，巩固新知
例2 如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，∠DAB =∠EAC．求证：AB =AC． A 证明：∵ ∠DAB =∠EAC， ∴ ∠DAC =∠EAB. E D ∵ AE⊥BE，AD⊥DC， ∴ ∠D =∠E =90°. 在△ADC 和△AEB 中,
B C
例题示范，巩固新知
全等三角形的判定三角边角概要
例1.如图，∠CAE=∠BAD，∠B=∠D， AB=AD，△ABC与△ADE全等吗？为什么？
B
上，点E在AC上，
BE和CD相交于点O,AB=AC, ∠B= ∠C
求证：BD=CE
A
D O B
E
C
应用“ASA” 判定方法，解决实际问题
小明踢球时不慎把一块 三角形玻璃打碎为两块,他是 否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块于原来 一样的三角形玻璃呢?
A
F B D E C
(3) 如图，AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD. 求证： (1)C B ( 2)OA OD
证明: (1)连接AD, 在△ADC和△DAB中 D AD=DA（公共边） AC=DB（已知） DC=AB（已知） ∴△ADC≌△DAB （SSS） ∴∠C=∠B（全等三角形的对应角相等） A C
2
1
O B
(2) 在△ AOB 和△ DOC中 ∴△DOC≌△AOB （AAS） ∠ B =∠ C （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等） ∴OA=OD （全等三角形的对应边相等） DC=AB（已知）
课堂小结
知识要点：
(1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”. (2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边”或“AAS”. （3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等）， 角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
C
A
B
已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/， 使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ： 画法：1、画A/B/＝AB； 2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。 △A/B/C/就是所要画的三角形。
12.2三角形全等的判定(3)-ASA
探究2
如图： 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？ 能利用角边角条件证明你的结论吗？ 证明： ∠A＋∠B＋∠C=180o ∵
A
∠D＋∠E＋∠F=180o 又∵ ∠A=∠D， ∠B=∠E ∴ ∠C=∠F B 在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E BC=EF E ∠C=∠F ∴ △ABC≌△DEF （ASA）
∴ ∴ △ABE ≌△ACD（ASA）． AE =AD． D B E C
课堂练习
课本第41页
第2题
适时引申，探究“AAS”判定方法
问题3 解答下面问题，你能获得什么结论？如图， 在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D，∠B =∠E，BC =EF， △ABC 与△DEF 全等吗？你能利用“ASA”证明你的 结论吗？
A B
尺规作图，探究角边角的判定方法
画法： （1） 画A′B′ =AB； （2）在A′B′的同旁画∠D A′B′ = A ∠A， ∠EB′A′ = ∠B, A′D, B′E相 交于点C′。 现象：两个三角形放在一起 能完全重合． 说明：这两个三角形全等．
C
B E C D
A′
B′
归纳概括“ASA”判定方法: 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ 简称为“角边角”或“ASA”）．, 几何语言： 在△ABC 和△ A′B′ C′中， ∠A =∠A′， AB = A′B′, ∠B=∠B′ ，
1 2 3
尺规作图，探究角边角的判定方法
问题1 先任意画出一个△ABC，再画一个 △A′B′C′，使A′B′=AB，∠A‘=∠A， ∠B’=∠B（即两角 和它们的夹边分别相等）．把画好的 △A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗? 根据你画的两个三角形及结果，你能得到又一个判定两个 C 三角形全等的方法 吗？
【数学课件】三角形全等的判定定理(第3课时)
有三条边对应相等的 两个三角形全等
记做“边边边”或“SSS”
A
D
如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢
B
C
E
F
在△ABC与△DEF中 AB=DE
AC=DF
BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SSS）
?
