湘教版九年级数学中考复习：一题多解专项练习(含解析)
湘教版 九年级数学下册 全一册 课时同步练习 习题合集(二)(含答案解析)
2．1 圆的对称性一、选择题1．下列语句中，不正确的有( )①过圆上一点可以作无数条圆中最长的弦；②长度相等的弧是等弧；③圆上的点到圆心的距离都相等；④同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图K－10－1所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在同一条直线上，图中弦的条数为( )图K－10－1A．2 B．3 C．4 D．53．若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，则点A与⊙O的位置关系是 ( ) A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外 D．不能确定4．半径为5的圆的弦长不可能是( )A．3 B．5 C．10 D．125．已知MN是⊙O的一条非直径的弦，则下列说法中错误的是( )A．M，N两点到圆心O的距离相等B．MN是圆的一条对称轴C．在圆中可画无数条与MN相等的弦D．圆上有两条弧，一条是优弧，一条是劣弧6．如图K－10－2所示，方格纸上一圆经过(2，6)，(－2，2)，(2，－2)，(6，2)四点，则该圆圆心的坐标为( )图K－10－2A．(2，－1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)7.形如半圆型的量角器直径为4 cm，放在如图K－10－3所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上)，连接60°和120°刻度线的一个端点P，Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为( )图K－10－3A．(－1，3) B．(0，3) C．(3，0) D．(1，3)二、填空题8．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于________．9．已知⊙O的半径为10 cm，点P到圆心的距离为d cm.(1)当d＝8 cm时，点P在⊙O______；(2)当d＝10 cm时，点P在⊙O______；(3)当d＝12 cm时，点P在⊙O______．10．如图K－10－4所示，三圆同心于点O，AB＝4 cm，CD⊥AB于点O，则图中阴影部分的面积为________cm2.图K－10－411．如图K－10－5所示，在矩形ABCD的顶点A处拴了一只小羊，在B，C，D处各有一筐青草，要使小羊至少能吃到一个筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到．如果AB＝5，BC＝12，那么拴羊的绳长l的取值范围是________．图K－10－5三、解答题12．如图K－10－6所示，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO，并延长CO，BO分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.图K－10－613．如图K－10－7，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA，OB分别交小圆于点C，D.求证：AB∥CD.图K－10－714．如图K－10－8，在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝120°，M，N分别是AB，AC的中点，AD⊥BC，垂足为D，以D为圆心，3 cm为半径画圆，判断A，B，C，M，N各点和⊙D的位置关系.链接听课例3归纳总结图K－10－815．图K－10－9，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，垂足为E，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF.求证：(1)AB＝AC;(2)A，B，C三点在以点O为圆心的圆上．1．[解析] B ①②不正确． 2．A3．[解析] A d ＝3 cm ＜4 cm ＝r ，所以点A 在⊙O 内． 4．[解析] D 圆中弦的长度小于或等于圆的直径． 5．B 6.B 7．[解析] B 连接OQ ，PO ，则∠POQ ＝120°－60°＝60°.∵PO ＝OQ ，∴△POQ 是等边三角形，∴PQ ＝PO ＝OQ ＝12×4＝2(cm )，∠OPQ ＝∠OQP ＝60°.∵∠AOQ ＝90°－60°＝30°，∴∠QAO ＝180°－60°－30°＝90°，∴AQ ＝12OQ ＝1 cm .∵在Rt △AOQ 中，由勾股定理，得OA ＝22－12＝3，∴点A 的坐标是(0，3)．故选B . 8．半径9．(1)内 (2)上 (3)外 10．[答案] π[解析] 根据圆是轴对称图形，得阴影部分的面积＝14大圆的面积＝14π(4÷2)2＝π(cm 2)．11．[答案] 5≤l＜13[解析] 根据题意画出图形如图所示：AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝12，根据矩形的性质和勾股定理得到：AC ＝52＋122＝13.∵AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，而B ，C ，D 中至少有一个点在⊙A 内或上，且至少有一个点在⊙A 外，∴点B 在⊙A 内或上，点C 在⊙A 外，∴要使小羊至少能吃到一个筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到，拴羊的绳长l 的取值范围是5≤l＜13. 12．证明：∵OB ，OC 是⊙O 的半径，∴OB ＝OC.又∵∠B ＝∠C ，∠BOE ＝∠COF ， ∴△EOB ≌△FOC ， ∴OE ＝OF ， ∴CE ＝BF.13．证明：∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ， ∴∠OCD ＝12(180°－∠O)．∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ， ∴∠OAB ＝12(180°－∠O)，∴∠OCD ＝∠OAB ， ∴AB ∥CD.14．解：连接DM ，DN.∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝6 cm ，∠BAC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝30°. ∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝12AB ＝3 cm ，BD ＝CD ＝3 3 cm .∵M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴DM ＝DN ＝12AB ＝3 cm ，∴点A ，M ，N 在⊙D 上，点B ，C 在⊙D 外． 15．证明：(1)∵AE ⊥EF, EF ∥BC ， ∴AD ⊥BC. ∵BD ＝CD ，∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB ＝AC.(2)如图，连接BO ，∵AD 是BC 的垂直平分线， ∴BO ＝CO. 又∵AO ＝CO ， ∴AO ＝BO ＝CO ，∴A ，B ，C 三点在以点O 为圆心的圆上．2．2.1 圆心角知识点 1 圆心角的定义1．下面四个图中的角，表示圆心角的是( )图2－2－12．在直径为8的圆中，90°的圆心角所对的弦长为( )A ．4 2B ．4C ．4 3D ．83．在半径为2 cm 的⊙O 中，弦长为2 cm 的弦所对的圆心角为( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系4．如图2－2－2所示，在⊙O 中，已知AB ︵＝CD ︵，则弦AC 与BD 的关系是( )图2－2－2A ．AC ＝BDB ．AC ＜BD C ．AC ＞BD D ．不确定5．如图2－2－3，已知∠AOB ＝∠COD ，下列结论不一定成立的是( )图2－2－3A ．AB ＝CD B .AB ︵＝CD ︵C ．△AOB ≌△COD D ．△AOB ，△COD 都是等边三角形6．如图2－2－4，已知在⊙O 中，BC 是直径，AB ︵＝DC ︵，∠AOD ＝80°，则∠ABC 的度数为( )图2－2－4A ．40°B ．65°C ．100°D ．105°7．如图2－2－5，在⊙O 中，AC ︵＝BD ︵，∠1＝50°，则∠2的度数为________．图2－2－58．如图2－2－6，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE 的度数是________．图2－2－69．如图2－2－7，已知AB ＝CD. 求证：AD ＝BC.图2－2－710．如图2－2－8，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且有AB ︵＝BC ︵＝CA ︵. (1)求∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 的度数；(2)连接AB ，BC ，CA ，试确定△ABC 的形状．图2－2－811．教材习题2.2A 组第2题变式如图2－2－9所示，OA ，OB ，OC 是⊙O 的三条半径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，且MC ＝NC.求证：AC ︵＝BC ︵.图2－2－912．如图2－2－10，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，那么( )图2－2－10A ．AB ＝AC B ．AB ＝2AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC13. 如图2－2－11，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，若BC ＝CD ＝DA ＝4 cm ，则⊙O 的周长为( )图2－2－11A ．5π cmB ．6π cmC ．9π cmD ．8π cm14．如图2－2－12所示，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是________．图2－2－1215．如图2－2－13，已知AB 是⊙O 的直径，弦AC ∥OD.求证：BD ︵＝CD ︵.图2－2－1316．如图2－2－14，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.图2－2－1417．如图2－2－15，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F.求证：AE ＝CD.图2－2－1518．如图2－2－16，A ，B 是圆O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点． (1)试判断四边形OACB 的形状，并说明理由；(2)延长OA 至点P ，使得AP ＝OA ，连接PC ，若圆O 的半径R ＝2，求PC 的长．图2－2－16教师详解详析1．D 2.A 3.B 4.A 5.D 6.B 7．50° 8.60°9．[解析] 要证AD ＝BC ，可证AD ︵＝BC ︵. 证明：∵AB ＝CD ，∴AB ︵＝DC ︵， ∴AB ︵－DB ︵＝DC ︵－DB ︵，即AD ︵＝BC ︵， ∴AD ＝BC .10．解：(1)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC .又∵∠AOB ＋∠BOC ＋∠AOC ＝360°， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝120°. (2)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵，∴AB ＝BC ＝CA ，∴△ABC 是等边三角形．11．证明：∵M ，N 分别是OA ，OB 的中点， ∴OM ＝12OA ，ON ＝12OB .又OA ＝OB ，∴OM ＝ON . 在△OMC 和△ONC 中，OM ＝ON ，MC ＝NC ，OC ＝OC ，∴△OMC ≌△ONC ，∴∠COM ＝∠CON ， ∴AC ︵＝BC ︵.12．C [解析] 取AB ︵的中点M ，连接AM ，BM ，则AC ︵＝AM ︵＝BM ︵，∴AC ＝AM ＝BM .在△ABM 中，AB <AM ＋BM ，∴AB <2AC .13．D [解析] 连接OD ，OC .根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD 是等边三角形，则⊙O 的半径为4 cm ，然后由圆的周长公式进行计算．14．51° [解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，∴∠BOC ＝∠EOD ＝∠COD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°.又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ，∴∠AEO ＝12×(180°－78°)＝51°.15．证明：连接OC .∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠ACO . ∵AC ∥OD ，∴∠OAC ＝∠BOD ，∠DOC ＝∠ACO ，∴∠BOD ＝∠COD ，∴BD ︵＝CD ︵.16．解：(1)△AOC 是等边三角形．理由如下： ∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵∠AOC ＝∠COD ＝60°， ∴∠BOD ＝60°.又∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形， ∴∠B ＝60°，∴∠AOC ＝∠B ，∴OC ∥BD .17．证明：连接AC ，∵∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，∴∠AOC ＝∠COD ＝30°，AC ＝CD .又∵OA ＝OC ，∴∠ACE ＝75°.∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝45°，∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°，∴∠ACE ＝∠AEC ，∴AE ＝AC ，∴AE ＝CD .18．解：(1)四边形OACB 是菱形．理由：连接OC ，∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，∴∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB ＝60°.∵OA ＝OC ＝OB ，∴△AOC 与△BOC 都是等边三角形，∴AC ＝OA＝OC ＝OB ＝BC ，∴四边形OACB 是菱形．(2)∵AP ＝OA ，AC ＝OA ，∴AP ＝AC ，∴∠P ＝∠ACP ＝12∠OAC ＝30°，∴∠OCP ＝90°.∵R ＝2，∴OC ＝2，OP ＝4，∴PC ＝OP 2－OC 2＝2 3.2.2.2 第1课时 圆周角定理及其推论1知识点 1 圆周角的定义1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( )图2－2－17知识点 2 圆周角定理2．2017·衡阳如图2－2－18，点A ，B ，C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，如果∠AOB ＝64°，那么∠ACB 的度数是( )图2－2－18A．26°B．30°C．32°D．64°3．2018·聊城如图2－2－19，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )图2－2－19A．25°B．27.5°C．30°D．35°4．2018·广东同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是________°.5．如图2－2－20，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOB＋∠ACB＝84°，那么∠ACB的度数是________．图2－2－206.2017·白银如图2－2－21，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________°.图2－2－217．教材练习第3题变式如图2－2－22，点A ，B ，C 在⊙O 上，AC ∥OB ，若∠BOC ＝50°，求∠OBA 的度数．图2－2－22知识点 3 圆周角定理的推论18．如图2－2－23，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( )图2－2－23A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°9．如图2－2－24，经过原点O 的⊙P 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，C 是OB ︵上一点，则∠ACB 的度数为( )图2－2－24A ．80°B ．90°C ．100°D ．无法确定10．如图2－2－25，已知点A，B，C，D在⊙O上．(1)若∠ABC＝∠ADB，求证：AB＝AC；(2)若∠CAD＝∠ACD，求证：BD平分∠ABC.图2－2－2511．如图2－2－26，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠APB的度数为( )图2－2－26A．140°B．70°C．60°D．40°12．将量角器按图2－2－27所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．若点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数为( )图2－2－27A．15°B．28°C．29°D．34°13．如图2－2－28，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．图2－2－2814．如图2－2－29，点A，B，C在圆O上，弦AE平分∠BAC交BC于点D，连接BE.求证：BE2＝ED·EA.图2－2－2915．如图2－2－30，△ABC的两个顶点B，C在圆O上，顶点A在圆O外，AB，AC分别交圆O于点E，D，连接EC，BD.(1)求证：△ABD∽△ACE；(2)若△BEC与△BDC的面积相等，试判断△ABC的形状．图2－2－3016．如图2－2－31，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．图2－2－31教师详解详析1．C 2．C [解析] 根据圆周角定理，同一条弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，所以∠ACB ＝12∠AOB ＝32°.故选C.3．D [解析] ∵∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，∴∠B ＝∠ADC －∠A ＝85°－60°＝25°.∵∠O ＝2∠B ＝50°，∴∠C ＝∠ADC －∠O ＝85°－50°＝35°.故选D.4．50 [解析] ∵弧AB 所对的圆心角是100°，∴弧AB 所对的圆周角为12×100°＝50°.5．28°6．58 [解析] 连接OB ，∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等腰三角形，∴∠OAB ＝∠OBA ，∵∠OAB ＝32°，∴∠OAB ＝∠OBA ＝32°，∴∠AOB ＝116°，∴∠C ＝58°.7．解：∵AC ∥OB ，∴∠OBA ＝∠BAC .又∠BOC ＝50°，∴∠BAC ＝25°，∴∠OBA ＝25°.8．C [解析] 连接OC .∵AB ︵＝AC ︵，∴∠AOC ＝∠AOB ＝40°，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝20°.9．B [解析] ∵∠AOB 与∠ACB 都是AB ︵所对的圆周角，∴∠AOB ＝∠ACB . ∵∠AOB ＝90°，∴∠ACB ＝90°.故选B. 10．证明：(1)∵∠ABC ＝∠ADB ， ∴AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC .(2)∵∠CAD ＝∠CBD ，∠ACD ＝∠ABD ，∠CAD ＝∠ACD ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴BD 平分∠ABC . 11．B [解析] 由题知∠DCE ＝40°，在四边形CDOE 中，∠CDO ＝∠CEO ＝90°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－40°＝140°，根据圆周角定理，得∠APB ＝12∠AOB ＝12×140°＝70°.故选B.12．B13．解：如图，连接OC ，∵∠AOC ＝2∠B ，∠DAC ＝2∠B ， ∴∠AOC ＝∠DAC ， ∴OC ＝AC .又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴AC ＝AO ＝12AD ＝3 cm.14．[解析] 欲证BE 2＝ED ·EA ，只需证BE ED ＝EA BE，则只需证△BAE ∽△DBE .由于AE 平分∠BAC ，则∠BAE ＝∠CAE .又因为∠EBD ＝∠CAE ，则∠BAE ＝∠DBE .再由∠E 为公共角，题目可证．证明：∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE . 又∵∠CAE ＝∠DBE ，∴∠BAE ＝∠DBE . 又∵∠E ＝∠E ，∴△BAE ∽△DBE ， ∴BE ED ＝EA BE，即BE 2＝ED ·EA .15．解：(1)证明：∵∠EBD 与∠ECD 都是DE ︵所对的圆周角，∴∠EBD ＝∠ECD . 又∵∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACE .(2)∵S △BEC ＝S △BDC ，S △ACE ＝S △ABC －S △BEC ，S △ABD ＝S △ABC －S △BDC ，∴S △ACE ＝S △ABD .由(1)知△ABD ∽△ACE ，∴对应边之比等于1，∴AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形． 16．解：(1)△ABC 是等边三角形．理由如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．(2)PC ＝PB ＋PA .证明：在PC 上截取PD ＝PA ，连接AD ，如图．∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，∴∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB ≌△ADC (AAS)，∴PB ＝DC .又∵PD ＝PA ，∴PC ＝PB ＋PA .第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形的性质知识点 1 圆周角定理的推论2 1．如图2－2－32，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A ＝30°，则∠B 的度数为 ( )图2－2－32 A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°2．如图2－2－33，小华同学设计了一个测圆的直径的测量器，将标有刻度的尺子OA ，OB 在点O 处钉在一起，并使它们保持垂直，在测圆的直径时，把点O 靠在圆周上，读得刻度OE＝8 cm，OF＝6 cm，则圆的直径为( )图2－2－33A．12 cm B．10 cm C．14 cm D．15 cm3．2017·福建如图2－2－34，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的是( )图2－2－34A．∠ADC B．∠ABDC．∠BAC D．∠BAD4．如图2－2－35，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝25°，∠BAD的度数为________．图2－2－355．如图2－2－36，⊙O的直径AB＝10 m，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD.判断△ABD的形状，并说明理由．图2－2－36知识点 2 圆内接四边形的概念及其性质6．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D的度数为( ) A．60°B．120°C．140°D．150°7．