线性规划模型的应用

n
(i = 1,2⋯m )
9
例题2 例题2：
某人每天食用甲、 某人每天食用甲、乙两种食物 如猪肉、鸡蛋），其资料如下： ），其资料如下 （如猪肉、鸡蛋），其资料如下： 问两种食物各食用多少， 问两种食物各食用多少，才能既 满足需要、又使总费用最省？ 满足需要、又使总费用最省？ 设：Xj 表示 j 种食物用量。 表示B 种食物用量。
2.5米 米 1.3米 米
m Z = x1 + x2 + x3 + x4 in 3x1 + 2x2 + x3 ≥ 100 2x2 + 4x3 + 6x4 ≥ 200 x ≥ 0( j = 1.2.3.4) j
3 2 0 2
1 0 4 6
100 200
7
（四）合理配料问题
一般描述： 一般描述： 某饲养场用n 配置成含有m 某饲养场用n种饲料B1,B2, … Bn配置成含有m种营 的混合饲料，其余资料如表所示。 养成分A1,A2, … Am的混合饲料，其余资料如表所示。 问应如何配料，才能既满足需要， 问应如何配料，才能既满足需要，又使混合饲料的总 成本最低？ 成本最低？
14
（六）作物布局问题
已 资 如 表 示 假 ∑ai = ∑bj 知 料 下 所 ， 设 设 ij为 地 j种 作 为 j的 积 。 x 土 B 植 物 A 面 数
单 作物 土 产 地
B ⋯B 1 n
c 11 ⋯ c n 1 ⋮ ⋮ cm1 ⋯ cmn
播种 面积

m Z = ∑∑cij xij ax
食 量 物 成分
含
甲 0.1 1.7 1.10 2
乙 0.15 0.75 1.30 1.5
最 低 需要量
A1 A2 A3
原料单价
1.00 7.50 10.00
m Z = 2x1 +1.5x2 in 0.10x1 + 0.15x2 ≥ 1.00 .70x + 0.75x ≥ 7.50 1 1 2 1 .10x1 +1.30x2 ≥ 10.00 x1, x2 ≥ 0
ij i
A 1 ⋮ Am
土地面积
a1 ∑x = a (i = 1,2⋯m) ⋮ ∑x = b ( j = 1,2⋯n) am x ≥ 0
ij j ij
15
b ⋯ b 1 n
此外，还有连续投资、投入产出等模型问题。 此外，还有连续投资、投入产出等模型问题。
1.连续投资问题 连续投资问题 2.Inetl case: Capacity Planning
六、线性规划模型的应用
一般而言，一个经济、 一般而言，一个经济、管理问题满足以 下条件时，才能建立线性规划模型。 下条件时，才能建立线性规划模型。 ⑴.要求解问题的目标函数能用数值指标 来反映，且为线性函数； 来反映，且为线性函数； 存在着多种方案； ⑵.存在着多种方案； ⑶.要求达到的目标是在一定条件下实现 这些约束可用线性等式或不等式描述。 的，这些约束可用线性等式或不等式描述。
n
∑xij = ai ∑xij = bj x ≥0 ij
m n i =1 j =1
( ∑ai = ∑bj )
m Z = ∑∑cij xij in ∑xij ≤ ai ∑xij = bj x ≥0 ij
( ∑ai > ∑bj )
12
例题3 例题3： 某运输问题的资料如下： 某运输问题的资料如下：
i =1 j =1 m n
∑aij xij ≤ ai ∑xij ≥ bj x ≥ 0 ij
4
（三）合理下料问题
一般描述： 一般描述： 描述 设用某种原材料截取零件A 的毛坯。 设用某种原材料截取零件A1,A2, … Am的毛坯。根据以 往的经验，在一种原材料上可以有B 往的经验，在一种原材料上可以有B1,B2, … Bn种不同的 下料方式， 下料方式，每种下料方式可截得的各种毛坯个数以及每种 零件的需要量如表所示， 零件的需要量如表所示，问应如下料才能既满足需要又使 原材料消耗最少？ 原材料消耗最少？
单位 销地 运价 产地
B B B B 1 2 3 4
2 1 8 3 9 3 4 8 10 4 2 4 2 2 5 6
产量
A 1 A 2 A 3
销量
9 5 7
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设xij为运量 m 目标函数： 目标函数： in Z = 2x11 + 9x12 + 10x13 + 7x14 + x21 + 3x22 + 4x23 + 2x24 + 8x31 + 4x32 + 2x33 + 5x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x21 + x22 + x23 + x24 = 5 x31 + x32 + x33 + x34 = 7 x11 + x21 + x31 = 3 约束条件： 约束条件： x12 + x22 + x32 = 8 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 6 x ≥ 0 (i = 1.2.3, j = 1.2.3.4) ij