做一做
有一些长度适当的木条，用钉子把它 们分别钉成三角形和四边形，并拉动它们。 三角形的大小和形状是固定不变的，而四 边形的形状会改变。 只要三角形三边的长度确定了，这个三角形 的形状和大小就确定，三角形的这个性质叫 三角形的稳定性。
A B C
BD=DB （公共边） ∴△ABD≌△CDB（SSS） ∴ ∠ A= ∠ C （全等三角形的对应角相等）
解：有三组。
2、如图，AB＝AC，BD＝CD， BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它 A 们全等的条件是什么？
在△ABH和△ACH中 ∵AB=AC，BH=CH，AH=AH ∴△ABH≌△ACH（SSS）； 在△ABH和△ACH中
证明：在△ABC和△ADC中 AB=AD ( 已知 ) BC=CD ( 已知 ) AC = AC ( 公共边 )
∴ △ABC ≌ △ADC（SSS）
A B D
C
例3 如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A 与BC中点D的支架，求证： △ABD≌△ACD
分析：要证明两个三角形全等， 需要那些条件？ 证明：∵D是BC的中点
2、如图，小明在做数学作业时，遇到这样 一个问题：AB=CD，BC=AD，请说明 ∠A=∠C的道理。小明动手测量了一下， 发现∠A确实与∠C相等，但他不能说明其 中的道理，你能帮助他吗？
A O B D C
布置作业
1、课本P82练习题,习题3.4 2、基训P41-42
全等三角形教案(精选3篇)
全等三角形教案（精选3篇）全等三角形教案1课题：三角形全等的判定（三）教学目标：1、知识目标：（1）掌握已知三边画三角形的方法；（2）掌握边边边公理，能用边边边公理证明两个三角形全等；（3）会添加较明显的辅助线。
2、能力目标：（1）通过尺规作图使学生得到技能的训练；（2）通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理能力。
3、情感目标：（1）在公理的形成过程中渗透：实验、观察、归纳；（2）通过变式训练，培养学生“举一反三”的学习习惯。
教学重点：SSS公理、灵活地应用学过的各种判定方法判定三角形全等。
教学难点：如何根据题目条件和求证的结论，灵活地选择四种判定方法中最适当的方法判定两个三角形全等。
教学用具：直尺，微机教学方法：自学辅导教学过程：1、新课引入投影显示问题：有一块三角形玻璃窗户破碎了，要去配一块新的，你最少要对窗框测量哪几个数据？如果你手头没有测量角度的仪器，只有尺子，你能保证新配的玻璃恰好不大不小吗？这个问题让学生议论后回答，他们的答案或许只是一种感觉。
于是教师要引导学生，抓住问题的本质：三角形的三个元素――三条边。
2、公理的获得问：通过上面问题的分析，满足什么条件的两个三角形全等？让学生粗略地概括出边边边的公理。
然后和学生一起画图做实验，根据三角形全等定义对公理进行验证。
（这里用尺规画图法）公理：有三边对应相等的两个三角形全等。
应用格式：（略）强调说明：（1）、格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论。
（2）、在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的（如公共边）。
（3）、此公理与前面学过的公理区别与联系。
（4）、三角形的稳定性：演示三角形的稳定性与四边形的不稳定性。
在演示中，其实可以去掉组成三角形的一根小木条，以显示三角形条件不可减少，这也为下面总结“三角形全等需要有3全独立的条件”做好了准备，进行了沟通。
最新人教版八年级数学上册精品课件12.2三角形全等的判定(第3课时)
• 第五级
60°
2019/8/30
45°
10
单击此处编母版标题样式
思考：
这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？ • 单击此处编辑母版文本样式 你能•将第它二转级化为1中的条件吗？
证•明单：击此∵处A编B⊥辑B母C版，文AD本⊥样D式C，
12
• ∴第二∠级B=∠D=90 °.
在•△第A•三B第级四C级和△ADC中，
• 第五级
∠1=∠2 （已知），
∠ B=∠D（已证），
B
AC=AC （公共边），
D
∴ △ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
C
单击此处编母版标题样式
学以致用：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎
D
• 第四级
∠ABC＝• ∠第五D级 CB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知）B，
C
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．
单击此处编母版标题样式
例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,
∠•B单=∠击C此,求处证编：辑A母D版=A文E本. 样式
个• 条单件击此处编辑母版文，本才样能式使△ABC≌△DEF
（写•出第一二个级 即可）.