2018·济宁如图2－2－37，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是( )图2－2－37A．50°B．60°C．80°D．100°8．教材练习第3题变式如图2－2－38，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝96°，则∠ADE的度数为________．图2－2－389．2017·西宁如图2－2－39，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.图2－2－3910．如图2－2－40，A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，且BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．图2－2－4011．2018·武威如图2－2－41，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是( )图2－2－41A．15°B．30°C．45°D．60°12．2017·株洲如图2－2－42，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.图2－2－4213．2016·西宁⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则∠BAC的度数为________．14．如图2－2－43，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O交于点E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．图2－2－4315．如图2－2－44，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．图2－2－4416．如图2－2－45，已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD.(1)如图①，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；(2)如图②，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．图2－2－45教师详解详析1．D 2.B3．D [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°.∵∠ACD ＝∠ABD ，∴∠BAD ＋∠ACD ＝90°，故选D.4．65° [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD ＝25°，∴∠B ＝25°.∴∠BAD ＝90°－∠B ＝65°.5．解：△ABD 是等腰直角三角形．理由：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵CD 是∠ACB 的平分线，∴AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD ，∴△ABD 是等腰直角三角形．6．B7．D [解析] 如图所示．在优弧BD 上任取一点A (不与点B ，D 重合)，连接AB ，AD .因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A ＋∠BCD ＝180°.因为∠BCD ＝130°，所以∠A ＝50°.因为∠A 与∠BOD 都对着劣弧BD ，所以∠BOD ＝2∠A ＝2×50°＝100°.8．96°9．60 [解析] ∵∠BOD ＝120°，∴∠A ＝12∠BOD ＝60°.∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DCE ＝∠A ＝60°.10．证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE . ∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠A ＋∠DCB ＝180°.又∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°， ∴∠A ＝∠BCE ，∴∠A ＝∠E ，∴AD ＝DE ， ∴△ADE 是等腰三角形．11．B [解析] 连接CD ，则CD 为⊙A 的直径，可得∠OBD ＝∠OCD ，根据点D (0，1)，C (3，0)，得OD ＝1，OC ＝3，由勾股定理得出CD ＝2，∵OD ＝12CD ，∴∠OCD ＝30°，∴∠OBD ＝30°.故选B.12．80 [解析] 连接EM ，∵AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAM ，∴AM ⊥BC .∵AM 为⊙O 的直径，∴∠ADM ＝∠AEM ＝90°，∴∠AME ＝∠AMD ＝90°－∠BMD ＝50°，∴∠EAM ＝40°，∴∠EOM ＝2∠EAM ＝80°.13．15°或75° [解析] 作直径AD ，AD ＝2.如图①，若两条弦在AD 的同侧，分别连接BD ，CD ，则∠B ＝∠C ＝90°.∵AB ＝2，AC ＝3，∴cos ∠BAD ＝AB AD ＝22，cos ∠CAD ＝AC AD＝32，∴∠BAD ＝45°，∠CAD ＝30°，∴∠BAC ＝45°－30°＝15°.如图②，若两条弦在AD的两侧，分别连接BD，CD，则∠B＝∠C＝90°.∵AB＝2，AC＝3，∴cos∠BAD＝22，cos∠CAD＝32，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝45°＋30°＝75°.故答案为15°或75°.14．解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.又∵DC＝BC，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D. (2)设BC＝x，则AC＝x－2.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(x－2)2＋x2＝42，解得x1＝1＋7，x2＝1－7(舍去)．∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴DC＝CE.又∵DC＝BC，∴CE＝BC＝1＋7.15．解：(1)证明：如图，连接AE.∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.又∵AB＝AC，∴BE＝CE.(2)如图，连接DE，∵BE＝CE＝3，∴BC＝6.易知∠BED＝∠BAC，而∠DBE＝∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴BEBA＝BDBC，即3BA＝26，∴AB＝9，∴AC＝AB＝9.16．解：(1)∵AD经过圆心O，∴∠ACD＝∠ABD＝90°. ∵AB⊥AC，且AB＝AC＝6，∴四边形ABDC为正方形，∴BD＝CD＝AB＝AC＝6.(2)连接BC，OD，过点O作OE⊥BD.∵AB⊥AC，AB＝AC＝6，∴BC 为⊙O 的直径，∴BC ＝6 2，∴BO ＝CO ＝DO ＝12BC ＝3 2.∵∠BAD ＝2∠DAC ，∴∠DAC ＝30°，∠BAD ＝60°， ∴∠COD ＝60°，∠BOD ＝120°，∴△COD 为等边三角形，∠BOE ＝60°， ∴CD ＝CO ＝DO ＝BO ＝3 2，则BE ＝3 62，∵OE ⊥BD ，∴BD ＝2BE ＝3 6.2.3 垂径定理一、选择题1．下列命题错误的是链接听课例1归纳总结( ) A ．平分弧的直径平分这条弧所对的弦 B ．平分弦的直径平分这条弦所对的弧 C ．垂直于弦的直径平分这条弦 D ．弦的垂直平分线经过圆心2．2018·菏泽如图K －14－1，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 的度数是( )图K －14－1A ．64°B ．58°C ．32°D ．26°3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10 cm ，最短弦长为8 cm ，则OM 的长为( )A ．9 cmB ．6 cmC ．3 cm D.41 cm4．2017·泸州如图K －14－2所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是 ( )图K －14－2A.7 B ．27 C ．6 D ．8 5.2017·金华如图K －14－3，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为( )图K－14－3A．10 cm B．16 cmC．24 cm D．26 cm6．如图K－14－4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝8，则CD的长为( )图K－14－4A．4 2B．8 2C．8D．167．如图K－14－5，在等边三角形ABC中，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝1，那么△ABC的面积为( )图K－14－5A．3 B. 3 C．4 D.3 38．2017·襄阳模拟⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则AB和CD间的距离是( )图K－14－6A．7 cm B．8 cmC．7 cm或1 cm D．1 cm二、填空题9．如图K－14－6，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，若∠O＝70°，则∠A＋∠C＝________°.10．如图K－14－7，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3.若P是AB上的一动点，则OP的取值范围是________．图K－14－711．2017·孝感已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2 2，则∠COD的度数为________．三、解答题12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－14－8所示)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.链接听课例2归纳总结图K－14－813．如图K－14－9所示，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，2)，B(4，2)，C(6，0)，解答下列问题：(1)请在图中确定该圆弧所在圆圆心D的位置，并写出点D的坐标为________；(2)连接AD，CD，求⊙D的半径(结果保留根号)．图K－14－914．如图K－14－10，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D.(1)判断BC，MD的位置关系，并说明理由；(2)若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长；(3)若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．图K－14－1015．如图K－14－11，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．(1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？并说明理由．图K－14－11素养提升探究性问题如图K－14－12，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.(1)当BC＝6时，求线段OD的长．(2)探究：在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图K－14－121．B2．[解析] D ∵OC ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵.∠ADC 是AC ︵所对的圆周角，∠BOC 是BC ︵所对的圆心角，∴∠BOC ＝2∠ADC ＝64°，∴∠OBA ＝90°－∠BOC ＝90°－64°＝26°.故选D.3．[解析] C 由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED ⊥AB 于点M ，则ED ＝10 cm ，AB ＝8 cm ，由垂径定理知M 为AB 的中点， ∴AM ＝4 cm.∵半径OA ＝5 cm ，∴OM 2＝OA 2－AM 2＝25－16＝9， ∴OM ＝3(cm)． 4．B5．[解析] C 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D.∵CD ＝8 cm ，OD ＝13 cm ，∴OC ＝5 cm. 又∵OB ＝13 cm ，∴在Rt △BCO 中，BC ＝OB 2－OC 2＝12 cm ，∴AB ＝2BC ＝24 cm.6．[解析] B ∵∠A ＝22.5°，∴∠BOC ＝2∠A ＝45°.∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE ＝DE ，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE ＝22OC ＝4 2，∴CD ＝2CE ＝8 2.故选B. 7．[解析] B ∵OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M ，N ， ∴M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴MN 是等边三角形ABC 的中位线． ∵MN ＝1，∴AB ＝AC ＝BC ＝2MN ＝2， ∴S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝2×32＝ 3.8．C9．[答案] 55[解析] 连接OB.∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠ABO.又∵OD 是⊙O 的半径，弦AB ⊥OD 于点E ，∠AOD ＝70°， ∴AD ︵＝BD ︵，∠AOB ＝140°，∴∠C ＝12∠AOD ＝35°，∠A ＝∠ABO ＝20°，∴∠A ＋∠C ＝55°.故答案是55.10．[答案] 3≤OP≤5[解析] 连接OA ，作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝12AB ＝4.由勾股定理，得OA ＝AC 2＋OC 2＝5，则OP 的取值范围是3≤OP≤5.11．[答案] 150°或30°[解析] 如图所示，连接OC ，过点O 作OE ⊥AD 于点E.∵OA ＝OC ＝AC ，∴∠OAC ＝60°.∵AD ＝2 2，OE ⊥AD ，∴AE ＝2，OE ＝OA 2－AE 2＝2，∴∠OAD ＝45°，∴∠CAD ＝∠OAC ＋∠OAD ＝105°或∠CAD ＝∠OAC －∠OAD ＝15°，∴∠COD ＝360°－2×105°＝150°或∠COD ＝2×15°＝30°.故答案为150°或30°.12．解：(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE ＝DE ，AE ＝BE ，∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD.(2)连接OA ，OC ，由(1)可知OE ⊥AB 且OE ⊥CD ，∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62＝2 7，AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8，∴AC ＝AE －CE ＝8－2 7.13．(1)确定点D 的位置略 (2，－2)(2)⊙D 的半径为2 514．解：(1)BC ∥MD.理由：∵∠M ＝∠D ，∠M ＝∠C ，∴∠D ＝∠C ，∴BC ∥MD.(2)∵AE ＝16，BE ＝4，∴OB ＝16＋42＝10，∴OE ＝10－4＝6. 连接OC ，如图①.∵CD ⊥AB ，∴CE ＝12CD. 在Rt △OCE 中，∵OE 2＋CE 2＝OC 2，即62＋CE 2＝102，∴CE ＝8，∴CD ＝2CE ＝16.(3)如图②，∵∠M ＝12∠BOD ，∠M ＝∠D ， ∴∠D ＝12∠BOD. 又∵AB ⊥CD ，∴∠D ＝13×90°＝30°. 15．解：(1)如图①，设E 是桥拱所在圆的圆心，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交⊙E于点D ，则F 是AB 的中点，AF ＝FB ＝12AB ＝40米， EF ＝ED －FD ＝AE －DF.由勾股定理知AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(AE －DF)2.设⊙E 的半径是r ，则r 2＝402＋(r －20)2，解得r ＝50.即桥拱的半径为50米．①②(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥．理由：如图②，设MN 与DE 交于点G ，GM ＝30米．在Rt △GEM 中，GE ＝EM 2－GM 2＝502－302＝40(米)．∵EF ＝50－20＝30(米)，∴GF ＝GE －EF ＝40－30＝10(米)．∵10米＞9米，∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．[素养提升]解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3. ∵∠BDO ＝90°，OB ＝5，BD ＝3，∴OD ＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变．理由：连接AB ，如图． ∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5，∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2.∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点，∴DE ＝12AB ＝5 22，其长度保持不变．。
湘教版九年级数学中考复习：一题多解专项练习(含解析)
初中数学一题多解（试题）1、若()16x 3-m 2x 2++ 是关于x 的完全平方公式（或完全平方数），则m=2、4的平方根为 ，16的平方根为 3、若2a =时， a 为 。
在数轴上，到原点的距离为3个单位的数有 。
4、若64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，则代数式=+x 1x 5、若关于x 的方程16-x 3m 4x m 4-x 12+=++无解，则m 的值为 6、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （3,4），点P 在x 轴上，若△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是7、在一个等腰三角形中，有一个角为70°，则另两个角分别为8、已知直角三角形的两边长分别为5和12，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为9、 在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高为12，求BC 边的边长为10、在平行四边形ABCD 中，∠A 的角平分线把BC 边分为3和4的两条线段，则此平行四边形ABCD 的周长为11、若⊙O 的半径为5cm ，某个点A 到圆上的距离为2cm ，则圆心到点A 的距离为12、 若⊙O 中的某条弦AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 所对的圆周角为13、已知x满足62x1x22=+，则x1x+的值是14、当-2≤x≤1时，二次函数()1mm-x-y22++=有最大值4，则实数m 的值为15、在平面直角坐标系中有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标为16、若某条线段AB长为2，则该线段AB的黄金分割点离A点的距离为17、若△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标为（6,0），则点A的对应点C的坐标为18、如下图在△ABC中，AB=5，AC=4，点Q从点A出发向点B以2个单位/s的速度出发，点P从点C向点A以1个单位/s的速度出发，若要使△ABC 与△AQP相似，则运动的时间为s。
湘教版数学中考专项训练(二)一元二次方程（含答案）
专项训练二 一元二次方程一、选择题1.下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A.3（x ＋1）2＝2（x ＋1）B.1x 2＋1x－2＝0 C.ax 2＋bx ＋c ＝0 D.x 2＋2x ＝x 2－12.（2016·邵阳中考）一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的根的情况是（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3.（2016·金华中考）一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（ ）A.x 1＝－1，x 2＝2B.x 1＝1，x 2＝－2C.x 1＋x 2＝3D.x 1x 2＝24.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A.x 2－2x －99＝0化为（x －1）2＝100B.x 2＋8x ＋9＝0化为（x ＋4）2＝25C.2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116D.3y 2－4y －2＝0化为⎝⎛⎭⎫y －232＝1095.已知m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，则代数式m 2－m 的值等于（ ）A.－1B.0C.1D.26.（2016·衡阳中考）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆.已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意列方程得（ ）A.10（1＋x ）2＝16.9B.10（1＋2x ）＝16.9C.10（1－x ）2＝16.9D.10（1－2x ）＝16.97.已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ＋n 的值是（ ）A.－10B.10C.－6D.28.★方程（m －2）x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A.m >52 B.m ≤52且m ≠2 C.m ≥3 D.m ≤3且m ≠2二、填空题9.若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有一个根为1，则a ＋b ＋c ＝ ；若有一个根为－1，则b 与a ，c 之间的关系为 .10.（2016·长沙中考）若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是.11.（2016·泰州中考）方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值为.12.（2016·遵义中考）已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则1x1＋1x2＝.13.关于x的方程x2＋2（k＋2）x＋k2＝0的两个实数根之和大于－4，则k的取值范围是.14.新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施.经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，则可列方程为.15.关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解.其中正确的是（填序号）.16.★如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2015＝.三、解答题17.解方程：（1）x2－2x＝2x＋1；（2）3x（x－2）＝2（2－x）；（3）2x2＋3＝7x；（4）x（3x－4）＝5－8x.18.（2016·岳阳中考）已知关于x的方程x2－（2m＋1）x＋m（m＋1）＝0.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x＝0，求代数式（2m－1）2＋（3＋m）（3－m）＋7m－5的值（要求先化简再求值）.19.（2016·济宁中考）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元.