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（ 五 ）运 输 问 题
已知资料如表所示： 已知资料如表所示：
单位 运价 产地 销 地
B 1
⋯B n
产 量
A 1 ⋮ A m
销 量
c ⋯ cn 11 1 ⋮ ⋮ cm1 ⋯ cmn
a1 ⋮ am
b 1
⋯ b n
模型如下： 模型如下：
11
m Z = ∑∑cij xij in
i =1 j =1
m
6
例题1 现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长的毛 例题1： 现有一批某种型号的圆钢长8 需要截取2.5 2.5米长的毛
坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既满足需要，又 100根 1.3米的毛坯200根 问如何才能既满足需要， 米的毛坯200 能使总的用料最少？ 能使总的用料最少？ 下料 下料 一 二 三 四 需要 毛 件数 方式 根数 设变量为 x j 坯型号 第 j 种方法的所有 原料件数
含 成分 饲 量 料
B ⋯B 1
最 低 n 需要量
A 1 ⋮ A m
原料单价
a11 ⋯ a1n ⋮ ⋮ am1 ⋯ am n
b 1 ⋮ bm
8
c ⋯ cn 1
x j 种饲料所用的数量， 设 j 表示第 种饲料所用的数量， 其模型如下： 其模型如下： m Z = ∑c j x j in
j =1 n
∑aij x j ≥ bi j =1 xj ≥ 0
模 型 m Z = ∑cj xj ax ∑aij xj ≤ bi xj ≥ 0
单件 产 消耗 品 资源
B ⋯B 1
⋮ ⋮
资源 n 限制
A1 ⋮ Am
单件利润
a11 ⋯ a1n am1 ⋯ am n
C ⋯ Cn 1
b1 ⋮ bm
2
）、生产组织与计划问题 （二）、生产组织与计划问题
一般描述：某工厂用机床A 加工B 一般描述：某工厂用机床A1,A2, … Am 加工B1,B2, … Bn 描述 种零件。在一个周期内，各机床可能工作的机时（台时）， 种零件。在一个周期内，各机床可能工作的机时（台时）， 工厂必须完成各种零件的数量、 工厂必须完成各种零件的数量、各机床加工每个零件的时间 机时/个 和加工每个零件的成本（ 个 如表所示， （机时 个）和加工每个零件的成本（元/个）如表所示，问 如何安排各机床的生产任务，才能完成加工任务， 如何安排各机床的生产任务，才能完成加工任务，又使总成 本最低？ 本最低？
下料 下料 毛 件数 方式 坯型号
B ⋯B 1 n
a 11 ⋯ a n 1 ⋮ ⋮ am1 ⋯
需 要 毛坯数
A1 ⋮ Am
b1 ⋮ amn bm
5
x B 设： j表示用 j ( j = 1,2⋯n)种方式 下料的原材料件数， 数学模型为： 下料的原材料件数，其 数学模型为： m Z = x1 + x2 +⋯+ xn in a11 x1 +⋯+ a1n xn ≥ b1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am1 x1 +⋯+ amn xn ≥ bm x j ≥ 0 ( j = 1,2⋯n)
1
（一）资源的合理利用
一般描述： 一般描述： 某厂计划在下一生产周期内生产B 种产品， 某厂计划在下一生产周期内生产B1,B2, … Bn种产品， 种资源， 要消耗A 要消耗A1,A2, … Am种资源，已知每件产品所消耗的资源 数、每种资源的数量限制以及每件产品可获得的利润如表 所示，问如何安排生产计划，才能充分利用现有的资源， 所示，问如何安排生产计划，才能充分利用现有的资源， 使获得的总利润最大？ 使获得的总利润最大？
加工 机床 零 成本 件 加工
B ⋯B 1 n
c 11 ⋯ c n 1 ⋮ ⋮ cm1 ⋯ cmn
零 时间 件
机床
B ⋯B 1
机时 n 限制
A1 ⋮ Am
A1 ⋮ Am
必须零件数
a 11 ⋯ a n 1 ⋮ ⋮ am1 ⋯ amn
b ⋯ bn 1
a1 ⋮ am
3
x A 设 ij为机床 i 在一生产周期加工零件 Bj的数量，求 ij (一组变量）。模型： 的数量， x 一组变量）。模型： ）。模型 m Z = ∑∑cij xij in
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