• 第三级
B • 第四级
AB=DE可以吗？×
• 第五级
A
AB∥DE
C F
∠B=∠E （ASA） 或∠A=∠D （AAS）
D
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。
边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。
需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。
例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。
但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。
在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。
角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。
例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。
在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。
除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。
在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。
总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。
1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。
根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。
又因为AB=DC，所以BC=AC。
因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。
同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。
2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。
根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。
又因为AD=CE，所以BD=BE。
因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。
同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。
全等三角形判定的三种类型
全等三角形判定的三种类型1.SSS判定（边边边）SSS判定是指当两个三角形的三条边分别相等时，它们是全等三角形。
例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以通过SSS判定断定三角形ABC和DEF是全等的。
SSS判定的原理是，边长相等可以确保两个三角形的相应边之间的角度也是相等的，根据三角形角度之和为180°的性质，可以推导出它们的角度也是相等的，进而判断三角形全等。
2.SAS判定（边角边）SAS判定是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们是全等三角形。
例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果AB=DE，∠BAC=∠EDF，BC=EF，则可以通过SAS判定判断三角形ABC和DEF是全等的。
SAS判定的原理是，两个三角形的一边和与这边相邻的两个角相等时，可以确保这两个三角形的三个边都相等，从而判断它们全等。
3.ASA判定（角边角）ASA判定是指当两个三角形的两角和边分别相等时，它们是全等三角形。
例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，AC=DF，则可以通过ASA判定判断三角形ABC和DEF是全等的。
ASA判定的原理是，两个三角形的两个角和这两个角所夹的边相等时，可以确保这两个三角形的第三个角也相等，从而判断它们全等。
此外，还有两种特殊情况的判定方法：4.直角全等判定如果两个直角三角形的三个边分别相等，那么它们一定是全等的。
这是因为直角三角形的两个直角以及第三个角也是相等的。
5.等腰全等判定如果两个三角形都为等腰三角形，并且有一个角相等，那么它们一定是全等的。
这是因为等腰三角形的两个底角和底边相等，所以只需要一个额外的角相等即可推断两个等腰三角形全等。
综上所述，全等三角形的判定可以通过SSS、SAS、ASA以及两种特殊情况的判定方法来进行。
这些判定方法不仅可以帮助我们判断三角形的全等性质，而且在数学推导和证明过程中也有重要的应用。
《三角形全等的判定》全等三角形PPT(第3课时)
∠A′=∠A，∠B′=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等)。把
画好的△A′B′C′剪下，放C 到△ABC上，它们全等吗？
A
B
探究验证
C
PPT模板：www. 1ppt.co m/ mob an/ PPT背景：/beiji ng/ PPT下载：/xiaz ai/ 资料下载：www. 1ppt.co m/zilia o/ 试卷下载：/shiti / 手抄报：/shouc haobao/ 语文课件：/keji an/yuwen/ 英语课件：/keji an/ying yu/ 科学课件：/keji an/kexue/ 化学课件：/keji an/huaxue/ 地理课件：/keji an/dili/
个人简历：www.1ppt. co m/jia nli/
试卷下载：/shiti /
教案下载：www.1ppt. co m/jia oan/
手抄报：/shouc haobao/
PPT课件：www.1ppt. co m/ ke jian/
语文课件：/keji an/yuwen/ 数学课件：www.1ppt.c om/keji an/shuxue/
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人教版八年级数学第十二章全等三角形考点例析(三)---全等三角形的判定(AAS、ASA和HL)
A C D B1 2 全等三角形的判定(AAS 、ASA 和HL)一、学习目标1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.二、知识精讲知识点1： 全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA ；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS ；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS ．（5）若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL ）。
