高中数学二次函数复习课件

解析
由 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
2 x ＋4x＋2 f(x)＝ 2 (x>0).
得 b＝4，c＝2，故
(x≤0)，
∴f(x)＝x 有 3 个解．选 C.
题型分类
题型一 求二次函数的解析式
深度剖析
Байду номын сангаас
例 1 如图，抛物线与直线 y＝k(x－4)都 经过坐标轴的正半轴上 A、B 两点，该 抛物线的对称轴 x＝－1 与 x 轴相交于点 C，且∠ABC＝90° ，求： (1)直线 AB 的解析式； (2)抛物线的解析式． 思维启迪 由直线方程知点 A 坐标(4,0)，又可知点 D 坐标．对称轴为 x＝－1，可求得抛物线方程．进而知
点 B 坐标，最后得直线 AB 的方程．
解 (1)由已知，得 A(4,0)，B(0，－4k)，C(－1,0)， 又∵∠CBA＝∠BOC＝90° ，∴OB2＝CO· AO. 1 ∴(－4k)2＝1×4，∴k＝± . 2
1 又∵从图知 k<0，∴k＝－ . 2 1 ∴所求直线的解析式为 y＝－ x＋2. 2 (2)设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
∴所求二次函数的解析式为 y＝－4x2＋4x＋7.
方法二
利用二次函数的顶点式．
设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)， ∵f(2)＝f(－1)． 2＋(－1) 1 ∴抛物线对称轴为 x＝ ＝ . 2 2 1 ∴m＝ ，又根据题意，函数有最大值 8，即 n＝8. 2
12 ∴y＝f(x)＝ax－2 ＋8， 1 2 ∵f(2)＝－1，∴a2－2 ＋8＝－1，
[0，＋∞) ． 值范围是__________
解析
b 二次函数开口向上，且对称轴为 x＝－ . 2
b ∴－ ≤0，∴b≥0. 2
2．设全集 I 为整数集 Z，集合 A＝{x|x2－3x>0，x∈Z}，
{0,1,2,3} ． 则集合 A 的补集为__________
解析 x2－3x>0，即 x<0 或 x>3. ∴A＝{x|x<0 或 x>3，x∈Z}. ∴∁IA＝{0,1,2,3}．
解之得 a＝－4.
1 2 ∴f(x)＝－4x－2 ＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三
利用二次函数的零点式．
由已知，f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 ymax＝8， 4a(－2a－1)－a2 ∴ ＝8. 4a 解之得：a＝－4 或 a＝0(舍去)． ∴函数解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝
－1，且 f(x)的最大值是 8.试确定此二次函数的解析式．
解
方法一
利用二次函数的一般式．
设 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)． 4a＋2b＋c＝－1， a－b＋c＝－1， 由题意得 2 4ac－b ＝8. 4a a＝－4， 解之得b＝4， c＝7.
§2.4
要点梳理 1．二次函数的三种表示形式
二次函数 自主学习
基础知识
2 f(x)ax ＋bx＋c(a≠0) (1)一般式：
.
(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(k，h)，则其解 析式为
f(x)=a(x－k)2＋h(a≠0)
.
(3)两根式：若二次函数图象与 x 轴的交点坐标为 (x1,0)，(x2,0)，则其解析式为 f(x)=a(x－x1)(x－x2)(a≠0) .
0＝16a＋4b＋c， 2＝c， 则 b － ＝－1， 2a
1 a＝－12， 1 解得 b＝－6， c＝2.
1 2 1 ∴所求抛物线解析式为 y＝－ x － x＋2. 12 6
探究提高
也可利用对称性，求出 D 点坐标(－6,0)，利
用两根式求抛物线解析式．
变式训练 1
m 解析 对称轴 x＝ ≤－2，∴m≤－16. 8 ∴f(1)＝9－m≥25.
5．设函数
2 x ＋bx＋c(x≤0)， f(x)＝ 2 (x>0)，
若 f(－4)＝f(0)，f(－2) ( C )
＝－2，则关于 x 的方程 f(x)＝x 的解的个数为 A．1 B． 2 C．3 D．4
b 在－∞，－2a
上是增加的；
b 在－2a，＋∞
上是减少的 奇偶性 对称性 b＝0 时为偶函数，b≠0 时为非奇非偶函数
b 图像关于直线 x＝－2a 成轴对称图形
[难点正本
疑点清源]
1. 二次函数、二次方程、二次不等式的区别与联系 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系 Δ＝b2－4ac Δ＝0 Δ>0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象 方程 ax2＋bx＋c ＝0 的解 ax2＋bx＋c>0 的 解集 ax2＋bx＋c<0 的 解集 x＝x1， x＝x2 {x|x>x2 或 x<x1} {x|x1<x<x2} x1＝x2＝x0 {x|x∈R 且 x≠x0} 无解
2.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象
定义域 值域
R
4ac－b2 ，＋∞ 4a
R
2 4 ac － b －∞， 4a
单调性
b 在－∞，－2a上是减少的； b 在－2a，＋∞上是增加的
3．二次函数 y＝f(x)满足 f(x＋3)＝f(3－x) (x∈R)且 f(x) ＝0 有两个实根 x1、x2，则 x1＋x2=________ ． 6
解析 由 f(3＋x)＝f(3－x)知函数 y＝f(x)的图象关于直线
x1＋x2 x＝3 对称，应有 ＝3⇒x1＋x2＝6. 2
4．已知函数 f(x)＝4x2－mx＋5 在区间[－2，＋∞)上是 增函数，则 f(1)的范围是 A．f(1)≥25 C．f(1)≤25 B．f(1)＝25 D．f(1)>25 ( A )
R
∅
∅
2.二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布 讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一 般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值 的符号；③对称轴与区间的相对位置． 在讨论过程中，注意应用数形结合的思想．
基础自测 1.函数 y＝x2＋bx＋c 在[0，＋∞)上是递增的，则 b 的取