（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.20.★已知关于x的方程x2－（3k＋1）x＋2k2＋2k＝0.（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝6，另两边b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长.参考答案与解析1．A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.A8．B 解析：因为方程有两个实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≠0，（3－m ）2－4×14（m －2）≥0，解得m ≤52且m ≠2.故选B. 9．0 b ＝a ＋c 10.m ＞－4 11.－3 12.－213．－1≤k ＜0 14.(40－x )(20＋2x )＝120015．①③ 解析：当m ＝0时，x ＝－1，故①正确；当m ≠0时，Δ＝4m 2－4m ＋1＝(2m－1)2≥0，当m ＝12时，方程有两个相等的实数解，故②错误；③当m ＝0时，方程的解为x ＝－1.当m ≠0时，若x 1＋x 2＝－1m<0，则两解中必有一个负数解，满足题意；若x 1＋x 2＝－1m >0，则1m <0，x 1·x 2＝－1＋1m<0，也必有负数解，所以③正确． 16．2026 解析：如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2－m ＝3，n 2－n ＝3，则m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－x ＝3的两根，∴m ＋n ＝1，mn ＝－3.∵n 2－n ＝3，∴2n 2－mn ＋2m ＋2015＝2(n ＋3)－mn ＋2m ＋2015＝2(m ＋n )－mn ＋2015＋6＝2026.17．解：(1)x 1＝2＋5，x 2＝2－5；(2)x 1＝2，x 2＝－23； (3)x 1＝3，x 2＝12； (4)x 1＝－2＋193，x 2＝－2－193. 18．(1)证明：∵Δ＝(2m ＋1)2－4m (m ＋1)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2)解：∵x ＝0是此方程的一个根，∴把x ＝0代入方程中得到m (m ＋1)＝0，即m 2＋m ＝0.∵(2m －1)2＋(3＋m )(3－m )＋7m －5＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5＝3m 2＋3m ＋5，∴原式＝3(m 2＋m )＋5＝3×0＋5＝5.19．解：(1)设该地从2014年到2016年投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据题意，得1280(1＋x )2＝1280＋1600，解得x ＝0.5或x ＝－2.5(舍去)．答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；(2)设今年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得1000×8×400＋(a －1000)×5×400≥5000000，解得a ≥1900.答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．20．(1)证明：因为Δ＝[－(3k ＋1)]2－4(2k 2＋2k )＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，所以无论k 取何值，方程总有实数根；(2)解：若6为△ABC 的底边，则方程有两个相等实数根，即(k －1)2＝0，得k ＝1.原方程为x 2－4x ＋4＝0，解得x 1＝x 2＝2.因为2＋2＜6，不符合题意，故舍去；若6为△ABC 的腰，则6是原方程的一个根．把x ＝6代入方程，得k 2－8k ＋15＝0，解得k ＝3或k ＝5.当k ＝3时，原方程为x 2－10x ＋24＝0，解得x 1＝4，x 2＝6，所以三角形三边长为6，6，4；当k ＝5时，原方程为x 2－16x ＋60＝0，解得x 1＝10，x 2＝6.所以三角形三边长为6，6，10.综上所述，此三角形的三边长为6，6，4或6，6，10.。
湘教版九年级数学上册《2.2 一元二次方程的解法》同步练习(附答案)
湘教版九年级数学上册《2.2 一元二次方程的解法》同步练习(附答案)一、选择题1.一元二次方程x2﹣4=0的解是( )A.x=2B.x=﹣2C.x1=2，x2=﹣2 D.x1=2，x2=﹣ 22.若方程x2=m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的( )A.1B.4C.14 D.123.用配方法解方程x2＋1＝8x，变形后的结果正确的是( )A.(x＋4)2＝15B.(x＋4)2＝17C.(x－4)2＝15D.(x－4)2＝174.用配方法解3x2﹣6x＝6配方得( )A.(x﹣1)2＝3B.(x﹣2)2＝3C.(x﹣3)2＝3D.(x﹣4)2＝35.用公式法解方程3x2＋4=12x，下列代入公式正确的是( )A.x1、2= B.x1、2=C.x1、2= D.x1、2=6.方程x(x﹣2)＋x﹣2＝0的解是( )A.x1＝0，x2＝0 B.x1＝﹣1，x2＝﹣2C.x1＝﹣1，x2＝2 D.x1＝0，x2＝﹣27.下列说法正确的是( )A.x2＋4＝0，则x＝±2B.x2＝x的根为x＝1C.x2﹣2x＝3没有实数根D.4x2＋9＝12x有两个相等的实数根8.若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n=0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2＋mx＋n 可分解为( )A.(x＋5)(x﹣6)B.(x﹣5)(x＋6)C.(x＋5)(x＋6)D.(x﹣5)(x﹣6)9.对于代数式﹣x2＋4x﹣5,通过配方能说明它的值一定是( )A.非正数B.非负数C.正数D.负数10.已知实数m，n同时满足m2＋n2－12＝0，m2－5n－6＝0，则n的值为( )A.1B.1，－6C.－1D.－6二、填空题11.方程：(2x﹣1)2﹣25=0的解为______.12.若一元二次方程(m﹣2)x2＋3(m2＋15)x＋m2﹣4=0的常数项是0，则m的值是．13.用配方法解一元二次方程2x2＋3x＋1=0，变形为(x＋h)2=k，则h=______，k=______.14.用配方法解一元二次方程x2＋2x﹣3=0 时，方程变形正确的是(填序号)①(x﹣1)2=2 ②(x＋1)2=4 ③(x﹣1)2=1④(x＋1)2=7.15.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x＋21＝0的根，则三角形的周长为________.16.若实数a、b满足(4a＋4b)(4a＋4b﹣2)﹣8=0，则a＋b= ．三、解答题17.解方程：2x2﹣4x＋1＝0(配方法)18.解方程：2x2－6x－1＝0(公式法)19.解方程：x(x＋4)＝﹣3(x＋4)(因式分解法).20.已知方程x2﹣4x＋m＝0的一个根为﹣2，求方程的另一根及m的值.21.用公式法解方程：2x2＋7x=4.解：∵a=2，b=7，c=4∴b2－4ac=72－4×2×4=17.∴x=－7±174即x1=－7＋174，x2=－7－174.上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正.22.解答下列各题：(1)当x为何值时，x2－10x＋12的值为－13?(2)当x为何值时，x2－7x－13的值与2x－13的值相等？23.如图，有一块长方形空地ABCD，要在中央修建一个长方形花圃EFGH，使其面积为这块空地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等．现无测量工具，只有一条无刻度且足够长的绳子，则该如何确定道路的宽？24.已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程：①x2﹣1=0②x2＋x﹣2=0③x2＋2x﹣3=0…(n)x2＋(n﹣1)x﹣n=0.(1)请解上述一元二次方程①、②、③、(n)；(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.答案1.C.2.D3.C4.A.5.D6.C.7.D.8.B9.D.10.A11.答案为：3，﹣2.12.答案为：﹣2．13.答案为：34 116. 14.答案为：②.15.答案为：1616.答案为：﹣0.5或1．17.解：(1)2x 2﹣4x ＋1＝02x 2﹣4x ＝﹣1x 2﹣2x ＝﹣12 (x ﹣1)2＝12x ﹣1＝±22解得x 1＝1﹣22，x 2＝1﹣22； 18.解：a ＝2，b ＝－6，c ＝－1Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×2×(－1)＝44.∴x＝6±2114.∴x1＝3＋112，x2＝3－112.19.解：x(x＋4)＋3(x＋4)＝0 (x＋4)(x＋3)＝0x＋4＝0或x＋3＝0所以x1＝﹣4，x2＝﹣3．20.解：把x＝﹣2代入方程x2﹣4x＋m＝0得：4＋8＋m＝0解得：m＝﹣12即方程为x2﹣4x﹣12＝0设方程的另一个根为a，则a＋(﹣2)＝4即得：a＝6即方程的另一根为6，m＝﹣12.21.解：不正确.错误原因：没有将方程化成一般形式，造成常数项c的符号错误. 正解：移项，得2x2＋7x－4=0∵a=2，b=7，c=－4∴b2－4ac=72－4×2×(－4)=81.∴x=－7±812×2=－7±94.即x1=－4，x2=12.22.解：(1)由题意，得x2－10x＋12＝－13 ∴x2－10x＋25＝0，(x－5)2＝0∴x1＝x2＝5∴当x＝5时，x2－10x＋12的值为－13.(2)由题意，得x2－7x－13＝2x－13∴x2－9x＝0∴x(x－9)＝0∴x1＝0，x2＝9∴当x＝0或9时，x2－7x－13的值与2x－13的值相等.23.解：设道路的宽为x, AD＝a, AB＝b不妨设a<b，则x<a 2 .由题意，得(a﹣2x)(b﹣2x)＝12ab解方程，得x＝a＋b±a2＋b24.当x＝a＋b＋a2＋b24时，4x＝a＋b＋a2＋b2＞a＋b＞2a，∴x＞a2∴x＝a＋b＋a2＋b24不合题意，舍去∴x＝a＋b－a2＋b24.又∵BD＝a2＋b2∴x＝14(AB＋AD﹣BD)．具体做法：先用绳子量出AB和AD的长度之和，并减去BD的长，再将AB＋AD﹣BD对折两次，即得道路的宽x＝14(AB＋AD﹣BD)．24.解：(1)①(x＋1)(x﹣1)=0所以x1=﹣1，x2=1②(x＋2)(x﹣1)=0所以x1=﹣2，x2=1；③(x＋3)(x﹣1)=0所以x1=﹣3，x2=1；(n)(x＋n)(x﹣1)=0所以x1=﹣n，x2=1(2)共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等等.。
2024年湘教版九年级数学下册阶段测试试卷含答案
2024年湘教版九年级数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、在一口袋中，有大小、形状完全相同的小球，其中有x个红色球和y个蓝色球，从盒中随机取出一颗球，取得红色球的机率是如果再往口袋中放进4个蓝球，取得蓝球的机率是则原来口袋中有红球（）A. 10个。
B. 8个。
C. 6个。
D. 4个。
2、已知一元二次方程x2-5x+3=0，则该方程根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定3、已知A=3a2+b2-c2，B=-2a2-b2+3c2，且A+B+C=0，则C=（）A. -a2-2c2B. 23x+4=27xC. -2（x+4）=-2x+4D. 2-3x=-（3x-2）4、If the n-th prime number is 47，then n is（）（英汉词典：the n-th primenumber第n个质数）A. 12B. 13C. 14D. 155、【题文】式子有意义，则的取值范围是( )A.B.C.D.6、下列说法中正确的个数为（）（1）所有的等边三角形都全等。
（2）两个三角形全等；它们的最大边是对应边。
（3）两个三角形全等；它们的对应角相等。
（4）对应角相等的三角形是全等三角形．A. 1B. 2C. 3D. 47、一个多边形的外角和是900°，则这个多边形的边数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、某中学要了解八年级学生的视力情况，在全校八年级学生中抽取了40名学生进行检测，在这个问题中，样本是____．9、某市2011年底自然保护区覆盖率仅为4%，经过两年的努力，该市2013年年底自然保护区覆盖率达到9%，设该市这两年自然保护区的年均增长率为x，所列方程为____．10、如图，字母A所代表的正方形面积为____．11、小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10min，每小时骑12km就会迟到5min，问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是x km，求小明家到学校的路程以及规定时间与出发时间的差，可得方程____；设规定时间与出发时间的差为y h，可得方程____．12、已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为____．13、计算：﹣6+4=____评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)14、一根绳子长20米，第一次剪去，第二次剪去4米，两次剪去的长度是一样长．____．（判断对错）15、连接两点间的直线的长度，叫做这两点间的距离．____．（判断对错）16、2条直角边分别相等的2个直角三角形全等____（判断对错）17、取线段AB的中点M，则AB-AM=BM．____．（判断对错）18、直线AB平行于直线AC．____．（判断对错）19、（x m+y n）（x m-y n）=x2m-y2n．____．（判断对错）20、____．（判断对错）21、在∠ABC的一边的延长线上取一点．____．评卷人得分四、计算题(共4题，共12分)22、若a=200，b=20，c=2，则（a+b+c）+（a-b+c）+（b-a+c）=____．23、若（x+m）（x2-3x+n）的积中不含x2、x项，求m和n的值．24、在比例尺为1：5000的地图上，量得甲，乙两地的距离为30cm，则甲，乙两地的实际距离是____千米．25、计算：（1）0-（+8）+（-2.7）-（+5）；（2）|-16|x（--+）（3）-24+×[6+（-4）2]．评卷人得分五、综合题(共4题，共36分)26、如图；在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．现有一点D，使得∠CDB=∠CAB，DB=CB．（1）请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹；可简要说明作法）；（2）连接CD；与AB交于点E，求∠BEC的度数；（3）以A为圆心AB长为半径作⊙A，点O在直线BC上运动，且以O为圆心r为半径的⊙O与⊙A相切2次以上，请直接写出r应满足的条件．27、（1）若按奇偶分类，则22004+32004+72004+92004是 ____数；（2）设a=355，b=444，c=533，则a、b、c的大小关系是 ____（用“＞”号连接）；（3）求证：32002+42002是5的倍数．28、如图；在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．（1）设四边形PCQD的面积为y；求y与t的函数关系式；（2）t为何值时；四边形PQBA是梯形；（3）是否存在时刻t；使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．29、如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2；我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．（1）如图2；已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON 交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．（2）如图1；已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．（3）如图3，C是函数y=（x＞0）图象上的一个动点；过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】设口袋中有x个红色球和y个蓝色球；根据题意得：解得：．所以如果再往口袋中放进4个蓝球；则将来口袋中有蓝球6+4=10（个）．故选A．【解析】【答案】先根据概率公式的求法列出式子；解出x，y的值，再把y的值加上4即可得出答案．2、A【分析】【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．【解析】【解答】解：∵a=1，b=-5；c=3；∴△=b2-4ac=（-5）2-4×1×3=13＞0；∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．3、A【分析】【分析】根据A+B+C=0，得到C=-A-B，将A与B代入，去括号合并即可得到结果．【解析】【解答】解：∵A=3a2+b2-c2，B=-2a2-b2+3c2；且A+B+C=0；∴C=-（A+B）=-A-B=-3a2-b2+c2+2a2+b2-3c2=-a2-2c2．故选A．【分析】【分析】先将原题转化为汉语，再找出47以内的所有质数，即可得到正确答案．【解析】【解答】解：∵47以内的质数是2；3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47；而第n个质数是47；那么n=15．故选D．5、C【分析】【解析】分析：根据二次根式的性质可以得到x-1是非负数；由此即可求解．解答：解：依题意得。
2021年湘教版九年级中考数学一轮单元复习：《二元一次方程组》(含答案)
湘教版中考数学一轮单元复习《二元一次方程组》一、选择题1.已知是方程组的解，则a+b的值是()A.﹣1B.1C.﹣5D.52.已知是方程组的解，则a,b间的关系是().A.4a-9b=1B.3a+2b=1C.4b-9a=-1D.9a+4b=13.在关于x、y的二元一次方程组中，若2x+3y=2，则a的值为()A.1B.-3C.3D.44.若-2a m b4与5a n+2b2m+n可以合并成一项，则m n的值是( )A.2B.0C.-1D.15.如图，用10块相同的长方形纸板拼成一个矩形，设长方形纸板的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意列方程式组正确的是（）6.甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则下列方程组中正确的是().A.B.C.D.7.为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机，已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元，则购买一块电子白板和一台投影机分别需要（）A.4000元，8000元B.8000元，4000元C.14000元，8000元D.10000元，12000元8.已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是（）A.B.C.D.9.若关于x、y的方程组的解都是正整数，那么整数a的值有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10.甲、乙两运动员在长为100 m的直道AB(A，B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点，…，若甲跑步的速度为5 m/s，乙跑步的速度为4 m/s，则起跑后100 s内，两人相遇的次数为( )A.5B.4C.3D.2二、填空题11.已知两个单项式7x m+n y m-1与-5x7-m y1+n能合并为一个单项式，则m= ，n=12.关于x、y的方程组的解是，则|m-n|的值是.13.若x+2y=10,4x+3y=15,则x＋y的值是．14.如果是二元一次方程，那么a = . b = .15.已知（2x+3y﹣4）2+|x+3y﹣7|=0，则x=______，y=______．16.若，则x+y= ．三、解答题17.解方程组：18.解方程组:19.解二元一次方程组(1)有位同学是这么做的，①+②得4x =20，解得x =5，代入①得y =﹣3．∴这个方程组的解为．该同学解这个二元一次方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 求解；(2)请你换一种方法来求解该二元一次方程组．20.某服装厂要生产一批同样型号的运动服，已知每3米长的某种布料可做2件上衣或3条裤子，现有此种布料600米，请你帮助设计一下，该如何分配布料，才能使运动服成套而不致于浪费，能生产多少套运动服？⎩⎨⎧=+=-)2(123)1(8y x y x ⎩⎨⎧-==35y x参考答案1.答案为：A.2.A.3.C.4.D5.A6.A7.B8.C9.B.10.B11.答案为：3,1;12.答案为：113.答案为：514.答案为：2，2.15.答案为：16.答案为：2013 ；17.答案为：18.答案为:x=4,y=2.19.解：（1）加减，一元一次方程；(2)把①变形为x=8+y，代入②得，3(8+y)+y=12，解得y=﹣3；把y=﹣3代入①得，x+3=8，解得x=5，故此方程组的解为x=5，y=-3．20.360米布料做上衣，240米布料做裤子，共能做240套运动服。
湘教版九年数学中考复习测试卷(附答案)