知识点2：全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边③利用AAS 或ASA 证明三角形全等【例1】如图所示，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：AC ＝AD ．A DB EC O AD BEF C A B D C E F A D E B F 1 2 C A D C B O C E B F D A 【例2】如图所示，在△ABC 中，点O 为AB 的中点，AD ∥BC ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点D ，E ，求证：OD ＝OE.【例3】如图所示，已知∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，要证△ABC≌△DEF ，若要以“ASA ”为依据，还缺条件_________；以“SAS 为依据，还缺条件_________；以“AAS ”为依据，还缺条件_________.【题组训练】：1．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，点D 为BC 中点，由点D 分别向AB ，AC 作垂线段，则能够直接说明△BDE ≌△CDF 的理由是（ ）.A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2．如图所示，已知∠A ＝∠D ，∠1＝∠2，若要使△ABC ≌△DEF ，还应给出的条件是（ ）.A.∠B ＝∠EB.BC ＝EDC.AB ＝EFD.AF ＝CD3．如图，给出下列四组条件：①AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ；②AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ；③∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ；④AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠B ＝∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）.A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【第1题图】 【第2题图】 【第3题图】 【第4题图】 【第5题图】4．如图所示，AB ∥CD ，OB ＝OD ，则由“ASA ”可以直接判定△______≌△_______.5．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD ，CE 交于点H ，已知EH ＝EB ＝3，AE ＝4，则CH 的长是___________．6．如图所示，已知点E ，C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ∥DE ，∠ACB ＝∠F ．求证：△ABC ≌△DEF ．AB C D ED CEFAB NMOC AD BACD F EB7．如图所示，已知∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAC，AC＝AD，求证：AB＝AE.8．如图所示，BF⊥AC，DE⊥AC，垂足分别为点F，E，BF＝DE，∠B＝∠D，求证：AE＝CF.9．如图，将△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，再过点O任意画一条与AC，BD都相交的直线MN，交点分别为M和N．试问：线段OM＝ON成立吗？若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由．10．如图所示，直角三角形ABC的直角顶点C置于直线l上，AC＝BC，现过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，E.（1）请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程；（2）若BE＝3，DE＝5，求AD的长．④利用AAS或ASA证明三角形全等【例1】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′【例2】如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．【例3】如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【例4】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD．求证：CB=CD．【题组训练】：1．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等C．一条直角边和它所对的锐角对应相等D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等2．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AAS C．SSS D．ASA3．已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（）A．∠BAC=∠BAD B．BC=BD或AC=AD C．∠ABC=∠ABD D．AB为公共边4．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）A．40° B．50° C．60° D．75°5.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（）A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD=CD D．不能确定6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件_________________．7．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=__________度．8．如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等，滑梯BC与地面夹角∠ABC=35°，则滑梯EF与地面夹角∠DFE的度数是__________．【第4题图】【第5题图】【第6题图】【第7题图】【第8题图】9.已知如图，∠A=90°，∠D=90°，且AE=DE，求证：∠ACB=∠DBC．10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．11．如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，AD⊥BC，则BD与CD相等吗？为什么？12．小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C、D为垂足，用三角板作OA、OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释．13. 如图，已知 AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，试猜想线段 CE 与 DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．⑤综合利用三角形全等解决问题【例1】如图1,2,3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图1中,求证：△ABE≌△ADC.(2)由(1)证得△ABE≌△ADC,由此可推得在图1中∠BOC=120∘，请你探索在图2中，∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程。
2014中考数学复习课件15全等三角形-第一轮复习第四单元三角形3
解析：∵AE＝CF，∴AF＝CE.A 中，具备 AF＝ CE ， ∠AFD ＝ ∠CEB ， ∠A ＝ ∠C ， 由 “ASA” 可 得 △ADF≌△CBE；B 中，具备 AD＝CB，AF＝CE， ∠AFD＝∠CEB，是两边及一边的对角，不能证明 两三角形全等；C 中，具备 BE＝DF，AF＝CE， ∠AFD＝∠CEB，由“SAS”可得△ADF≌△CBE； D 中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠C.因此具备 AF＝CE， ∠AFD ＝ ∠CEB ， ∠A ＝ ∠C ， 由 “ASA” 可 得 △ADF≌△CBE.故选 B.
6． (2013· 陕西 )如图，在四边形 ABCD 中， AB＝ AD， CB＝ CD，若连接 AC， BD 相交于点 O，则图中 全等三角形共有 ( A． 1 对 C． 3 对 C ) B． 2 对 D． 4 对
解 析 ： ∵ AB ＝ AD ， CB ＝ CD ， AC ＝ AC ， ∴△ ABC≌△ADC ； ∵△ ABC≌△ ADC ， ∴∠BAC ＝ ∠DAC ， ∠BCA ＝ ∠ DCA. 由 AB ＝ AD ， ∠BAC ＝ ∠DAC， AO＝ AO， 可得 △ABO≌△ ADO； 由 BC＝ DC， ∠BCA＝ ∠DCA， CO＝ CO，可得 △ BOC≌△ DOC.综 上所述，共有 3 对全等三角形．故选 C.
(8 分)如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE，BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.
求证：(1)FC＝AD； (2)AB＝BC＋AD.
证明： (1)∵AD∥ BC， ∴∠ ADE＝ ∠FCE. ∵E 是 CD 的中点， ∴DE＝ CE. ∵在 △ADE 与 △ FCE 中， ∠ADE＝∠ FCE， DE＝ CE， ∠AED＝ ∠FEC， ∴△ ADE≌△ FCE(ASA)， ∴FC＝ AD.
全等三角形的四种判定方法
全等三角形的四种判定方法
1.SSS判定法（边-边-边）：
SSS判定法是通过比较两个三角形的边长来判断它们是否全等。
当三
个边的长度完全相等时，两个三角形就是全等的。
这是最直观的方法，也
是最易判定的方法之一
2.SAS判定法（边-角-边）：
SAS判定法是通过比较两个三角形的边长和夹角来判断它们是否全等。
当两个三角形的一对相邻边和它们之间的夹角相等时，这两个三角形就是
全等的。
3.ASA判定法（角-边-角）：
ASA判定法是通过比较两个三角形的两个角度和它们之间的夹边来判
断它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和它们之间的夹边相等时，这
两个三角形就是全等的。
4.AAS判定法（角-角-边）：
AAS判定法是通过比较两个三角形的两个角度和一个非夹角边来判断
它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和一个非夹角边相等时，这两个
三角形就是全等的。
这些判定方法都基于三角形的重要性质：对于两个全等的三角形，它
们的对应边长相等，对应角度相等。
因此，通过比较两个三角形的边长和
角度可以判断它们是否全等。
在实际应用中，这些判定方法可以用来解决各种问题，比如计算三角形的面积、寻找相似三角形等。
此外，全等三角形的概念也是其他几何学概念的基础，比如正方形和正五边形都是全等三角形的特殊情况。
综上所述，全等三角形的判定方法有四种：SSS、SAS、ASA和AAS。
通过比较边长和角度的相等性可以确定两个三角形是否全等。
这些方法在解决几何问题中非常有用，并且为其他几何学概念的理解提供了基础。
专题1.5 全等三角形的判定【八大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题1.5 全等三角形的判定【八大题型】【浙教版】【题型1 全等三角形的判定条件】 (1)【题型2 证明两个三角形全等】 (2)【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】 (3)【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】 (4)【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】 (5)【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】 (6)【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】 (8)【题型8 全等三角形的应用】 (9)【题型1 全等三角形的判定条件】【例1】（2022春•顺德区期末）如图，∠A＝∠D＝90°，给出下列条件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠ABC＝∠DCB，④∠ABO＝∠DCO，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【变式1-1】（2021秋•庐阳区期末）如图，点B、E在线段CD上，若∠A＝∠DEF，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（）A．∠C＝∠D，AC＝DE B．BC＝DF，AC＝DEC．∠ABC＝∠DFE，AC＝DE D．AC＝DE，AB＝EF【变式1-2】（2021秋•源汇区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-3】（2022秋•佳木斯期末）在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，则下列条件：①AC＝DF，∠A＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能够判定这两个三角形全等的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【题型2 证明两个三角形全等】【例2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，点A，E，F，B在同一直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AE＝BF，∠A＝∠B．求证：△ADF≌△BCE．【变式2-1】（2021秋•肥西县期末）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：△ABC≌△EAD．【变式2-2】（2021秋•信州区校级期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，分别过点B、C作BE ⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：△BDE≌△CDF．【变式2-3】（2022•河源模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M为对角线AC上一点，连接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求证：△ADC≌△CMB．【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】【例3】（2022春•徐汇区校级期末）如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD．【变式3-1】（2021春•横山区期中）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，连接BD，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【变式3-2】（2021秋•石阡县期末）如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由．【变式3-3】（2021秋•沂源县期末）如图，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE．（1）△ADE与△ACB全等吗？