湘教版九年级数学中考复习测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1．如图所示几何体的主视图为( )2．成语“水中捞月”所描述的事件是( )A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定3．将二次函数y＝x2－6x＋5用配方法化成y＝(x－h)2＋k的形式，正确的是( )A．y＝(x－6)2＋5 B．y＝(x－3)2＋5C．y＝(x－3)2－4 D．y＝(x－3)2－94．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是( ) A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定5．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中阴影区域的概率是( )A.49B.59C.15D.146．已知扇形的弧长为3πcm，半径为6 cm，则此扇形的圆心角为( ) A．30°B．45°C．60°D．90°7．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线对应的函数表达式是( )A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1C．y＝(x－2)2＋1 D．y＝(x－2)2－18．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD ＝AC，连接AD.下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°.其中正确的结论有( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题(每题4分，共32分)9．抛物线y＝x2－4x＋3与y轴的交点坐标为________．10．一个不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是________．11．在半径为40 cm的⊙O中，弦AB＝40 cm，则点O到AB的距离为________cm.12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CD＝2 3，则阴影部分的面积为________．13．一个圆锥的主视图是底边长为12，底边上的高为8的等腰三角形，则这个圆锥的表面积为________．14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且∠AED＝∠B，下列四个比例式：①EABD＝EDBF；②EABF＝EDBD；③ADBD＝AEBF；④BDBF＝BABC.从中随机选一个作为条件，能判定△ADE和△BDF相似的概率是____________．15．如图是某拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为点O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱可近似看成抛物线y＝－1400(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面上，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为________米．16．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②4a＋c＜2b；③3b＋2c＜0；④m(am＋b)＋b＞a(m≠－1)．其中正确的是________．(填序号)三、解答题(17，18题每题5分，其余每题9分，共64分)17．用5个棱长为1 cm的正方体，组成如图所示的几何体．(1)该几何体的体积是________cm3；(2)请在所给的方格纸中，用实线画出它的三视图．18．已知二次函数y＝－x2＋4x.(1)求这个函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)求这个函数图象与x轴的交点坐标．19．某校运动会期间，甲、乙、丙三名同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选．(1)若已确定甲参加第一场比赛，求另一名选手恰好是乙同学的概率；(2)用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛的选手的所有可能的结果，并求抽中乙、丙两名同学参加第一场比赛的概率．20．如图，某一时刻，树AB在阳光下的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．设树AB在地面上的影长BC为5.2 m，墙面上的影长CD 为1.5 m；同一时刻测得竖立于地面长1 m的木杆的影长为0.8 m，求树高．21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，点D在AB的延长线上，连接AC，BC.(1)求证：∠A＝∠BCD；(2)若∠A＝20°，AB＝4，求BC︵的长(结果保留π)．22．某公司在销售一种进价为10元的产品时，每年总支出为10万元(不含进货支出)，经过若干年销售得知，年销售量y(万件)是销售单价x(元)的一次函数，并得到如下部分数据：(1)求出y关于x的函数表达式．(2)写出该公司销售这种产品的年利润w(万元)关于销售单价x(元)的函数表达式．当销售单价x为何值时，年利润最大？并求出最大年利润．23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E 作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆，BC交⊙O于点D.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD＝HF.24．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)，顶点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－278.(1)求抛物线的表达式．(2)动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t s ．t 为何值时，四边形ACQP 的面积有最小值？最小值是多少？答案一、1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.D 7．C 8.A 二、9.(0，3) 10.61111．203 点拨：如图，过点O 作OC ⊥AB 于C ，连接OA ，则AC ＝12AB＝20 cm ，在Rt △OAC 中，OC ＝OA 2－AC 2＝20 3 cm.12.2π3点拨：如图，连接OD .∵CD ⊥AB ，CD ＝2 3， ∴CE ＝DE ＝12CD ＝3，CB ︵＝DB ︵.∴S △OCE ＝S △ODE ，∠COB ＝∠DOB . ∴阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积． ∵∠CDB ＝30°，∴∠COB ＝60°， ∴OC ＝CEsin60°＝2，∠DOB ＝60°，∴S 扇形OBD ＝60π×22360＝2π3，即阴影部分的面积为2π3.13．96π 14.3415.174点拨：.∵AC ⊥x 轴，OA ＝10米，∴点C 的横坐标为－10，当x ＝－10时，y ＝－1400(x －80)2＋16＝－1400×(－10－80)2＋16＝－174，∴C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－10，－174，∴桥面离水面的高度AC 为174米．16．①③ 点拨：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴有两个不同的交点，∴b 2－4ac ＞0，即4ac －b 2＜0，∴①正确；当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＞0，即4a ＋c ＞2b ，∴②不正确；∵对称轴为直线x ＝－b2a＝－1，∴a ＝12b ，当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，即12b ＋b ＋c ＜0，∴3b ＋2c ＜0，∴③正确；当x ＝－1时，y 最大＝a －b ＋c ，当x ＝m (m ≠－1)时，y ＝am 2＋bm ＋c ＜a －b ＋c ，即am 2＋bm ＋b ＜a ，∴m (am ＋b )＋b ＜a ，∴④不正确．故正确的是①③. 三、17.解：(1)5. (2)如图所示．18．解：(1)∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴这个函数图象的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，4)． (2)令y ＝0得－x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝4，∴这个函数图象与x 轴的交点坐标为(0，0)和(4，0)．19．解：(1)根据题意，甲参加第一场比赛时，有(甲，乙)、(甲，丙)两种可能，∴另一名选手恰好是乙同学的概率为12.(2)画树状图如图所示．∴所有可能出现的结果有6种，并且这6种结果出现的可能性相等，其中乙、丙两名同学参加第一场比赛的结果有2种，∴抽中乙、丙两名同学参加第一场比赛的概率为26＝13.20．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E.∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴四边形BCDE是矩形，∴DE＝BC＝5.2 m，BE＝CD＝1.5 m.∵在同一时刻物高与影长成正比，∴AE∶DE＝1∶0.8 ，即AE∶5.2＝1∶0.8 ，∴AE＝6.5 m，∴AB＝AE＋EB＝6.5＋1.5＝8(m)，∴树高为8 m.21．(1)证明：连接OC.∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°.∴∠BCD＝90°－∠OCB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＝90°－∠OBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠A＝∠BCD.(2)解：∵∠A＝20°，AB＝4，∴∠BOC ＝2∠A ＝40°，OA ＝OB ＝2.∴BC ︵的长为40π×2180＝4π9. 22．解：(1)设y ＝kx ＋b ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16k ＋b ＝5，18k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝13，则y ＝－12x ＋13. (2)w ＝(－12x ＋13)(x －10)－10＝－12(x －18)2＋22， 当x ＝18时，年利润最大，最大为22万元．23．证明：(1)如图，连接OE .∵BE ⊥EF ，∴∠BEF ＝90°，∴BF 是⊙O 的直径．∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝∠OBE .∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB ，∴∠OEB ＝∠CBE ，∴OE ∥BC ， ∴∠AEO ＝∠C ＝90°，∴AC 是⊙O 的切线．(2)如图，连接DE .∵∠CBE ＝∠OBE ，EC ⊥BC 于C ，EH ⊥AB 于H ，∴EC ＝EH .∵∠CDE ＋∠BDE ＝180°，∠HFE ＋∠BDE ＝180°，∴∠CDE ＝∠HFE .在△CDE 与△HFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CDE ＝∠HFE ，∠C ＝∠EHF ＝90°，EC ＝EH ，∴△CDE ≌△HFE ，∴CD ＝HF .24．解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a (x －1)2－278. ∵C (0，－3)在抛物线上，∴a －278＝－3，∴a ＝38. ∴抛物线的表达式为y ＝38(x －1)2－278＝38x 2－34x －3. (2)过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，则QG ∥OC .令y ＝38x 2－34x －3＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4.∴A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为(4，0)，∴AB ＝6，OB ＝4. 又∵C 点的坐标为(0，－3)，∴OC ＝3.∴BC ＝OB 2＋OC 2＝42＋32＝5.∴S △ABC ＝12AB ·OC ＝12×6×3＝9. 由题意得BP ＝4－t ，BQ ＝2t ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0≤t ≤52. ∵QG ∥OC ，∴BQ BC ＝QG OC ，即2t 5＝QG 3.∴QG ＝6t 5. ∴S △QBP ＝12BP ·QG ＝12×(4－t )×6t 5＝－35(t －2)2＋125. ∴S 四边形ACQP ＝S △ABC －S △QBP ＝9－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35（t －2）2＋125＝35(t －2)2＋335. ∴当t ＝2时，四边形ACQP 的面积有最小值，最小值为335.。
湘教版九年级下册数学全册复习检测卷(附答案)
湘教版九年级下册数学全册复习检测卷时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图是由六个相同的小正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是( )2．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x ＝－2的是( ) A ．y ＝(x ＋2)2 B ．y ＝2x 2－2 C ．y ＝－2x 2－2 D ．y ＝2(x －2)23．刘华在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6道，数学题5道，综合题9道，他从中随机抽取1道题，抽中数学题的概率是( )A.120B.15C.14D.134．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( ) A ．AC ＝AB B ．∠C ＝12∠BOD C ．∠C ＝∠B D ．∠A ＝∠BOD第4题图 第6题图 第7题图5．将抛物线y ＝x 2－2x ＋3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为( )A ．y ＝(x －1)2＋4B ．y ＝(x －4)2＋4C ．y ＝(x ＋2)2＋6D ．y ＝(x －4)2＋66．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ADC ＝25°，则∠CBO 的度数是( )A ．50°B ．25°C ．30°D ．40°7．如图是按1∶10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( ) A ．200cm 2 B ．600cm 2 C ．100πcm 2 D ．200πcm 2 8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b <0；②c >0；③a ＋c <b ；④b 2－4ac >0，其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD .若∠A ＝30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为( )A.4π3－ 3B.4π3－23 C ．π－ 3 D.2π3－3第9题图 第10题图10．如图，反比例函数y ＝kx 的图象经过二次函数y ＝ax 2＋bx 图象的顶点⎝⎛⎭⎫－12，m (m >0)，则有( )A ．a ＝b ＋2kB ．a ＝b －2kC ．k <b <0D ．a <k <0 二、填空题(每小题3分，共24分)11．“清明时节雨纷纷”是________事件(填“必然”“不可能”或“随机”)．12．如图，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的P (4，0)，Q 两点关于它的对称轴直线x ＝1对称，则Q 点的坐标为________．第12题图 第13题图 第15题图13．如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是________． 142x －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 y－14－7－22mn－7－14－23则m ，n 的大小关系为m ________n (填“＜”“＝”或“＞”)．15．如图，用一个半径为30cm ，面积为300πcm 2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r 为________．16．一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球________个．17．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，其边长为4，则⊙O 的内接正三角形EFG 的边长为________．18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的表达式为y＝x2－2x－3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为________．三、解答题(共66分)19．(6分)画出如图所示物体的主视图、左视图、俯视图．20．(8分)如图，已知⊙O的直径AB的长为4cm，C是⊙O上一点，∠BAC＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求BP的长．21.(8分)如图，抛物线y1＝－x2＋2x＋3与直线y2＝4x交于A，B两点．(1)求A，B两点的坐标；(2)当x取何值时，y1＞y2?22．(10分)为弘扬中华传统文化，我市近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论语；D.三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．(1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用树状图或列表法进行说明．23．(10分)如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．24．(12分)某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；(2)销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少？(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内(每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量)?25．(12分)综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的表达式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．B 2.A 3.C 4.B 5.B 6.D 7.D 8.C 9.A10．D 解析：∵y ＝ax 2＋bx 图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，m ，∴－b 2a ＝－12，即b ＝a ，∴m ＝－b 24a ＝－a 4，∴顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－a 4.把x ＝－12，y ＝－a 4代入反比例函数表达式得k ＝a8.由图象知抛物线的开口向下，∴a ＜0，∴a ＜k ＜0.故选D.11．随机 12.(－2，0) 13.5 14.> 15.10cm 16.2017．26 解析：连接AC ，OE ，OF ，作OM ⊥EF .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC 是⊙O 的直径，AC ＝42，∴OE ＝OF ＝2 2.∵OM ⊥EF ，∴EM ＝MF .∵△EFG 是等边三角形，∴∠GEF ＝60°.在Rt △OME 中，∵OE ＝22，∠OEM ＝12∠GEF ＝30°，∴EM ＝OE ·cos30°＝6，∴EF ＝2 6.18．3＋ 319．解：如图所示．(6分)20．解：连接OC .∵∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°.(2分)∵OC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∴∠OCP ＝90°，∴∠P ＝90°－∠BOC ＝90°－60°＝30°.(4分)∵AB ＝4cm ，∴OB ＝OC ＝2cm ，∴OP ＝2OC ＝4cm ，∴BP ＝OP －OB ＝4－2＝2(cm)．(8分)21．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－x 2＋2x ＋3，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3，y 2＝－12.所以A 点的坐标是(1，4)，B 点的坐标是(－3，－12)．(4分)(2)由图可知，当－3<x <1时，y 1>y 2.(8分)22．解：(1)她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为14.(4分)(2)画树状图如下：共有12种等可能的结果．(7分)其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以P (恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”)＝112.(10分)23．(1)证明：连接OD .(1分)∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA .∵AD 平分∠CAM ，∴∠OAD ＝∠DAE ，∴∠ODA ＝∠DAE ，∴DO ∥MN .(3分)∵DE ⊥MN ，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线．(5分)(2)解：连接CD .(6分)∵DE ⊥MN ，∴∠AED ＝90°.在Rt △AED 中，DE ＝6cm ，AE ＝3cm ，∴AD ＝AE 2＋DE 2＝35cm.(7分)∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠AED ＝90°.∵∠CAD＝∠DAE ，∴△ACD ∽△ADE ，∴AC AD ＝AD AE ，即AC ＝AD 2AE ，∴AC ＝15cm ，∴OA ＝12AC ＝7.5cm ，即⊙O 的半径是7.5cm.(10分)24．解：(1)由题意得y ＝(x －50)[50＋5(100－x )]＝(x －50)·(－5x ＋550)＝－5x 2＋800x －27500，即y ＝－5x 2＋800x －27500(50≤x ≤100)．(4分)(2)y ＝－5x 2＋800x －27500＝－5(x －80)2＋4500.∵a ＝－5＜0，对称轴是直线x ＝80，∴抛物线开口向下．又∵50≤x ≤100，∴当x ＝80时，y 最大，y 最大＝4500.(7分)答：销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润为4500元．(8分)(3)当y ＝4000时，－5(x －80)2＋4500＝4000，解得x 1＝70，x 2＝90.∴当70≤x ≤90时，每天的销售利润不低于4000元．(10分)∵每天的总成本不超过7000元，∴50×[50＋5(100－x )]≤7000，解得x ≥82.∴82≤x ≤90，即销售单价应该控制在82元至90元之间．(12分)25．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －8经过点A (－2，0)，D (6，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b －8＝0，36a ＋6b －8＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－3.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－3x －8.(3分)∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－252，∴抛物线的对称轴为直线x ＝3.又∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(－2，0)，∴点B 的坐标为(8，0)．(5分)设直线l 的表达式为y ＝kx .∵直线l 经过点D (6，－8)，∴6k ＝－8，∴k ＝－43，∴直线l 的表达式为y ＝－43x .∵点E 在抛物线的对称轴上，∴点E 的横坐标为3.又∵点E 为直线l 与抛物线对称轴的交点，∴点E 的纵坐标为－43×3＝－4，∴点E的坐标为(3，－4)．(9分)(2)抛物线上存在点F 使△FOE ≌△FCE ，此时FO ＝FC ，易得点F 的纵坐标为－4，∴12x 2－3x －8＝－4，解得 x ＝3±17，∴点F 的坐标为(3＋17，－4)或(3－17，－4)．(12分)。
湘教版数学九年级上册4-3 解直角三角形 同步练习题 含答案