说明理由；（2）判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】【例4】（2022秋•孟津县期末）如图，BM，CN分别是钝角△ABC的高，点Q是射线CN上的点，点P在线段BM上，且BP＝AC，CQ＝AB，请问AP与AQ有什么样的关系？请说明理由．【变式4-1】（2022春•金牛区校级期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE 上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AD、AG．（1）求证：∠ABE＝∠ACG；（2）试判：AG与AD的关系？并说明理由．【变式4-2】（2021春•亭湖区校级期末）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB ＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）AE与AF有何位置关系．请说明理由．【变式4-3】（2021春•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．（1）求证：BE＝AC；（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】【例5】（2022春•九龙坡区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，过点A作AF ∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，连接EF，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（）个．①∠F AE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．A．2B．3C．4D．5【变式5-1】（2021秋•垦利区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM ⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式5-2】（2021春•锦州期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB ＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【变式5-3】（2021春•江北区校级期末）如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠F AG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC ＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】【例6】（2022春•杏花岭区校级期中）已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．【变式6-1】（2022•南京模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．【变式6-2】（2022秋•江夏区期末）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝；（2）如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝；（3）如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．【变式6-3】（2021秋•肥西县期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，连接AD，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】【例7】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD 交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；（2）求证：CF＝FG+CE．【变式7-1】（2022•黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠F AE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【变式7-2】（2021秋•两江新区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【变式7-3】（2022春•济南期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【题型8 全等三角形的应用】【例8】（2022春•二七区期末）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．问：（1）方案①是否可行？请说明理由；（2）方案②是否可行？请说明理由；（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要就可以了，请把小明所说的条件补上．【变式8-1】（2021春•普宁市期末）学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器（可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小）．小明小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点A、B之间的距离．（1）小明小组提出了测量方案：在池塘南面的空地上（如图），取一个可直接到达A、B的点C，用绳子连接AC和BC，并利用绳子分别延长AC至D、BC至E，使用拉尺丈量CD＝CA、CE＝CB，确定D、E两个点后，最后用拉尺直接量出线段DE的长，则端点A、B之间的距离就是DE的长．你认为小明小组测量方案正确吗？请说明理由．（2）你还有不同于小明小组的其他测量方法吗？请写出其中一个完整的测量方案（在备用图1中画出简图，但不必说明理由）．（3）假设池塘南面（即点D、E附近区域）没有足够空地（或空地有障碍物或不可直达等不可测量情况），而点B的右侧区域有足够空地并可用于测量，请你设计一个可行的测量方案（在备用图2中画出图形），并说明理由．【变式8-2】（2022春•金乡县期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高．【变式8-3】（2022春•郑州期末）阅读并完成相应的任务．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．课题测凉亭与游艇之间的距离测量工具皮尺等测量方案示意图（不完整）测量步骤①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）；②再往前走相同的距离，到达D点；③他到达D点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处．测量数据AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整．（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是米．②请你说明小明方案正确的理由．。
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A
2 B4
1
3
AB=AB （ 公共边）
C
∠ABC=∠ABD
∴ ⊿ABC≌⊿ABD （ ASA ）
变式1：如图，EF//BC,AF=DC,再添加什么条件，能使AB=DE.
F A
B
E
CD
A
变式2：如图，EF//AB，∠ACB=∠FDE, 再添加什么条件，能使AB=DE。
E
A
C
D
F
B
四、试一试
1、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE 和 △ACD全等吗？为什么？
浙教版八年级 上册
（第3课时）
1.判断三角形全等至少要有几 个条件？
至少要有三个条件.
2.我们已经学过哪几种判断三角形全等
的方法？
判定方法1：三边对应相等
的两个三角形全等（简写
A
成“边边边”或“SSS”).
B D
E
C 在ΔABC和ΔDEF中, ∵AB=DE，AC=DF，BC=EF,
F ∴ΔABC≌ΔDEF（SSS）.
A 证明: ∵在△ABE与△ACD中
D
EE
∠B=∠C （已知） AB=AC （已知）
∠A= ∠A （公共角）
BB
CC ∴ △ABE ≌△ACD （ASA）
变式： 如图 ，AB=AC,∠B=∠C,∠1=∠2.那么△ABE 和△ACD 全等吗？为什么？
A
12
D E
C B
阅读下面一段文字: 泰勒斯(Thales,约公元前625～前547年)是古希腊哲学家. 相传"两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等"就是由 泰勒斯首先提出的.泰勒斯利用这个判定三角形全等的依 据求出了岸上一点到海中一艘船的距离. 如图,A是观察点,船P在A的正前方.过A作AP的垂线l, 在垂 线l上截取任意长AB,O 是AB 的中点.观测者从点B沿垂直 于AB的BK方向走，直到点K,船P和点O在一条直线上,那 么BK的距离即为船离岸的距离.请给出证明.
例5 已知：如图所示，点B,F,E,C在同一条 直线上，AB∥CD，且AB=CD,∠A=∠D， 求证AE=DF
试一试：
如图,已知∠1=∠2, ∠3=∠4。说出下列判 断成立的理由：
⊿ABC≌⊿ABD
解：∵∠3=∠4 （ 已知）
D ∴∠ABC=∠ABD（等角的补角相等）
在⊿ABC和⊿ABD中，
∵ ∠1=∠2 （ 已知）
请同学们用量角器和刻度尺画△ABC，使BC=3cm， ∠B=40°，∠C=60°，将你画的三角形与其他同 学画的三角形比较，你发现了什么？
CF
F
600
450
600
450
AE
3cm
BG E
3cm
G
思考：你能否由此得出一个命题？
判定方法3
有两个角和这两个角的夹边对应相 等的两个三角形全等（简写成“角 边角”或“ASA”）.
如图所示：在△ABC和△A'B'C'中
∠B=∠B' ∠C=∠C'
BC=B'C'
∴△ABC≌△A'B'C'（ASA）
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他 是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配 一块与原来一样的三角形模具吗?如果可以,带哪 块去合适?你能说明其中理由吗?
有两个角和这两个角的夹边对应相等 的两个三角形全等.
例4 已知：如图所示，∠1=∠2，∠C=∠E，AC=AE 求证△ABC≌△ADE
证ห้องสมุดไป่ตู้：∵∠1=∠2（已知） ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE 即∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE AC=AE（已知） ∠C=∠E（已知）
∴△ABC≌△ADE（ASA）
已知:如图,A,E,F,B 在同一条直线上； CE⊥AB,DF⊥AB,AE＝BF,∠A＝∠B. 求证: CE＝DF.
判定方法2：两边及其夹角对应相 等的两个三角形全等(简写为“边 角边”或“SAS”).
A
B D
E
在ΔABC和ΔDEF中,
AB=DE（已知），
∠ B=∠ E（已知）,
C
BC=EF（已知）,
∴ΔABC≌ΔDEF（SAS）.
F
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为 两块,他是否可以只带其中的一块碎片到 商店去,就能配一块与原来一样的三角形 模具呢?如果可以,带哪块去合适?你能说 明其中理由吗?
知识要点： (1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”. （2）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相 等），角相等（对应角相等）等问题的基本途径.