湘教版数学九年级上册 第4章 锐角三角形 4.3 解直角三角形 同步练习题1．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 52．如图是教学用直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm3．在直角三角形ABC 中，已知∠C＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( ) A ．3sin40° B ．3sin50° C ．3tan40° D ．3tan50°4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝6，∠B ＝30°，则c 和tan A 的值分别为( )A ．12，33B ．12， 3C ．43，33 D ．22， 35．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h, 滑梯的倾斜面与水平面的夹角为α，那么滑梯长l 为( )A.h sin αB.h tan αC.hcos αD ．h ·sin α6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)已知∠A和c，则a＝_____________，b＝_____________.(2)已知∠B和b，则a＝_________，c＝____________．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)已知c＝6，∠A＝60°，则a＝_______，b＝____；(2)已知a＝4，∠B＝45°，则b＝____，c＝________；(3)已知a＝10，b＝103，则c＝_______，∠A＝______；(4)已知b＝63，c＝12，则a＝____，∠B＝________.8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：(1)∠A＝30°，b＝12；(2)a＝26，c＝4 3.9．直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.求AC和BC的长．10．如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于( )A ．m ·sin α米B ．m ·tan α米C ．m ·cos α米 D.mtan α米11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为( )A.1213B.512C.1312D.12512．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sin A ＝35，则斜边上的高等于( )A.6425B.4825C.165D.12513．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝32，a ＝5，则∠B ＝______，c ＝______．14．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，∠BAC 的平分线AD ＝1633，求∠B的度数及边BC，AB的长．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 3.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长．(结果保留根号)17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．答案: 1—5 ACDDA6. (1) c·sinA c·cosAb sinB7. (1) 3 3 3 (2) 4 4 2 (3) 20 30° (4) 6 60°8. (1) 解：∠B＝60°，AB ＝83，BC ＝4 3(2) 解：b ＝26，∠A＝45°，∠B＝45°9. 解：sin30°＝AB AC ＝3AC ，∴AC＝6，∴BC＝AC 2－AB 2＝3 310. B 11. D 12. B13. 60° 1014. 解：∵tan ∠BAD ＝BD AD ，∴34＝BD12，∴BD ＝9，CD ＝5，AC ＝AD 2＋CD 2＝13，sinC ＝AD AC ＝121315. 解：cos ∠CAD ＝CA AD ＝81633＝32，∴∠CAD ＝30°，∴∠BAC ＝60°，∴∠B＝30°，tan ∠B ＝AC BC ，∴33＝8BC ，∴BC ＝83，sin ∠B ＝AC AB ，∴12＝8AB ，∴AB ＝1616. 解：在Rt△ACD 中，AC ＝3，∠ADC＝60°，∴AD＝AC sin60°＝3sin60°＝2，∴BD＝2AD ＝4，CD ＝1，∴AB＝（3）2＋52＝28＝27.∴c △ABC ＝27＋5＋ 3 17. 解：tanA ＝BC AB ，∴AB＝BC tan30°＝3BC ，tan∠BDC＝BC BD ，∴BD＝BC tan45°＝BC ，AB －BD ＝AD ，即(3－1)BC ＝4，∴BC＝43－1＝2(3＋1)18. 解：过点C 作CD⊥AB 于点D.在Rt△ACD 中，∵∠A＝30°，∴CD＝12AC ＝3，由勾股定理得AD ＝（23）2－（3）2＝9＝3，在Rt△BCD 中，∵tan45°＝CDBD ，∴BD＝CD ＝3.∴AB＝AD ＋BD ＝3＋ 3。
湘教版2019年秋季九年级上册数学期末复习：解答题专项含解析
湘教版2019年秋季九年级上册数学期末复习：解答题专项一、解答题。
1.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？2.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售.设每天销售为y本，销售单价为x元.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2) 当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？(3) 将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元.3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．（1）根据题意知：CQ=______，CP=______；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（3）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？4.某服装店出售某品牌的棉衣，进价为100元件，当售价为150元件时，平均每天可卖30件；为了减少库存迎接“元旦”的到来，商店决定降价销售，增加利润，经调查每件降价5元，则每天可多卖10件，现要想平均每天获利2000元，且让顾客得到实惠，那么每件棉衣应降价多少元？5.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求m的值．6.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？7.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E.（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？8.已知A(-4,2)、B（n,-4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图像的两个交点（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图像，直接写出不等式kx+b->0的解集9.如图，直线y=mx+n与双曲线y=相交于A（-1，2）、B（2，b）两点，与y轴相交于点C．（1）求m，n的值；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）在坐标轴上是否存在异于D点的点P，使得S△PAB=S△DAB？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=的图象经过点D，与BC的交点为N．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．11.已知一次函数与反比例函数的图象交于点P（-2，1）和Q（1，m）．（Ⅰ）求反比例函数的关系式；（Ⅱ）求Q点的坐标和一次函数的解析式；（Ⅲ）观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？12.如图，已知A（-3，n），B（2，-3）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点。
湘教版九年级数学下册专题训练(附答案与解析)
湘教版九年级数学下册专题训练（附答案解析）说明：本专题训练包含9个专题难点专题：二次函数的综合性问题中考热点专题：中考特色题型考前集训易错专题：二次函数的最值或函数值的范围解题技巧专题：解决抛物线中与系数有关的问题解题技巧专题：圆中辅助线的作法类比归纳专题：圆中求阴影部分的面积考点综合专题：圆与其他知识的综合类比归纳专题：利用转化思想求角度类比归纳专题：切线证明的常用方法难点专题：二次函数的综合性问题(选做)——代几结合，突破最值及点的存在性问题◆类型一二次函数中的线段(和、差)或周长最值问题1．如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)点P是抛物线的对称轴直线l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．2．如图，已知抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)与y轴交于点A(0，－2)，顶点为B.(1)试确定a的值，并写出B点的坐标；(2)若某一次函数的图象经过A，B两点，试求出该一次函数的表达式；(3)试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值．◆类型二二次函数与三角形的综合一、特殊三角形的存在性问题3．(2017·怀化中考)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标．4．阅读材料：如图①，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点P的坐标为(x p，y p)．由x p－x1＝x2－x p，得x p＝x1＋x22，同理得y p＝y1＋y22，所以AB的中点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.由勾股定理得AB 2＝|x 2－x 1|2＋|y 2－y 1|2，所以A ，B 两点间的距离公式为AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.注：上述公式对A ，B 在平面直角坐标系中其他位置也成立． 解答下列问题：如图②，抛物线y ＝ax 2＋bx －3(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且BO ＝OC ＝3AO ，连接BC .(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，试求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．二、面积问题5．(2017·齐齐哈尔中考)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)和点B (3，0)，与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的表达式；(2)直接写出点C 和点D 的坐标；(3)若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP ＝4S △COE ，求P 点坐标．◆类型三二次函数与特殊四边形的综合6．二次函数y＝3x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y 轴的正半轴上，点B，C在二次函数y＝3x2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为________．7．★(2017·临沂中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.(1)求抛物线的表达式；(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．解：(1)把点B 的坐标(3，0)代入抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3中，得0＝－32＋3m ＋3，解得m ＝2.∴y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．(2)连接BC 交抛物线的对称轴直线l 于点P ，再连接AP ，则此时PA ＋PC 的值最小．设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，由(1)知点C 的坐标为(0，3)，将点B (3，0)，C (0，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b ，3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3.∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3.当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，∴当PA ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)．2．解：(1)把A (0，－2)代入y ＝a (x －1)2－3得－2＝a (0－1)2－3，解得a ＝1.∵B 为顶点，∴B 点的坐标为(1，－3)．(2)设该一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，将A ，B 两点的坐标代入表达式得⎩⎪⎨⎪⎧－2＝b ，－3＝k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－2，∴该一次函数的表达式为y ＝－x －2.(3)将A 点关于x 轴的对称点记作A ′，则A ′(0，2)，连接A ′B 交x 轴于点P ，则P 点即为所求．设直线A ′B 的表达式为y ＝mx ＋n ，将A ′，B 两点的坐标代入表达式得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＋n ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－5，n ＝2.∴直线A ′B 的表达式为y ＝－5x ＋2.当y ＝0时，x ＝25，∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0. 3．解：(1)∵点A (－1，0)，B (5，0)在抛物线y ＝ax 2＋bx －5上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －5＝0，25a ＋5b －5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x －5.(2)令x ＝0，则y ＝－5，∴C (0，－5)，∴OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°.∵OA ＝1，OB ＝5，∴AB ＝6，BC ＝5 2.要使以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有AB CD ＝BC BC 或AB BC ＝BC CD ，如图．①当AB CD ＝BC BC时，CD ＝AB ＝6，∴D (0，1)；②当AB BC ＝BC CD 时，∴652＝52CD ，∴CD ＝253，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103.综上所述，点D 的坐标为(0，1)或⎝⎛⎭⎪⎫0，103. 4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －3交y 轴于点C ，∴点C 的坐标为(0，－3)，∴OC ＝3.∵BO ＝OC ＝3AO ，∴BO ＝3，AO ＝1，∴点B 的坐标为(3，0)，点A 的坐标为(－1，0)．∵该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b －3＝0，a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3.(2)存在．由(1)知抛物线为y ＝x 2－2x －3，对称轴为直线x ＝1.设P 点的坐标为(1，m )．∵B 点的坐标为(3，0)，C 点的坐标为(0，－3)，∴BC ＝32，PB ＝m 2＋4，PC ＝（m ＋3）2＋1.∵△PBC 是等腰三角形，分以下三种情况：①当PB ＝PC 时，∴m 2＋4＝（m ＋3）2＋1，∴m ＝－1，∴P 点的坐标为(1，－1)；②当BC ＝PB 时，∴32＝m 2＋4，∴m ＝±14，∴P 点的坐标为(1，14)或(1，－14)；③当BC ＝PC 时，∴32＝（m ＋3）2＋1，∴m ＝－3±17，∴P 点的坐标为(1，－3＋17)或(1，－3－17)．综上所述，符合条件的P 点坐标为(1，－1)或(1，14)或(1，－14)或(1，－3＋17)或(1，－3－17)．5．解：(1)将点A (－1，0)和点B (3，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)令x ＝0，则y ＝3，∴C (0，3)．∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴D (1，4)．(3)设P (x ，y )(x ＞0，y ＞0)，由(2)知y ＝－(x －1)2＋4，即抛物线的对称轴为直线x ＝1，易知AB ＝4，CO ＝3，∴S △COE ＝12×1×3＝32，S △ABP ＝12×4y ＝2y .又∵S △ABP ＝4S △COE ，∴2y ＝4×32，∴y ＝3，即－x 2＋2x ＋3＝3，解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝2，∴P (2，3)．6．2 3 解析：连接BC .∵四边形OBAC 为菱形，∴AC ＝AB ＝CO ＝BO ，BC ⊥OA .∵∠OBA ＝120°，∴∠CAB ＝∠COB ＝60°，∴△OBC ，△ABC 均是正三角形．设OA ＝2a ，BC ＝2b ，∴点B 的坐标为(b ，a )，∴a ＝3b 2.易知∠CAO ＝30°，∴tan∠CAO ＝12BC 12AO ＝b a ＝33，∴a ＝3b ，∴b ＝1，a ＝3.∴菱形OBAC 的面积为12×OA ×BC ＝12×2a ×2b ＝2ab ＝2 3. 7．解：(1)令x ＝0，则y ＝－3，∴C (0，－3)，∴OC ＝3.∵OC ＝3OB ，∴OB ＝1，∴B (－1，0)．把A (2，－3)，B (－1，0)代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －3＝－3，a －b －3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3.(2)连接AC ，作BH ⊥AC 交AC 的延长线于H ，如图①.∵A (2，－3)，C (0，－3)，∴AH ∥x 轴，∴H (－1，－3)，∴BH ＝3，AH ＝3，∴∠BAC ＝45°.设D (0，m )，则OD ＝|m |.∵∠BDO ＝∠BAC ，∴∠BDO ＝45°，∴OD ＝OB ＝1，∴|m |＝1，∴m ＝±1，∴点D 的坐标为(0，1)或(0，－1)．(3)由(1)知抛物线的对称轴为直线x ＝1.设M (c ，c 2－2c －3)，N (1，n )，要使以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，需分以下两种情况讨论：①以AB 为边，则AB ∥MN ，AB ＝MN .如图②，过M 作ME ⊥对称轴直线x ＝1于E ，过点A 作AF ⊥x 轴于F ，记直线AB 与对称轴的交点为K ，∴AF ∥EK ，∴∠BKE ＝∠BAF .∵AB ∥MN ，∴∠MNE ＝∠BKE ，∴∠MNE ＝∠BAF .又∵∠NEM ＝∠AFB ，NM ＝AB ，∴△NME ≌△ABF ，∴NE ＝AF ＝3，ME ＝BF ＝3，∴|c －1|＝3，∴c ＝4或c ＝－2，则c 2－2c －3＝5，∴M (4，5)或(－2，5)；②以AB为对角线，BN＝AM，BN∥AM，如图③，则N在x轴上，M与C 重合，∴M(0，－3)．综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为(4，5)或(－2，5)或(0，－3)．中考热点专题：中考特色题型考前集训◆类型一阅读理解型问题1.（2016·邵阳一模）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.已知正三角形的边长为1，则“凸轮”的周长等于.2.（2016·湘潭中考）已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x－2）2＋（y－3）2＝4，则以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为.3.（2016·长沙中考）若抛物线L：y＝ax2＋x＋c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q 在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线l叫作抛物线L的“带线”，抛物线L叫作直线l的“路线”.（1）若直线y＝mx＋1与抛物线y＝x2－2x＋n具有“一带一路”关系，求m，n的值；（2）若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式.4.（2016·桂林中考）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）（其中a ，b ，c 是三角形的三边长，p ＝a ＋b ＋c 2，S 为三角形的面积），并给出了证明.例如：在△ABC 中，a ＝3，b ＝4，c ＝5，那么它的面积可以这样计算：∵a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴p ＝a ＋b ＋c 2＝6，∴S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）＝6×3×2×1＝6.事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.如图，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝6，AB ＝9.（1）用海伦公式求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的内切圆半径r .◆类型二规律探究型问题5.（2016·龙岩中考）如图①～④，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图⑩中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1＋S2＋S3＋…＋S10＝.参考答案与解析1．π 2.x 2＋y 2＝13．解：(1)令直线y ＝mx ＋1中x ＝0，则y ＝1，即该直线与y 轴的交点为(0，1)．将(0，1)代入抛物线y ＝x 2－2x ＋n 中，得n ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∴抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1，0)代入到直线y ＝mx ＋1中，得0＝m ＋1，解得m ＝－1；(2)将y ＝2x －4代入到y ＝6x 中，得2x －4＝6x，即2x 2－4x －6＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.∴该“路线”L 的顶点坐标为(－1，－6)或(3，2)．令“带线”l ：y ＝2x －4中x ＝0，则y ＝－4，∴“路线”L 的图象过点(0，－4)．设该“路线”L 的解析式为y ＝m (x ＋1)2－6或y ＝n (x －3)2＋2，由题意得－4＝m (0＋1)2－6或－4＝n (0－3)2＋2，解得m ＝2，n ＝－23.∴此“路线”L 的解析式为y ＝2(x ＋1)2－6或y ＝－23(x －3)2＋2. 4．解：(1)∵BC ＝5，AC ＝6，AB ＝9，∴p ＝BC ＋AC ＋AB 2＝5＋6＋92＝10，∴S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）＝10×5×4×1＝102，故△ABC 的面积为102；(2)∵S ＝12r (AC ＋BC ＋AB )，∴102＝12r (5＋6＋9)，解得r ＝2，故△ABC 的内切圆半径r ＝ 2.5．π 解析：(1)如图①，过点O 作OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，垂足为E ，。
圆中一题多解训练《湘教版》九年级下册
2 圆心角 AOB 360 144 0 5
0
弦所对的圆周角有两 个∠C、∠D
例3.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝ 8cm，则AB和CD的距离为___已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高 为___________ 2或8
2.由两圆相离的双重意义引发双解
例4 已知：⊙O1的半径为2cm， ⊙O2的半径为5cm，两圆没有公共 点，则两圆的圆心距d的取值范围为 0cm≤d<3cm ___________ 或d>7cm
两圆没有公共点，有外离和内含 两种情况。
三、圆与圆的位置关系不明确引发双解
3.两圆相交公共弦与两圆心位置关系不明确引发双解
练习3 已知：矩形ABCD中，AB=5， BC=12，如果分别以A、C为圆心的 两圆相切，点在圆内，点在圆外， 那么圆的半径的取值范围 是 1 r 8或18 r 25 ． 题中未指明两圆 是内切还是外切，故 应对内（外）切分类 讨论。
回忆圆中哪些情况可能引 发双解？ 本节课你还有什么收获？
A A 应考虑直线圆相离、 D B O
相切、相交三种可能 情形。
B O C
C
三、圆与圆的位置关系不明确引发双解
1.由两圆相切的双重意义引发双解
例3 半径分别为3cm和5cm的两圆相切， 则两圆圆心距为 cm.
两圆相切包 括内切和外切。
A O1 O2 O1 O2
A
三、圆与圆的位置关系不明确引发双解
的位置关系问题， 在没有指明其位置 时，应考虑点在圆 内、圆上、圆外三 种可能情形。
二、直线与圆的位置关系不明确引发双解
例2 已知：∠ABC=45°,点O 为BC上的一点，且OB=6，若 以点O为圆心，以r为半径的圆 凡涉及直线与圆 与射线BA只有一个公共点，则 的位置关系问题，在 r的取值范围是 r 3 2或r 6 ． 没有指明其位置时，
湘教版初中九年级第一学期数学期中复习与测试卷(含答案)
湘教版九年级第一学期数学期中复习与测试卷(含答案)一．教学目标：1. 使学生通过复习熟悉和巩固本期所学的知识点及知识之间的相互链接。
2. 使学生掌握基本的解题方法和思路。
3. 使学生能将所学知识，进行归纳总结，形成知识体系。
二. 重点、难点重点：各章节的主要知识点与解题方法。
难点：让学生归纳总结，形成知识体系。
主要内容：（一）一元二次方程1. 本章的基本思想是让同学们在实际问题中抽象出数学模型––––建立方程模型，引出一元二次方程的概念再研究其解法，最后又利用一元二次方程有关知识回到实际问题中进行解释，检验和应用，体会数学的价值。
2. 主要知识点（1）一元二次方程的定义及一般形式 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a 、b 、c 为常数）（2）解一元二次方程的基本思路是降低次数，转化为两个一元一次方程。
基本方法：因式分解法，直接开平方法，配方法和公式法 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公式：（3）由b 2－4ac 的符号判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况：当b 2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根 当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根 当b 2－4ac<0时，方程没有实数根 （4）利用一元二次方程解决实际问题关键是会分析题意，找出问题中的等量关系，以便列出方程。
【典型例题】例1. 分析：利用一元二次方程的定义来解答 解：依题意得：由（1）得：（m －3）（m ＋2）＝0x b b ac a b ac =-±--≥224240()当为何值时，方程为一元二次方程m ()?m x mx m m -++=--310024m m m 2421302--=-≠⎧⎨⎩()()由（2）得：m －3≠0 ∴m ＋2＝0∴m ＝－2时，原方程为一元二次方程。
湘教版九年级一元二次方程经典习题及深度解析
50．设m、k为有理数，当k为何值时，关于z的方程
的根为有理数?
51、已知关于x的一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为z，，X。，且满足 求k的值
综合运用：一、填空题：
33．方程 是关于x的一元二次方程，则
34．关于z的方程
(1)当 时，这个方程是一元二次方程；
(2)当 时，这个方程是一元一次方程．
35．已知方程 的根是 则
二、选择题：
36．(2004·郴州市)方程 的左边配成完全平方后所得方程为( )
D．以上答案都不对
37．已知：关于2的方程 有两个实数根，则m的范围为( )
(2)已知方程 求证： 或
43．m为何值时，方程 有两个不相等的实数根?
44．已知方程 有实根，求m的取值范围．
45．若关于2的方程 有两个不相等的实数根，试化简代数式
46、当m是什么整数时， 与 的根都是整数?
47．求方程 的实数解．
48．设a、6、c为三角形的三条边长．求证：方程 无实根．
49．若方程 有两个相等的实数根，且a、b、c是
(3)方程无实根?
27．已知： 无实根，且a是实数，化简
28．k取何值时，方程 有两个相等的实数根?并求出这时方程的根．
29．求证：关于2的方程 有两个不相等的实数根．
30．求证：无论k为何值，方程 都没有实数根．
31．当 是实数时，求证：方程 必有两个实数根，并求两根相等的
条件．
32．如果关于z的一元二次方程 没有实数根，求m的最小整数值．
用直接开平方法，②用公式法， 用因式分解法
17．(2004·云南省)用配方法解一元二次方程 则方程可变形为( )
湘教版九年级数学上册《2.2.3因式分解法》同步测试题附答案
湘教版九年级数学上册《2.2.3因式分解法》同步测试题附答案知识点1用因式分解法解一元二次方程1．(2024·永州期中)方程x2＝5x的解是( )A．x1＝－5，x2＝0 B．x1＝5，x2＝0C．x＝5 D．x＝02．方程(x－2)2＝x－2的解是( )A．x1＝2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝1C．x＝2 D．x＝33．(2024·长沙期末)方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( )A．x＝2 B．x＝3C．x＝－1或x＝2 D．x＝－1或x＝34．(2023·镇江中考)一元二次方程x(x＋1)＝0的两根分别为____．5．若一元二次方程x2－mx＋n＝0的两个根为－3和4，则x2－mx＋n因式分解的结果为__ __．6．阅读下题的解题过程，请判断其是否正确，若有错误，请写出正确的答案．解方程x2＋2x＝3x＋6.解：x(x＋2)＝3(x＋2)两边同时除以x＋2，得：x＝3.知识点2选择合适的方法解一元二次方程7．(2024·北京质检)用配方法解方程x2＋6x－1＝0，正确的是( )A．(x－3)2＝8 B．(x＋3)2＝8C．(x－3)2＝10 D．(x＋3)2＝108．方程(x－m)(x－3)＝0和方程x2－2x－3＝0同解，m＝__ __．9．分别用因式分解法、配方法、公式法解方程x2＋4x－5＝0.10．(2023·聊城中考)关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是－2，则k 值为( ) A ．2或4B ．0或4C ．－2或0D ．－2或211．如果x 2－x －1＝(x ＋1)0，那么x 的值为( ) A ．2或－1 B ．0或1 C ．2D ．－1【加固训练】使分式x 2－5x －6x ＋1 的值等于零的x 是( )A ．6B ．－1或6C ．－1D ．－612．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x 2－6x ＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．2或413．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Max{a ，b }表示a ，b 中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x ，－x }＝x 2－2的解为__ __．14．(2023·嘉兴中考)小敏与小霞两位同学解方程 3(x －3)＝(x －3)2的过程如下框：小敏：两边同除以(x －3) 得3＝x －3 则x ＝6.小霞： 移项，得3(x －3)－(x －3)2＝0 提取公因式得(x －3)(3－x －3)＝0. 则x －3＝0 或3－x －3＝0 解得x 1＝3，x 2＝0.你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．15．(2024·青岛质检)解方程．(1)x2－2x－4＝0(用配方法)；(2)2x2＋3x－1＝0(用公式法)；(3)3x＋6＝(x＋2)2；(4)9(x＋1)2＝4(2x－1)2.16．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4－5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.请你按照上述解题思想解方程(x2＋x)2－4(x2＋x)－12＝0.参考答案知识点1用因式分解法解一元二次方程1．(2024·永州期中)方程x2＝5x的解是(B)A．x1＝－5，x2＝0 B．x1＝5，x2＝0C．x＝5 D．x＝0【解析】由原方程移项，得x2－5x＝0∴x(x－5)＝0∴x＝0或x－5＝0解得x1＝0，x2＝5.2．方程(x－2)2＝x－2的解是(A)A．x1＝2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝1C．x＝2 D．x＝3【解析】由原方程移项，得(x－2)2－(x－2)＝0∴(x－2)(x－2－1)＝0∴x－2＝0或x－3＝0解得，x1＝2，x2＝3.3．(2024·长沙期末)方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是(D)A．x＝2 B．x＝3C．x＝－1或x＝2 D．x＝－1或x＝3【解析】由原方程移项，得(x＋1)(x－2)－(x＋1)＝0∴(x＋1)(x－2－1)＝0∴x＋1＝0或x－3＝0解得，x＝－1，或x＝3.4．(2023·镇江中考)一元二次方程x(x＋1)＝0的两根分别为__x1＝0，x2＝－1__．【解析】方程x(x＋1)＝0，可得x＝0或x＋1＝0，解得x1＝0，x2＝－1.5．若一元二次方程x2－mx＋n＝0的两个根为－3和4，则x2－mx＋n因式分解的结果为__(x＋3)(x－4)__．【解析】根据因式分解法解方程可以得到x2－mx＋n＝(x＋3)(x－4).6．阅读下题的解题过程，请判断其是否正确，若有错误，请写出正确的答案．解方程x2＋2x＝3x＋6.解：x(x＋2)＝3(x＋2)两边同时除以x＋2，得：x＝3.【解析】因为不能判断x＋2是否为0，所以方程两边不能同时除以x＋2.正确得解题过程为x(x＋2)＝3(x＋2)x(x＋2)－3(x＋2)＝0，∴(x－3)(x＋2)＝0解得x1＝3，x2＝－2.知识点2选择合适的方法解一元二次方程7．(2024·北京质检)用配方法解方程x 2＋6x －1＝0，正确的是(D ) A ．(x －3)2＝8 B ．(x ＋3)2＝8 C ．(x －3)2＝10 D ．(x ＋3)2＝10 【解析】x 2＋6x －1＝0，x 2＋6x ＝1 x 2＋6x ＋9＝1＋9，(x ＋3)2＝10.8．方程(x －m )(x －3)＝0和方程x 2－2x －3＝0同解，m ＝__－1__． 【解析】解方程x 2－2x －3＝0得：x 1＝3，x 2＝－1 解方程(x －m )(x －3)＝0得：x 1＝m ，x 2＝3∵方程(x －m )(x －3)＝0和方程x 2－2x －3＝0同解，∴m ＝－1. 9．分别用因式分解法、配方法、公式法解方程 x 2＋4x －5＝0.【解析】方法一：(因式分解法)(x －1)(x ＋5)＝0，x －1＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝1，x 2＝－5.方法二：(配方法)x 2＋4x ＝5 x 2＋4x ＋4＝5＋4，(x ＋2)2＝9x ＋2＝3或x ＋2＝－3，∴x 1＝1，x 2＝－5. 方法三：(公式法) 这里a ＝1，b ＝4，c ＝－5 b 2－4ac ＝16＋20＝36，x ＝－4±62∴x 1＝1，x 2＝－5. 10．(2023·聊城中考)关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是－2，则k 值为(B ) A ．2或4B ．0或4C ．－2或0D ．－2或2【解析】把x ＝－2代入方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4得4－8k ＋2k 2＝4 整理得k 2－4k ＝0，解得k 1＝0，k 2＝4 即k 的值为0或4.11．如果x 2－x －1＝(x ＋1)0，那么x 的值为(C ) A ．2或－1 B ．0或1C ．2D ．－1【解析】x 2－x －1＝(x ＋1)0 x 2－x －2＝0，(x －2)(x ＋1)＝0 所以x ＝2或x ＝－1(舍去). 【加固训练】使分式x 2－5x －6x ＋1 的值等于零的x 是(A )A ．6B ．－1或6C ．－1D ．－6【解析】分式x 2－5x －6x ＋1 的值等于零∴x 2－5x －6＝0，∴(x －6)(x ＋1)＝0 ∴x －6＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1. ∵x ＋1≠0，∴x ＝6.12．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x 2－6x ＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为(A ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．2或4【解析】x 2－6x ＋8＝0，(x －4)(x －2)＝0解得：x ＝4或x ＝2当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2.13．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Max{a ，b }表示a ，b 中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x ，－x }＝x 2－2的解为__2或－2__．【解析】当x >－x ，即x >0时，方程为x ＝x 2－2 解得：x 1＝－1，x 2＝2，∴x ＝2当x <－x ，即x <0时，方程为－x ＝x 2－2解得x1＝1，x2＝－2，∴x＝－2. 14．(2023·嘉兴中考)小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下框：小敏：两边同除以(x－3)得3＝x－3则x＝6.小霞：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0提取公因式得(x－3)(3－x－3)＝0.则x－3＝0或3－x－3＝0解得x1＝3，x2＝0.你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【解析】小敏：×；小霞：×.正确的解答方法：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0.则x－3＝0或3－x＋3＝0解得，x1＝3，x2＝6.15．(2024·青岛质检)解方程．(1)x2－2x－4＝0(用配方法)；(2)2x2＋3x－1＝0(用公式法)；(3)3x＋6＝(x＋2)2；(4)9(x＋1)2＝4(2x－1)2.【解析】(1)方程整理得：x2－2x＝4配方得：x2－2x＋1＝5，即(x－1)2＝5开方得：x－1＝±5解得，x1＝1＋5，x2＝1－5；(2)这里a＝2，b＝3，c＝－1∵b 2－4ac ＝9＋8＝17>0，∴x ＝－3±174解得，x 1＝－3＋174 ，x 2＝－3－174 ； (3)方程整理得：3(x ＋2)－(x ＋2)2＝0 因式分解得：(x ＋2)[3－(x ＋2)]＝0 所以x ＋2＝0或3－(x ＋2)＝0 解得，x 1＝－2，x 2＝1；(4)方程移项得：9(x ＋1)2－4(2x －1)2＝0因式分解得：[3(x ＋1)＋2(2x －1)][3(x ＋1)－2(2x －1)]＝0所以3(x ＋1)＋2(2x －1)＝0或3(x ＋1)－2(2x －1)＝0，解得，x 1＝－17 ，x 2＝5. 16．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4－5x 2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2－5y ＋4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4. 当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1； 当y ＝4时，x 2＝4，∴x ＝±2；∴原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝－1，x 3＝2，x 4＝－2. 请你按照上述解题思想解方程(x 2＋x )2－4(x 2＋x )－12＝0. 【解析】设y ＝x 2＋x ，则由原方程 得y 2－4y －12＝0 整理，得(y －6)(y ＋2)＝0 解得，y ＝6或y ＝－2当y ＝6时，x 2＋x ＝6，即(x ＋3)(x －2)＝0 解得，x 1＝－3，x 2＝2.当y ＝－2时，x 2＋x ＝－2，即x 2＋x ＋2＝0，该方程无实数解． 综上所述，该方程的解为x 1＝－3，x 2＝2.。
湘教版2020—2021学年九年级数学上册全册综合复习与简答
湘教版2020—2021学年九年级数学上册全册综合复习与简答一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．用配方法解一元二次方程22310x x --=，配方正确的是( ) A ．2313()24x -=B ．231()42x -=C ．2317()416x -=D ．2311()24x -=2．已知一元二次方程2770kx x --=有两个实数根，k 的取值范围是( ) A ．74k >-B ．74k - C ．74K -且0k ≠ D ．74k >-且0k ≠ 3．如图，反比例函数1a y x =经过矩形ABCD 的顶点D ，反比例函数2by x=经过矩形ABCD 的顶点C ．矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的负半轴上运动，矩形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴运动上，如果矩形ABCD 的面积为定值，下列哪个值不变( )A ．a b +B ．a b -C ．baD ．ab4．如图，已知在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的顶点(0,3)A ，(3,0)B ，90ABC ∠=︒．函数4(0)y x x=>的图象经过点C ，则AC 的长为( )A ．32B ．5C ．26D 265．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，:5:2DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF ∆的面积与BAF ∆的面积之比为( )第3题图 第4题图第5题图A ．5:7B ．10:4C ．25:4D ．25:496．如图，已知//DE BC ，//EF AB ，则下列比例式中不正确的是( ) A ．AD AEAB AC=B ．CE EACF FB=C ．EF CFAB CB=D ．DE ADBC DB=7．若角α，β都是锐角，以下结论：①若αβ<，则sin sin αβ<；②若αβ<，则cos cos αβ<；③若αβ<，则tan tan αβ<；④若90αβ+=︒，则sin cos αβ=．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④8．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD ．在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为45︒，测得与大桥主架的水平距离AB 为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD 为( ) A ．(100100sin α+ )米 B ．(100100tan α+ )米 C ．100(100)sin α+米 D ．100(100)tan α+米 9．今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是( )A ．2000名学生是总体B ．每位学生的数学成绩是个体C ．这100名学生是总体的一个样本D ．100名学生是样本容量第5题图第8题图10．用相同大小的等边三角形纸片玩叠纸游戏，可将纸片按如图所示的规律叠放，其中第①个图案有3个60︒的角，第②个图案有7个60︒的角，第③个图案有10个60︒的角，第④个图案有14个60︒的角；⋯，按此规律排列下去，则第⑦个图案中60︒的角的个数为( )A ．21B ．24C ．28D ．31二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．若00a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，则关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的解是 ．12．某工厂四月份生产口罩50万个，防疫需要，预计第二季度生产182万个口罩的生产任务，该工厂增加设备，并提高生产效率，设该工厂五、六月份生产口罩平均每月的增长率为x ，那么x = ．13．已知反比例函数2k y x-=的图象如图，则一元二次方程22(21)10x k x k --+-=根的情况是 ．14．如图，正比例函数1(0)y ax a =≠与反比例函数2(0)ky k x=≠的图象相交于A ，B 两点，其中点A的坐标为(1,3)．当12y y <时，x 的取值范围是 ．15．如果点P 为线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，线段6AB =，则较短线段PB = ．第13题图第14题图16．如图，90A B ∠=∠=︒，AB a =，AD BC <，在边AB 上取点P ，使得PAD ∆，PBC ∆与PDC ∆两两相似，则AP长为．（结果用含a 的代数式表示）17．如图，ABC ∆的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ACB ∠等于 ．18．如图，某河堤迎水坡AB 的坡比3i =5BC m =，则坡面AB 的长是 m ． 三．解答题（共6小题，满分46分，其中19题10分,20、21每小题6分，22、23每小题7分，24题10分）19．解答下列问题．（1）计算：201()|12cos30|tan 60(20203)2-+-︒-︒+．（2）解方程：2450x x +-=．20．为了了解某地区初二学生课余时间活动安排情况，现对学生课余时间活动安排进行调查，根据调查的部分数据绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：第16题图第18题图第17题图（1）求调查中，一共抽查了多少名初二同学？（2）求所调查的初二学生课余时间用于安排“读书”活动人数，并补全条形统计图；（3）如果该地区现有初二学生12000人，那么利用课余时间参加“体育”锻炼活动的大约有多少人？21．如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在渔船的北偏东60︒方向；半小时后，渔船到达B处，此时测得小岛C在渔船的北偏东30︒方向．已知以小岛C为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区．如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？22．疫情期间，某药店出售一批进价为2元的口罩，在市场营销中发现此口罩的日销售单价x（元)与日销售量y（只)之间有如下关系：3456日销售单价x（元)日销售量y（只)2000150012001000（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式；（2）设经营此口罩的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，（3）若物价局规定此口罩的售价最高不能超过10元/只，请你求出当日销售单价x 定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？23．国强在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x 元/件(2040)x ．（1）用含售价x （元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为 件； （2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元． ①求该商品的售价；②2020年10月17日为第7个国家扶贫日，国强决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某扶贫捐赠基金会捐款0.5元，求国强每天通过销售该工艺品捐款的数额．24．矩形ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，设运动时间为t （单位：)s ．（1）如图1，若动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，沿A B C →→匀速运动到点C ，图2是点P 运动时，APC ∆的面积2()S cm 随时间t （秒)变化的函数图象． ①点P 的运动速度是 /cm s ，m n += ； ②若2PC PB =，求t 的值；（2）如图3，若点P ，Q ，R 分别从点A ，B ，C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点Q 到达点C （即点Q 与点C 重合）时，三个点随之停止运动；若点P 运动速度与（1）中相同，且点P ，Q ，R 的运动速度的比为2:4:3，是否存在t ，使PBQ ∆与QCR ∆相似，若存在，求出所有的t 的值；若不存在，请说明理由．湘教版2020—2021学年九年级数学上册全册综合复习参考简答一．选择题（共10小题）1．C ． 2．C ． 3．B ． 4．B ． 5．D ． 6．D ． 7．C ． 8．B ． 9．B ． 10．B ． 二．填空题（共8小题）11． 11x =，21x =- ． 12． 20% ． 13． 无实数根 ． 14． 1x <-或01x << ．15． 935- ． 16． 12a ． 17． 10． 18． 10 ． 三．解答题（共6小题） 19．请回答下列问题．（1）计算：201()|12cos30|tan 60(20203)2-+-︒-︒+-．（2）解方程：2450x x +-=． 【解】：（1）原式34(21)31=+⨯--+ 43131=+--+4=；（2）分解因式得：(1)(5)0x x -+=，可得10x -=或50x +=， 解得：11x =，25x =-．20．为了了解某地区初二学生课余时间活动安排情况，现对学生课余时间活动安排进行调查，根据调查的部分数据绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：（1）求调查中，一共抽查了多少名初二同学？（2）求所调查的初二学生课余时间用于安排“读书”活动人数，并补全条形统计图；（3）如果该地区现有初二学生12000人，那么利用课余时间参加“体育”锻炼活动的大约有多少人？【解】：（1）5020%250÷=（名)，即调查中，一共抽查了250名初二同学；（2）安排“体育”活动的学生有：25028%70⨯=（名)，安排“读书”活动的学生有：250705030100---=（名)，补全的条形统计图如右图所示；（3）1200028%3360⨯=（人)，即利用课余时间参加“体育”锻炼活动的大约有3360人．21．如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在渔船的北偏东60︒方向；半小时后，渔船到达B处，此时测得小岛C在渔船的北偏东30︒方向．已知以小岛C为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区．如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？【解】：过点C作CD AB⊥交AB的延长线于D，由题意得，140202AB=⨯=，30CAB∠=︒，60CBD∠=︒，30ACB CBD CAB∴∠=∠-∠=︒，ACB CAB∴∠=∠，20CB AB∴==，在Rt CBD∆中，sinCD CBDCB∠=，3sin20103CD BC CBD∴=∠=⨯=，10318<，∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，有着弹危险．22．疫情期间，某药店出售一批进价为2元的口罩，在市场营销中发现此口罩的日销售单价x（元)与日销售量y（只)之间有如下关系：（1）猜测并确定y与x 之间的函数关系式；（2）设经营此口罩的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，（3）若物价局规定此口罩的售价最高不能超过10元/只，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？【解】：（1）由表可知，6000xy=，6000(0)∴=>；y xx（2）根据题意，得：600012000W x y x=-=-=-；(2)(2)6000x xx，（3）101200060004800∴-，x即当10x=时，W取得最大值，最大值为4800元，答：当日销售单价x定为10元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是4800元．23．国强在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件(2040)x．（1）用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为(1803)x-件；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②2020年10月17日为第7个国家扶贫日，国强决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某扶贫捐赠基金会捐款0.5元，求国强每天通过销售该工艺品捐款的数额．【解】：（1）该商品的售价为x 元/件(2040)x ，且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为603(40)(1803)x x +-=-件，故答案为：(1803)x -．（2）①依题意，得：(20)(1803)900x x --=，整理，得：28015000x x -+=，解得：130x =，250x =（不合题意，舍去）．答：该商品的售价为30元/件．②0.5(180330)45⨯-⨯=（元)．答：国强每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．24．矩形ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，设运动时间为t （单位：)s ．（1）如图1，若动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，沿A B C →→匀速运动到点C ，图2是点P 运动时，APC ∆的面积2()S cm 随时间t （秒)变化的函数图象．①点P 的运动速度是 /cm s ，m n += ；②若2PC PB =，求t 的值；（2）如图3，若点P ，Q ，R 分别从点A ，B ，C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点Q 到达点C （即点Q 与点C 重合）时，三个点随之停止运动；若点P 运动速度与（1）中相同，且点P ，Q ，R 的运动速度的比为2:4:3，是否存在t ，使PBQ ∆与QCR ∆相似，若存在，求出所有的t 的值；若不存在，请说明理由．【解】：（1）①观察图象2可知，点P 从B 到C 的运动时间为4s ，故点P 的运动速度为82(/)4cm s =． 632m ∴==，此时168242n =⨯⨯=， 32427m n ∴+=+=． ②90B ∠=︒，2PC PB =， 30PCB ∴∠=︒，83tan30()PB BC cm ∴=︒=， 83(6)()PA cm ∴=-， 4332PA t ∴==-． （2）点P 的运动速度为2/cm s ，且点P ，Q ，R 的运动速度的比为2:4:3， ∴点Q 的运动速度为4/cm s ，点R 的运动速度为3/cm s ． 如图3中，由题意，62PB t =-，4BQ t =，84CQ t =-，3CR t =，①当PB BQ QC CR=时，PBQ ∆与QCR ∆相似， ∴624843t t t t-=-， 解得75t =， 经检验，75t =是分式方程的解，且符合题意． ②当时，PB BQ CR CQ=时，PBQ ∆与QCR ∆相似， ∴624384t t t t-=-，解得5t =-或5-（舍弃），经检验，5t =-+是分式方程的解，且符合题意．综上所述，满足条件的t 的值为75或5-．。
湘教版数学九年级上册 全册复习练习题 含答案-精选教学文档
湘教版数学九年级上册 全册复习练习题1. 已知直角三角形一锐角是60°，斜边长是1，那么这个三角形的周长是( D )A.52 B ．3 C.3＋22 D.3＋322．一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( D )A ．－1 B. 2 C ．1和 2 D ．－1和 23．cos60°－sin30°＋tan45°的值为( C )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．在反比例函数y ＝k x (k<0)的图象上有两点(－1，y 1)，(－14，y 2)，则y 1－y 2的值是( A )A ．负数B ．非正数C ．正数D ．不能确定5. A ，B 两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A(x ＋a ，y ＋b)，B(x ，y)，下列结论正确的是( B )A ．a ＞0B ．a ＜0C ．b ＝0D ．ab ＜06．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3.其中正确的有( C )个．A ．1B ．2C ．3D ．47．某校为了解八年级学生每周课外阅读情况，随机调查了50名八年级学生，得到他们在某一周里课外阅读所用时间的数据，并绘制成频数分布直方图，如图所示，根据统计图，可以估计在这一周该校八年级学生平均课外阅读的时间约为( B )A ．2.8小时B ．2.3小时C ．1.7小时D ．0.8小时8．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是( B )A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．3 3 m9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，c ＝10，则下列不正确的是( D )A ．∠B ＝60° B ．a ＝5C ．b ＝5 3D ．tanB ＝3310．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似中心，OD ＝12OD ′，则A ′B ′∶AB 为( D ) A ．2∶3 B ．3∶2 C ．1∶2 D ．2∶111．如图，AB ∥CD ，AC ，BD ，EF 相交于点O ，则图中相似三角形共有( C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对12．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( C )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或213．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则下列结论不一定成立的是( C )A ．AD ＝BC ′B ．∠EBD ＝∠EDBC ．△ABE ∽△CBD D ．sin ∠ABE ＝AE ED14．若代数式(x －4)2与代数式9(4－x)的值相等，则x ＝__4或－5__．15．若a a －b ＝12，则a b＝__－1__． 16．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，请添加一个适当的条件__∠ACD ＝∠ABC 或∠ADC ＝∠ACB 或AC ∶AB ＝AD ∶AC 等__，使△ABC ∽△ACD.(只填一个即可)17．某学校为了解学生课间体育活动情况，随机抽取本校100名学生进行调查，整理收集到的数据，绘制成如图所示的统计图．若该校共有800名学生，估计喜欢“踢毽子”的学生有__200__人．18．如图，以O 为位似中心，把五边形ABCDE 的面积扩大为原来的4倍，得五边形A 1B 1C 1D 1E 1，则OD ∶OD 1＝__1∶2__．19．如图，点A 是反比例函数y ＝6x的图象上一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，线段AB 交反比例函数y ＝2x的图象于点C ，则△OAC 的面积为__2__．20．如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，则海岛C 到航线AB 的距离CD 等于海里．21．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②△ABE ∽△ECF ；③AE ⊥EF ；④△ADF ∽△ECF.其中正确结论是__②③__．(填序号)22. 如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点(－1，－2)，“馬”位于点(2，－2)，则“兵”位于点_(－3，1)__.23. 如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过此正方形的顶点B ，D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__13__．24．解方程或计算：(1)x 2－2x ＝5;(2)|－1|－128－(5－π)0＋4cos45°. 解：(1)x 1＝1＋6，x 2＝1－ 6(2) 225．已知：关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的一个根是－1，求另一个根及k 的值．解：(1)∵b 2－4ac ＝k 2－4×2×(－1)＝k 2＋8，无论k 取何值，k 2≥0，∴k 2＋8>0，即b 2－4ac>0.∴方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根(2)令原方程的另一个根为x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1·x 2＝－12，－1＋x 2＝－k 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，k ＝1.即另一个根为12，k 的值是1 1=26．游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动，学校为了加强学生的安全意识，组织学生观看了纪实片“孩子，请不要私自下水”，并于观看后在本校的2019名学生中作了抽样调查．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：(1)这次抽样调查中，共调查了__400__名学生；(2)补全两个统计图；(3)根据抽样调查的结果，估算该校2019名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”？解：(2)“一定不会”的人数为400×25%＝100(名)，“家长陪同时会”的百分率为1－25%－12.5%－5%＝57.5%，图略(3)根据题意得：2019×5%＝100(人)．答：该校2019名学生中大约有100人“一定会下河游泳”27．如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．(结果保留根号)解：过A 作AG ⊥CD 交CD 于点G ，在Rt △ACG 中，tan30°＝CG AG，∴CG ＝AG ·tan30°＝6×33＝23米，CD ＝CG ＋DG ＝(23＋1.5)米，在Rt △CDE中，sin60°＝CD CE ，∴CE ＝CD sin60°＝23＋1.532＝(4＋3)米，即拉线CE 的长为(4＋3)米28．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点，AE ＝ED ，DF ＝14DC ，连接EF 并延长交BC 的延长线于点G. (1)求证：△ABE ∽△DEF ； (2)若正方形的边长为4，求BG 的长．解：(1)∵DF DE ＝AE AB ＝12，即AB DE ＝AE DF，又∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DEF (2)∵∠D ＝∠FCG ＝90°，∠DFE ＝∠CFG ，∴△DEF ∽△CGF ，∴DE CG ＝DF CF ＝13，∴CG ＝3DE ＝3×42＝6，∴BG ＝BC ＋CG ＝4＋6＝10 29．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队在绿化了22019平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是多少米？解：(1)设原计划每天完成x 米2，则有46000－22000x －46000－220001.5x ＝4，解得x ＝2019，经检验x ＝2019是原方程的解，即：原计划每天完成2019平方米(2)设人行通道宽度是y 米，则有(20－3y)(8－2y)＝56，解得y 1＝2，y 2＝263.当y ＝263时，8－2y<0，所以舍去，∴y ＝2，即人行通道的宽度是2米30．如图，一次函数y ＝－x ＋2的图象与反比例函数y ＝－3x的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于D 点，且C ，D 两点关于y 轴对称．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)求△ABC 的面积．解：(1)把y ＝－x ＋2与y ＝－3x 联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝－3x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3，∴A(－1，3)，B(3，－1)(2)D(2，0)，∴C(－2，0)，S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ＝12×4×3＋12×4×1＝8。
湘教版九年级数学上册4.3 解直角三角形 同步练习(含答案)
4.3 解直角三角形要点感知在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫作______.解直角三角形常见类型及求法：预习练习1－1 (兰州中考)△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是( ) A.csinA =aB.bcosB =cC.atanA =bD.ctanB =b1－2如图，已知△ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，a =6，解这个直角三角形.知识点 解直角三角形1.在Rt △ABC 中，∠C =90°，若a =6，∠B =30°，则c 和tanA 的值分别为( ) A.12，33B.12，3C.43，33 D.22，32.在Rt △ABC 中，∠C =90°，已知a 和A ，则下列关系中正确的是( )A.c =asinAB.c =a /sinAC.c =acosAD.c =a /cosA3.(杭州中考)在直角三角形ABC 中，已知∠C =90°，∠A =40°，BC =3，则AC =( ) A.3sin 40°B.3sin 50°C.3tan 40°D.3tan 50°4.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°.(1)已知∠A 和c ，则a =______ ，b =______ ； (2)已知∠B 和b ，则a =______，c = ______. 5.在△ABC 中，∠C =90°. (1)若c =10，∠B =30°，求a ，b ，∠A ；(2)若b =9，c =63，求a ，∠A ，∠B.6.如图是教学用直角三角板，边AC =30 cm ，∠C =90°，tan ∠BAC =33，则边BC 的长为( ) A.303 cmB.203 cmC.103 cmD.53 cm7.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且CD =2，DE =1，则BC 的长为( ) A.2B.334C.23D.438.在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为p ，OP 与x 轴正方向的夹角为α，则用[p ，α]表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如：点P 的坐标为(1，1)，则其极坐标为[2，45°].若点Q 的极坐标为[4，60°]，则点Q 的坐标为( ) A.(2，23)B.(2，－23)C.(23，2)D.(2，2)9.在Rt △ABC 中，∠C =90°，sinB =23，a =5，则∠B =______，c =______. 10.在△ABC 中，∠C =90°. (1)若a =30，b =20，求c ，∠A ，∠B ； (2)若∠B =72°，c =14，求a ，b ，∠A.11.(无锡中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sinA =52，求BC 的长和tanB 的值.12.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC =9，BC =6. (1)求sinC ；(2)求AC 边上的高B D.13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3.点D为BC边上一点，且BD=2AD，∠ADC=60°，求△ABC的周长（结果保留根号）.挑战自我14.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长.参考答案要点感知解直角三角形预习练习1－1A1－2 ∵∠A +∠B =90°，∴∠B =90°－∠A =30°.∵tanA =ba，∴b =a /tanA =23.c =a /sinA =43.1.D2.B3.D4.(1)csinAccosA(2)b /tanB b /sinB5.(1)∵∠C =90°， c =10，∠B =30°，∴b =5.∴a =53.∴∠A =90°－∠B =60°.(2)∵∠C =90°，b =9，c =63，∴a =33.∵sinA =1/2，∴∠A =30°，∠B =60°.6.C7.B8.A9.60°10 10.(1)c =1013，tanA =1.5，∴∠A ≈56.3°.∴∠B =90°－∠A ≈33.7°，即c =1013，∠A ≈56.3°，∠B ≈33.7°.(2)∠A =90°－72°=18°.b =14×sin 72°≈13.3.∴a =14×sin 18°≈4.3.即∠A =18°，b ≈13.3，a ≈4.3.11.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sinA =2/5，∴BC =4.根据勾股定理得：AC =221，则tanB =221.12.(1)作AE ⊥BC 交BC 于点E .∵AB =AC ，∴BE =EC =3，在Rt △AEC 中，AE =62，∴sinC =322.(2)在Rt △BDC中，∴BD =42.13.在Rt △ACD 中，AC =3,∠ADC =60°∴C △ABC =27+5+3.14.过点B 作BM ⊥FD 于点M .在△ACB 中，∠ACB =90°，∠A =60°，AC =10，∴∠ABC =30°，BC =AC ×tan 60°=103.∵AB ∥CF ，∴BM =BC ×sin 30°=103×1/2=53，CM =BC ×cos 30°=15.在△EFD 中，∠F =90°，∠E =45°，∴∠EDF =45°，∴MD =BM =53，∴CD =CM －MD =15－53.。
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初中数学一题多解（试题） 1、若()16x 3-m 2x 2++ 是关于x 的完全平方公式（或完全平方数），则m=2、4的平方根为 ，16的平方根为 3、若2a =时， a 为 。
在数轴上，到原点的距离为3个单位的数有 。
4、若64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，则代数式=+x 1x 5、若关于x 的方程16-x 3m 4x m 4-x 12+=++无解，则m 的值为 6、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （3,4），点P 在x 轴上，若△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是7、在一个等腰三角形中，有一个角为70°，则另两个角分别为8、已知直角三角形的两边长分别为5和12，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为9、 在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高为12，求BC 边的边长为10、在平行四边形ABCD 中，∠A 的角平分线把BC 边分为3和4的两条线段，则此平行四边形ABCD 的周长为11、若⊙O 的半径为5cm ，某个点A 到圆上的距离为2cm ，则圆心到点A 的距离为12、 若⊙O 中的某条弦AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 所对的圆周角为13、已知x满足62x1x22=+，则x1x+的值是14、当-2≤x≤1时，二次函数()1mm-x-y22++=有最大值4，则实数m 的值为15、在平面直角坐标系中有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标为16、若某条线段AB长为2，则该线段AB的黄金分割点离A点的距离为17、若△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标为（6,0），则点A的对应点C的坐标为18、如下图在△ABC中，AB=5，AC=4，点Q从点A出发向点B以2个单位/s的速度出发，点P从点C向点A以1个单位/s的速度出发，若要使△ABC 与△AQP相似，则运动的时间为s。
19、一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原来多边形的边数可能为20、在平面直角坐标系中，点P（m-3,4-2m）可能在第象限21、若⊙O与⊙P相切，且⊙O的半径为5cm，⊙P的半径为2cm，则OP的距离为初中数学一题多解（答案解析）1、若()16x 3-m 2x 2++ 是关于x 的完全平方公式（或完全平方数），则m= 7或-1解：∵完全平方公式：（a+b ）²=a ²+2ab+b ²∴()16x 3-m 2x 2++中x 就相当于第一个数a ，（m-3）就相当于第二个数b ，16就是第二个数的平方b ²；∴b=±4（正数的平方根有两个）∴（m-3）=±4∴m=7或-12、4的平方根为 ±2 ，16的平方根为 ±2解：∵正数的平方根有两个∴4的平方根为±2 又∵16=4 ∴“16的平方根”就相当于“4的平方根”为±23、若2a =时， a 为 ±2 。
在数轴上，到原点的距离为3个单位的数有 ±3 。
解：∵单独一个数的绝对值的几何意义是这个数到原点的距离，到原点的距离相等的点有两个，分别在原点的两侧4、若64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，则代数式=+x 1x ±8 解：∵a ²=p （p ≥0）中a 是非负数p 的平方根∴64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+就是说明x 1x +是64的平方根为±8 5、若关于x 的方程16-x 3m 4x m 4-x 12+=++无解，则m 的值为 -1或6、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （3,4），点P 在x 轴上，若∆AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是 （-5,0）或（5,0）或（6,0）由题意可得OA=5，其中AH 垂直OP 于点H①当OA=AP 时，点O 与点P 关于AH 对称∵A 为（3,4） ∴H 为（3,0），P 1=（6,0）②当OA=OP=5时，P 2=（5,0），P 3=（-5,0）③当AP=OP 时，P 4是AO 的垂直平分线P 4G 与x 轴的交点 易得Rt ∆AOH ∽Rt ∆P 4OG （其中∠O=∠O ；∠AHO=∠P 4GO=90°），AO=5，OG=2.5，OH=3 ∴OHOG OA OP 4=即OP 4=OA x OG ÷OH=5x2.5÷3=625 ∴此时P 4=（625，0） ∴综上所述，满足题意的P 点有（6,0），（5,0），（-5,0），（625，0）7、在一个等腰三角形中，有一个角为70°，则另两个角分别为55°，55°或70°，40°解：∵等腰三角形有两种角，一个是顶角，两个相等的底角且三角形的内角和为180°∴①当这个70°的角是顶角时，两底角都是（180°-70°）÷2=55°②当这个70°的角是底角时，另一个底角也是70°，顶角是180°-70°-70°=40°8、已知直角三角形的两边长分别为5和12，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为144或169解：∵已知直角三角形的两边长分别为5和12没有说具体都是直角边还是又一边是斜边∴有两种情况：①当12为斜边时，这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为12x12=144②当5，12为直角边时，斜边长由勾股定理得13，此时这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为13x13=1699、在∆ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高为1214或4解：∵题目没有讲这个BC 内部还是外部∴有两种情况：①当BC 边上的高AH 在三角形内部时，∆ABH 与∆ACH 都是直角三角形，AB=15，AH=12，AC=13∴在Rt ∆ABH 中，B H 在Rt ∆ACH 中，CH ∴BC=BH+CH=14 ②当BC 边上的高AH ∆ABH 与∆ACH AB=15，AH=12，∴在Rt ∆ABH 中，B H = 在Rt ∆ACH 中，512-13AH -AC CH 2222=== ∴BC=BH-CH=4B C10、在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把BC边分为3和4的两条线段，则此平行四边形ABCD的周长为20或22解：如图平行四边形ABCD，其中AE是∠A的角平分线，交BC于点E∴∠BAE=∠DAE，AD∥BCB∴内错角∠DAE=∠AEB∴在∆ABE中∠BAE=∠AEB，即AB=BE又∵∠A的角平分线把BC边分为3和4的两条线段，没有具体指明是哪段∴①当BE=3，EC=4时，平行四边形ABCD中两邻边长分别是AB=BE=3，BC=BE+EC=7即此时平行四边形ABCD的周长=（3+7）x2=20②当BE=4，EC=3时，平行四边形ABCD中两邻边长分别是AB=BE=4，BC=BE+EC=7即此时平行四边形ABCD的周长=（4+7）x2=2211、若⊙O 的半径为5cm ，某个点A 到圆上的距离为2cm ，则圆心到点A 的距离为 7cm 或3cm解：某个点A 到圆上的距离为2cm ，这个点A 可以在圆内也可以在圆外；如图，O 为圆心，A 1是圆外到圆上的距离为2cm 的点；A 2是园内到圆上的距离为2cm 的点，B 为OA 连线或延长线与圆上的交点由题意可得OB=半径=5cm ，A 1B=A 2B=2cm∴OA 1=OB+A 1B=5+2=7cm ，OA 2=OB-A 2B=5-2=3cm12、 若⊙O 中的某条弦AB 所对的圆心角为120°，则弦为 60°或120°解：在同圆或等圆中，同弦所对的圆心角只有 一个，所对的圆周角有两类。
如图，弦AB 所对的圆心角是∠AOB ，所对圆周角有两类分别是：与圆周心角同侧的∠ACB 和与圆心角异侧的∠ADB 。
①与圆周心角同侧的∠ACB ，根据同侧在同圆或等圆中圆心角是圆周角的两倍，所以圆周角∠ACB=120°÷2=60°②与圆周心角异侧的∠ADB ，根据圆内接四边形对角互补得： ∠ADB=180°-∠ACB=180°-60°=120°A13、已知x 满足62x 1x 22=+，则x 1x +的值是 ±8 解：由题意可得62x 1x 22=+且默认有1x1x =• 完全平方公式：2x 1x x 1x 1x 2x x 1x 22222++=+••+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴64262x 1x 2=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ∴ 8x1x ±=+ 14、当-2≤x ≤1时，二次函数()1m m -x -y22++=有最大值4，则实数m解：()1m m -x -y 22++=是顶点式，得顶点坐标为（m ，m ²+1） 且开口向下，函数图象的增减性满足左升右降。
那最大值就要看给定的自变量取值范围与函数图象对称轴所在位置决定。
①当对称轴x=m 刚好在-2≤x ≤1时，即-2≤m ≤1时，这段区 间内最大值就是顶点纵坐标。
∴m ²+1=4 ∴3m ±=（732.13≈）又∵-2≤m ≤1，∴3-m =（成立）②当-2≤x ≤1在对称轴x=m （m ＞1）左侧时，y 随x 的增大而不断增大，① ②③∴此时当x=1时有最大值4，即()41m m -1-22=++∴m=2（成立） ③当-2≤x ≤1在对称轴x=m （m ＜-2）右侧时，y 随x 的增大而不断减小，∴此时当x=-2时有最大值4，即()41m m -2--22=++ ∴m=43-（不满足m ＜-2，故舍去） ∴综上所述，满足题意的m 的值为3-m =或m=215、在平面直角坐标系中有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标为 （4,3）或（4，-3）或（-4,3）或（-4，-3）解：如图所示：M 可以在如下A 、B 、C 、D 四点上，满足到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为416、若某条线段AB 长为2，则该线段AB 的黄金分割点离A 点的距离为____ 5-31-5或解：一条线段的黄金分割点有两个（且黄金分割率满足： 21-5==较长边最小边最长边较长边 又∵线段AB 为最长边为2∴较长边=1-5当黄金分割点为C 点时，AC 是最短边=()5-31-5-2= 当黄金分割点为D 点时，AD 是较长边=1-517、若∆OAB 与∆OCD 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B 的坐标为（6,0），则点A 的对应点C 的坐解：相似的对应角相等，∴∠OAB=∠OCD=90°又∵在Rt ∆OAB 中OB=6，∠AOB=60°∴∠ABO=30°，OA=OB ÷2=3，333-6OA -OB AB 2222===设Rt ∆OAB 中以OB 为底边的高为AH则S ∆OAB =OA ·AB ÷2=OB ·AH ÷2∴AH=OA ·AB ÷OB=3x 33÷6=233 ∴根据勾股定理得：Rt ∆OAH 中23233-3AH -OA OH 2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==即A 点坐标为（23323，）又∵∆OAB与∆OCD的相似比为3:4∴与点A在同一象限的对应点C的坐标为（3 2,2）异侧的对应点C1坐标为（32-,2-）18、如下图在∆ABC中，AB=5，AC=4，点Q从点A出发向点B以2个单位/s的速度出发，点P从点C向点A以1个单位/s的速度出发，若要使∆ABC与∆AQP相似，则运动的时间为781320或s。